五年级页码问题1

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第24讲页码问题顾名思义,页码问题与图书的页码有密切联系。

事实上,页码问题就是根据书的页码而编制出来的一类应用题。

编一本书的页码,一共需要多少个数码呢?反过来,知道编一本书的页码所需的数码数量,求这本书的页数。

这是页码问题中的两个基本内容。

为了顺利地解答页码问题,我们先看一下“数”与“组成它的数码个数”之间的关系。

一位数共有9个,组成所有的一位数需要9个数码;两位数共有90个,组成所有的两位数需要2×90=180(个)数码;三位数共有900个,组成所有的三位数需要3×900=2700(个)数码……为了清楚起见,我们将n位数的个数、组成所有n位数需要的数码个数、组成所有不大于n位的数需要的数码个数之间的关系列表如下:
页码个数所用数字的个数1到最大页码所用数字的个数
一位数9 1×9=9 9
两位数90 2×90=180 180+9=189
三位数900 3×900=2700 189+2700=2889
四位数9000 4×9000=360000 2889+36000=38889
例1 一本书共204页,需多少个数码编页码?
分析与解:1~9页每页上的页码是一位数,共需数码
1×9=9(个);
10~99页每页上的页码是两位数,共需数码
2×90=180(个);
100~204页每页上的页码是三位数,共需数码
(204-100+1)×3=105×3=315(个).
综上所述,这本书共需数码
9+180+315=504(个).
例2 一本小说的页码,在排版时必须用2211个数码.问:这本书共有多少页?
分析:因为189<2211<2889,所以这本书有几百页.由前面的分析知道,这本书在排三位数的页码时用了数码(2211-189)个,所以三位数的页数有 (2211-189)÷3=674(页).
因为不到三位的页数有99页,所以这本书共有:99+674=773(页).
解:99+(2211-189)÷3=773(页).
答:这本书共有773页.
例3 一本书的页码从1至62,即共有62页.在把这本书的各页的页码累加起来时,有一个页码被错误地多加了一次.结果,得到的和数为2000.问:这个被多加了一次的页码是几?
分析与解:因为这本书的页码从1至62,所以这本书的全书页码之和为
1+2+…+61+62
=62×(62+1)÷2
=31×63
=1953.
由于多加了一个页码之后,所得到的和数为2000,所以2000减去1953就是多加了一次的那个页码,是
2000-1953=47.
例4 有一本48页的书,中间缺了一张,小明将残书的页码相加,得到1131.老师说小明计算错了,你知道为什么吗?
分析与解:48页书的所有页码数之和为
1+2+…+48
=48×(48+1)÷2
=1176.
按照小明的计算,中间缺的这一张上的两个页码之和为1176-1131=45.这两个页码应该是22页和23页.但是按照印刷的规定,书的正文从第1页起,即单数页印在正面,偶数页印在反面,所以任何一张
上的两个页码,都是奇数在前,偶数在后,也就是说奇数小偶数大.小明计算出来的是缺22页和23页,这是不可能的.
例5 将自然数按从小到大的顺序无间隔地排成一个大数:123456789101112…问:左起第2000位上的数字是多少?
分析与解:本题类似于“用2000个数码能排多少页的页码?”因为(2000-189)÷3=603……2,所以2000个数码排到第99+603+1=703(页)的第2个数码“0”.所以本题的第2000位数是0.
例6 排一本400页的书的页码,共需要多少个数码“0”?
分析与解:将1~400分为四组:
1~100,101~200,201~300,301~400.
在1~100中共出现11次0,其余各组每组都比1~100多出现9次0,即每组出现20次0.所以共需要数码“0”
典型例题:
例1、13/1995 化成小数后是一个无限小数,问在这个无限小数的小数点后面,从第一位到1995位,在这1995个数中,数字6共出现了多少次?
解答:这是一个关于循环小数的周期问题。

基本解答方法是先算出循环节,然后再统计每个周期的数字总数和每个周期中6的个数。

13/1995=0.0065162907268170426……,循环节是065162907268170426共18位,
每个循环节数字6出现4次,(1995-1)÷18=110……14,前14位6出现3次,
所以一共有110×4+3=443个。

例2、有一本96页的书,中间缺了一张。

如果将残书的所有页码相加,那么可能得到偶数吗?
解:假设可能得到偶数,那么计算如下:
如果这本书不缺页,则总96页的所有页码之和是:1+...+96=4656。

由于书中的每一页都包括连续的一个奇数和一个偶数,所以每一页上的页码之和必定是奇数。

那么:残书页码和=4656(偶数)-奇数(一页上的两面页码之和)=奇数
综上所述:不可能得到偶数。

例3、将自然数按从小到大的顺序无间隔地排成一个大数:123456789101112…问:左起第1000位上
的数字是多少?
解:1~9页每页上的页码是一位数,共需数码1×9=9(个);
10~99页每页上的页码是两位数,共需数码2×90=180(个);
因为(1000-189)÷3=270……1,所以1000个数码排到第:
99+270+1=370(个)数的第1个数码“3”.
所以本题的第1000位数是3。

例4、有一本科幻故事书,每四页中,有一页为文字,其余三页为图画。

如果第一页为图画,那么第
二、三页也是图画,第四页为文字,第五、六、七页又为图画,依此类推。

如果第一页为文字,那么第二、
三、四页为图画,第五页为文字,第六、七、八页又为图画,依此类推。

试问:
(1)假如这本书有96页,且第一页是图画,那么这本书多少页有图画?
(2)假如这本书有99页,那么多少页有图画?
解:(1)将每4页看作是一组,每一组中有3页是图画:96÷4=24
24×3=72(页)
这本书有72页是图画。

(2)99÷4=24 (3)
24×3+3=75(页)
这本书有75页是图画。

【例1】小明和小智是两个数学爱好者,他们经常在一起探讨数学,一次,小明对小智说:“我有一本课外读物,它的页数是一个三位数,个位数字比百位数字大4,十位数字比个位数字也大4,这本课外读物有几页?”小智稍加思索就得出了正确答案,这个答案究竟是什么呢?
答案:195
【例2】一本科幻小说共320页。


(1)编印这本科幻小说共用了多少数字?
(2)数字0在页码中共出现了所少次?
解:(1)从1到320可分为一位数、两位数、三位数。

一位数:1~9页,有9个数,共9个数字
二位数:10~99页,有99-10+1个数,共用90×2=180个数字
三位数:100到320页,共有320-100+1=221个数,共用了221×3=663个数字。

所以,这本科幻书共用了9+180+663=852(个数字)
(2)32+30=60(个零)
【随堂练习】
五年级上学期数学课本共有131页。

在这本书的页码中:
(1)共用了多少数字?
(2)数字1在页码中共出现了几次?
答案:(1)285 (2)66
【例3】给一本书编页码,一共用了723个数字,这本书共有多少页?
解:723-9-180-303=231
231÷3=77(页)
【随堂练习】
排一本学生词典的页码共用了2925个数字,这本词典共有多少页?
答案:1008页
【例4】一本书的页码共有62页,在把这本书的各页的页码累加起来时,有一个页码多加了一次,得到的和数为2000,。

问:这个被多加一次的页码是多少?
解:2000-(1+2+3+…+62)=47
【随堂练习】
一本书的页码从1到80,共80页。

在把这本书的各页的页码累加起来时,有一个页码漏加了,结果得到的和数为3182。

问:这个被漏加的页码是多少?
【例5】一本书的页码共用了39个零。

问:这本书共有多少页?
解:208页
【随堂练习】
排一本书,它的页码中共出现了71个零,问这本书共有多少页?
400页
【巩固练习】
1.一本书从第1页开始编排页码,共用数字2355个,那么这本书共有多少页?
分析:按数位分类:一位数:1~9共用数字1*9=9个;二位数:10~99共用数字2*90=180个;
三位数:100~999共用数字3*900=2700个,所以所求页数不超过999页,三位数共有:2355-9-180=2166,2166÷3=722个,所以本书有722+99=821页。

2.上、下两册书的页码共有687个数字,且上册比下册多5页,问上册有多少页?
分析:一位数有9个数字,二位数有180个数字,所以上、下均过三位数,利用和差问题解决:和为687,差为3*5=15,大数为:(687+15)÷2=351个(351-189)÷3=54,54+99=153页。

3.从1、2、3、4、5、6、7、8、9、10这10个数中,任取5个数相加的和与其余5个数相加的和相乘,能得到多少个不同的乘积。

分析:从整体考虑分两组和不变:1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=55从极端考虑分成最小和最大的两组为(1+2+3+4+5)+(6+7+8+9+10)=15+40=55最接近的两组为27+28所以共有27-15+1=13个不同的积。

4、从1、2、3、4、
5、
6、
7、
8、
9、10这10个数中,任取5个数相加的和与其余5个数相加的和相乘,能得到多少个不同的乘积。

分析:从整体考虑分两组和不变:1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=55从极端考虑分成最小和最大的两组为(1+2+3+4+5)+(6+7+8+9+10)=15+40=55最接近的两组为27+28所以共有27-15+1=13个不同的积。

另从15到27的任意一数是可以组合的。

5、将所有自然数,自1开始依次写下去得到:12345678910111213……,试确定第206788个位置上出现
分析:与前面的题目相似,同一个知识点:一位数9个位置,二位数180个位置,三位数2700个位置,四位数36000个位置,还剩:206788-9-180-2700-36000=167899,167899÷5=33579……4所以答案为33579+100=33679的第4个数字7.
有一本90页的书被人撕掉一张,结果书上页码加起来和是4012,。

请问撕掉的是哪一张?
1+2+…+90-4012=83
(83-1)÷2=41
所以,页码是41和42的这张纸。

小数A=0.123 456 789 101 112 131 4…,在小数点后面第2010位上的数字是几?
(2010-1×9-2×90)÷3+90+9=706,是数字6
页码问题专项训练
页码个数所用数字的个数1到最大页码所用数字的个数
一位数9 1×9=9 9
两位数90 2×90=180 180+9=189
三位数900 3×900=2700 189+2700=2889
四位数9000 4×9000=360000 2889+36000=38889
例1:第七册数学课本共131页。

请大家计算一下:编写这本书的页码共用了多少个数码?
1、苏教版四年级数学书共有158页,编写这本数学书的页码共要用多少个数码?
2、一本科幻小说共668页,编印这本科幻小说的页码共要用多少数码?
3、一本小说共899页,编印这本小说的页码共要用多少个数码?
例2:一本小说的页码在印刷时必须用1989个铅字,这本书共有多少页?
1、排一本字典的页码共用了2004个数字,请你计算一下,这本词典有多少页?
2、一本小说的页码,编排时必须用2211个数码,问这本书共有多少页?
3、一本汉语词典从第一页到最后一页一共用了32277个数字,这本词典有多少页?
例3:一本书共有500页,问:数码0在页码中出现多少次?
1、一本书有608页,页码编号为1、
2、
3、。

608.问:数字“1”在页码中出现多少次?
2、一本书有500页,问数码“5”在页码中出现多少次?
例4、一本书的页码为1至62,即共有62页。

在把这本书的各页的页码累加起来时,有一个页码漏加了。

结果,得到的和数为1939。

问:这个被漏加的页码是几?
1、一本书有69页,小刚在把书的页码加起来的时候,有一个页码被错误地多加了一次,结果得到的和是2470.这个被误加的页码是多少?
2、一本儿童读物有108页,小明在把书的页码加起来的时候,有一个页码被错误地多加了一次,结果得到的和是5980.这个被误加的页码是多少?
例5:《现代汉语词典》共有1772页,如果把它的页码按从小到大的顺序无间隔地排成一个大数:1234567891011121314151617181920…,请问左起第2005位上的数字是多少?
1、将自然数按从小到大的顺序不间断地排成一个大数:12345678910111213…这个大数左起第1000位是几?
2、今年是2006年,如果把公元1年到今年的所有年份连续放在一起,组成一个很大的数:
1234567891011121314……2006。

这个很大的数是几位数?
例6、有一本童话故事书,每隔3页就有1页插图,也就是说3页文字前后各有1页插图。

假如这本童话故事书共有200页,第1页是文字,这本书共有文字多少页?
1、有一本图文并茂的寓言故事书共有302页,这本寓言故事书的第1页是文字,并且第2页文字前后各有1页插图。

这本寓言故事书共有插图多少页?
2、有一本童话故事书,每隔3页就有1页插图,也就是说3页文字前后各有1页插图。

假如这本童话故事书共有203页,第一页是文字,这本书有文字多少页?
3、有一本英汉对照读物,第1页是中文,每2页英文的前后各有1页中文可供对照阅读,在这本122页的对照读物中,共有英文多少页?。

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