专题2.29：整数(整除)性问题的研究与拓展

专题2.29：整数（整除）性问题的研究与拓展
【探究拓展】
探究1：（1）已知二项式，其中，且
，在其二项展开式中，若存在连续三项)1n
x n ∈N 20123≤≤n 的二项式系数成等差数列，问这样的n 共有多少个？
解：连续三项的二项式系数分别为、、（），由题意，依组1-k n C k n C 1+k n C 11-≤≤n k 112+-+=k n k n k n C C C 合数的定义展开并整理得，故，则024)14(22=-++-k n k n 298142,1+±+=k k n ，代入整理得，，，2)12(98+=+m k 222-+=⇒m m k 2)1(21-+=m n 222-=m n 1936442= ，故的取值为，，…，，共42个
2025452=n 2442-2432-232-（将所求参数求出，根据整数性质加以研究，尽量出现分式、根式等形式）
（2）已知，问是否存在正整数m ，n ，且1＜m ＜n ，使得T 1，T m ，T n 成等比数列？若)1
311(31+-=n T n 存在，求出m ，n 的值，若不存在，说明理由？
解：∴ ∴，31)1311(31<+-=n T n 13+=n n n T 1
3,411+==m m T T m 31n n T n =+ ∵成等比数列．∴ ，所以n m T T T ,,11211341)13(
2<+=+n n m m ⎪⎭⎫ ⎝⎛+∈2321,232-1m 又∵为正整数且，∴，n ＝16，且1<m <n ，使得成等比数列.
m 2≥m 2=m n m T T T ,,1（3） 已知数列是等差数列，，数列是等比数列，．{}n a 12315a a a ++={}n b 12327b b b =① 若．求数列和的通项公式；
1243,a b a b =={}n a {}n b ② 若是正整数且成等比数列，求的最大值．
112233,,a b a b a b +++3a （注：整数型问题一定要充分利用好条件中的整数进行求解）
解：（1）由题得，所以，从而等差数列的公差，所
225,3a b ==123a b =={}n a 2d =以，从而，所以．
21n a n =+349b a ==13n n b -=（2）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，则，，，.{}n a d {}n b q 15a d =-13b q
=35a d =+33b q =因为成等比数列，所以．
112233,,a b a b a b +++2113322()()()64a b a b a b +⋅+=+=设，，，
1133a b m a b n
+=⎧⎨+=⎩*,m n N ∈64mn =
则，整理得，.
3553d m q d q n ⎧-+=⎪⎨⎪++=⎩
2()5()800d m n d m n +-++-=解得（舍去负根）
.d =（预设提问：如何利用好m,n 是正整数实现对本题的研究是本题的难点）
，要使得最大，即需要d 最大，即及取最大值.，，35a d =+ ∴3a n m -2
(10)m n +-*,m n N ∈ 64mn =当且仅当且时，及取最大值.∴64n =1m =n m -2(10)m n +-从而最大的
所以，最大的
d =3a =探究2：（1）已知数列的通项公式为，是其前n 项的和，问是否存在正整数，使得
{}n a 21
2n n a -=n S n m ,成立？若存在，求出所有符合条件的有序实数对；若不存在，请说明理由. 1221
m
n m n S m S m +-<-+()n m ,解： ，由，得 12(1)124(1)1212n n n S -
==--1221m n m n S m S m +-<-+14(1)221214(1)2
m n m m m --<+--1<当时，分母小于0恒成立，化简可知不等式不可能成立，又因为是正整数，故 当4≥m m 3,2,1=m 1m =时，由得，，所以；当时，由得，，所以或；当时，()*2238n <⨯<1n =2m =()*22212n <⨯<1n =23m =由得，，所以或或，
()*2220n <<2n =34综上可知，存在符合条件的所有有序实数对为：．(,)m n (1,1),(2,1),(2,2),(3,2),(3,3),(3,4)拓展1：已知等差数列的公差d 不为0，等比数列的公比q 为小于1的正有理数，若，
}{n a }{n b 2
11,d b
d a ==且是正整数，则q 等于 ________. 321232221b b b a a a ++++12拓展2：m ∈N ，若函数存在整数零点，则m
的取值集合为
()210f x x m =-+________.
解：当x ∈Z ，且x ≤10时，Z ．若m =0，则x = -5为函数f (x )
的整数零点．
若m ≠0，则令
f (x )=0，得m N ．注意到-5≤x ≤10，且∈N ，得x ∈{1，6，9，10}，
此时m ∈{3，，14，30}．故m 的取值集合为{0，3，14，30}．223
拓展3：函数中，为负整数，则使函数至少有一个整数零点的所有的值
2()2(3)2f x ax a x a =--+-a a 的和为______________. -14
拓展4：设均为大于的自然数，函数，若存在实数使得b a ,1x b x g x b a x f cos )(),sin ()(+=+=m ，则. )()(m g m f =_____=+b a 2
==b a
拓展5：已知函数2()f x ax x =-,222*()(2)(,)g x x a x a Z b Z =-∈∈，
若存在0x ，使0()f x 为()f x 的最小值，0()g x 为()g x 的最大值，则此时数对(,)a b 为
_________.
解：由2()f x ax x =-知2
43013b b b -+-≥⇒≤≤，又b Z ∈得
1,2,3b =；而()f x 的最小值时0x 0()g x 为()g x 的最大值即20x a =
2a =得6a =243b b -+-得a =0或1，则此时数对(,)a b 为（1，2）拓展6：各项均为正偶数的数列a 1，a 2，a 3，a 4中，前三项依次成公差为d （d > 0）的等差数列，后三项依次成公比为q 的等比数列. 若，则q 的所有可能的值构成的集合为
. 4188a a -={}5837，【专题反思】你学到了什么？还想继续研究什么?。