【专业资料】新版高中数学人教A版选修1-1习题：第三章 导数及其应用 3.3.2 含解析

3.3.2函数的极值与导数
课时过关·能力提升
基础巩固
1.设x0为可导函数f(x)的极值点,则下列说法正确的是()
A.必有f'(x0)=0
B.f(x0)为极大值
C.f(x0)为极小值
D.f'(x0)可能不为0
2.已知可导函数f(x),x∈R有唯一极值,且当x=1时,f(x)存在极小值,则()
A.当x∈(-∞,1)时,f'(x)>0;当x∈(1,+∞)时,f'(x)<0
B.当x∈(-∞,1)时,f'(x)>0;当x∈(1,+∞)时,f'(x)>0
C.当x∈(-∞,1)时,f'(x)<0;当x∈(1,+∞)时,f'(x)>0
D.当x∈(-∞,1)时,f'(x)<0;当x∈(1,+∞)时,f'(x)<0
(x)在x=1时存在极小值,则当x<1时,f'(x)<0;当x>1时,f'(x)>0.
3.下列四个函数中,能在x=0处取得极值的是()
①y=x3;②y=x2+1;③y=x2-1;④y=2x.
A.①②
B.②③
C.③④
D.①③
为单调函数,不存在极值.
4.函数y=f(x)的定义域为(a,b),y=f'(x)的图象如图,则函数y=f(x)在开区间(a,b)内取得极小值的点有()
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
f'(x)=0的点,左侧f'(x)<0,右侧f'(x)>0时,该点为极小值点.观察题图,只有一个极小值点.
5.已知f (x )=x 3+ax 2+(a+6)x+1有极大值和极小值,则a 的取值范围为( )
A.-1<a<2
B.-3<a<6
C.a<-1或a>2
D.a<-3或a>6
(x )=3x 2+2ax+(a+6),
因为f (x )既有极大值又有极小值,
所以Δ=(2a )2-4×3×(a+6)>0,
解得a>6或a<-3.
6.已知f (x )=x 3-px 2-qx 的图象与x 轴切于(1,0),则f (x )的极值情况是( )
A.极大值为f (13
),极小值为f(1) B.极大值为f (1),极小值为f (13
) C.极大值为f (13),没有极小值
D.极小值为f (1),没有极大值
7.函数y=2x 3-6x 2-18x+7的极大值为 ,极小值为 .
(x )=6(x+1)(x-3),由f'(x )=0,得x=-1或x=3.
进而求得f (-1)是极大值,f (3)是极小值.
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8.函数f (x )=
a+lnx x (a ∈R )的极大值为 .
(x )=1-(a+lnx )x 2
, 令f'(x )=0,得x=e 1-a . 当x<e 1-a 时,f'(x )>0;
当x>e 1-a 时,f'(x )<0,
所以函数的极大值为f (e 1-a )=
1e 1-a =ea −1.
a-1
9.已知函数y=ax 3+bx 2,当x=1时,有极大值3,则a= ,b= .
3ax 2+2bx ,由题意,得当x=1时,y'|x=1=3a+2b=0,y|x=1=a+b=3,
即{3a +2b =0,a +b =3,解得a=-6,b=9.
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10.已知函数f(x)=x3-3x+c的图象与x轴恰有两个公共点,求c的值.
(x)=3x2-3,由f'(x)>0,得3x2-3>0,
解得x<-1或x>1;
由f'(x)<0,得3x2-3<0,解得-1<x<1.
∴f(x)在(-∞,-1)内单调递增,在(-1,1)内单调递减,在(1,+∞)内单调递增.
∴当x=-1时,f(x)取极大值c+2;当x=1时,f(x)取极小值c-2.
结合图象,要使函数f(x)的图象与x轴恰有两个公共点,则c+2=0或c-2=0,即c=-2或2.
能力提升
1.设函数f(x)在R上可导,其导函数为f'(x),且函数f(x)在x=-2处取得极小值,则函数y=xf'(x)的图象可能是()
,当x<-2时,f'(x)<0,∴xf'(x)>0;当-2<x<0时,f'(x)>0,∴xf'(x)<0.又当x=-2时,xf'(x)=0,x=0时,xf'(x)=0,故选C.
2.已知函数f(x)=x2-2(-1)k ln x(k∈N*)存在极值,则k的取值集合是()
A.{2,4,6,8,…}
B.{0,2,4,6,8,…}
C.{1,3,5,7,…}
D.N*
(x)=2x−2(-1)k
x =2[x2-(-1)
k]
x
,
若k为奇数,则f'(x)=2(x2+1)
x
>0,
f(x)在定义域内是增函数,无极值.
若k为偶数,则f'(x)=2(x 2-1)
x
.f(x)在(0,1)内单调递减,在(1,+∞)内单调递增,在x=1处取极小值.
3.若函数y=x3-3ax+a在(1,2)内有极小值,则实数a的取值范围是()
A.1<a<2
B.1<a<4
C.2<a<4
D.a>4或a<1
3x 2-3a ,当a ≤0时,y'≥0,函数y=x 3-3ax+a 为单调函数,不合题意,舍去;当a>0时,y'=3x 2-3a=0⇒x=±√a,不难分析,当1<√a <2,即1<a<4时,函数y=x 3-3ax+a 在(1,2)内有极小值.
4.函数y=x 3-6x+a 的极大值为 ,极小值为 .
3x 2-6,令y'=0,得x=±√2. 当x<−√2或x >√2时,y'>0;
当−√2<x <√2时,y'<0.
故函数在x=−√2时取得极大值a+4√2,在x =√2时取得极小值a-4√2.
4√2 a −4√2
5.若函数f (x )=a ln x+bx 2+3x 的极值点为x 1=1,x 2=2,则a= ,b= .
(x )=a x +2bx +3=2bx 2+3x+a x
. ∵函数的极值点为x 1=1,x 2=2,
∴x 1=1,x 2=2是方程f'(x )=2bx 2+3x+a
x =0的两根,也即2bx 2+3x+a=0的两根.
∴由根与系数的关系知{-32b =1+2,a =1×2,解得{a =-2,b =-1.
2 −12
★6.若函数f (x )=x 3+x 2-ax-4在区间(-1,1)内恰有一个极值点,则实数a 的取值范围
为 .
(x )=3x 2+2x-a.
∵f (x )在(-1,1)内恰有一个极值点,
∴f'(x )在(-1,1)内有一个变号零点,
∴f'(-1)f'(1)≤0,即(a-5)(a-1)≤0,∴1≤a ≤5. 当a=5时,由3x 2+2x-5=0,得x=1或x=−53,不合题意.当a=1时,由3x 2+2x-1=0,得x=-1或x =13,符合题意,∴1≤a<5.
7.已知函数f (x )=ax
(x+r )2(a >0,r >0).
(1)求f (x )的定义域,并讨论f (x )的单调性;
(2)若a
r =400,求f(x)在(0,+∞)内的极值.
由题意知x≠-r,所求的定义域为(-∞,-r)∪(-r,+∞).
f(x)=ax
(x+r)2=ax
x2+2rx+r2
,
f'(x)=a(x 2+2rx+r2)-ax(2x+2r)
(x2+2rx+r2)2
=a(r-x)(x+r)
(x+r)4
,
所以当x<-r或x>r时,f'(x)<0.当-r<x<r时,f'(x)>0.
因此,f(x)的单调递减区间为(-∞,-r),(r,+∞);f(x)的单调递增区间为(-r,r).
(2)由(1)的解答可知f'(r)=0,f(x)在(0,r)内单调递增,在(r,+∞)内单调递减.因此,x=r是f(x)的极大值点.
所以f(x)在(0,+∞)内的极大值为f(r)=
ar
(2r)2
=a
4r
=400
4
=100.
★8.当a为何值时,方程x3-3x2-a=0恰有一个实根、两个不等实根、三个不等实根?有没有可能无实根?
f(x)=x3-3x2,则f(x)的定义域为R.
由f'(x)=3x2-6x=0,得x=0或x=2,
所以当x<0或x>2时,f'(x)>0;
当0<x<2时,f'(x)<0.
函数f(x)在x=0处有极大值0,在x=2处有极小值-4.
如图,故当a>0或a<-4时,原方程有一个根;
当a=0或a=-4时,原方程有两个不等实根;
当-4<a<0时,原方程有三个不等实根;
由图象可知,原方程不可能无实根.。