2025届浙江省杭州市上城区建兰中学数学八上期末学业质量监测模拟试题含解析

2025届浙江省杭州市上城区建兰中学数学八上期末学业质量监
测模拟试题
测模拟试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。

将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。

2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

答案不能答在试题卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题(每小题3分,共30分)
1．下列长度的三条线段，不能组成三角形的是（ ）
A ．3，8，4
B ．4，9，6
C ．15，20，8
D ．9，15，8 2．在实数227-
、0、3-、506、π、5.75中，无理数的个数是（ ） A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个
3．如图，已知E ，B ，F ，C 四点在一条直线上，EB CF =，A D ∠∠=，添加以下条件之一，仍不能证明ABC ≌DEF 的是( )
A ．E ABC ∠∠=
B ．AB DE =
C ．AB//DE
D ．DF//AC
4．若a x ＝3，a y ＝2，则a 2x+y 等于（ ）
A ．18
B ．8
C ．7
D ．6
5．甲乙丙丁四个同学玩接力游戏，合作定成一道分式计算题，要求每人只能在前一人的基础上进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成计算，过程如图所示，接力中出现错误的是（ ）
A ．只有乙
B ．甲和丁
C ．丙和丁
D ．乙和丁
6．若216y y m ++是完全平方式，则m 的值为（ ）
A ．16
B ．25
C ．36
D ．64
7．某化肥厂计划每天生产化肥x 吨，由于采用了新技术，每天多生产化 肥3吨，因此实际生产150吨化肥与原计划生产化肥120吨化肥的时间相等，则下列所列方程正确的是（ ）
A ．1201503=+x x
B ．1201503=-x x
C ．1201503=+x x
D ．1201503
=-x x 8．在实数31,27,,16,8,052π--中，无理数的个数为（ ） A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个 9．在实数
22,0,2,73π-中，无理数有（ ） A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个
10．下列四个图案中，不是轴对称图形的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．观察下列关于自然数的式子：22422⨯-，22434⨯-，22446⨯-，22458⨯-，224610⨯-，…，根据上述规律，则第n 个式子化简后的结果是_____．
12．计算：2105⨯÷的结果是__________________．
13．若分式方程3211
x m x x =+++无解，则m ＝______. 14．若关于x 的分式方程
=3的解是负数，则字母m 的取值范围是 ___________ . 15．01(2)3--+=______；
16．一次函数y kx b =+（0k ≠，k ，b 是常数）的图像如图所示．则关于x 的方程4kx b +=的解是_______．
17．如图，若ABC ∆和DEF ∆的面积分别为1S 、2S ，则1S _____2S （用“>”、“=”或“<”来连接）．
18．一辆汽车油箱中现存油50L ，汽车每行驶100km 耗油10L ，则油箱剩余油量y ()L 与汽车行驶路程x ()km 之间的关系式是______________．
三、解答题(共66分)
19．（10分）计算：
（1）计算：201823(1)64(2)-+---
（2）因式分解x 2（x-2）+(2-x)
20．（6分）如图，在等边△ABC 的外侧作直线AP ，点C 关于直线AP 的对称点为点D ，连接AD ，BD ，其中BD 交直线AP 于点E （点E 不与点A 重合）．
（1）若∠CAP ＝20°．
①求∠AEB ＝ °；
②连结CE ，直接写出AE ，BE ，CE 之间的数量关系．
（2）若∠CAP ＝α（0°＜α＜120°）．
①∠AEB 的度数是否发生变化，若发生变化，请求出∠AEB 度数；
②AE ，BE ，CE 之间的数量关系是否发生变化，并证明你的结论．
21．（6分）甲、乙两人相约周末沿同一条路线登山，甲、乙两人距地面的高度y （米）与登山时间x （分钟）之间的函数图象如图所示，根据图象所提供的信息解答下列问题 （1）甲登山的速度是每分钟 米；乙在A 地提速时，甲距地面的高度为 米； （2）若乙提速后，乙的速度是甲登山速度的3倍；
①求乙登山全过程中，登山时距地面的高度y （米）与登山时间x （分钟）之间的函数解析式；
②乙计划在他提速后5分钟内追上甲，请判断乙的计划能实现吗？并说明理由； （3）当x 为多少时，甲、乙两人距地面的高度差为80米？
22．（8分）如图，在平面直角坐标系中，直线 1y x =+与 x 轴， y 轴分别交于A ，B
两点，点()1C m ，为直线 1y x =+上一点，直线1 2
y =- x b + 过点C ．
（1）求m 和b 的值；
（2）直线1
2
y x b =-+ 与 x 轴交于点D ，动点 P 在射线 DA 上从点D 开始以每秒 1 个单位的速度运动．设点 P 的运动时间为
t 秒； ①若ACP △的面积为S ，请求出 S 与
t 之间的函数关系式，并写出自变量 t 的取值范围；
②是否存在
t 的值，使得 2CPD ACP S S ∆∆=？若存在，请求出 t 的值；若不存在，请说明理由．
23．（8分）（1）计算：（﹣2a 2b ）2+（﹣2ab ）•（﹣3a 3b ）．
（2）分解因式：（a+b ）2﹣4ab ．
24．（8分）如图1，点M 为直线AB 上一动点，△PAB ，△PMN 都是等边三角形，连接BN ，
(1)M 点如图1的位置时，如果AM=5,求BN 的长；
(2)M 点在如图2位置时，线段AB 、BM 、BN 三者之间的数量关系__________________；
(3)M 点在如图3位置时，当BM=AB 时，证明：MN ⊥AB ．
25．（10分）八（1）班同学到野外上数学活动课，为测量池塘两端A 、B 的距离，设计了如下方案：
（Ⅰ）如图5-1，先在平地上取一个可直接到达A 、B 的点C ，连接AC 、BC ，并分别延长AC 至D ，BC 至E ，使DC=AC ，EC=BC ，最后测出DE 的距离即为AB 的长； （Ⅱ）如图5-2，先过B 点作AB 的垂线BF ，再在BF 上取C 、D 两点使BC=CD,接着过D 作BD 的垂线DE ，交AC 的延长线于E ，则测出DE 的长即为AB 的距离. 阅读后1回答下列问题：
（1）方案（Ⅰ）是否可行？说明理由.
（2）方案（Ⅱ）是否可行？说明理由.
（3）方案（Ⅱ）中作BF ⊥AB ，ED ⊥BF 的目的是 ；若仅满足∠ABD=∠BDE ≠90°, 方案（Ⅱ）是否成立？ .
26．（10分）已知ABC ∆中，90ACB ∠=︒，AC BC =，过顶点A 作射线AP .
（1）当射线AP 在BAC ∠外部时，如图①，点D 在射线AP 上，连结CD 、BD ，已
知21AD n =-，21AB n =+，2BD n =（1n >）.
①试证明ABD ∆是直角三角形；
②求线段CD 的长.（用含n 的代数式表示）
（2）当射线AP 在BAC ∠内部时，如图②，过点B 作BD AP ⊥于点D ，连结CD ，请写出线段AD 、BD 、CD 的数量关系，并说明理由.
参考答案
一、选择题(每小题3分,共30分)
1、A
【解析】A ，∵3+4＜8∴不能构成三角形；
B ，∵4+6＞9∴能构成三角形；
C ，∵8+15＞20∴能构成三角形；
D ，∵8+9＞15∴能构成三角形．
故选A ．
2、A
【解析】根据无理数的定义，即即可得到答案．
【详解】∵、π是无理数，227
-
、0、506、5.75是有理数， ∴无理数有2个，
故选A ．
【点睛】 本题主要考查无理数的定义，掌握无理数的定义，是解题的关键．
3、B
【分析】由EB=CF ，可得出EF=BC ，又有∠A=∠D ，本题具备了一组边、一组角对应相等，为了再添一个条件仍不能证明△ABC ≌△DEF ，那么添加的条件与原来的条件可形成SSA ，就不能证明△ABC ≌△DEF 了．
【详解】A.添加E ABC ∠∠=，根据AAS 能证明ABC ≌DEF ，故A 选项不符合题意．
B.添加DE AB =与原条件满足SSA ，不能证明ABC ≌DEF ，故B 选项符合题意；
C.添加AB//DE ，可得E ABC ∠∠=，根据AAS 能证明ABC ≌DEF ，故C 选项不符合题意；
D.添加DF//AC ，可得DFE ACB ∠∠=，根据AAS 能证明ABC ≌DEF ，故D 选项不符合题意，
故选B ．
【点睛】
本题考查了三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS 、SAS 、ASA 、AAS 、HL.注意：AAA 、SSA 不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
4、A
【分析】直接利用幂的乘方运算法则结合同底数幂的乘法运算法则求出答案．
【详解】解：∵a x =3，a y =2，
∴a 2x+y =（a x ）2×
a y =32×2=1． 故选：A ．
【点睛】
此题主要考查了幂的乘方运算以及同底数幂的乘法运算，正确掌握运算法则是解题关键．
5、C
【分析】直接利用分式的加减运算法则计算得出答案．
【详解】
23111x x x
---- ＝231x x --﹣11x - ＝3(1)(1)x x x -+-﹣1(1)(1)
x x x +-+ ＝31(1)(1)
x x x x ---+- ＝4(1)(1)
x x -+-， 则接力中出现错误的是丙和丁．
故选：C ．
【点睛】
此题主要考查了分式的加减运算，正确进行通分运算是解题关键．
6、D
【解析】根据完全平方公式进行计算即可．
【详解】解：22
162y 8+m ++=+⨯⨯y y m y ,
∴m=28
∴m=64
故选：D
【点睛】
本题是完全平方公式的应用；两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式．注意积的2倍的符号．
7、C
【分析】表示出原计划和实际的生产时间，根据时间相等，可列出方程．
【详解】解：设计划每天生产化肥x 吨，列方程得 120x ＝1503
x +． 故选：C ．
【点睛】
本题考查分式方程的应用，关键是掌握工程问题的数量关系：工作量=工作时间×工作效率，表示出工作时间．
8、B
【分析】根据无理数的概念逐一进行判定即可．
【详解】1
4,05
-=-=都是有理数，
2π
所以无理数有2个
故选：B ．
【点睛】
本题主要考查无理数，能够区别有理数与无理数是解题的关键．
9、C
【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
【详解】解：在实数22,0,73
π中，
无理数有，
3
π共2个. 故选C.
【点睛】 此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．
10、D
【解析】根据轴对称的概念对各选项分析判断即可得答案．
【详解】A.是轴对称图形，故该选项不符合题意，
B.是轴对称图形，故该选项不符合题意，
C.是轴对称图形，故该选项不符合题意，
D.不是轴对称图形，故该选项符合题意．
故选：D ．
【点睛】
本题考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
二、填空题(每小题3分,共24分)
11、()81n +
【分析】由前几个代数式可得，减数是从2开始连续偶数的平方，被减数是从2开始连续自然数的平方的4倍，由此规律得出答案即可．
【详解】∵22422⨯-①
22434⨯-②
22446⨯-③
22458⨯-④
224610⨯-⑤
∴第n 个代数式为：()()()2241281n n n +-=+ ．
故答案为：()81n + ．
【点睛】
本题考查了数字的变化规律，找出数字之间的运算规律，利用规律解决问题是解题的关键．
12、1
【分析】利用二次根式的计算法则正确计算即可．
2=
== 故答案为：1．
【点睛】
=
= 13、-3
【分析】先将分式方程化成整式方程，再将x=-1代入求出m 的值，即可得出答案. 【详解】3211
x m x x =+++ 3x=m+2(x+1)
∵分式方程无解
∴x=-1
将x=-1代入得：3×(-1)=m+2×(-1+1)
解得：m=-3
故答案为：-3.
【点睛】
本题考查的是解分式方程，难度中等，分析分式方程有增根是解决本题的关键.
14、m>-3且m≠-2
【解析】先解关于x 的分式方程，求得x 的值，然后再依据“解是负数”建立不等式求m 的取值范围．
【详解】原方程整理得：2x-m=3（m+1），
解得：x=-(m+3)，
∵x<0，
∴-（m+3）<0，即m>-3，
∵原方程是分式方程，
∴x≠-1，即-（m+3）≠-1，
解得：m≠-2，
综上所述：m 的取值范围是m>-3，且m ≠-2，
故答案为：m>-3，且m ≠-2
【点睛】
此题考查了分式方程的解，解答本题时，易漏掉分母不等于0这个隐含的条件，熟练掌握解分式方程的方法及分式有意义的条件是解题关键.
15、43
【分析】分别计算零指数幂和负指数幂，然后把结果相加即可．
【详解】解：01(2)3--+ =113+
=43
． 故答案为：
43． 【点睛】
本题考查零指数幂和负指数幂．理解任意非零数的零指数幂都等于0和灵活运用负指数幂的计算公式是解题关键．
16、x=1
【分析】根据一次函数y=kx+b 与y=4轴的交点横坐标即为对应方程的解．
【详解】∵一次函数y=kx+b 与y=4的交点坐标是（1，4），
∴关于x 的方程kx+b=4的解是：x=1
故答案为x=1．
【点睛】
本题主要考查了一次函数与一元一次方程的关系，理解两条直线交点的横坐标即为对应方程的解是解答本题的关键．
17、=
【分析】过A 点作AM BC ⊥,过F 点作FN DE ⊥，可证ABM FEN ∆≅∆，得到AM FN =，再根据面积公式计算即可得到答案.
【详解】解：过A 点作AM BC ⊥,过F 点作FN DE ⊥.
18014040FEN ∠=︒-︒=︒.
在ABM ∆与FEN ∆中.
FEN ABM FNE ABM AB EF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
.
ABM FEN ∆∴∆≌.
AM FN ∴=.
1142S BC AM AM ∴=⨯=,2142
S DE FN FN ∴=⨯=. 12S S ∴=.
故答案:=
【点睛】
本题主要考查了三角形的全等判定和性质，以及三角形的面积公式，灵活运用全等三角形的判定和性质是解题的关键.
18、y =50-0.1x
【分析】根据油箱剩余油量=油箱中现存-汽车行驶消耗的油量，即可得到答案．
【详解】由题意得：10÷ 100=0.1L/km ，
∴y =50-0.1x ，
故答案是：y =50-0.1x ．
【点睛】
本题主要考查一次函数的实际应用，掌握油箱剩余油量=油箱中现存-汽车行驶消耗的油量，是解题的关键．
三、解答题(共66分)
19、（1）-5；（2）(x-2)(x+1)(x-1)
【分析】（1）根据乘方的意义、立方根的定义和算术平方根的定义计算即可；
（2）先提取公因数，然后利用平方差公式因式分解即可．
【详解】解：（1）解：原式=1-4-2
=-5
（2）解：原式=（x-2）(x2-1)
=(x-2)(x+1)(x-1)
【点睛】
此题考查的是实数的混合运算和因式分解，掌握乘方的意义、立方根的定义、算术平方根的定义、利用提公因式法和公式法因式分解是解决此题的关键．
20、（1）①1；②CE+AE＝BE；（2）①1°；②结论不变：CE+AE＝BE，证明见解析【分析】（1）①证明AB＝AD，推出∠ABD＝∠D＝40°，再利用三角形的外角的性质即可解决问题．
②结论：CE+AE＝BE．在BE上取点M使ME＝AE，证明△BAM≌△CAE（SAS），推出BM＝EC可得结论．
（2）①结论：∠AEB的度数不变，∠AEB＝1°．证明方法类似（1）．
②结论不变：CE+AE＝BE．证明方法同（1）．
【详解】解：（1）①在等边△ABC中，AC＝AB，∠BAC＝1°，
由对称可知：AC＝AD，∠PAC＝∠PAD，
∴AB＝AD，
∴∠ABD＝∠D，
∵∠PAC＝20°，
∴∠PAD＝20°，
∴∠BAD＝∠BAC+∠PAC+∠PAD＝100°，
∴∠D＝1
2
（180°﹣∠BAD）＝40°，
∴∠AEB＝∠D+∠PAD＝1°．故答案为：1．
②结论：CE+AE＝BE．
理由：在BE上取点M使ME＝AE，
∵EM＝EA，∠AEM＝1°，
∴△AEM是等边三角形，
∴AM＝AE，∠MAE＝∠BAC＝1°，
∴∠MAB＝∠CAE，
∵AB＝AC，
∴△BAM≌△CAE（SAS），
∴BM＝EC，
∴CE+AE＝BM+EM＝BE．
（2）①结论：∠AEB的度数不变，∠AEB＝1°．理由：在等边△ABC中，
AC＝AB，∠BAC＝1°
由对称可知：AC＝AD，∠EAC＝∠EAD，
∵∠EAC＝∠DAE＝α，
∵AD＝AC＝AB，
∴∠D＝1
2
（180°﹣∠BAC﹣2α）＝1°﹣α，
∴∠AEB＝1﹣α+α＝1°．
②结论不变：CE+AE＝BE．
理由：在BE上取点M使ME＝AE，
∵EM＝EA，∠AEM＝1°，
∴△AEM是等边三角形，
∴AM＝AE，∠MAE＝∠BAC＝1°，
∴∠MAB＝∠CAE，
∵AB＝AC，
∴△BAM≌△CAE（SAS），
∴BM＝EC，
∴CE+AE＝BM+EM＝BE．
【点睛】
本题属于三角形综合题，考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
21、（1）10，1；（2）①
15(02)
3030(211)
x x
y
x x
≤≤
⎧
=⎨
-<≤
⎩
，②能够实现．理由见解析；（3）
当x为2.5或10.5或3时，甲、乙两人距地面的高度差为80米．
【分析】（1）由时间，速度，路程的基本关系式可解；
（2）①分段代入相关点的坐标，利用待定系数法来求解即可；
②分别计算甲乙距离地面的高度再比较即可；
（3）求出甲的函数解析式，分0≤x≤2时，2＜x≤11时，11＜x≤20时来讨论即可求解．
【详解】（1）甲登山的速度为：（300﹣2）÷20＝10米/分，2+10×2＝1米，
故答案为10，1．
（2）①V乙＝3V甲＝30米/分，
t＝2+（300﹣30）÷30＝11（分钟），
设2到11分钟，乙的函数解析式为y ＝kx +b ，
∵直线经过A （2，30），（11，300），
∴30230011k b k b =+⎧⎨=+⎩解得3030k b =⎧⎨=-⎩
∴当2＜x ≤11时，y ＝30x ﹣30
设当0≤x ≤2时，乙的函数关系式为y ＝ax ，
∵直线经过A （2，30）
∴30＝2a 解得a ＝15，
∴当0≤x ≤2时，y ＝15x ，
综上，15(02)3030(211)x x y x x ≤≤⎧=⎨-<≤⎩
②能够实现．理由如下：
提速5分钟后，乙距地面高度为30×7﹣30＝180米．
此时，甲距地面高度为7×10+2＝170米．180米＞170米，所以此时，乙已经超过甲． （3）设甲的函数解析式为：y ＝mx +2，将（20，300）代入得：300＝20m +2 ∴m ＝10，
∴y ＝10x +2．
∴当0≤x ≤2时，由（10x +2）﹣15x ＝80，解得x ＝4＞2矛盾，故此时没有符合题意的解；
当2＜x ≤11时，由|（10x +2）﹣（30x ﹣30）|＝80得
|130﹣20x |＝80
∴x ＝2.5或x ＝10.5；
当11＜x ≤20时，由300﹣（10x +2）＝80得x ＝3
∴x ＝2.5或10.5或3．
∴当x 为2.5或10.5或3时，甲、乙两人距地面的高度差为80米．
【点睛】
本题是一道一次函数的综合试题，考查了行程问题中路程＝速度×时间的关系变化的运用，待定系数法求一次函数的解析式的运用，图象的交点坐标的求法．在解答中注意线段的解析式要确定自变量的取值范围．
22、（1）2m =，52b =；(2) ①6(06)6(6)t t S t t -≤≤⎧=⎨->⎩
；②t 的值为4或1． 【分析】（1）把点()1
C m ，代入直线1y x =+中求得点C 的坐标，再将点C 的坐标代
入直线12
y x b =-+即可求得答案； (2) ①先求得点A 、D 的坐标，继而求得AD 的长，分两种情况讨论：当06t ≤≤、6t >时分别求解即可；
②先求得CPD S t ∆=，再根据①的结论列式计算即可．
【详解】（1）把点()1
C m ，代入直线1y x =+中得：112m =+=， ∴点C 的坐标为()1
2，， ∵直线12y x b =-
+过点C ， ∴1212b =-
⨯+， ∴52
b =； 故答案为：2，
52
； (2)由(1)得1522y x =-+，令0,5y x ==，则()50D ，， ∵直线1y x =+与x 轴交于A ，令0y =，1x =-，则点A 的坐标()10
，-， ∴()516AD =--=，
①当06t ≤≤时，6AP AD PD t =-=-，
11(16)2622
C S AP y t t =⨯=⨯-⨯=-， 当6t >时，6AP t =-， 11()2622C S AP y t b t =
⨯=-⨯=-， ∴综上所述，6(06)6(6)t t S t t -≤≤⎧=⎨->⎩
； ②存在，理由如下： ∵11222
CPD C S PD y t t ∆=⨯=⨯=， ①当06t ≤≤时，
2CPD ACP S S ∆∆=，6ACP S t ∆=- ∴2(6),t t =-
解得：4t =；
②当6t >时，
2CPD ACP S S ∆∆=，6ACP S t ∆=- ∴2(6)t t =-，
解得：12t =；
∴综上所述，t 的值为4或1时，使得
2CPD ACP S S ∆∆=． 【点睛】
本题考查的是一次函数综合运用，涉及到三角形的面积计算，要注意分类求解，避免遗漏．
23、（1）10a 4b 1；（1）（a ﹣b ）1．
【分析】1）先根据幂的乘方和积的乘方、单项式乘以单项式的运算法则计算，再合并同类项即可；
（1）先利用完全平方公式去括号合并同类项，进而利用完全平方公式分解因式即可．
【详解】解：（1）原式＝4a 4b 1+6a 4b 1
＝10a 4b 1；
（1）原式＝a 1+1ab+b 1﹣4ab
＝a 1﹣1ab+b 1
＝（a ﹣b ）1．
【点睛】
本题考查整式的运算和完全平方公式分解因式．解题的关键是运用幂的乘方和积的乘方、单项式乘以单项式的运算法则去括号，及熟练运用合并同类项的法则．能够正确应用完全平方公式．
24、（1）5；（2）AB+BM=BN ；（3）详见解析
【分析】（1）根据等边三角形的性质可得：∠APB =∠MPN ，PA=PB ，PM=PN ，然后即可利用SAS 证明△PAM ≌△PBN ，再利用全等三角形的性质即得结论；
（2）仿（1）的方法利用SAS 证明△PAM ≌△PBN ，可得AM=BN ，进一步即得结论； （3）根据等边三角形的性质、等腰三角形的性质和三角形的外角性质可得
∠BPM =∠PMB =30°，易知∠PMN =60°，问题即得解决．
【详解】解：（1）如图1，∵△PAB ，△PMN 都是等边三角形，
∴∠APB =∠MPN =60°，PA=PB ，PM=PN ，
∴∠APM =∠BPN ，
∴△PAM ≌△PBN (SAS) ，
∴AM=BN =5，∴BN 的长为5；
（2）AB+BM=BN；
理由：如图2，∵△PAB，△PMN都是等边三角形，
∴∠APB=∠MPN=60°，PA=PB，PM=PN，
∴∠APM=∠BPN，
∴△PAM≌△PBN(SAS) ，
∴AM=BN，即AB+BM=BN；
故答案为：AB+BM=BN；
（3）证明：如图3，∵△PAB是等边三角形，∴AB=PB，∠ABP=60°，
∵BM=AB，∴PB=BM，∴∠BPM=∠PMB，
∵∠ABP=60°，∴∠BPM=∠PMB =30°，
∵△PMN是等边三角形，∴∠PMN=60°，
∴∠AMN=90°，即MN⊥AB．
【点睛】
本题考查了等边三角形的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质以及三角形的外角性质等知识，属于常考题型，熟练掌握上述基本知识是解题的关键．
25、（1）见解析；（2）见解析；（3）∠A BD=∠BDE=90°，成立.
【解析】（1）由题意可证明△ACB≌△DCE，AB=DE，故方案（Ⅰ）可行；
（2）由题意可证明△ABC ≌△EDC ，AB=ED ，故方案（Ⅱ）可行；
（3）方案（Ⅱ）中作BF ⊥AB ，ED ⊥BF 的目的是∠ABD=∠BDE ；若仅满足∠ABD=∠BDE≠90°，仍可以证明△ABC ≌△EDC ，则也可得到AB=ED ．
【详解】（1）在△ACB 和△DCE 中
∵AC=DC
∠ACB=∠DCE
BC=EC
∴△ACB ≌△DCE(SAS)
∴AB=DE ，
故方案（Ⅰ）可行；
（2）∵CB ⊥AB 、CD ⊥DE
∴∠ABC=∠EDC=90°
在△ABC 和△EDC 中
∵∠ABC=∠EDC
BC=DC
∠ACB=∠ECD
∴△ABC ≌△EDC (ASA)
∴ED=AB ，
故方案（Ⅱ）可行；
（3）作BF ⊥AB ，ED ⊥BF 的目的是 作∠ABC=∠EDC=90°；
如果∠ABD=∠BDE≠90°，仍可以利用ASA 证明△ABC ≌△EDC ，则也可得到AB=ED ． 故答案为：（1）见解析；（2）见解析；（3）∠ABD=∠BDE=90°，成立.
【点睛】
本题考查全等三角形的应用，关键是掌握全等三角形的判定与性质，证明三角形的全等是证明线段相等的一种重要方法．
26、（1）①详见解析；（2）2CD =
1n >）；（2）AD BD -=，理由详见解析.
【分析】（1）①根据勾股定理的逆定理进行判断；
②过点C 作CE ⊥CD 交DB 的延长线于点E ，利用同角的余角相等证明∠3=∠4，∠1=∠E ，进而证明△ACD ≌△BCE ，求出DE 的长，再利用勾股定理求解即可. （2）过点C 作CF ⊥CD 交BD 的延长线于点F ，先证∠ACD=∠BCF ，再证
△ACD ≌△BCF ，得CD=CF ，AD=BF ，再利用勾股定理求解即可.
【详解】（1）①∵()()()22222222212214AD BD n n n n n +=-+=-++ ()()22
222211n n n =++=+ 又∵()2
221AB n =+
∴222AD BD AB +=
∴△ABD 是直角三角形
②如图①，过点C 作CE ⊥CD 交DB 的延长线于点E ，
∵∠3+∠BCD=∠ACD=90°，∠4+∠BCD=∠DCE=90°
∴∠3=∠4
由①知△ABD 是直角三角形
∴1290∠+∠=︒
又∵290E ∠+∠=︒
∴∠1=∠E
在ACD ∆和BCE ∆中，
A 34E AC BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴△ACD ≌△BCE
∴CD CE =，AD BE =
∴221DE BD BE BD AD n n =+=+=+-
又∵CD CE =，90DCE ∠=︒ ∴由勾股定理得222DE CD DE CD =+= ∴22CD =222222
n =+-（1n >） （2）AD 、BD 、CD 的数量关系为：2AD BD CD -=，
理由如下：
如图②，过点C 作CF ⊥CD 交BD 的延长线于点F ，
∵∠ACD=90°
+∠5，∠BCF=90°+∠5 ∴∠ACD=∠BCF
∵BD ⊥AD
∴∠ADB=90°
∴∠6+∠7=90°
∵∠ACB=90°
∴∠9=∠8=90°
又∵∠6=∠8
∴∠7=∠9
ACD ∆和BCF ∆中
97AC BC
ACD BCF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
∴△ACD ≌△BCF
∴CD=CF ，AD=BF
又∵∠DCF=90°
∴由勾股定理得222DF CD CF CD =+=
又DF=BF-BD=AD-BD ∴2AD BD CD -=
【点睛】
本题考查的是三角形全等、勾股定理及其逆定理，掌握三角形全等的判定方法及勾股定理及其逆定理是关键.。