合肥工业大学高数下部分课后习题参考答案

1 x2 y2
,
y z ； y x 2 y 2 x x 2 y 2
（4）
z z xy y 2 (1 xy ) y 1 , (1 xy ) y [ln(1 xy ) ]． x y 1 xy

1 2 3 2 1 ， ， ；与 AB 平行的单位向量 , , . 3 3 4 2 2 2
8. 9 ， 5k . 9. A 2,3, 0 .
8 5 1 10. , , . 3 10 3 10 3 10
2 y2 2 y z 2 0, 10. x 0.
5
2 z2 2 11. Dxy x, y x 1 y 1 ； Dyz y, z 1 y 1 ； 2

2
2

Dzx x, z x z 2x .
（4） f ( x y, x y, xy ) ( x y ) x y ( xy ) 2 x ； （5） f ( x, y )
x 2 (1 y ) ． 1 y
4． f (u ) u 2 2u ， z z ( x, y ) x y 1 ．
（1） D {( x, y ) | y x y} ； （2） D {( x, y ) | x 0, y x, x 2 y 2 1} ； 5． （3） D {( x, y ) | x 2 y 2 4, y x } ； （4） D {( x, y, z ) | x 2 y 2 z 2 1, z x 2 y 2 } ．
2
2； （5） . 3
2. （1） B ； （2） C ； （3） C ； （4） D . 3. （1） 2 ； （2） 5 或 1 . 4. x 2 y 1 0 . 5. x 2 y 2z 10 0
或
4 y 3z 16 0 .
6.
x 1 4t , y t , z 2 3t.
x 1 y z 2 ， 2. 4 1 3
x y 1 z 2 . 3 1 2
3.
2
17 x 31y 37 z 117 0, 4. 4x y z 1.
2 1 1 12. 10 , , . 2 2 2
习题 8-2
2 2 1.（1） 30 ； （2） 35i 45 j 20k ； （3） arccos 9
.
（2） 2 3 ； （3） 2.（1） 2 ；
2 . 3
（4） y z 1 0 ； （5） x 3 y 0 .
1 2 2 2. cos ， cos ， cos . 3 3 3
3. 2 x y z 1 0 . 4.
0, 0, 2 或 0,0,

82 . 13
5. x 2 y z 4 0 或 x z 6 0 . 6. d 2 . 7. （1）两平面平行且距离为
部分习题参考答案
习题 8-1
1. 在 xOy, yOz, zOx 坐标面上的垂足坐标分别为 a, b, 0 、 0, b, c 、 a, 0, c ， 在 x 轴、 y 轴、 z 轴上垂足的坐标分别为 a, 0, 0 、 0, b, 0 、 0, 0, c . 2.
z 2 x2 1, y 1.
y 2 y 2 x 1 0, xOy 4. （1）在 面投影曲线方程： 在 yOz 面投影曲线方程： 0; z y 2 z 2 3z 1 0, x 0;
x z 1, 在 zOx 面投影曲线方程： y 0;
4 15 x y 0, 4 15 x y 0, 或 z 0 z 0.




7. N 0,5,2ຫໍສະໝຸດ .8.x 1 y 2 z 3 . 3 2 6
2 2 2 1 x y z , 2 9. k 2 ，交线为 y 2z.
3． （1）当 k 0 时，为椭圆抛物面，特别地当 k 1 时为旋转抛物面, 当 k 0 时，为抛物柱面，当 k 0 时，为双曲面； （2）当 k 0 时，为旋转单叶双曲面，当 k 0 时，为圆锥面，当 k 0 时， 为旋转双叶双曲面. （2）见图 8-5； 4.（1）见图 8-4；
5. 8x 9 y 22 z 59 0 . 6.
3 2 . 2
习题 8-5
1. （1）直线，平面； （2）抛物线，抛物柱面； （3）圆，圆柱面； （4）双曲线，双曲柱面. 2. （1）将 xOy 平面上双曲线 x2 y2 1绕 x 轴旋转一周；
（2）将 yOz 平面上直线 z y a 绕 z 轴旋转一周.
12. （1）见图 8-9；
（2）见图 8-10；


图 8-9
图 8-10
（3）见图 8-11；
（4）见图 8-12.
图 8-11 习题 9-1
图 8-12
1. （ 1 ）为有界开区域；聚点为集合 {(x, y ) | x 2 + y 2 1} ，边界点为集合 {(x, y ) | x 2 + y 2 =1} {(0, 0)} ；
3. 22 .
1
4.（1）
5. 10 . 6. arccos
1 25 （2） ； （3） d 5 . 15,12,16 ； 25 2
1 3 2 ， arccos ， arccos . 14 14 14
（2）共面. 8. （1）不共面； 9. 3 .
习题 8-3
1. （1） 3x 2 y z 3 0 ； （2） x 3 y 2 z 0 ； （3） 2 x y z 5 0 ；
（ 0 t 2 ）.
3. （1）取 B D 0 ， C 1 ，则平面 z 0 与圆锥面的截痕为一点 0,0,0 ；
（ 2 ）取 B C 1 ， D 0 ，则平面 y z 0 与圆锥面的截痕为一条直线
y z 0, x 0;
（3） 取 B 1 ，C D 0 ， 则平面 y 0 与圆锥面的截痕为两条直线
4
x2 y 2 1, （ 2 ） 在 xOy 面 投 影 曲 线 方 程 ： 在 yOz 面 投 影 曲 线 方 程 ： z 0;
z z y sin , x cos , 2 在 zOx 面投影曲线方程： 2 y 0. x 0;
习题 9-2
2． （1） ln 2 ； （2） 2 ； （3） e 1 ； （4） 0 ．
4． （1）函数的定义域为 D {( x, y ) | y 2 x} ，它在 D 内处处连续，抛物线 C : y 2 x 上的点均为它的间断点；
（2）函数在区域 D {( x, y ) | ( x, y ) (0, 0)} 内处处连续， O(0, 0) 是它的间断 点； （3）函数在全平面内处处连续； （4）函数 f ( x, y, z ) 的定义域为 {( x, y, z ) |1 x 2 y 2 z 2 4} ，在定义域 内 f ( x, y, z ) 处处连续，在球面 x 2 y 2 z 2 1 及 x 2 y 2 z 2 4 上函数间断．
2 ； （2）两平面相互垂直； 14 9 . 14
（3）两平面斜交，夹角 arccos
习题 8-4
1. （1）
x 3 y 2 z 1 x 4 y 2 z 1 x 1 y 2 z 2 ； （2） ； （3） . 4 2 1 2 1 5 3 2 1
AB 7 ， AC 7 ， BC 7 2 ; 等腰直角三角形.
14 3. M 0, 0, . 9
4. 5.
2x 6 y 6z 3 0 .
a b a b a b a b ； ； ； . 2 2 2 2
1 2 1 ， cos ； 7. AB 2 ； cos ， cos 2 2 2
图 8-4
图 8-5
（3）见图 8-6；
（4）见图 8-7.
图 8-6
图 8-7
3
习题 8-6
y 2 1 2 x, y 2 2 z 1, 1. 或 x z 1. x z 1.
3 x 2 cos t , x 1 cos t , 3 cos t , 2.（1） y sin t , （ 0 t 2 ）;（2） y 2 t z 2sin t 2 z 3sin 2
5.
Dxy x, y x2 y2 1 ； Dyz y, z y 2 z 2 y 2 , 1 y 1 ；

Dzx
x, z x
2
z 2 x , 1 x 1 .
2


总复习题八
1. （1） 4 ； （2） 3 ； （3） x 2 y 2 z 2 b 2 a 2 4b 2 x 2 y 2 ； （4）
1 1 边界点为圆弧 {(x, y ) | x 2 y 2 1, y } 及圆弧 {(x, y ) | x 2 ( y 1) 2 1, y } 的并 2 2 集．
x x2 y 2 （1）f ( ,1) ； （2）f (tx, ty ) t 2 f ( x, y ) ； （3）f ( x, f ( x, y )) 4 x 9 y ； 3． 2 xy y
习题 9-3
1． （1）
z z sec 2 ( x y ) y sin(2 xy ) , sec 2 ( x y ) x sin(2 xy ) ； x y
7
（2）
z y z x 2 , 2 ； 2 x x y y x y 2
（3）
z x
（ 2 ） 为 无 界 的 开 区 域 ； 聚 点 为 集 合 {(x, y ) | y x } ， 边 界 点 为 集 合
{(x, y ) | y x , x } ；
（3）为有界闭区域；聚点集合为该区域上所有点，边界点集合为三个直线
6
段 {(x, y ) | x 2, 0 y 2} 与 {(x, y ) | y 2, 0 x 2} 及 {(x, y ) | x y 2, 0 x 2} 的 并集； （4）为有界连通集合；聚点为 {(x, y ) | x 2 y 2 1} {(x, y ) | x 2 ( y 1) 2 1} ，
y 0, 和 z x
y 0, z x;
x2 y2 1, C 1 ，D 1 ， （4） 取B0， 则平面 z 1 与圆锥面的截痕为圆 z 1;
（ 5 ）取 B 1 ， C 0 ， D 1 ，则平面 y 1 与圆锥面的截痕为双曲线