四川省宜宾市2019届高三第二次诊断性考试数学(理)试题(解析版)

四川省宜宾市2019届高三第二次诊断性考试数学（理）
试题
一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）
1.设，则z的虚部为
A. 1
B. i
C.
D.
【答案】C
【解析】解：，
的虚部为．
故选：C．
直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．
2.已知集合，，则
A. B. C. 1， D. 0，1，
【答案】D
【解析】解：集合，
，
0，1，．
故选：D．
利用交集定义直接求解．
本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
3.一个袋子中有4个红球，2个白球，若从中任取2个球，则这2个球中有白球的概
率是
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】解：一个袋子中有4个红球，2个白球，
从中任取2个球，基本事件总数，
这2个球中有白球包含的基本事件个数，
这2个球中有白球的概率是．
故选：B．
从中任取2个球，基本事件总数，这2个球中有白球包含的基本事件个数，由此能求出这2个球中有白球的概率．
本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
4.已知焦点在x轴上的双曲线的渐近线方程是，则该双曲线的离心率是
A. B. C. 2 D.
【答案】B
第1页，共14页
【解析】解： 双曲线的焦点在x 轴上， 设双曲线的方程为
可得双曲线的渐近线方程是
结合题意双曲线的渐近线方程是 ，得
，可得 因此，此双曲线的离心率
． 故选：B ．
设双曲线的方程为设双曲线的方程为
，可得它的渐近线方程是
，结
合题意解出 ，再利用平方关系算出 ，根据离心率公式即可得出此双曲线
的离心率．
本题给出双曲线的渐近线方程，求双曲线的离心率，着重考查了双曲线的标准方程与简单几何性质等知识，属于基础题．
5. 若函数 ，且 的图象恒过点 ，则
A. 3
B. 1
C.
D. 【答案】C
【解析】解： 函数 ，且 的图象恒过点 ， ，且 ， 解得 ， ， ， 故选：C ．
根据题意利用指数函数的单调性和特殊点可得 ，且 ，求得m 和n 的值，可得 的值．
本题主要考查指数函数的单调性和特殊点，属于基础题．
6. 已知棱长都为2的正三棱柱 的直观图
如图，若正三棱柱 绕着它的一条侧棱所在直线旋转，则它的侧视图可以为
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】解：四个选项高都是2，
若侧视图为A，中间应该有一条竖直的实线或虚线．
若为C，则其中有两条侧棱重合，不应有中间竖线．
若为D，则长应为，而不是1．
故选：B．
根据所给视图，用排除法可得
本题考查三视图，主要是考查空间想象能力，为基础题．
7.在平行四边形ABCD中，M是DC的中点，向量，设，，
则
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】解：根据题意画图如下：
则，
，
，
故选：A．
本题主要是根据图形来找出所求向量与基底向量的关系，采用数形结合法能很快找到具体思路．
本题主要考查向量的减法和数乘运用，本题要画图更易于理解，属基础题．
8.设为等比数列的前n项和，若，，则的公比的取值
范围是
第3页，共14页
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】解：设等比数列的公比为q，则．
，，
，，
．
，解得．
综上可得：的公比的取值范围是：．
故选：A．
设等比数列的公比为q，则．，，可得，
，，解得q范围．
本题考查了等比数列的通项公式求和公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
9.已知三棱锥的四个顶点都在半径为2的球面上，，
平面ABC，则三棱锥的体积为
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】解：如图，
取BC中点D，连接AD，则，
设三角形ABC的中心为G，则，
又球O得半径为2，则，
则．
三棱锥的体积为．
故选：D．
由题意画出图形，求出三棱锥的高，则体积可求．
本题考查球的内接多面体与球的关系，考查空间想象能力和计算能力，是中档题．10.要得到函数的图象，可以将函数的图象
第5页，共14页
A. 向右平移
个单位 B. 向左平移
个单位 C. 向右平移
个单位
D. 向左平移
个单位
【答案】A
【解析】解：函数
的图象， 转换为：
， 将函数的图象向右平移
个单位， 得到
的图象．
故选：A ．
直接利用三角函数关系式的恒等变变换和图象的平移变换和伸缩变换的应用求出结果． 本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变变换，正弦型函数图象的平移变换和伸缩变换的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．
11. 过直线 上一点P ，作圆C ： 的切线，切点
分别为A 、B ，则当四边形PACB 面积最小时直线AB 的方程是
A. B. C. D. 【答案】B 【解析】解：根据题意，圆C ： 的圆心C 为 ，半径 ；
P 为直线 上一点，PA 、PB 为圆C 的切线，则 ， ，
则有 ， 则 四边形
，
则当 取得最小值时，四边形PACB 面积最小，此时CP 与直线 垂直， 且
，
则C 到AB 的距离
，
又由 ，则直线AB 与直线 平行，且设AB 的直线方程为 ， 则有
，
解可得： 或 舍 ，
则直线AB 的方程为 ； 故选：B ．
根据题意，分析圆C 的圆心与半径，由切线长公式可得 ，进而可得 四边形
，分析可得当 取得最小值时，四边形PACB 面积最小，此时CP 与直线 垂直，则有直线AB 与直线 平行，设AB 的直线方程为
，
由相似三角形的性质求出C 到AB 的距离d ，由点到直线的距离公式可得
，解可得m 的值，即可得答案． 本题考查直线与圆方程的应用，关键是分析“四边形PACB 面积最小”的条件．
12. 若关于x 的不等式
成立，则
的最小值是
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】解：令
，
，函数单调递增，
，函数单调递减，且 时，
，
绘制函数 的图象如图所示，
满足题意时，直线 恒不在函数 图象的下方， 很明显 时不合题意，当 时，令 可得：
， 故
取到最小值时，直线在x 轴的截距最大， 令 可得：
， 据此可得：
的最小值是 ． 故选：A ． 构造函数
，利用函数图象的性质数形结合确定
最小值即可．
本题主要考查导函数研究函数图象的性质，数形结合的数学思想，等价转化的数学思想等知识，属于中等题．
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13.数列中，若，，则______．
【答案】34
【解析】解：，
数列为等差数列，其公差，
，
，
，
，
故答案为：34
先判断数列的等差数列，再求出首项，即可求出答案．
本题考查饿了等差数列的定义和通项公式，属于基础题．
14.二项式的展开式中常数项是______．
【答案】
【解析】解：二项式的展开式的通项公式为，令，求得，
可得展开式中常数项是，
故答案为：．
在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于0，求出r的值，即可求得常数项．
本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．
15.已知奇函数是定义在R上的单调函数，若函数恰有
4个零点，则a的取值范围是______．
【答案】
【解析】解：，
是偶函数，
若恰有4个零点，
等价为当时，有两个不同的零点，
是奇函数，
由，
是单调函数，
，
即，
当时，有两个根即可，
当时，等价为，，
设ℎ，
要使当时，有两个根，
则，即，
即实数a的取值范围是，
第7页，共14页
故答案为：
利用函数与方程的关系，由函数的奇偶性和单调性，进行转化，利用参数分离法进行求解即可．
本题主要考查函数与方程的应用，利用参数分离法，结合数形结合是解决本题的关键．
16.已知直线与抛物线交于A、B两点，过B作x轴的平
行线交抛物线的准线于点M，O为坐标原点，若：：2，则______．【答案】
【解析】解：联立消去x得，
设，，则，
则，，
，，，O，M三点共线，
：：：2，
，
，
，
，
，
，，，，
故答案为：．
先证明A，O，M三点共线，再将面积比为1：2转化为：：2，由此求出A的坐标，再用斜率公式求出斜率．
本题考查准线与抛物线的位置关系的应用，考查转化思想以及数形结合思想的应用属中档题．
三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）
，，．
求边AB的长及的值；
若记，求的值．
【答案】解：，，
，
，，
中，由正弦定理可得，，
，
．
中由余弦定理可得，
由可得
，
．
【解析】由已知可求，中，由正弦定理可求AB，中由余弦定理，
可求
由可得，进而可求，进而根据二倍角公式，
可求，然后根据两角差的余弦公式即可求解
本题主要考查了正弦定理，余弦定理，二倍角公式及两角差的正弦公式的综合应用．
18.艾滋病是一种危害性极大的传染病，由感染艾滋病病毒病毒引起，它把人体
免疫系统中最重要的CD4T淋巴细胞作为主要攻击目标，使人体丧失免疫功能下表是近八年来我国艾滋病病毒感染人数统计表：
请用相关系数说明：能用线性回归模型拟合y与x的关系；
建立y关于x的回归方程系数精确到，预测2019年我国艾滋病病毒感染人数．
参考数据：；，，
，
参考公式：相关系数，
回归方程中，，．
第9页，共14页
【答案】解： 我国艾滋病病毒感染人数的折线图如图所示
，
，
，
．
故具有强线性相关关系．
，
，
．
当 时， ．
故预测2019年我国艾滋病感染累积人数为 万人． 【解析】 由所给的数据绘制折线图即可；
由题意计算相关系数来说明变量之间的相关关系即可；
首先求得回归方程，然后利用回归方程的预测作用进行预测即可．
本题主要考查线性回归方程的求解与预测作用，相关系数的计算与含义等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力．
19. 如图，四边形ABCD 是菱形， 平面ABCD ，
， 平面BDE ，G 是AB 中点． 求证： 平面BCF ； 若 ， ，求二面角 的余弦值．
【答案】证明： 设 ，连结OE ，OF ，
四边形ABCD 是菱形， 平面ABCD ， ， 平面BDE ， ， ， 平面ABCD ， 设 ， ， ，
以O 为原点，OA ，OB ，OF 所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系， 则 0， ，
， b ， ， 0， ， 0， ，
b，，0，，，
设平面BCF的法向量为y，，
则，取，得c，，
，平面BCF，
平面BCF．
解：设，，，，
，1，，，，
，，，
设平面ABE的法向量y，，
则，取，得，
设平面BDE的法向量y，，
则，取，得0，，
设二面角的平面角为，
则．
二面角的余弦值为．
【解析】设，连结OE，OF，推导出，平面ABCD，以O 为原点，OA，OB，OF所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明平面BCF．
求出平面ABE的法向量和平面BDE的法向量，利用向量法能求出二面角
的余弦值．
本题考查线面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．
20.已知点M到定点的距离和它到直线：的距离的比是常数．
求点M的轨迹C的方程；
若直线l：与圆相切，切点N在第四象限，直线与曲线C 交于A、B两点，求证：的周长为定值．
【答案】解：设由题意得，
为轨迹C的方程；
证明：法一：设，A到l的距设为d，，
，
，
，
，
第11页，共14页
，
，
同理，
，
的周长为定值10．
法二：设，，由题知，，
直线l：与圆相切，即，
把代入得
显然，
，
，
的周长为定值10．
【解析】由椭圆的定义可知：M的轨迹是以F为焦点，l为准线的椭圆，然后即可求得其方程．
法一：设，根据点到直线的距离和椭圆的定义即可求出，
法二，联立直线和圆的方程，可得m与k的关系式，再联立直线与椭圆方程，消去y，利用韦达定理，弦长公式，求出的三条边，即可求的周长．
本题考查椭圆，圆的基本知识和轨迹方程的求法以及三角形的周长的求法，解题时要注意公式的灵活运用，属于中档题．
21.已知函数．
当时，判断有没有极值点？若有，求出它的极值点；若没有，请说明理由；
若，求a的取值范围．
【答案】解：函数，则且，即函数的定义域为；
分
当时，，则，分
令，则，
当时，，为减函数，
，
0'/>，无极值点；
当时，0'/>，为增函数，
，
0'/>，无极值点；
综上，当时，没有极值点；分
由，得，即；
令ℎ，则ℎ；分当时，时；
时，
成立，即符合题意；分
当时，，；
当时，ℎ为减函数，ℎℎ，成立；
当时，ℎ为减函数，ℎℎ，成立；
即符合题意；分
当时，由，得，且；
设两根为，，，，
；
由0'/>，得，解集为，
ℎ在上为增函数，ℎℎ，
，不合题意；分
综上，a的取值范围是∞分
【解析】求出函数的定义域，计算时函数的导数，利用导数等于0判断函数是否有极值点；
由得，转化为，
设ℎ，利用导数讨论ℎ的单调性和极值，从而求出不等式成立时a
的取值范围．
本题考查了利用导数研究函数的单调性与极值的应用问题，也考查了不等式恒成立的应用问题，是难题．
22.在直角坐标系xOy中，抛物线C的方程为，以点O为极点，x轴
正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为，l与x轴
交于点M．
求l的直角坐标方程，点M的极坐标；
设l与C相交于A，B两点，若、、成等比数列，求p的值．
【答案】解：由，
得，，
的直角坐标方程．
令得点M的直角坐标为，
点M的极坐标为．
由知l的倾斜角为，
第13页，共14页
参数方程为，为参数代入，
得，
．
，
，
．
，
．
【解析】直接利用转换关系，把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换．利用的结论，进一步利用一元二次方程根和系数关系的应用求出结果．
本题考查的知识要点：参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．
23.设函数．
若关于x的不等式的解集为，求a，b的值；
若，求的最小值．
【答案】解：由得，，
当时，不合题意；
当时，，分
由已知得，，
综上，，分
分
当，
即时，有最小值，最小值是分
【解析】通过讨论b的范围，得到关于a，b的方程组，解出即可；
根据基本不等式的性质求出的最小值即可．
本题考查了解绝对值不等式问题，考查绝对值不等式的性质以及分类讨论思想，转化思想，是一道常规题．。