人教B版数学必修二1.1.4

剪影以表演故事的民间戏曲. 表演时，艺人们在白色幕布后面，一边操纵戏曲人
物，一边用当地流行的曲调唱述故事，同时配以打击乐器和弦乐，有浓厚的乡
土气息. 在河南、山西等地的农村，这种拙朴的民间艺术形式很受人们的欢迎.
皮影戏和太阳光照射成像都具备光线、不透明物体和投影面这些相同的条件. 皮
数
学 必
影戏中的成像与太阳光成像原理一样吗？
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第一章 立体几何初步
[解析] 根据原图形中平行于 x 轴或 x 轴上的线段长
度不变，原图形中平行于 y 轴或 y 轴上的线段长度减半，
由直观图可知，原图形为如图所示的平行四边形
O′A′B′C′，
且 O′A′＝2，O′B′＝4 2，
∴
SO′A′B′C′
＝
1 2
O′A′·O′B′
＋
1 2
B′C′·O′B′
新课标导学
数学
必修② ·人教B版
第一章
立体几何初步
1.1 空间几何体
1.1. 4 投影与直观图
1
自主预习学案
2
互动探究学案
3
课时作业学案
·
第一章 立体几何初步
自主预习学案
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第一章 立体几何初步
皮影戏，又称影子戏或灯影戏，是一种用灯光照射兽皮或纸板做成的人物
的平行投影(或象). 如果图形F上的所有点在平面α内关于直线l的平行投影构成图
形F′，则F′叫做图形F在α内关于直线l的__________. 平平面行α叫投做影__________，l叫
做投__射__面______.
投射线
数 学 必 修 ②
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第一章 立体几何初步
当图形中的直线或线段不平行于投射线时，平行投影都具有下述性质：
＝2＋
2.
人 教
4
B
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第一章 立体几何初步
命题方向3 ⇨空间几何体的直观图画法
典例 3 用斜二测画法画长、宽、高分别是 4、3、2 的长方体 ABCD－ A′B′C′D′的直观图. 导学号 92434133
[解析] (1)画x轴、y轴、z轴，三轴相交于点O，使∠xOy＝45°，∠xOz＝ 90°.
③空间图形经过中心投影后，直线变成直线，但平行线可能变成了相交的直
线；
④空间几何体在平行投影与中心投影下有不同的表现形式.
数
其中正确命题有 导学号 92434123 ( C )
学
必 修
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
② 人
[解析] 利用平行投影与中心投影的概念作判断. 可知②③④都正确，但①
(3)过 A、B、C、D 各点分别作 z 轴的平行线，并在这些平行线上分别截取长
度为 2 的线段 AA′、BB′、CC′、DD′.
(4)顺次连接 A′、B′、C′、D′各点，并加以整理(去掉辅
数 学
助线，将被遮挡的部分改为虚线)，就得到长方体的直观图.
必
修
②
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B
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＋ 2，由直观图的底角为 45°知，这个梯形为直角梯形；再由“竖取半”知，直
腰长为 2，故这个平面图形的面积为 S＝12×[1＋(1＋ 2)]×2＝2＋ 2，故选 D．
解法二：S
[1＋1＋
＝ 直观图
2
2]×
2 2＝
22＋1，
2＋1
数
学 必 修 ②
又∵S直观图＝ S平面图
42，∴S
＝ 平面图
2 2
为 1 的等腰梯形，则这个平面图形的面积是( D )
A．12＋
2 2
B．1＋ 2
C．5
D．2＋ 2
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第一章 立体几何初步
[解析] 解法一：根据平面图形的直观图的斜二测画法，所求平面图形为四
边形. 由“横不变”知，四边形为梯形，且上底边长为 1，容易求得下底边长为 1
修
②
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第一章 立体几何初步
1．投影与直观图 (1) 已 知 图 形 F ， 直 线 l 与 平 面 α 相 交 ( 如 图 所 示 ) ， __过__F_上__任__一__点__M__作__直__线___
_M__M__′平__行__于__l_，__交__平__面__α_于__点__M__′ ______，则点M′叫做点M的在平面α内关于直线l
教
B 版
错. 因为斜二测画法应用的是平行投影原理. 故选C．
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第一章 立体几何初步
2．下列光线所形成的投影，不是中心投影的是 导学号 92434124 ( A )
A．太阳光线
B．台灯的光线
C．手电筒的光线
D．路灯的光线
[解析] 太阳光线形成的投影是平行投影.
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⑤在同一直线或平行直线上，两条线段平行投影的比等于_这__两__条__线__段__的__比__.
(2)一个点光源把一个图形照射到一个平面上，这个图形的影子就是它在这
数 学
个平面上的_中__心__投__影___.
必 修 ②
(3)用来表示空间图形的平面图形叫做空间图形的__直__观__图____.
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B
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第一章 立体几何初步
2．斜二测画法规则： (1)在已知图形所在的空间中取水平平面，作互相垂直的轴Ox、Oy，再作Oz 轴，使∠xOz＝__9_0_°___，且∠yOz＝___9_0_°_____. (2)画直观图时，把Ox、Oy、Oz画成对应的轴O′x′、O′y′、O′z′，使∠x′O′y′＝ _______________，4∠5°x′(O或′z1′＝35_°__)____，其中x′O′y′所确90定°的平面表示水平平面.
①直线或线段的平行投影是__直__线__或__线__段____； ②平行直线的平行投影是_平__行__或__重__合__的__直__线___； ③平行于投射面的线段，它的投影_与__这__条__线__段__平__行__且__等__长___； ④与投射面平行的平面图形，它的投影___与__这__个__图__形__全__等_____；
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第一章 立体几何初步
(2)在 x′轴上以 O′为中点，取 B′C′＝BC(或在 Ox′正半轴上截取 O′C′＝OC. 负半轴上截取 O′B′＝OB)，再在 y′轴的正半轴上截取 O′A′ ＝12OA.
·
数
学
必
修
② 人
(3)连接 A′B′，A′C′即得△ABC 的直观图(如上图).
教
B
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数 学
＝12×2×4 2＋12×2×4 2＝8 2，故选 A．
必
修 ②
『规律方法』 在有关直观图的计算中要特别注意∠x′O′y′＝45°或135°，
人 教
及垂直长减半.
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第一章 立体几何初步
〔跟踪练习 2〕
导学号 92434132
一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为 45°，腰和上底长均
·
数
学 必
[解析] 由△AOB 的直观图可知，△AOB 的底边长为 4，高为 16，故 S△AOB
修
② 人 教
＝12×4×16＝32.
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第一章 立体几何初步
5．下列说法正确的是___②__③_____. 导学号 92434127
①直线或线段的平行投影仍为直线或线段；
②与投射面平行的平面图形，它的平行投影与这个图形一定全等；
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第一章 立体几何初步
6．用斜二测画法画一个正三角形的直观图. 导学号 92434128 [解析] (1)取BC中点O为原点，直线BC为x轴，直线OA为y轴，任取O′点， 画对应的x′轴，y′轴，使∠x′O′y′＝45°.
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第一章 立体几何初步
〔跟踪练习 1〕
导学号 92434130
用斜二测画法画出下图中的四边形 OABC 水平放置的直观图.
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第一章 立体几何初步
[解析] 如图所示，(1)画 x′轴，y′轴，使∠x′O′y′＝45°，(2)在 O′x′ 轴上取 D′、B′，使 O′D′＝OD，O′B′＝OB，在 O′y′轴上取点 C′， 使 O′C′＝12OC，在 O′x′轴下方过 D′作 D′A′∥O′y′，使 D′A′＝12 DA，(3)连接：连接 O′A′、A′B′、B′C′，所得四边形 O′A′B′C′就 是四边形 OABC 的直观图.
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第一章 立体几何初步
互动探究学案
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第一章 立体几何初步
命题方向1 ⇨水平放置平面图形直观图画法
典例 1 用斜二测画法画正五边形的直观图. 导学号 92434129 [解析] (1)建立如图①所示的直角坐标系xOy，再建立如图②所示的坐标系 x′O′y′，使∠x′O′y′＝45°；
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第一章 立体几何初步
3．如图所示为某一平面图形的直观图，则此平面图形可能是下图中的 导学号 92434125 ( A )
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数
学
必
修
②
[解析] 由直观图可知，原四边形一组对边平行且不相等，为梯形，且梯形
人
教 B
两腰不能与底垂直.
版
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第一章 立体几何初步
4．如图是△AOB 用斜二测画法画出的直观图，则△AOB 的面积为____3_2_____. 导学号 92434126
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第一章 立体几何初步
(3) 已 知 图 形 中 ， 平 行 于 x 轴 、 y 轴 、 z 轴 的 线 段 ， 在 直 观 图 中 ， 分 别 画 成 __平__行__于__x_′轴__、__y_′_轴__、__z′_轴__的__线__段_________，并使它们和所画坐标轴的位置关系与 已知图形中相应线段和原坐标轴的位置关系___相__同_____.
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第一章 立体几何初步
命题方向2 ⇨与直观图有关的计算问题
典例 2 如图，正方形 OABC 的边长为 2，它是水平放置的一个平面图形 的直观图，则原图形的面积是 导学号 92434131 ( A )
·
数
学
必
修
② 人
A．8 2
教 B
C．2 2
版
B．4 D．4(1＋ 2)
③平行四边形的平行投影可能为矩形；
④两平行直线的平行投影一定平行；
⑤如果一条长为 10 的线段的平行投影为 5，则长为 20 的线段的平行投影为
数 学
10.
必
修
②
人 教 B
版
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第一章 立体几何初步
[解析] 根据平行投影的性质可知，直线或线段与投影线平行时，其平行投 影为点，故①错误；②正确；当投影线和投射面成适当的角度，或改变图形相 对于投射面的位置时，平行四边形的平行投影可能为矩形，故③正确；两平行 直线的平行投影除平行外，还可能为两点或重合，故④错误；当两直线平行 时，两线段与其投影对应成比例，而题中两线段不一定平行，故⑤错误.
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第一章 立体几何初步
(2)在图①中作 BG⊥x 轴于 G，EH⊥x 轴于 H，在坐标系 x′O′y′中截取
O′H′＝OH，O′G′＝OG，O′A′＝12OA，O′F′＝12OF，过 F′作 C′D′

∥x′轴且 C′F′＝CF，F′D′＝FD.
(3)在平面 x′O′y′中，过 G′作 G′B′∥y′轴，且 G′B′＝12BG，过 H′
(4)已知图形中，平行于x轴和z轴的线段，在直观图中长度保持__不__变____， 平行于y轴的线段长度为__原__来__的__一__半__.
(5)画图完成后，擦去作为辅助线的坐标轴就得到了空间图形的直观图.
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第一章 立体几何初步
1．有下列说法：
①用斜二测画法画的直观图是在中心投影下画出来的图形. ②平行投影的投影线互相平行，中心投影的投影线相交于一点；
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第一章 立体几何初步
(2)以点 O 为中点，在 x 轴上取线段 MN，使 MN＝4；在 y 轴上取线段 PQ，
使 PQ＝32. 分别过点 M 和 N 作 y 轴的平行线，过点 P 和 Q 作 x 轴的平行线，设
它们的交点分别为 A、B、C、D，四边形 ABCD 就是长方体的底面 ABCD.
数 作 H′E′∥y′轴，且 H′E′＝12HE，连接 A′B′，B′C′、C′D′、D′E′、
学 必
E′A′，得五边形 A′B′C′D′E′为正五边形 ABCDE 的平面直观图.
修
②
人 教
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第一章 立体几何初步
『规律方法』 画平面图形的直观图的关键点 画水平放置的平面多边形的直观图的关键是确定多边形的顶点位置. 顶点位 置可以分为两类：一类是在轴上或与轴平行的线段上；另一类是不在轴上且不 在与轴平行的线段上，遇到这类顶点一般通过过此点作与轴平行的线段，将其 转化到与轴平行的线段上来确定.