《首发》江苏省南京市2016-2017学年高一下学期期末考试数学Word版含答案

南京市2016—2017学年度第二学期期末学情调研测试卷
高一数学 2017．06
注意事项：
1．本试卷共4页，包括填空题(第1题～第14题)、解答题(第15题～第20题)两部分．本试卷满分160分，考试时间120分钟．
2．答题前，考生务必将自己的学校、姓名和考试号填涂在答题卡上指定的位置．
3．答题时，必须用黑色字迹的0.5毫米签字笔写在答题卡上指定的位置，在其他位置作答一律无效．
4．本卷考试结束后，上交答题卡．
参考公式：
锥体的体积公式：V 锥体＝1
3
Sh ，其中S 为锥体的底面积，h 为锥体的高．
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．
上．．
1．直线y ＝3x －2的倾斜角大小为 ▲ ．
2．若数列{a n }满足a 1＝1，且a n ＋1＝2a n ，n ∈N *，则a 6的值为 ▲ ． 3．直线3x －4y －12＝0在x 轴、y 轴上的截距之和为 ▲ ． 4．在△ABC 中，若a ＝3，b ＝2，A ＝120°，则B 的大小为 ▲ ．
5．不等式x －1x ＋2＜0的解集为 ▲ ．
6．函数f (x )＝sin x －cos x 的最大值为 ▲ ．
7．若函数y ＝x ＋9
x ＋2，x ∈(－2，＋∞)，则该函数的最小值
为 ▲ ．
8．如图，若正四棱锥P —ABCD 的底面边长为2，斜高为5，
则该正四棱锥的体积为 ▲ ．
9．若sin(θ＋π3)＝513，θ∈(π6，2π
3
)，则cos θ的值为 ▲ ．
10．已知a ，b ，c 是三条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，那么下列命题中正确的序．．．．号．
为 ▲ ．
①若a ⊥c ，b ⊥c ，则a ∥b ；
②若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；
③若a ⊥α，b ⊥α，则a ∥b ； ④若a ⊥α，a ⊥β，则α∥β．
11．设等比数列{a n }的公比为q ，前n 项和为S n ．若S 3，S 2，S 4成等差数列，则实数q 的值为
▲ ．
12．已知关于x 的不等式(x －1)(x －2a )＞0(a ∈R )的解集为A ，集合B ＝(2，3)．若B A ，则a
的取值范围为 ▲ ．
13．已知数列{a n }满足a 1＝1，且a n ＋1－a n ＝2n ，n ∈N *．若
16λ
1＋a n
＋19≤3n 对任意n ∈N *都成立，则实数λ的取值范围为 ▲ ．
14．若实数x ，y 满足x ＞y ＞0，且
1x －y ＋8
x ＋2y
＝1，则x ＋y 的最小值为 ▲ ． 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内．．．．．．．．
作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）
已知sin α＝35，α∈(π
2，π)．
（1）求sin(π
6－α)的值；
（2）求tan2α的值．
16．（本小题满分14分）
如图，直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，CA ＝CB ，M ，N ，P 分别为AB ，A 1C 1，BC 的中点． 求证：（1）C 1P ∥平面MNC ；
（2）平面MNC ⊥平面ABB 1A 1．
已知三角形的顶点分别为A (－1，3)，B (3，2)，C (1，0)． （1）求BC 边上高的长度；
（2）若直线l 过点C ，且在l 上不存在到A ，B 两点的距离相等的点，求直线l 的方程．
18．（本小题满分16分）
如图，在圆内接△ABC 中，A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，满足a cos C ＋c cos A ＝2b cos B ． （1）求B 的大小；
（2）若点D 是劣弧AC ⌒
上一点，AB ＝3，BC ＝2，AD ＝1，求四边形ABCD 的面积．
某商场在一部向下运行的手扶电梯终点的正上方竖直悬挂一幅广告画．如图，该电梯的高AB 为4米，它所占水平地面的长AC 为8米．该广告画最高点E 到地面的距离为10.5米，最低点D 到地面的距离6.5米．假设某人的眼睛到脚底的距离MN 为1.5米，他竖直站在此电梯上观看DE 的视角为θ．
（1）设此人到直线EC 的距离为x 米，试用x 表示点M 到地面的距离； （2）此人到直线EC 的距离为多少米时，视角θ最大？
20．（本小题满分16分）
已知等差数列{a n }和等比数列{b n }，其中{a n }的公差不为0．设S n 是数列{a n }的前n 项和．若a 1，a 2，a 5是数列{b n }的前3项，且S 4＝16． （1）求数列{a n }和{b n }的通项公式； （2）若数列{4S n －1a n ＋t
}为等差数列，求实数t ；
（3）构造数列a 1，b 1，a 2，b 1，b 2，a 3，b 1，b 2，b 3，…，a k ，b 1，b 2，…，b k ，…．若该
数列前n 项和T n ＝1821，求n 的值．
南京市2016—2017学年度第二学期期末学情调研测试卷
高一数学参考答案及评分标准 2017.06
说明：
1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．
2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．
3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数，填空题不给中间分数．
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分． 1．60°
2．32
3．1
4．45°
5．(－2，1)
6． 2 7．4 8．8
3
9．53－1226
10．③④
11．－2
12．(－∞，1] 13．(－∞，－8] 14．25
3
二、解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．解：（1）因为sin α＝35，α∈(π
2
，π)，
所以cos α＝－1－sin 2α＝－4
5， …………………3分
所以 sin(π6－α)＝sin π6cos α－cos π
6sin α …………………5分
＝12×(－45)－32×3
5＝－4＋3 3 10． …………………7分
（2）因为tan α＝sin αcos α＝－3
4
， …………………9分
所以tan2α＝2tan α
1－tan 2α …………………12分
＝2×(－34)
1－(－34
)2
＝－24
7． …………………14分
16．证明：（1）方法1
连结MP ．
因为M ，P 分别是AB ，BC 的中点，
所以MP ∥＝1
2AC ．
…………………2分
又因为在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中， AC ∥＝
A 1C 1，且N 是A 1C 1的中点， 所以MP ∥＝C 1N ，
所以四边形MPC 1N 是平行四边形， 所以C 1P ∥MN ．
…………………4分
又因为C 1P ⊄平面MNC ，MN ⊂平面MNC ， 所以C 1P ∥平面MNC ．
…………………6分
方法2
连结AC 1，与CN 交于点D ，连结AP ，与CM 交于点E ，连结DE ．
在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AC ∥A 1C 1， 所以∠ACD ＝∠C 1ND ．
又因为∠ADC ＝∠C 1DN ，所以△ACD ∽△C 1ND ． 又因为N 为A 1C 1的中点，所以AD DC 1＝AC NC 1
＝2．
……………2分
在△ABC 中，E 为中线AP ，CM 的交点，
所以E 为△ABC 的重心，所以AE
EP ＝2，
所以
AD DC 1＝AE EP ，所以AD AC 1＝AE
AP
， 所以DE ∥C 1P ． …………………4分 又因为C 1P ⊄平面MNC ，DE ⊂平面MNC ， 所以C 1P ∥平面MNC ．
…………………6分
（2）在△ABC 中，因为CA ＝CB ，M 是AB 的中点，
所以CM ⊥AB ．
…………………8分
直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，B 1B ⊥平面ABC ，
因为CM ⊂平面ABC ，所以B 1B ⊥CM ． …………………10分 又因为B 1B ∩AB ＝B ，B 1B ，AB ⊂平面ABB 1A 1， 所以CM ⊥平面ABB 1A 1，
…………………12分
又CM ⊂平面MNC ，
所以平面MNC ⊥平面ABB 1A 1．
…………………14分 17．解：（1）因为k BC ＝2－0
3－1
＝1，
…………………2分
所以直线BC 的方程是y ＝x －1，即x －y －1＝0． …………………4分 所以A 到直线BC 的距离为d ＝|－1－3－1|
12＋(－1)2
＝52
2，
即BC 边上高的长度为52
2
．
…………………6分
（2）方法1
①若直线l 的斜率不存在，则l 的方程为x ＝1． 假设l 上存在一点P (1，y 0)到A ，B 两点的距离相等，
所以AP ＝BP ，即[1－(－1)]2＋(y 0－3)2＝(1－3)2＋(y 0－2)2，
解得y 0＝52，即存在点P (1，5
2)到A ，B 两点的距离相等，
所以此时直线l 不符合题意．
…………………8分
②若直线l 的斜率存在，设l 的方程为y ＝k (x －1)．
假设l 上存在一点P (x 0，k (x 0－1))到A ，B 两点的距离相等， 所以AP ＝BP ，
即[ x 0－(－1)]2＋[k (x 0－1)－3]2＝(x 0－3)2＋[k (x 0－1)－2]2，
…………………10分
化简得(8－2k ) x 0－3＋2k ＝0，(*)
(Ⅰ)若k ＝4，该方程(*)无解，即不存在点P 到A ，B 两点的距离相等，
所以此时直线l 符合题意．
此时直线l 的方程为y ＝4(x －1)，即y ＝4x －4． ………………12分 (Ⅱ)若k ≠4，则x 0＝2k －32k －8，即点P (2k －32k －8，5k
2k －8
)，
所以此时直线l 不符合题意． 综上，直线l 的方程为y ＝4x －4． …………………14分
方法2 k AB ＝
3－2－1－3
＝－1
4．
…………………8分
因为l 上不存在点到A ，B 两点的距离相等，所以l ⊥AB ，……………10分 所以k l ＝4，
…………………12分
所以直线l 的方程为y ＝4(x －1)，即y ＝4x －4． …………………14分
18．解：（1）方法1
设外接圆的半径为R ，则a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ，代入得 2R sin A cos C ＋2R sin C cos A ＝2×2R sin B cos B ，
…………………2分
即sin A cos C ＋sin C cos A ＝2sin B cos B ，所以sin B ＝2sin B cos B ． 因为B ∈(0，π)，所以sin B ≠0， 所以cos B ＝1
2
．
…………………4分 因为0＜B ＜π，所以B ＝π
3．
…………………6分
方法2
根据余弦定理，得a ·a 2＋b 2－c 22ab ＋c ·b 2＋c 2－a 2
2bc ＝2b ·cos B ， ……………2分
化简得cos B ＝1
2
．
…………………4分
因为0＜B ＜π，所以B ＝π
3． …………………6分
（2）在△ABC 中，AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos ∠ABC
＝9＋4－2×3×2×1
2
＝7，
所以AC ＝7．
…………………8分 因为A ，B ，C ，D 四点共圆，所以∠ADC ＝2π
3
．
…………………10分
在△ACD 中，AC 2＝AD 2＋CD 2－2AD ·CD cos ∠ADC ，
代入得 7＝1＋CD 2－2·CD ·(－1
2)，
所以CD 2＋CD －6＝0，
解得CD ＝2或CD ＝－3（舍）． …………………14分
所以S ABCD ＝S △ABC ＋S △ACD
＝12AB ·BC sin ∠ABC ＋1
2
AD ·CD sin ∠ADC ＝12×3×2×32＋12×1×2×3
2
＝23． …………………16分 19．解：（1）作MG ⊥CE 交于点G ，作NH ⊥AC 交于H ，则CH ＝GM ＝x ．
在Rt △BAC 中，因为AB ＝4，AC ＝8，所以tan ∠BCA ＝12
，
所以NH ＝CH ·tan ∠BCA ＝x
2
， …………………2分
所以MH ＝MN ＋NH ＝3＋x
2． ……………4分
（2）因为MH ＝GC ，
所以DG ＝DC －GC ＝DC －MH ＝5－x
2，
EG ＝EC －GC ＝EC －MH ＝9－x
2
．
在Rt △DGM 中，tan ∠DMG ＝DG
GM ＝5－x 2x ，
在Rt △EGM 中，tan ∠EMG ＝EG
GM ＝9－x
2x
，
…………………6分
所以tan θ＝tan ∠EMD ＝tan(∠EMG －∠DMG )
＝tan ∠EMG －tan ∠DMG
1＋tan ∠EMG ·tan ∠DMG
＝9－x 2x －5－x 2x 1＋9－x 2x ·
5－
x 2x
＝16x
5x 2－28x ＋180 …………………10分 ＝
16
5x －28＋
180
x
（0＜x ≤8）． 由x ＞0，得5x ＞0，180x ＞0，所以5x －28＋180
x
≥2
5x ·
180
x
－28＝32， 所以tan θ＝165x －28＋
180x ≤1
2
． …………………12分
当且仅当5x ＝180
x ，即x ＝6时取“＝”，且6∈(0，8]． …………14分
因为y ＝tan θ在区间(0，π
2
)上是单调增函数，
所以当x ＝6米时，tan θ取最大值1
2，此时视角θ取最大值．…………15分
答：此人到直线EC 的距离为6米时，视角θ最大． …………16分
20．解：（1）设等差数列{a n }的公差为d ．
因为a 1，a 2，a 5是数列{b n }的前3项，且S 4＝16，
所以⎩
⎪⎨⎪⎧(a 1＋d )2
＝a 1(a 1＋4d )，
4a 1＋4×32d ＝16， 因为d ≠0，所以解得⎩⎨⎧a 1＝1d ＝2
．
所以，a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n －1．
…………………2分
又b 1＝a 1＝1，b 2＝a 2＝3，故数列{b n }的公比q ＝3，
所以b n ＝b 1q n －1＝3n －1．
…………………4分
（2）方法1
由（1）可知S n ＝n 2．
因为数列{4S n －1a n ＋t }是等差数列，所以可设4S n －1
a n ＋t ＝an ＋
b ，其中a ，b ∈R ，
所以4n 2－1＝(2n －1＋t )(an ＋b )对任意n ∈N *都成立， …………6分 即(2a －4)n 2＋(at －a ＋2b )n ＋b (t －1)＋1＝0对任意n ∈N *都成立． 不妨设A ＝2a －4，B ＝at －a ＋2b ，C ＝b (t －1)＋1， 则An 2＋Bn ＋C ＝0对任意n ∈N *都成立． 取n ＝1，2，3，联立方程组可得
⎩⎪⎨⎪⎧A ＋B ＋C ＝0，
4A ＋2B ＋C ＝0，9A ＋3B ＋C ＝0，解得A ＝B ＝C ＝0， 即⎩
⎪⎨⎪⎧2a －4＝0，
at －a ＋2b ＝0，b (t －1)＋1＝0， 解得t ＝0或t ＝2．
…………………8分
令c n ＝4S n －1a n ＋t
，
①当t ＝0，c n ＝4S n －1
a n ＋0
＝2n ＋1．
因为c n ＋1－c n ＝2，所以{c n }是等差数列． ②当t ＝2，c n ＝4S n －1
a n ＋2
＝2n －1．
因为c n ＋1－c n ＝2，所以{c n }是等差数列． 综上，实数t 为0或2．
…………………10分
方法2
由（1）可知S n ＝n 2．
因为数列{4S n －1a n ＋t
}是等差数列， 所以4S 1－1a 1＋t ，4S 2－1a 2＋t ，4S 3－1a 3＋t
成等差数列， ………………6分 所以2×4S 2－1a 2＋t ＝4S 1－1a 1＋t ＋4S 3－1a 3＋t ，即2×153＋t ＝31＋t ＋355＋t
， 解得t ＝0或t ＝2．
…………………8分
令c n ＝4S n －1a n ＋t
， ①当t ＝0，c n ＝4S n －1a n ＋0＝2n ＋1． 因为c n ＋1－c n ＝2，所以{c n }是等差数列．
②当t ＝2，c n ＝4S n －1a n ＋2＝2n －1．
因为c n ＋1－c n ＝2，所以{c n }是等差数列．
综上，实数t 为0或2． …………………10分
（3）设从a 1到a k 各项的和为S ，
S ＝a 1＋a 2＋…＋a k ＋[b 1＋(b 1＋b 2)＋…＋(b 1＋b 2＋…＋b k －1)]． 因为b 1＋b 2＋…b k －1＝1＋3＋…＋3k －2＝1－3k －11－3
＝12(3k －1－1)， 所以S ＝k 2＋12
×(1＋3＋32＋…＋3k －1－k ) ＝k 2
＋12×(3k －12－k )＝k 2－k 2＋3k －14． …………………12分 当k ＝8时，S ＝1700＜1821．
当k ＝9时，S ＝4997＞1821． …………………14分 故T n －1700＝1821－1700＝121，
所以1＋3＋32＋…＋3m －1＝12
(3m －1)＝121，即3m ＝243， 解得m ＝5，
所以n ＝8＋(1＋2＋…＋7)＋5＝41．
…………………16分。