河北专升本极限练习题

河北专升本极限练习题
# 河北专升本极限练习题
## 一、选择题
1. 极限的概念：设函数 \( f(x) \) 在点 \( x_0 \) 的某个去心邻
域内有定义，如果存在常数 \( A \)，对于任意给定的正数
\( \epsilon > 0 \)，总存在正数 \( \delta > 0 \) 使得当 \( 0 < |x - x_0| < \delta \) 时，都有 \( |f(x) - A| < \epsilon \)，
则称 \( A \) 为函数 \( f(x) \) 当 \( x \) 趋于 \( x_0 \) 时的
极限。

2. 极限的运算法则：
- 极限的加法法则：\( \lim_{x \to x_0} [f(x) + g(x)] =
\lim_{x \to x_0} f(x) + \lim_{x \to x_0} g(x) \)
- 极限的乘法法则：\( \lim_{x \to x_0} [f(x) \cdot g(x)] =
\lim_{x \to x_0} f(x) \cdot \lim_{x \to x_0} g(x) \)
- 极限的除法法则：如果 \( \lim_{x \to x_0} g(x) \neq 0 \)，则 \( \lim_{x \to x_0} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\lim_{x \to
x_0} f(x)}{\lim_{x \to x_0} g(x)} \)
3. 无穷小的比较：设 \( f(x) \) 和 \( g(x) \) 都是当 \( x \)
趋于 \( x_0 \) 时的无穷小量，如果 \( \lim_{x \to x_0}
\frac{f(x)}{g(x)} = 0 \)，则称 \( f(x) \) 是比 \( g(x) \) 高
阶的无穷小量。

## 二、填空题
1. 函数 \( f(x) = x^2 \) 在 \( x \) 趋于 \( 0 \) 时的极限是
\( \lim_{x \to 0} x^2 = \) _________。

2. 函数 \( f(x) = \frac{1}{x} \) 在 \( x \) 趋于 \( +\infty \) 时的极限是 \( \lim_{x \to +\infty} \frac{1}{x} = \)
_________。

3. 函数 \( f(x) = \sin x \) 在 \( x \) 趋于 \( 0 \) 时的极限
是 \( \lim_{x \to 0} \sin x = \) _________。

## 三、解答题
1. 求函数 \( f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 1} \) 在 \( x \) 趋于
\( 1 \) 时的极限，并说明理由。

2. 已知 \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 \)，求
\( \lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{x} \)。

3. 判断函数 \( f(x) = x^3 - 3x \) 是否在 \( x \) 趋于无穷大时
有极限，并求出该极限。

## 四、证明题
1. 证明 \( \lim_{x \to 0} (1 + x)^{1/x} = e \)。

2. 证明 \( \lim_{x \to +\infty} (1 + \frac{1}{x})^x = e \)。

## 五、应用题
1. 某工厂生产的产品数量 \( N \) 随时间 \( t \) 的变化满足
\( N(t) = 100(1 - e^{-0.1t}) \)。

求 \( t \) 趋于无穷大时，产
品数量的极限。

2. 某药物在体内的浓度 \( C(t) \) 随时间 \( t \) 变化满足
\( C(t) = \frac{2}{t + 2} \)。

求 \( t \) 趋于无穷大时，药物浓
度的极限。

以上练习题涵盖了极限的基本概念、运算法则、无穷小的比较、具体函数的极限求解、以及极限在实际问题中的应用。

通过这些练习，可以帮助学生加深对极限概念的理解，掌握极限的求解方法，并能够灵活运用。