中国古代数学思想的重大突破及现代教育价值

中国古代数学思想的重大突破及现代教育价值□贾艳艳刘亚芹唐妍霞
【内容摘要】《新课标》要求在数学教学中渗透数学思想方法，加强对中华优秀传统文化的学习教育。

中国古代数学思想博大精深，在长期的发展过程中出现了数与形的概念、算法化的计算思想、极限思想以及数形结合思想等重大思想突
破。

这些数学思想在当代具有极高的教育价值，现代数学教学应该与古代优秀数学思想文化兼容并包。

【关键词】古代数学思想；极限思想；数形结合思想；现代教育价值
【基金项目】本文为河北北方学院教育教学改革研究项目“基于成果导向教育理念构建应用型高校数学课程考核与评价新模式”（编号：GJ2019025）和张家口市“十三五”教育科学规划课题“高中生数学运算素养的心理干预实证研究”（编
号：193109）成果。

【作者单位】贾艳艳，刘亚芹，唐妍霞；河北北方学院
数学思想是人类知识领域最富有理性魅力的科学，起着统帅和支撑数学科学发展的重要作用。

数学思想是数学的精髓，是创造的源泉，是发展的基础，是数学能力的集中体现。

中国古代数学发展自成体系，表现出了强烈的算法化倾向，提炼出的数学思想，几乎涵盖了义务教育阶段所需要学习的大部分数学思想，在当今时代有着很大的教育价值。

《新课标》中明确要求增加对“数学思想结构”和“数学思维能力”的培养，加强数学学科知识教育和中国优秀传统思想文化学习的有机结合，增强学生的民族文化自信。

在数学教学过程中要紧密联系生活实践，深刻理解数学精神，渗透重要数学思想方法，使学生增进对数学的理解和学好数学的信心，提高数学学习质量和数学能力。

一、中国古代重大数学思想突破
中国古代数学思想博大精深，极大地推动了中国乃至世界的数学教育和实践应用发展。

数学思想的形成和发展不仅是新思想在数量上的不断积累发展，而且在某些条件下还产生了一些根本性的重大飞跃进展，即质的突破。

（一）形成数与形的概念是对人类原始“数觉”和“形觉”的突破。

中国远古人类在长期的生产实践中逐渐形成了数与形的概念，初步掌握了甲骨文数字、筹算数码、规、矩的使用以及一些简单的数的运算方法，并积累了一些数学知识。

它们的产生标志着人类从蒙昧时代原始的“数觉”、“形觉”认识迈出了具有决定性意义的一步，抽象的“数”“形”概念及多种记数方式是社会生产实践活动中必不可少的数学工具，在实际生活中有着广泛的应用。

恩格斯曾给数学下过一个定义：“数学是研究现实世界中的数量关系和空间形式的科学”。

这是对数学的一个很好的概括，不管数学怎么发展，数学基本的研究对象都是数与形，这正是数学与实际生活的联系。

（二）算法化的计算思想是第二次思想突破。

算法化的计算思想是早期数学应用发展到一定阶段的必然产物。

中国古代数学中的算法思想，以实用为目的，具有直观性、机械化、代数化等特点，是我国古代数学思想演进和发展的核心，形成于整个中国古代数学科学的发展进程中。

中国古代在这一思想发展阶段的代表是《周髀算经》和《九章算术》。

《周髀算经》是现存的中国古典数学著作中最早的一部，主要的成就是勾股定理的发现、分数运算以及将数学应用到天文测量中。

《九章算术》是中国古代综合性的应用数学专著，是中国古代基本数学思想方法的集大成者。

不仅内容十分丰富，而且具有一些当时居于世界领先地位的课题。

例如最早系统叙述分数运算；一些比例问题的应用；方程问题；负数的引进以及加减法运算法则等，系统总结了战国、秦、汉时期的数学成就。

《九章算术》标志着以算法化为基础的中国古代应用数学综合体系的正式形成。

（三）极限思想、数形结合思想等在证明、推理中的出现是第三次数学思想的突破。

数形结合就是借助数的精确数量关系来解释形的特殊性质（即以数解形），或者是借助几何图形的直观生动性来说明数量之间的关系（即以形助数）。

使抽象的数学思维、语言和形象的思维相互作用，实现数学的抽象表达、直观的图形猜想及合情推理的相互转化，将数学的理性抽象逻辑和观察猜想结合起来研究数学问题。

极限思想就是用无限小的变化过程计算所研究对象的思想。

极限思想、数形结合思想为人们提供了解决问题的新思路和方法，能将复杂问题简单化，代表着人们数学思维方式的改变，是人类文明发展的必然结果。

中国古代的数学家刘徽在深入研究圆形的过程中，出现了“无限细分，无限求和”的极限思想，成就了“割圆术”理论，并据此得到圆的面积、周长以及圆周率的近似值。

刘徽的“割圆术”是数学发展历史上首次将无限小等极限分割思想引入数学推理证明，是微积分思想的萌芽。

数量与几何图形是数学中最重要的内容之一。

三国时代吴国的数学家赵爽在运用面积的出入相补证明勾股定理的过程中体现了以形证数、数形结合的思想，为中国古代“数形结合”树立了一个典范。

二、数学思想的教育价值
中国古代劳动人民通过理论联系实际，探索到了科学的思维规律，提炼出了所蕴含的特有的数学思想———算法思想、数形结合思想、极限思想，在当今数学教育领域仍然有着
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极高的教育价值。

（一）算法思想的教育价值。

算法是现代数学学习中的重要基本功之一，是计算的根本。

算法化的计算思想是现代人应具备的数学核心素养。

古代数学的算法思想接近现代算法化计算思想，若将典型的中国古代算法思想成果融入到现代中学数学教学中去，可以增强学生学习数学的兴趣，帮助其理解数学定义、概念等抽象知识结构，培养逻辑运算能力，提高学生的创新思维，培养学生的应用意识，能够体现数学课程的民族性，促进学生对现代算法思想的理解。

例如，在学习不定方程问题时引入“百鸡问题”这个很好的素材。

中国唐代算学教科书《张邱建算经》中著名的“百鸡问题”，原题为：“今有鸡翁一，直钱五；鸡母一，直钱三；鸡雏三，直钱一．凡百钱买鸡百者．问鸡翁、母、雏各几何？”
张邱建在书中给出的答案为：
鸡翁四，值钱二十．鸡母十八，值钱五十四．鸡雏七十八，值钱二十六．
鸡翁八，值钱四十．鸡母十一，值钱三十三．鸡雏八十一，值钱二十七．
鸡翁十二，值钱六十．鸡母四，值钱十二．鸡雏八十四，值钱二十八·
这实际上相当于求解不定方程组的问题。

13世纪意大利裴波那契《算经》、15世纪阿拉伯阿尔·卡西《算术之钥》中均出现了相同的问题。

“百鸡问题”可以理解为用现代数学三元一次方程组解决实际应用问题：
解：设可买到的鸡翁、鸡母、鸡雏的只数分别为x、y、z，利用题设已知总只数和总钱数两个条件，列出方程组：
x+y+z=100………①
5x+3y+z=100………
{②
利用消元思想消去z，使三元变为二元。

化简得
7x+4y=100，即y=100－7x
4
=25－
7
4
x………③
因为x、y、z必须为整数，所以x必须为4的倍数。

令x= 4t，其中t为正整数，则y=25－7t，z=75+3t。

由y=25－7t≥0可知0≤t≤3
所以，当t=0，1，2，3时，则原方程组的解为
x 1=4，y
1
=18，z
1
=78
x 2=8，y
2
=11，z
2
=81
x 3=12，y
3
=4，z
3
=84
x 4=0，y
4
=25，z
4
{=75
这四组解均满足题意，但是因为这是一道实际应用题，所以此题的答案为前三组，即一是可买鸡翁4只，鸡母18只，鸡雏78只；二是可买鸡翁8只，鸡母11只，鸡雏81只；三是可买鸡翁12只，鸡母4只，鸡雏84只。

上述“百鸡问题”的实质就是世界著名的不定方程问题，但“百鸡问题”追求实用，寓算于理，将生活中的实际问题抽象出来，建立数学模型，进行求解，并利用结果解决实际问题。

充分体现了数学知识来源于生活，并最终服务于生活。

算法思想在人们日常的生活和学习中应用非常广泛，中国古代算法思想在当今时代仍具有极大的教育价值。

（二）数形结合思想的教育价值。

在学习数学的过程中适当地渗透极限思想和数形结合思想，不仅可以降低某些复杂问题的解题难度，而且有利于探究和发现数学结论以及新的解题思路。

对于义务教育阶段数学知识的学习，运用数形结合的方法能更直观、更简单地理解数学公式、定理，揭示各种题目的内涵，从而激发学生的求知欲，让学生变得积极主动。

例如，三国时期的赵爽运用面积的出入相补证明勾股定理便是很好地应用了数形结合思想。

在教学“勾股定理”时，引导学生利用赵爽“勾股圆方图”证明“勾股定理”，将中国传统文化渗透到现代教学中。

图1图2
赵爽的“勾股圆方图”中，如图1、图2所示，以弦为边长的正方形ABCD是由4个相等的直角三角形再加上中间的那个边长为（b－a）的小正方形组成的。

每个直角三角形的面
积为
ab
2
，中间小正方形的面积为（b－a）2，则可得下面的等式：
ab
2
ˑ4+（b－a）2=c2
化简得：a2+b2=c2。

赵爽这一简洁优美又独具匠心的证明为勾股定理的发现和探索作出了特有的贡献，充盈着中国古代劳动人民的无穷智慧，发挥传统文化的正能量，铸就学生数学学习的成就感和文化自信。

（三）极限思想的教育价值。

通过极限思想的应用，有助于将静态的形式逻辑思维提升到动态的辩证发散逻辑思维。

通过利用极限思想向学生展示某些数学知识的形成过程，结合实践操作，破除思维定势，多角度思考问题，调动学生数学学习的积极性，激发学习兴趣，开阔眼界，提升创新能力。

例如，刘徽的“割圆术”是体现极限思想的典型。

在教学“圆的面积公式”，可以将“割圆术”作为计算圆的面积的基础，通过几何画板动态演示由圆内接正多边形不断变化去逐步逼近圆的生动过程，使学生直观感性认识这种无限小的分割思想思想，激发学生的学习兴趣，培养观察想象和分析能力，整体提高学生的数学核心素质。

三、现代教育意义
我国古代数学思想扎根于生活实践，体现着中国古代生产方式、生活方式和思维方式的特点。

蕴含着深厚的中国传统文化思想，是古代劳动人民的思想结晶，促进了中国古代经济和社会的发展。

现在悠久智慧的中国古代数学思想重新受到我国教育界的关注，许多教育学者开始对其进行深层地挖掘研究。

数学思想对理解数学知识的形成过程与应用、激发学生的数学思考、领略古代数学的思想精髓有着重要的作用。

同时这些思想在现代社会的生活中也发挥了许多重要的作用。

我国现代数学课程必须结合中华民族文化传统实施，激发学生的爱国主义热情、提高民族的自尊心与自信心。

因此，
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浅析席勒的美育思想
□乔博
【内容摘要】启蒙运动时，德国思想家弗里德里希·席勒（以下简称“席勒”）的《审美教育书简》（以下简称“《书简》”）吸收、改造了康德的美学思想，正式提出“审美教育”，成为人类第一部和审美教育有关的宣言书。

本文从分析席勒美学思
想的现代性入手，进而分析席勒给美学发展抛出的问题，即如何应对不可逆转的工具理性和审美异化。

并在探讨
席勒美育思想中国化的基础上，提出对美育发展和实践的新思考。

【关键词】审美教育；美育思想；审美异化；全面的人
【作者简介】乔博（1992．2 ），男，黑龙江佳木斯人；吉林师范大学硕士研究生；研究方向：美学
18世纪末，欧洲的资产阶级思想启蒙运动席卷各国，德国思想家席勒率先提出“审美教育”，在资产阶级政治革命、工业革命、世界经济市场化和和启蒙运动正在如火如荼地进行中，席勒已经敏锐地意识到资本主义社会在各个方面带给人的异化的征兆了。

在资本充斥的社会，一切社会机器机械钟表一样围绕着资本这个中心运转，可是一旦经济危机，人们却不能像修理钟表一样修理社会。

在这样的社会中，法律、宗教、习俗、劳动、娱乐、国家等，都处于若即若离的状态，这一状态在每个人的物质与精神层面、或者精神内部层面都无时无刻不在分离着人、撕裂着人和异化着人。

人被束缚着，席勒正是于此从社会艺术学的角度提出“审美教育”的方法论，希望每个人自由而全面的发展。

一、席勒美学思想的现代性
席勒认为，促进鉴赏力和美的教育（即美育）可以培养人的感性精神和理性精神，并使得两种看似矛盾的精神在整体上尽可能地无限趋近于“和谐”的状态［1］。

要明确的理解席勒的哲学和美学思想，还需要追本溯源地理解康德的哲学和美学思想，康德是欧洲大陆当时近一个世纪的思想启蒙运动的总结者和集大成者，同时，他又开启了德意志古典的繁荣。

康德认为时代正处于人类精神的转折点，从此人类便开始结束“自然状态”并进入“理性状态”。

康德的思想状态及其所存在的时代状态决定了康德的哲学和美学是为建立资产阶级的“理性王国”而直接服务的。

可是经历过各国各地激烈的革命后，看到革命中人们野蛮、暴力和疯狂的席勒开始反思真正的“自由王国”应该如何建立，最终他提出用审美和美的教育来弥合和修复人类的人性与兽性的矛盾，进入真正理性的道德状态。

启蒙运动最伟大的历史功绩是挖掘和培养人类的理性主义精神，可是现实的社会运转并不是像机械钟表一样，人类的理智和疯狂是一样的存在、一样的矛盾。

席勒深受启蒙思想和理性主义的影响，怀疑、批判康德的理论，从社会艺术学的角度提出美育，他把哲学思辨、审美理想和社会现实融合在一起进行思考，这是席勒对康德思想的继承、发展和超越。

正如康德在总结了他以往的哲学而提出自由意志宇宙规律的二律背反一样，席勒也开启了资本主义现代化与人性的分离和异化的现代性悖论，审美的乌托邦。

这一思维和认识范式从启蒙运动一直延续到现代主义和后现代主义，从黑格尔到马克思到韦伯再到西方马克思主义、法兰克福学派这一路对现代性的批判都是和席勒一脉相承的。

二、工具理性与审美异化
席勒认为，人类的冲动有三种：感性冲动、理性冲动和游戏冲动［2］。

而感性冲动和理性冲动是具有悖论性质的两种相互矛盾的冲动，它们矛盾只有通过游戏冲动的存在才能统一起来。

兽性、人性和神性三者的和谐统一需要审美性艺术的游戏，可是现实社会的运作和生产首先是以人的温饱性生存为前提的，因此，为了生存的人类常常在资本主义社会下
作为一名数学教师，促进中国古代数学思想和中学数学教育的适度对接和有机融合，必将促进学生对数学知识本质的深刻理解。

要充分挖掘“我国古代数学思想”的教育价值，积极引导广大教师、学生在数学教和学的过程中亲身感受“数学思想”的熏陶，促进数学思想与数学教育的结合，培养学生的民族自豪感和自主创新精神。

【参考文献】
［1］李文林．数学史概论（第三版）［M］．北京：高等教育出版社，2011
［2］吴炯圻，林培榕．数学思想方法———创新与应用能力的培养［M］．厦门：厦门大学出版社，2009［3］吴文俊．出入相补原理［A］．《九章算术》与刘徽［C］．1982［4］白尚恕．《九章算术》研究［A］．中国数学史研究（白尚恕文集）［C］．2008
［5］中华人民共和国教育部．义务教育数学课程标准（2011年版）［M］．北京：北京师范大学出版社，2012
［6］白淑珍．对极限思想的辩证理解［J］．中国校外教育，2008，2：40
［7］孙为曾，叶传发，蔡绍文．谈《张邱建算经》中百鸡问题增减术［J］．中学数学（湖北），1993，6：40 41
［8］王小林．有指导的再创造”：让“赵爽弦图”融入“勾股定理”教学［J］．教育研究与评论（中学教育教学），2018，8：88 90
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