高中数学精品课件：四种命题间的相互关系

3。定义3：四种命题形式:
原命题:
若 p, 则 q
逆命题:
若 q, 则 p
否命题:
若 p, 则 q
逆否命题:
若 q, 则 p
4。易发现四种命题之间的关系:
原命题
互逆
若p则q
互
逆命题
若q则p
互
否
否
否命题
若 p则 q
互逆
逆否命题
若 q则 p
注意：“互为”的含义;改写时先写成若p,则q形式
练习1:写出命题的逆命题、否命题、逆否命题，并 判定真假。
原命题: 若f (x) 是周期函数，则f (x) 是正弦函数； （假命题）
逆否命题:若 f (x)不是正弦函数，则f (x) 不是周期函数 （假命题）
原命题是真命题,它的逆否命题一定是真命题.
原命题是假命题,它的逆否命题一定是假命题.
小结:
原命题与逆命题，即互逆命题，未必同真假. 原命题与否命题，即互否命题，未必同真假. 原命题与逆否命题，即互逆否，一定同真假.
显而易见的矛 盾(如和已知 条件矛盾).
例 2.证明:若 p2 q2 2 ,则 p q ≤ 2 .
分析:直接证不好下手.
将“若 p2 q2 2 ,则 p q≤2 ”看成 原命题,由于原命题和它的逆否命题具有 相同的真假性，要证原命题为真命题，可 以证明它的逆否命题 “若 pq 2 ,则 p2 q2 2 ”为真命题.
（假命题）
原命题是真命题，它的逆命题不一定是真命题.
原命题是假命题，它的逆命题不一定是假命题.
探究2：如果原命题是真命题，那么它的否命 题一定是真命题吗？ 原命题:若同位角相等,则两直线平行. （真命题） 否命题:若同位角不相等,则两直线不平行（.真命题）
原命题:若f (x) 是正弦函数,则f (x) 是周期函数 （真命题）
即：四种命题的真假,有且只有下面四种情况:
原命题 逆命题 否命题 逆否命题
真
真
真
真
真
假
假
真
假
真
真
假
假
假
假
假
思考题：
判断命题：“若 x y 5 ，则 x 1或 y 4 ”的真假
练习 2:
（1）命题：“若 a=b，则(a-1)2=(b-1)2”及它的逆命题、否命
题、逆否命题中，真命题的个数为( B )
练习 “若ab≤0，则a≤0或b≤0 ”
写出这命题的逆命
题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假。
逆命题：若a≤0或b≤0 ，则ab≤0
假
否命题：若ab>0，则a>0且b>0
假
逆否命题：若a>0且b>0 ，则ab>0
真
如果一个命题很难判真假，可借助它的逆否命题来 判定，可能就会变得很简单。
同样地，在直接证明某一个命题为真命 题有困难时,可以通过证明它的逆否命题为 真命题,来间接证明原命题为真命题.
(1)原命题：若一个数是负数，则它的平方是正数； 真 逆命题：若一个数的平方是正数，则它是负数； 假
否命题：若一个数不是负数，则它的平方不是正数；假 逆否命题：若一个数的平方不是正数，则它不是负数.真
(2)原命题：若x2-3x+2=0,则x=2;
假
逆命题：若x=2,则x2-3x+2=0;
真
否命题：若x2-3x+2≠0,则x ≠2;
说明：对一些词语的否定
词语
等于 大于 小于 是
否定
≠ ≤ ≥ 不是
词语
任意的 所有的 且 都是
否定
存在某个 存在某个 或 不都是
至多有一个 至少有两个 至多有n个 至少有(n+1)个
至少有一个 一个都没有 至少有n个 至多有(n-1)个
求 证 ： 若 a 、 b 、 c R ， 且 x a2 2b 1 ， y b2 2c 1，z c2 2a 1 ，则 x 、y 、z 中 至少有一个不小于 0新疆
xyz(a1)2 (b1)2 (c1)2 0,这 与 (a1)2 (b1)2 (c1)2 ≥0 矛
盾，则假设不成立,∴
x
、
y
、
z
中至少有一个不小于
0 新疆 王新敞
奎屯
三、小结：
1。原命题与逆命题，即互逆命题，未必同真假.
原命题与否命题，即互否命题，未必同真假.
原命题与逆否命题，即互逆否，一定同真假. 2。对一些词语的否定
∴ p2 q2 2 .这与已Байду номын сангаас p2 q2 2 得证 矛盾
这表明原命题的逆否命题为真命题,从而原命 题也为真命题.
练习 3 答案：
证明:假设 x 、 y 、 z 均小于 0，即 x a 2 2b 1 0 ① ；
y b2 2c 1 0 ② ; z c2 2a 1 0 ③ ;∴由 ① +② +③得
王新敞 奎屯
例1、 写出命题“当abc=0时，则a=0或b=0或c=0”的逆命题、 否命题、逆否命题，并判断真假
解：原命题： 若abc=0，则a=0或b=0或c=0
真
逆命题：若 a=0或b=0或c=0 则 abc=0
真
否命题：若 abc 0 ，则 a 0且 b 0且c 0 真 逆否命题：若a 0 且b 0 且 c 0 ，则abc 0 真
真
逆否命题：若x ≠2,则x2-3x+2≠0.
假
二、新课： 探究1：如果原命题是真命题，那么它的逆命题 一定是真命题吗？ 原命题：等边三角形的三个内角相等.（真命题）
逆命题:三个内角相等的三角形是等边三角形.
（真命题）
原命题：若f (x) 是正弦函数,则f (x) 是周期函数.
（真命题）
逆命题:若f (x) 是周期函数,则f (x) 是正弦函数.
四种命题间的相互关系
一、复习回顾：
1。定义1：用语言、符号或式子表达的，可以判断真 假的陈述句叫做命题．分真命题，假命题
说明： 判断命题的两个基本条件：
①必须是一个陈述句； ②可以判断真假． 2。定义2：命题：“若p，则q”（或只要p就有q）， 命题中的p叫做命题的条件，q叫做命题的结论．
说明： 数学中有一些命题作适当改变，可写成“若p， 则q”的形式.
否命题:若f (x) 不是正弦函数,则f (x)不 是周期函数 （假命题）
原命题是真命题，它的否命题不一定是真命题.
原命题是假命题，它的否命题不一定是假命题.
探究3：如果原命题是真命题，那么它的逆否命题一定 是真命题吗？
原命题:若同位角相等,则两直线平行.
（真命题）
逆否命题:若两条直线不平行,则同位角不相（等真. 命题）
词语
否定
词语
否定
等于
≠
任意的 存在某个
大于
≤
所有的 存在某个
小于
≥
且
或
是
不是
都是
不都是
至多有一个 至少有两个 至多有n个 至少有(n+1)个 至少有一个 一个都没有 至少有n个 至多有(n-1)个
3．反证法证命题”若 p 则 q”的步骤:
1.假设结论的反面成立;即若┓q
2.由这个假．设．出发,经过正确的推理,导出矛 盾（纯粹的矛盾或判定已知条件不正确即 ┐p,从而得到若 p 则 q 的逆否命题若┐q 则 ┐p 成立，从而得原命题若 p 则 q 成立）
──这是一种很好的尝试,它往往具有 正难则反,出奇制胜的效果.
──它其实是反证法的一种特殊表现:从命 题结论的反面出发, 引出矛盾(证明已知条件不 成立),从而证明命题成立的推理方法.
反证法证命题”若 p 则 q”的一般步骤如下:
1.假设结论的反面成立;即若┓q
推理过程中一定要用到才行
2.由这个假．设．出发,经过正确的推理,导出矛 盾（纯粹的矛盾或判定已知条件不正确即 ┐p,从而得到若 p 则 q 的逆否命题若┐q 则 ┐p 成立，从而得原命题若 p 则 q 成立）
例 2.证明:若 p2 q2 2 ,则 p q ≤ 2 .
证明: 假设 p q 2 ,
假设原命题结 论的反面成立
则 ( p q)2 4 ,
∴ p2 q2 2 pq 4 , ∵ p2 q2 ≥ 2 pq ,
看能否推出矛盾(原 命题条件的反面成立)
∴ 2( p2 q2 ) 4 , ∴ p2 q2 2尝, 试成功得矛盾
(A)1
(B)2
(C)3
(D)4
（2）“△ABC 中，若∠C＝90°，则∠A、∠B 都是锐角”的
否命题是（ B ）
(A)△ABC 中，若∠C≠90°，则∠A、∠B 都不是锐角
(B)△ABC 中，若∠C≠90°，则∠A、∠B 不都是锐角
(C)△ABC 中，若∠C≠90°，则∠A、∠B 都不一定是锐角
(D)以上都不对