复变函数工科第五讲

2 ln 22 2ki
2 2 e2 2ki (k 0,1,2,)
四、 三角函数
1.三角函数的定义：
由于Euler公式，对任何实数x，我们有：
eix cos x i sin x,eix cos x i sin x
所以有
eix eix
eix eix
cos x
例2 计算 Ln(2 3i) 的值。
解 因为| 2 3i | 13，arg(2 3i) arctan 3 2
所以有:Ln(2 3i) ln 13 i(arctan 3 2k )
2
1 ln13 i(arctan 3 2k )
2
2
(k 0, 1, 2, )
第二章 §3 初等函数
一、指数函数
1 、指数函数定义
定义3.1 对于任何复数z=x+iy,规定
w ez exp z exiy ex (cos y i sin y) 欧拉公式：eiy cos y i sin y
注： 定义域为全平面
当 y ＝0 时，它即为实变量指数函数
解1 2 e
2Ln1 e
e 2 (ln 1 2ki)
2k
2i
cos(2k 2) i sin(2k 2) (k 0,1,2)
i e e e i
iLni
i[ln1i(argi 2k )]


2

2
k
(k 0,1,2,)
2 e e e 1i
事实上:
如果令z rei，w u iv，则由定义知道，
euiv rei ,所以有：
u ln r,v 2k (k 0,1,2,)
容易看到,u是单值的,而由幅角函数的多
值性知道,v是多值的；因为是z的
幅
角,所以
v 2k Argz,
w Lnz ln|z| iArgz, z 0
所以ln(1) ln1 i i
而 Ln(1) i 2ki (2k 1)i (k 0, 1, 2, )
又因为i 的模为1，而其辐角的主值为2 ，
所以 ln i ln1 i i ,
22
Ln
i


2
i

2k
i

(2k

12)
i
(k 0, 1, 2,)
w zn en en
1 i arg z2k
| z |n e n , (k 0,1, 2, , n 1)
3、当是0时, z0 e0Lnz e0 1;
4、当是有理数时，即 p ( p与q为互素
q 的整数，q 0）：
z e e p q
p q
Lnz
2
2i
即:cosz与sinz不再是有界函数,因此,|sinz|1和
|cosz|1在复数范围内不再成立.
(注意：这是与实变函数完全不同的)
3. 其他复变数三角函数的定义
正切函数 tan z sin z , cos z
余切函数 cot z cos z , sin z
正割函数 secz 1 , 余割函数 csc z 1 .
,sin x
,
2
2i
因此,对任何复数z,定义正弦函数和余弦函数
如下：
eiz eiz
eiz eiz
sin z
cos z
2i
2
例求cos i,sin (1 2i)
解 根据定义, 有
2.正弦与余弦函数的性质
(1) 当z x R时: sin z sin x,cos z cos x 是实三角函数.
(2) 正弦函数和余弦函数在复平面内都是解析函数. (sin z) cos z, (cos z) sin z.
(3) sin z 是奇函数, cos z 是偶函数.
sin(z) sin z, cos(z) cos z.
遵循通常的 三角恒等式， (1) 如
cos(z1 z2 ) cos z1 cos z2 sin z1 sin z2 , sin(z1 z2 ) sin z1 cos z2 cos z1 sin z2 , sin2 z cos2 z 1.
(1i )Ln2
(1i )[ln 2i(arg 22k )]
(1i )[ln22k i )]
e e ln 22kii ln 22k
(ln 22k )i(ln 22k )
2e2k (cos ln 2 i sinln 2) (k 0,1,2,, )
e e
i[
e
0(1i (i2)[l2nk2 )]2kei ]
2
2k
(lnk220k, i1i,ln22,2k)
e(ln 22k )i(ln 22k )
2e2k (cos ln 2 i sin ln 2) (k 0, 1, 2, , )
练习求： L n(i), Ln(3 4i)
和它们的主值
解： ln(i) ln1 i i ,
L n( i )

ln( i )

2
2k
i

2

i

2k
i
,
2
(2k 1) i , k 0, 1, 2
2
3.性质:
1、对数函数w Lnz是定义在整个复平面减 去原点的多值函数;

4


e3

2 2
2 2
i


1 2
e3
2 1 e3 2
2i
二、对数函数
1.定义 对数函数定义为指数函数的反函数.
满足方程z ew (z 0)的函数 w f (z)
称为对数函数，记作 w Ln z ． 注：
注意符号的正确书写，以免发生混乱。
w Ln z ln | z | iArgz, z 0是多值函数
集合相等，并且下面的等式将不再成立：
Lnz2 2Lnz, Ln n z 1 Lnz n
而应是:Lnz2 2 ln | z | i2 arg z 2k i,
Ln n z 1 ln | z | i 1 arg z 2k i
n
n
三、幂函数
1.定义:
规定 w z eLn z (为复常数,z 0)
p q
ln
z

p q
i
2k
由于 p 与 q 为互素，所以不难看到， 当k取0，1，2， , q 1时，得到q个不同的值，
即这时幂函数是一个q值的函数；
5、当是无理数或复数时，幂函数是无穷
多值函数；
2 e e 例如 ii 1ieiLni (1eii[)lnL1n2i(argi2k(1)] i)[ln 2i(arg 22k )]
2 指数函数的性质
复指数函 (1) 当Im(z) 0,即z x R时, f (z) e x 数与实指
(2) | ez | e x 0, arg(ez )
Arg(ez ) y 2k , k Z
y



ez
0
数函数保 持一致.
(3) ez在复平面内处处解析,且(ez )=ez;
(k 0, 1, 2, )
2.性质:
1、当 是正整数 n 时, w z是单值函数
w zn enLn z
e | z | e n[ln|z|i(arg z2k )]
n inarg z
2、当 1 (n为正整数)时，w z是 n 值函数
n
1
1 Ln z
1[ln|z|i(arg z2k )]
sin z 0 eiz eiz 0 eiz eiz 2i
ei2z 1 z k k Z
(6) sinz,cosz在复数域内均是无界函数
| cos z |1,| sin z |1命题不真
例如z=2i时，有
cos 2i e2 e2 1,sin 2i e2 e2 ,
三种对数函数的联系与区别：
函数 单值与多值 定义域
ln x 单值 所有正实数
Lnz 多值 所有非零复数
ln z 单值 所有非零复数
注解
一个单值
分支为ln z
z x 0时， 为ln x
2.例题:
例1 求ln(1), Ln(1), ln i和Ln i
解 因为 -1的模为1，其辐角的主值为 ，
cos z
sin z
(4) 加法定理 ez1 ez2 e(z1 z2 )
(5) ez是以2 i为基本周期的周期函数
( 6)极限 lim ez不存在,即e无意义 z
( 5)ez的周期性的说明
2 i是ez
的周期
f (z T ) f (z), T 2ki, k Z
事 实 上, f ( z 2ki) e z2ki e z e2ki e z (cos2k i sin2k ) e z f (z) T 2ki k为 任 意 整 数.
(4)sin z和cos z都是以 2 为周期的函数.
sin(z 2) sin z, cos(z 2) cos z.
(5) sinz的零点(i.e. sinz=0的根)为z=k
cosz的零点(i.e. cosz=0的根)为z=(k+1/2)
k=0,1, 2,···,n,···
2 e e e 2
2Ln2
2[ln 2i(arg 22k )]