2017高考理科数学一轮复习课件：第1章 集合与常用逻辑用语 第2讲

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第一章 集合与常用逻辑用语
2.“x<2”是“x2－2x<0”的_必__要_不__充__分___条件． 解析: 取 x＝0，则 x2－2x＝0，故由 x<2 不能推出 x2－2x<0； 由 x2－2x<0 得 0<x<2，故由 x2－2x<0 可以推出 x<2.所以 “x<2”是“x2－2x<0”的必要不充分条件．
第一章 集合与常用逻辑用语
第2讲 命题及其关系、充分条件与必要 条件
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第一章 集合与常用逻辑用语
1．命题的概念 在数学中把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈 述句叫做命题．其中判断为真的语句叫真命题，判断为假的 语句叫假命题．
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第一章 集合与常用逻辑用语
1．必明辨的 2 个易错点 (1)否命题与命题的否定不能正确区分． (2)充要条件的判断， 不能准确区分“谁是条件”，“谁是结 论”，导致南辕北辙．
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第一章 集合与常用逻辑用语
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第一章 集合与常用逻辑用语
1．下面有四个命题： ①集合 N 中最小的数是 1； ②若 a 属于 N*，则－a 不属于 N； ③若 a∈N，b∈N，则 a＋b 的最小值为 2； ④x2＋1＝2x 的解集可表示为{1，1}． 其中真命题是____②____．
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第一章 集合与常用逻辑用语
3. 下列各小题中，p 是 q 的充要条件的是__①__④____．(填序号) ①p：m＜－2 或 m＞6，q：y＝x2＋mx＋m＋3 有两个不同的 零点； ②p：f（f（－x）x）＝－1，q：y＝f(x)是奇函数；
③p：cos α＝cos β，q：tan α＝tan β；
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第一章 集合与常用逻辑用语
[解析]对于①，当数列{an}为等比数列时，易知数列{anan＋1} 是等比数列，但当数列{anan＋1}为等比数列时，数列{an}未必 是等比数列，如数列 1，3，2，6，4，12，8 显然不是等比 数列，而相应的数列 3，6，12，24，48，96 是等比数列， 因此①正确；对于②，当 a≤2 时，函数 f(x)＝|x－a|在区间 [2，＋∞)上是增函数，因此②不正确；对于③，当 m＝3 时，
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第一章 集合与常用逻辑用语
(1)熟悉四种命题的概念是正确书写或判断四种命题真假的 关键； (2)根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真 同假”这一性质，当一个命题直接判断不易进行时，可转化 为判断其等价命题的真假； (3)判断一个命题为假命题可举反例.
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第一章 集合与常用逻辑用语
考点一 四种命题及真假判断 (2016·杭州月考)已知 a，b，c 都是实数，则在命题 “若 a＞b，则 ac2＞bc2”与它的逆命题、否命题、逆否命题 这四个命题中，真命题的个数是____2____． [解析] 当 c2＝0 时，原命题不正确，故其逆否命题也不正确； 逆命题为“若 ac2＞bc2，则 a＞b”，逆命题正确，则否命题 也正确．
④p：A∩B＝A，q： UB⊆ UA.
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第一章 集合与常用逻辑用语
解析: 对于①，若 y＝x2＋mx＋m＋3 有两个不同的零点，则 m2－4(m＋3)＞0，解得 m＜－2 或 m＞6，故①正确；对于②， 函数 f(x)＝sin x 是奇函数，它不全满足f（f（－x）x）＝－1，即不
2．四种命题及相互关系
第一章 集合与常用逻辑用语
3．四种命题的真假关系 (1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性； (2)两个命题互为逆命题或互为否命题,它们的真假性没有关系．
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第一章 集合与常用逻辑用语
4．充分条件与必要条件 (1)如果 p⇒q，则 p 是 q 的充分条件，q 是 p 的必要条件； (2)如果 p⇒q，q⇒p，则 p 是 q 的充要条件．
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第一章 集合与常用逻辑用语
充分条件与必要条件的判断，重在“从定义出发”，利用命 题“若 p，则 q”及其逆命题的真假进行区分，在具体解题 中，要注意分清“谁是条件”“谁是结论”，如“A 是 B 的 什么条件”中，A 是条件，B 是结论，而“A 的什么条件是 B”中，A 是结论，B 是条件．有时还可以通过其逆否命题 的真假加以区分.
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(2)利用互为逆否关系的两个命题进行等价转换 由于互为逆否命题的两个命题具有相同的真假性，因而，当 判断原命题的真假比较困难时，可转化为判断它的逆否命题 的真假，这就是常说的“正难则反”．
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第一章 集合与常用逻辑用语
1．设 a＞0 且 a≠1，则“函数 f(x)＝ax 在 R 上是减函数”是 “函数 g(x)＝(2－a)x3 在 R 上是增函数”的 ___充_分__不__必_要________条件． 解析: 由题意知函数 f(x)＝ax 在 R 上是减函数等价于 0＜a＜ 1，函数 g(x)＝(2－a)x3 在 R 上是增函数等价于 0＜a＜1 或 1<a<2， 所以“函数 f(x)＝ax 在 R 上是减函数”是“函数 g(x)＝(2－ a)·x3 在 R 上是增函数”的充分不必要条件．
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第一章 集合与常用逻辑用语
2．下列四个结论正确的是__①__③____．(填序号) ①“x≠0”是“x＋|x|>0”的必要不充分条件； ②已知 a、b∈R，则“|a＋b|＝|a|＋|b|”的充要条件是 ab>0； ③“a>0，且 Δ＝b2－4ac≤0”是“一元二次不等式 ax2＋bx ＋c≥0 的解集是 R”的充要条件； ④“x≠1”是“x2≠1”的充分不必要条件．
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第一章 集合与常用逻辑用语
解析: ①因为由 x≠0 推不出 x＋|x|>0，如 x＝－1，x＋|x|＝0， 而 x＋|x|>0⇒x≠0，故①正确；因为 a＝0 时，也有|a＋b|＝ |a|＋|b|，故②错误，正确的应该是“|a＋b|＝|a|＋|b|”的充分 不必要条件是 ab>0；由二次函数的图象可知③正确；x＝－1 时，有 x2＝1，故④错误，正确的应该是“x≠1”是“x2≠1” 的必要不充分条件．
是必要条件；对于③，当 α＝β＝π2 时，cos α＝cos β成立， 但 tan α＝tan β不成立；对于④，因为 A∩B＝A，所以
A⊆B， UB⊆ UA，反之也成立．
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第一章 集ห้องสมุดไป่ตู้与常用逻辑用语
考点三 充分条件与必要条件的应用 “x∈{3，a}”是“不等式 2x2－5x－3≥0 成立” 的一个充分不必要条件，则实数 a 的取值范围是 _－__∞__，__－__12__∪__3_，__＋__∞____．
第一章 集合与常用逻辑用语
4．(2016·盐城模拟)已知集合 A＝{x|x>5}，集合 B＝{x|x>a}， 若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，则实数 a 的取值 范围是___a_<_5___． 解析: 因为“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，所以集 合 A 是集合 B 的真子集，故 a<5.
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第一章 集合与常用逻辑用语
相应的两条直线互相垂直，反之，这两条直线垂直时，不一 定有 m＝3，也可能 m＝0，因此③不正确；对于④，由题意 得ba＝ssiinn BA＝ 3，若 B＝60°，则 sin A＝12，注意到 b>a， 故 A＝30°，反之，当 A＝30°时，有 sin B＝ 23，由于 b>a， 所以 B＝60°或 B＝120°，因此④正确．综上所述，真命题 的序号是①④.
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第一章 集合与常用逻辑用语
解析: ①N 中最小的数是 0，③a＋b 最小值为 0，④{1，1} 不符合集合中元素的互异性，故只有②为真命题． 2．命题“若 a、b、c 成等比数列，则 ac＝b2”的逆否命题 是__若__a_c_≠__b_2，__则__a_、__b_、__c_不_成__等__比_数__列__________________．
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第一章 集合与常用逻辑用语
3．写出命题“若 x≠1，则 x2－2x＋1＞0”的否定和否命题． 解: 命题“若 x≠1，则 x2－2x＋1＞0”的否定为“若 x≠1， 则 x2－2x＋1≤0”；否命题为：“若 x＝1，则 x2－2x＋ 1≤0”．
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④命题“若 a∈M，则 b M”与命题“若 b∈M，则 a M” 等价．
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第一章 集合与常用逻辑用语
解析: 对于①，若 log2a>0＝log21，则 a>1，所以函数 f(x)＝ logax 在其定义域内是增函数，故①不正确；对于②，依据一 个命题的否命题的定义可知，该说法正确；对于③，原命题 的逆命题是“若 x＋y 是偶数，则 x、y 都是偶数”，是假命 题，如 1＋3＝4 是偶数，但 3 和 1 均为奇数，故③不正确； 对于④，不难看出，命题“若 a∈M，则 b M”与命题“若 b∈M，则 a M”是互为逆否命题，因此两者等价，所以④ 正确．综上可知正确的说法有②④.
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第一章 集合与常用逻辑用语
③“m＝3”是“直线(m＋3)x＋my－2＝0 与直线 mx－6y＋5 ＝0 互相垂直”的充要条件； ④设 a，b，c 分别是△ABC 三个内角 A，B，C 所对的边， 若 a＝1，b＝ 3，则“A＝30°”是“B＝60°”的必要不充 分条件． 其中真命题的序号是__①__④____．
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第一章 集合与常用逻辑用语
[解析] 由 2x2－5x－3≥0 得 x≤－12或 x≥3. 因为“x∈{3，a}”是“不等式 2x2－5x－3≥0 成立”的一个 充分不必要条件，又根据集合元素的互异性 a≠3，所以 a≤ －12或 a>3.
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第一章 集合与常用逻辑用语
考点二 充分条件与必要条件的判定(高频考点) 给出下列命题：
①“数列{an}为等比数列”是“数列{anan＋1}为等比数列”的 充分不必要条件； ②“a＝2”是“函数 f(x)＝|x－a|在区间[2，＋∞)上为增函数” 的充要条件；
2．必会的 2 种方法 (1)充分条件与必要条件的两个特征 ①对称性：若 p 是 q 的充分条件，则 q 是 p 的必要条件，即 “p⇒q”⇔“q p”； ②传递性：若 p 是 q 的充分(必要)条件，q 是 r 的充分(必要) 条件，则 p 是 r 的充分(必要)条件．
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第一章 集合与常用逻辑用语
3．给出命题：“若 x2＋y2＝0(x，y∈R)，则 x＝y＝0”，在 它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数是 ____3____． 解析: 原命题及逆命题都为真命题，故否命题、逆否命题也 为真命题．
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第一章 集合与常用逻辑用语
1.以下关于命题的说法正确的有__②_④_____(填写 所有正确命题的序号)． ①“若 log2a>0，则函数 f(x)＝logax(a>0，a≠1)在其定义域 内是减函数”是真命题； ②命题“若 a＝0，则 ab＝0”的否命题是“若 a≠0，则 ab≠0”； ③命题“若 x，y 都是偶数，则 x＋y 也是偶数”的逆命题为 真命题；