17.2 直角三角形课件(共20张PPT)
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新知引入
知识点1 直角三角形的两个锐角互余
定义
有一个角等于90°的三角形叫做直角三角形.直角三角形可以用符号“Rt△”表示，如图，直角三角形ABC可以表示为“Rt△ABC”.
由三角形内角和定理，容易得到： 直角三角形的性质定理
直角三角形的两个锐角互余.
证明：在直角三角形中，３０°的角所对的直角边等于斜边的一半．
做一做
随堂练习
1.在一个直角三角形中,有一个锐角等于35°,则另一个锐角的度数是（ ）． A.75° B.65° C.55° D.45°2.在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A-∠B=70°，则∠A的度数为( )A.80° B.70° C.60° D.50°
证明：在△ABC 中，∵∠C =90°，∠A =30°, ∴∠B =60°．延长 BC 到 D，使CD = BC，连接 AD，则 △ACD ≌ △ACB (SAS). ∴ AD = AB, ∠BAC =∠DAC = 30°, ∠BAD = 60°. ∴△ABD 是等边三角形． ∴BD=AB. 又∵ BC = BD, ∴ BC = AB．
(1) 证明：∵ AD=CD， ∴∠ DAC= ∠ DCA.∵ AB ∥ CD， ∴∠ DCA= ∠ CAB，∴∠ DAC= ∠ CAB.又∵ CE ⊥ AD，CB ⊥ AB，∴∠ AEC= ∠ ABC=90° .又∵ AC=AC，∴△ AEC ≌△ ABC. ∴ CE=CB．
(2) 解：∵ CE ⊥ AE， ∴∠ AEC=90° . 在 Rt △ AEC 中， ∵∠ CAE=30°， ∴ AC=2CE=4.
直角三角形性质定理的逆命题显然也是真命题.于是，有： 直角三角形的判定定理
如果一个三角形的两个角互余，那么这个三角形是直角三角形.
思考：
在一张半透明的纸上画出Rt△ABC， ∠C=90°，如图(1)所示；将∠B折叠，使点B与点C重合，折痕为EF，沿BE画出虚线CE，如图（2）所示；将纸展开，如图(3)所示.（1）∠ECF与∠B有怎样的关系？线段EC与线段EB有怎样的关系？（2）由发现的上述关系以及∠A+∠B=∠ACB，∠ACE+∠ECF=∠ACB，你能判断∠ACE与∠A的大小关系吗？线段AE与线段CE呢？从而你发现了什么结论？将你的结论与大家交流．
C
1.如图，AC⊥BD，∠1=∠2，∠D=40°，则∠BAD的度数是 ( )A.85° B.90°C.95° D.100°
C
拓展提升
2.如图，在△ ADC 中，AD=CD， 且AB ∥ DC，CB ⊥ AB 于B，CE ⊥ AD 交AD 的延长线于E，连接BE．(1)求证：CE=CB；(2)若∠CAE=30°，CE=2， 求AC 的长度．
归纳小结
直角三角形的判定定理
直角三角形的性质定理
如果一个三角形的两个角互余，那么这个三角形是直角三角形.
１.直角三角形的两个锐角互余.２.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．３.在直角三角形中，３０°的角所对的直角边等于斜边的一半．
同学们再见！
授课老师：
时间：2024年9月15日
知识点２直角三角形的性质定理
我们发现，CE＝AE＝EB，即CE是AB的中线，且CE=AB．
已知：如图，在Rｔ△ABC中，∠ACB＝９０°，CD为斜边AB上的中线．求证：CD＝AB．
证明：如图，过点D，作DE//BC，交AC于点E；作DF//AC，交BC于点F.在△AED和△DFB中，∵∠A=∠FDB（两直线平行，同位角相等），AD＝DB（中线的概念），∠ADE=∠B（两直线平行，同位角相等），∴△AED≌△DFB（ASA）．∴AE＝DF，ED=FB.（全等三角形的对应边相等）
第十七章 特殊三角形17.2 直角三角形
学习目标
学习重难点
重点
难点
1.探索并掌握直角三角形的性质定理及判定定理.2.理解并探究含30°角的直角三角形的性质并加以应用.
理解并掌握直角三角形的性质定理及判定定理.
理解并探究含30°角的直角三角形的性质.
问题导入
直角三角形是又一类特殊的三角形，它也应该有特殊的性质.直角三角形都有哪些性质呢？
C
A
３.在△ABC中，∠B＝90°，∠C＝30°，AB＝3．则 AC =_____ ．４.如图，在Rｔ△ABC中，CD是斜边AB上的中线，∠A＝２0°，则∠BCD的度数是（ ）．Ａ．４０° B．５０°C．６０° D．７０°
６
D
５.如图，△ABC中，AB=AC=10,BC=8,AD平分∠BAC交BC于点D，点E为AC的中点，连接DE，则△CDE的周长为( )A.20 B.18 C.14 D.13
E
F
同理可证，△CDE≌△DCF．从而，ED=FC，EC=FD.∴AE=EC，CF=FB.（等量代换）又∵DE⟂AC，DF⟂BC，（两直线平行，同位角相等）∴DE为AC的垂直平分线，DF为BC的垂直平分线.∴AD=CD=BD（线段垂直平分线的性质定理）．∴CD＝ AB．
直角三角形的性质定理
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
知识点1 直角三角形的两个锐角互余
定义
有一个角等于90°的三角形叫做直角三角形.直角三角形可以用符号“Rt△”表示，如图，直角三角形ABC可以表示为“Rt△ABC”.
由三角形内角和定理，容易得到： 直角三角形的性质定理
直角三角形的两个锐角互余.
证明：在直角三角形中，３０°的角所对的直角边等于斜边的一半．
做一做
随堂练习
1.在一个直角三角形中,有一个锐角等于35°,则另一个锐角的度数是（ ）． A.75° B.65° C.55° D.45°2.在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A-∠B=70°，则∠A的度数为( )A.80° B.70° C.60° D.50°
证明：在△ABC 中，∵∠C =90°，∠A =30°, ∴∠B =60°．延长 BC 到 D，使CD = BC，连接 AD，则 △ACD ≌ △ACB (SAS). ∴ AD = AB, ∠BAC =∠DAC = 30°, ∠BAD = 60°. ∴△ABD 是等边三角形． ∴BD=AB. 又∵ BC = BD, ∴ BC = AB．
(1) 证明：∵ AD=CD， ∴∠ DAC= ∠ DCA.∵ AB ∥ CD， ∴∠ DCA= ∠ CAB，∴∠ DAC= ∠ CAB.又∵ CE ⊥ AD，CB ⊥ AB，∴∠ AEC= ∠ ABC=90° .又∵ AC=AC，∴△ AEC ≌△ ABC. ∴ CE=CB．
(2) 解：∵ CE ⊥ AE， ∴∠ AEC=90° . 在 Rt △ AEC 中， ∵∠ CAE=30°， ∴ AC=2CE=4.
直角三角形性质定理的逆命题显然也是真命题.于是，有： 直角三角形的判定定理
如果一个三角形的两个角互余，那么这个三角形是直角三角形.
思考：
在一张半透明的纸上画出Rt△ABC， ∠C=90°，如图(1)所示；将∠B折叠，使点B与点C重合，折痕为EF，沿BE画出虚线CE，如图（2）所示；将纸展开，如图(3)所示.（1）∠ECF与∠B有怎样的关系？线段EC与线段EB有怎样的关系？（2）由发现的上述关系以及∠A+∠B=∠ACB，∠ACE+∠ECF=∠ACB，你能判断∠ACE与∠A的大小关系吗？线段AE与线段CE呢？从而你发现了什么结论？将你的结论与大家交流．
C
1.如图，AC⊥BD，∠1=∠2，∠D=40°，则∠BAD的度数是 ( )A.85° B.90°C.95° D.100°
C
拓展提升
2.如图，在△ ADC 中，AD=CD， 且AB ∥ DC，CB ⊥ AB 于B，CE ⊥ AD 交AD 的延长线于E，连接BE．(1)求证：CE=CB；(2)若∠CAE=30°，CE=2， 求AC 的长度．
归纳小结
直角三角形的判定定理
直角三角形的性质定理
如果一个三角形的两个角互余，那么这个三角形是直角三角形.
１.直角三角形的两个锐角互余.２.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．３.在直角三角形中，３０°的角所对的直角边等于斜边的一半．
同学们再见！
授课老师：
时间：2024年9月15日
知识点２直角三角形的性质定理
我们发现，CE＝AE＝EB，即CE是AB的中线，且CE=AB．
已知：如图，在Rｔ△ABC中，∠ACB＝９０°，CD为斜边AB上的中线．求证：CD＝AB．
证明：如图，过点D，作DE//BC，交AC于点E；作DF//AC，交BC于点F.在△AED和△DFB中，∵∠A=∠FDB（两直线平行，同位角相等），AD＝DB（中线的概念），∠ADE=∠B（两直线平行，同位角相等），∴△AED≌△DFB（ASA）．∴AE＝DF，ED=FB.（全等三角形的对应边相等）
第十七章 特殊三角形17.2 直角三角形
学习目标
学习重难点
重点
难点
1.探索并掌握直角三角形的性质定理及判定定理.2.理解并探究含30°角的直角三角形的性质并加以应用.
理解并掌握直角三角形的性质定理及判定定理.
理解并探究含30°角的直角三角形的性质.
问题导入
直角三角形是又一类特殊的三角形，它也应该有特殊的性质.直角三角形都有哪些性质呢？
C
A
３.在△ABC中，∠B＝90°，∠C＝30°，AB＝3．则 AC =_____ ．４.如图，在Rｔ△ABC中，CD是斜边AB上的中线，∠A＝２0°，则∠BCD的度数是（ ）．Ａ．４０° B．５０°C．６０° D．７０°
６
D
５.如图，△ABC中，AB=AC=10,BC=8,AD平分∠BAC交BC于点D，点E为AC的中点，连接DE，则△CDE的周长为( )A.20 B.18 C.14 D.13
E
F
同理可证，△CDE≌△DCF．从而，ED=FC，EC=FD.∴AE=EC，CF=FB.（等量代换）又∵DE⟂AC，DF⟂BC，（两直线平行，同位角相等）∴DE为AC的垂直平分线，DF为BC的垂直平分线.∴AD=CD=BD（线段垂直平分线的性质定理）．∴CD＝ AB．
直角三角形的性质定理
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．