高考数学总复习专题讲解54---椭圆及其性质

考点3椭圆的几何性质
椭圆的长轴、短轴、焦距
求解与椭圆几何性质有关的问题，如：顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时，要理清它们之间的内在联系，同时要结合图形进行分析．
(1)已知椭圆 ＋ ＝1的长轴在x轴上，焦距为4，则m等于()
A．8B．7
C．6D．5
(2)已知椭圆C： ＋ ＝1(a>b>0)，若长轴长为6，且两焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的标准方程为________．
A． B．
C． D．
(2)椭圆C的两个焦点分别是F1，F2，若C上的点P满足|PF1|＝ |F1F2|，则椭圆C的离心率e的取值范围是________．
(1)D(2) [(1) 由题意可得椭圆的焦点在x轴上，如图所示，设|F1F2|＝2c，∵△PF1F2为等腰三角形，且∠F1F2P＝120°，∴|PF2|＝|F1F2|＝2c.∵|OF2|＝c，
A．7B． C． D．
(1)A(2)C[(1)由题意可知，CD是线段MF的垂直平分线，
∴|MP|＝|PF|，
∴|PF|＋|PO|
＝|PM|＋|PO|＝|MO|(定值).
又|MO|＞|FO|，
∴点P的轨迹是以F，O为焦点的椭圆，故选A.
(2)由题意得a＝3，b＝ ，c＝ ，
∴|F1F2|＝2 ，|AF1|＋|AF2|＝6.
求离心率的值(或范围)
求椭圆的离心率，常见的有三种方法
一是通过已知条件列方程组，解出a，c的值；二是由已知条件得出关于a，c的二元齐次方程，然后转化为关于离心率e的一元二次方程求解；三是通过取特殊值或特殊位置，求出离心率．
(1)(2018·全国卷Ⅱ)已知F1，F2是椭圆C： ＋ ＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为 的直线上，△PF1F2为等腰三角形，∠F1F2P＝120°，则C的离心率为()
∴点P坐标为(c＋2ccos 60°，2csin 60°)，即点P(2c， c).∵点P在过点A，且斜率为 的直线上，∴ ＝ ，解得 ＝ ，∴e＝ ，故选D.
(2)集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0.
①当2a>|F1F2|时，M点的轨迹为椭圆；
②当2a＝|F1F2|时，M点的轨迹为线段F1F2；
③当2a<|F1F2|时，M点的轨迹不存在．
2．椭圆的标准方程和几何性质
标准方程
＋ ＝1(a>b>0)
1.已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点 ，( ， )，则椭圆方程为________．
＋ ＝1[设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m，n＞0，m≠n).
由
解得m＝ ，n＝ .
∴椭圆方程为 ＋ ＝1.]
2．过点( ，－ )，且与椭圆 ＋ ＝1有相同焦点的椭圆的标准方程为________．
＋ ＝1[法一：椭圆 ＋ ＝1的焦点为(0，－4)，(0，4)，即c＝4.
当且仅当M，P，F2三点共线时取得等号，
又|MF2|＝ ＝5，2a＝10，
∴|PM|－|PF1|≥5－10＝－5，
即|PM|－|PF1|的最小值为－5.]
已知F1，F2是椭圆C： ＋ ＝1(a＞b＞0)的两个焦点，P为椭圆C上的一点，且PF1⊥PF2，若△PF1F2的面积为9，则b＝________．
∴ ＋ ＝1，
则 ＋ ＝1.②
由①②得b2＝4，a2＝20，
∴所求椭圆的标准方程为 ＋ ＝1.]
3．设F1，F2分别是椭圆E：x2＋ ＝1(0＜b＜1)的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点．若|AF1|＝3|F1B|，AF2⊥x轴，则椭圆E的方程为________．
x2＋ y2＝1[ 不妨设点A在第一象限，如图所示．
(1) 如图所示，一圆形纸片的圆心为O，F是圆内一定点，M是圆周上一动点，把纸片折叠使M与F重合，然后抹平纸片，折痕为CD，设CD与OM交于点P，则点P的轨迹是()
A．椭圆B．双曲线
C．抛物线D．圆
(2)F1，F2是椭圆 ＋ ＝1的两个焦点，A为椭圆上一点，且∠AF1F2＝45°，则△AF1F2的面积为()
由A，B，C不共线知y≠0.
故顶点C的轨迹方程是 ＋ ＝1(y≠0).]
2．已知两圆C1：(x－4)2＋y2＝169，C2：(x＋4)2＋y2＝9，动圆在圆C1内部且和圆C1相内切，和圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为()
A． － ＝1B． ＋ ＝1
C． － ＝1D． ＋ ＝1
D[设圆M的半径为r，则|MC1|＋|MC2|＝(13－r)＋(3＋r)＝16，又|C1C2|＝8＜16，∴动圆圆心M的轨迹是以C1，C2为焦点的椭圆，且2a＝16，2c＝8，则a＝8，c＝4，∴b2＝48，故所求的轨迹方程为 ＋ ＝1.]
∵|AF2|2＝|AF1|2＋|F1F2|2－2|AF1|·|F1F2|cos 45°＝|AF1|2－4|AF1|＋8，
∴(6－|AF1|)2＝|AF1|2－4|AF1|＋8.
∴|AF1|＝ ，
∴S△AF1F2＝ × ×2 × ＝ .]
本例(1)应用线段中垂线的性质实现了“|PF|＋|PO|”向定值的转化；本例(2)把余弦定理与椭圆的定义交汇在一起，借助方程的思想解出|AF1|，从而求得△AF1F2的面积．
∵AF2⊥x轴，∴A(c，b2)(其中c2＝1－b2，0＜b＜1，c＞0).
又∵|AF1|＝3|F1B|，
∴由AF1＝3F1B得B ，
代入x2＋ ＝1
得 ＋ ＝1.
又c2＝1－b2，
∴b2＝ .
故椭圆E的方程为x2＋ y2＝1.]
(1)已知椭圆上两点，常设方程为mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)；(2)椭圆的通径(过焦点且与长轴垂直的弦)长为 .
[答案](1)×(2)√(3)×(4)√
二、教材改编
1．若F1(－3，0)，F2(3，0)，点P到F1，F2距离之和为10，则P点的轨迹方程是()
A． ＋ ＝1B． ＋ ＝1
C． ＋ ＝1D． ＋ ＝1或 ＋ ＝1
A[设点P的坐标为(x，y)，因为|PF1|＋|PF2|＝10>|F1F2|＝6，所以点P的轨迹是以F1，F2为焦点的椭圆，其中a＝5，c＝3，b＝ ＝4，故点P的轨迹方程为 ＋ ＝1.故选A.]
4．已知椭圆的一个焦点为F(1，0)，离心率为 ，则椭圆的标准方程为________．
＋ ＝1[设椭圆的标准方程为 ＋ ＝1(a>b>0).因为椭圆的一个焦点为F(1，0)，离心率e＝ ，所以 解得 故椭圆的标准方程为 ＋ ＝1.]
考点1椭圆的定义及应用
椭圆定义的应用主要有两个方面
一是判定平面内动点的轨迹是否为椭圆；二是利用定义求焦点三角形的周长、面积、弦长、最值和离心率等．
＋ ＝1(a>b>0)
图形
性质
范围
－a≤x≤a－b≤y≤b
－b≤x≤b－a≤y≤a
对称性
对称轴：坐标轴；对称中心：原点
顶点
A1(－a，0)，A2(a，0)，
B1(0，－b)，B2(0，b)
A1(0，－a)，A2(0，a)，
B1(－b，0)，B2(b，0)
离心率
e＝ ，且e∈(0，1)
a，b，c的关系
2．设椭圆的两个焦点分别为F1，F2，过点F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若△F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是()
A． B．
C．2－ D． －1
D[法一：设椭圆方程为 ＋ ＝1(a＞b＞0)，依题意，显然有|PF2|＝|F1F2|，则 ＝2c，即 ＝2c，即e2＋2e－1＝0，又0<e<1，解得e＝ －1.故选D.
4．已知过焦点F1的弦AB，则△ABFቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ的周长为4a．
5．椭圆中点弦的斜率公式
若M(x0，y0)是椭圆 ＋ ＝1(a＞b＞0)的弦AB(AB不平行y轴)的中点，则有kAB·kOM＝－ ，
即kAB＝－ ．
6．弦长公式：直线与圆锥曲线相交所得的弦长
|AB|＝ |x1－x2|
＝
＝ |y1－y2|＝ (k为直线的斜率).
法二：因为△F1PF2为等腰直角三角形，所以|PF2|＝|F1F2|＝2c，|PF1|＝2 c.因为|PF1|＋|PF2|＝2a，所以2 c＋2c＝2a，所以e＝ ＝ ＝ －1.故选D.]
3．若方程 ＋ ＝1表示椭圆，则k的取值范围是________．
(3，4)∪(4，5)[由已知得
解得3＜k＜5且k≠4.]
高考数学总复习专题讲解
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[考点要求]
1.了解椭圆的实际背景，了解椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.
2.掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单性质(范围、对称性、顶点、离心率).
3.理解数形结合思想.
4.了解椭圆的简单应用．
1．椭圆的定义
(1)平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．
[备选例题]
设F1，F2分别是椭圆 ＋ ＝1的左、右焦点，P为椭圆上任意一点，点M的坐标为(6，4)，则|PM|－|PF1|的最小值为________．
－5[由椭圆的方程可知F2(3，0)，由椭圆的定义可得|PF1|＝2a－|PF2|.∴|PM|－|PF1|＝|PM|－(2a－|PF2|)＝|PM|＋|PF2|－2a≥|MF2|－2a，
一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆．()
(2)椭圆上一点P与两焦点F1，F2构成△PF1F2的周长为2a＋2c(其中a为椭圆的长半轴长，c为椭圆的半焦距).()
(3)椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆．()
(4)关于x，y的方程mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)表示的曲线是椭圆．()
1.在△ABC中，A(－4，0)，B(4，0)，△ABC的周长是18，则顶点C的轨迹方程是()
A． ＋ ＝1(y≠0)B． ＋ ＝1(y≠0)
C． ＋ ＝1(y≠0)D． ＋ ＝1(y≠0)
A[由|AC|＋|BC|＝18－8＝10＞8知，顶点C的轨迹是以A，B为焦点的椭圆(A，B，C不共线).设其方程为 ＋ ＝1(a＞b＞0)，则a＝5，c＝4，从而b＝3.
(1)当r1＝r2时，即点P的位置为短轴端点时，θ最大；
(2)S＝b2tan ＝c|y0|，当|y0|＝b时，即点P的位置为短轴端点时，S取最大值，最大值为bc.
(3)a－c≤|PF1|≤a＋c．
(4)|PF1|＝a＋ex0，|PF2|＝a－ex0．
3．椭圆的一个焦点、中心和短轴的一个端点构成直角三角形，其中a是斜边长，a2＝b2＋c2．
由椭圆的定义知，
2a＝ ＋ ，
解得a＝2 .
由c2＝a2－b2可得b2＝4，
∴所求椭圆的标准方程为 ＋ ＝1.
法二：∵所求椭圆与椭圆 ＋ ＝1的焦点相同，
∴其焦点在y轴上，
且c2＝25－9＝16.
设它的标准方程为 ＋ ＝1(a＞b＞0).
∵c2＝16，且c2＝a2－b2，
故a2－b2＝16.①
又点( ，－ )在所求椭圆上，
(1)A(2) ＋ ＝1[(1)因为椭圆 ＋ ＝1的长轴在x轴上，所以 解得6<m<10.因为焦距为4，所以c2＝m－2－10＋m＝4，解得m＝8.
(2)椭圆长轴长为6，即2a＝6，得a＝3，
∵两焦点恰好将长轴三等分，
∴2c＝ ×2a＝2，得c＝1，
因此，b2＝a2－c2＝9－1＝8，
所以此椭圆的标准方程为 ＋ ＝1.]
c2＝a2－b2
1．点P(x0，y0)和椭圆的位置关系
(1)点P(x0，y0)在椭圆内⇔ ＋ ＜1(a＞b＞0).
(2)点P(x0，y0)在椭圆上⇔ ＋ ＝1(a＞b＞0).
(3)点P(x0，y0)在椭圆外⇔ ＋ ＞1(a＞b＞0).
2．焦点三角形
如图，椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点构成的△PF1F2叫做焦点三角形．若设r1＝|PF1|，r2＝|PF2|，∠F1PF2＝θ，△PF1F2的面积为S，则在椭圆 ＋ ＝1(a＞b＞0)中：
利用定义法求轨迹方程时，注意检验所求轨迹是否是完整的曲线，倘若不是完整的曲线，应对曲线中的变量x或y进行限制．
待定系数法
利用待定系数法要先定形(焦点位置)，再定量，即首先确定焦点所在位置，然后根据条件建立关于a，b的方程组．如果焦点位置不确定，可设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)的形式．
3[设|PF1|＝r1，|PF2|＝r2，
则 所以2r1r2＝(r1＋r2)2－(r ＋r )＝4a2－4c2＝4b2，所以S△PF1F2＝ r1r2＝b2＝9，所以b＝3.]
考点2椭圆的标准方程
定义法
先根据题目所给条件确定动点的轨迹满足椭圆的定义，并确定a2，b2的值，再结合焦点位置可写出椭圆方程．特别地，利用定义法求椭圆方程要注意条件2a＞|F1F2|.