[新课标]高考第一轮复习第2单元第11讲 幂函数精品课件

故a c b.
1．幂函数的定义 一般地，型如① __________的函数叫幂函数，
其中x是自变量，是常数，常见的幂函数有
1
y＝x，y＝x－1，y＝x2，y＝x3，y＝x 2 .
2．幂函数的图象和性质
3．幂函数的性质推广 所有的幂函数在(0，＋)上都有定义，且图象
都过1,1点．当为奇数时，幂函数为奇函数；
了解幂函数的概念，结合函数y＝x，y＝x2，
1
y＝x3，y＝x－1，y＝x 2的图象，了解它们的
变化情况及基本性质．
1 .给出下列函数：①y＝
1 x3
；②y＝3x－2；③y＝x4＋x
2；
④y＝3 x2 .其中是幂函数的有
A．1个 B．2个
C．3个
D．4个
解析： 根据幂函数的定义进行判断．在所给函数
伸展．当 0时，幂函数y＝x 有下列性质：
1图象都通过点⑥ __________； 2在第一象限内，函数值⑦ __________________； 3 在第一象限内，图象向上与y轴无限地接近，向右
与x轴无限地接近．
【要点指导】
①y＝x；② 0；③ 0；④0,0，1,1； ⑤随x的增大而增大；⑥1,1；
关于原点对称，
又f
(－x)
1
－x 3
－－x
－1 3
=－
x 13－x－13
=－f
素材1：已知函数f x ＝(m2－m－1)xm2－2m－1.
1若f x是反比例函数，则
；
2若f x是幂函数，则
.
解析：1若f
x
是反比例函数，则
m2＋m－1＝1 m2＋2m 0
m＝0或2.
2若f x是幂函数，
则m2－m－1＝1 m＝2或m＝－1.
题型二 幂函数的性质及应用
例2.已知函数f
x
＝x 3＋k－1 k2 22
(k
Z)．
1若f x为偶函数，且在(0，＋)上是
增函数，求f x的解析式；
2若f x在(0，＋)上是减函数，
求k的取值集合．
分析：根据幂函数性质确定其指数．
解析： 1因为f x在(0，＋)上是增函数，
则 3＋k－1 k 2 0，解得－1 k 3. 22
⑦随x的增大而减小
题型一 幂函数的定义及应用
例1.已知函数f x ＝(m2＋2m)xm2＋m－1，m为 何值时，f x是：1正比例函数； 2 反比例函数； 3 幂函数．
分析：根据各类函数的定义， 确定m满足的条件．
解析： 1若f x是正比例函数，则mm22＋ ＋2mm－1＝01， 解得m＝1. 所以当m＝1时，f x为正比例函数．
中，只有y＝
1 x3
＝x－3和y＝3
2
x 2＝x 3 符合幂函数的定义，
是幂函数，其余两个都不是幂函数，故选B.
2.若幂函数f x的图象经过点(3，1)，则其
9
定义域是
A．{x | x R，x 0} B．{x | x R，x 0} C．{x | x R，x 0} D．R
解析： 设f x＝x，它过点(3，1)，则 1＝3，
2 若f
x
是反比例函数，则
m m
2＋m－1＝1， 2＋2m 0
解得m＝－1. 所以当m＝－1时，f x为反比例函数．
3若f x是幂函数，则m2＋2m＝1，解得m＝－1 2.
所以当m＝－1 2时，f x为幂函数．
评析：注意各类函数的定义．在正比例函数、反 比例函数、二次函数中，指数分别为1，－1,2， 其余系数不为0，而幂函数定义中注意系数必为1 的条件．
99
所以＝－2，故f x＝x－2，
其定义域为{x | x R，x 0}，故选C.
3.设 {－1,1，1，3}，则使函数y＝x的定义域为R，
2
且为奇函数的所有的值为
A．1,3
B．－1,1
C．－1,3
D．－1,1,3
解析： y＝x的定义域为R，
且满足f x为奇函数，
则＝1或3，故选A.
4.当x (0，＋)时，幂函数y＝(m2－m－1)x－5m－3
1
－1
1
－1
例3.已知函数f x＝ x3－x
3 ，g x＝ x3＋x
3
.
5
5
1证明：f x为奇函数，并求f x的单调区间．
2分别计算f 4－5 f 2 g 2，f 9－5 f 3 g 3
的值，由此概括出涉及函数f x和g x的对所
有不等于零的实数x都成立的一个等式，
并加以证明．
解析：1因为f x的定义域为(－，0) U(0，＋)，
②考察y＝x3为增函数，所以0.213 0.233.
③考察函数y＝x－在(0，＋)上为减函数，
所以4.1－52
－2
3.8 5.
2因为f x在(0，＋)上递减，所以 1 (m－4) 0，
2 所以m 4.
又m N，所以m＝0,1, 2,3.
又f x是偶函数，所以m＝0，故f x＝x－2.
题型三 与幂函数有关的综合问题
因为k Z，所以k＝0,1,2.
由f x是偶函数知，k＝1，所以f x＝x2. 2若f x在(0，＋)上是减函数，
则 3＋k－1 k 0，解得k －1或k 3. 22
又k Z，所以k的取值集合为{k Z | k －1或k 3}．
评析：解决与幂函数的性质有关问题，关键 是抓住其图象特征，将其转化为代数语言．
当为偶数时，幂函数为偶函数．一般的， 当 0时，幂函数y＝x 有下列性质：
1图象都通过点④ __________________； 2在第一象限内，函数值⑤ ______________； 3在第一象限内，当 1时，图象是向下凸的；
当0 1时，图象是向上凸的；
4 在第一象限内，过点1,1 后，图象向右上方无限
素材2. 1比较下列各组数的大小：
－2
－2
①30.8 30.7；②0.213 0.233；③4.1 5 3.8 5.
2 已知幂函数f
x
＝x
1 2
(
m－4)
(m
N)是偶函数，
且在(0，＋)上递减，则f x＝
.
解析: 1①考察函数y＝3x 为增函数，所以30.8 30.7.
为增函数，则实数m的值为
.
解析：
依题意：－m25－m－m－3 1＝01
m＝2或m＝－1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
m
3 5
所以m＝－1.
5.(2010
安徽卷)设a＝(
3)
2 5
，b＝(
2
)
3 5
，c＝(
2
)
2 5
，
5
5
5
则a，b，c的大小关系是
.
2
解析： y＝x5在x 0时是增函数，所以a c.
y＝( 2)x 在x 0时是减函数，所以c b. 5