北京市第五中学分校2024-2025学年九年级上学期10月月考数学试卷

北京市第五中学分校2024－2025学年九年级上学期10月月考
数学试卷
一、单选题
1．下列图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
2．抛物线241y x x =-+的顶点坐标是（ ）
A ．()2,3
B ．()2,3-
C ．()2,3--
D ．()2,3- 3．下列关于函数21y x =-的结论中，正确的是（ ）
A ．y 随x 的增大而减小
B ．当0x >时，y 随x 的增大而增大
C ．当0x <时，y 随x 的增大而增大
D ．当0x >时，y 随x 的增大而减小 4．如图，D
E 是ABC V 的中位线，若ADE V 的面积为1，则四边形DBCE 的面积为（ ）
A ．4
B ．3
C ．2
D ．1
5．在平面直角坐标系xOy 中，将抛物线23y x =先向右平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到的抛物线是（ ）
A ．23(x 4)1y =+-
B ．23(4)1y x =++
C ．23(4)1y x =--
D ．23(4)1y x =-+
6．某药品经过两次降价，每瓶零售价由56元降为31.5元，已知两次降价的百分比相同，设为x ，那么根据题意可以列方程为（ ）
A ．()56131.5x -=
B ．()561231.5x -=
C ．256(1)31.5x -=
D ．256(12)31.5x -=
7．已知：二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象上部分对应点坐标如下表，m 的值为（ ）
A ．1
B ．2
C ．5-
D ．0
8．如图，抛物线2y ax bx c =++（0a ≠）经过点()1,0-．下面有四个结论：
①0a >；②20a b +<：③420a b c ++>；④关于x 的不等式()20ax b c x +->的解集为1x <-或0x >．其中所有正
确结论的序号是（ ）
A ．①②
B ．②③
C ．③④
D ．②③④
二、填空题
9．方程23x x =的解是．
10．若关于x 的一元二次方程240x x c -+=有两个相等的实数根，则实数c 的值为． 11．二次函数243y x x =-+的图象与y 轴的交点坐标为．
12．在平面直角坐标系xOy 中，若点1(2,)y ，2(4,)y 在抛物线22(3)4y x =--上，则1y 2y （填“>”，“ =”或“<”）．
13．如图，一次函数y =kx +b k ≠0 与二次函数()20y ax a =≠的图象分别交于点()2,2A -，
()4,8B ．则关于x 的方程2ax kx b =+的解为．
14．如图，在Rt ABC △中，90A ∠=︒，AD BC ⊥，3AD =，2BD =，则CD 的长为 ．
15．已知：如图，在ABC V 中，120BAC ∠=︒，以BC 为边向形外作等边三角形BCD △，把ABD △绕着点D 按顺时针方向旋转60︒后得到ECD V ，若3AB =，2AC =，AD 的长为．
16．已知抛物线()2212y x mx m =--≤≤经过点(,)A p t 和点(2,)B p t +，则t 的最小值是．
三、解答题
17．解方程：
(1)2680x x -+=．
(2)(25)410x x x -=-．
18．已知实数a 是25170x x --=的根，不解方程，求()()()2
12111a a a ---++的值． 19．已知二次函数2=23y x x --．
(1)将其化为2()y a x h k =-+的形式为_______________；
(2)在所给的平面直角坐标系xoy 中，画出它的图象；
(3)抛物线与x 轴交点坐标为_______________；
(4)22x -≤≤时，y 的取值范围是_______________．
20．已知关于x 的一元二次方程()210x m x m -++=．
(1)求证：该方程总有两个实数根；
(2)若0m <，且该方程的两个实数根的差为3，求m 的值．
21．如图，ABC V 绕某点按一定方向旋转一定角度后得到111A B C △，点A ，B ，C 分别对应点1A ，1B ，1C ．
(1)在图中画出111A B C △；
(2)111A B C △是以点______（填“1O ”，“2O ”或“3O ”）为旋转中心，将ABC V ______时针旋转______度得到的．
22．如图，在菱形ABCD 中，AC ，BD 相交于点O ，过B ，C 两点分别作AC ，BD 的平行线，相交于点E ．
（1）求证：四边形BOCE 是矩形；
（2）连接EO 交BC 于点F ，连接AF ，若∠ABC =60°，AB =2，求AF 的长．
23．已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠图象上部分点的横坐标x ，纵坐标y 的对应值如下表所示：
(1)求二次函数的解析式及顶点坐标；
(2)直接写出当0y >时，x 的取值范围．
24．如图，A 是直线MN 上一点，90BAC ∠=︒，过点B 作BD MN ⊥于点D ，过点C 作CE MN ⊥于点E ．
(1)求证：ADB V :CEA V ；
(2)若AB 2AD AE ==，求CE 的长．
25．如图1，灌溉车为公路绿化带草坪浇水，图2是灌溉车浇水操作时的截面图．现将灌溉车喷出水的上、下边缘线近似地看作平面直角坐标系xOy 中两条抛物线的部分图象．已知喷水口H 离地竖直高度OH 为1.2m ，草坪水平宽度3m DE =，竖直高度忽略不计.上边缘抛物线最高点A 离喷水口的水平距离为2m ，高出喷水口0.4m ，下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移4m 得到的，设灌溉车到草坪的距离OD 为d （单位：m ）．
(1)求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程OC 的长；
(2)下边缘抛物线落地点B 的坐标为______；
(3)要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个草坪，d 的取值范围为______．
26．已知二次函数243y ax ax =-+（0a ≠）．
(1)求该二次函数的图象与y 轴交点的坐标及对称轴．
(2)已知点()14,y ，()20,y ，()32,y -，()43,y -都在该二次函数图象上，
①请判断1y 与2y 的大小关系：1y _________2y （用“>”“=”“<”填空）；
②若1y ，2y ，3y ，4y 四个函数值中有且只有一个小于零，求a 的取值范围． 27．如图，在ABC V 中，AC BC =，90ACB ∠=︒，45APB ∠=°，连接CP ，将线段CP 绕点C 顺时针旋转90°得到线段CQ ，连接AQ ．
(1)依题意，补全图形，并证明：AQ BP =；
(2)求QAP ∠的度数；
(3)若N 为线段AB 的中点，连接NP ，请用等式表示线段NP 与CP 之间的数量关系，并证明． 28．在平面直角坐标系xOy 中，对于抛物线2:C y x x =+和直线:l y x b =+给出如下定义：过抛物线C 上一点()01,A x y 作垂直于x 轴的直线AB ，交直线l 于点()02,B x y ，若存在实数0y 满足102y y y ≤≤，则称点()00,P x y 是抛物线C 的“如意点”，点P 关于直线l 的对称点Q 为点P 与抛物线C 的“称心点”．
(1)若2b =，
①在点()10,0P ，()21,2P -，()31,3P ，4P 中，抛物线C 的“如意点”是______； ②若点D 是抛物线C 的“如意点”，点E 是点D 与抛物线C 的“称心点”，直接写出DE 的最大值______；
(2)若边长为1234R R R R 边上的点都是抛物线C 的“如意点”或某点与抛物线C 的“称心点”，直接写出b 的最小值______．。