bernstein型多项式逼近的逆定理

bernstein型多项式逼近的逆定理
Bernstein 型多项式逼近的逆定理状说明：对于任意给定的实数函数f(x) 和任意给定的正整数n，存在一个n 次Bernstein 型多项式pn(x)，使得在区间[a,b] 上，有：
||f(x) - pn(x)|| <= (b-a) / (n+1) * max|f^(n+1)(x)|
其中||.|| 为范数，max|f^(n+1)(x)| 为在区间[a,b] 上函数f^(n+1)(x) 的最大值。

这意味着，对于任意给定的函数f(x) 和任意给定的正整数n，我们都可以找到一个n 次Bernstein 多项式pn(x)，使得在区间[a,b] 上的误差最大值不超过(b-a) / (n+1) * max|f^(n+1)(x)| ||f(x) - pn(x)|| 为函数f(x) 和多项式pn(x) 在区间[a,b] 上的差的范数。

f^(n+1)(x) 为函数f(x) 的(n+1) 次导数。

这个定理给出了一种使用Bernstein 多项式来近似函数的方法，并且给出了选择不同的n 值时逼近的精度。

当n 增大时，多项式的次数增加，逼近的精度也随之提高。

在满足区间[a,b] 上函数f(x) 的(n+1) 次导数有限的情况下，多项式pn(x) 的误差是可控的，并且当n 增大时，误差会越来越小。

这是因为Bernstein 多项式有很好的微积分性质，可以很好的逼近连续的函数。

另外，Bernstein 型多项式逼近的一个重要应用是在计算机图形学中，它被用来近似曲线和曲面。

同时在数值分析中也有广泛应用。