阳曲县高中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

阳曲县高中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析 班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 一个多面体的直观图和三视图如图所示，点M 是边AB 上的动点，记四面体FMC E -的体
积为1V ，多面体BCE ADF -的体积为2V ，则
=2
1
V V （ ）1111] A ．4
1 B ．31 C ．21
D ．不是定值，随点M 的变化而变化
2． 在等差数列{}n a 中，11a =，公差0d ≠，n S 为{}n a 的前n 项和.若向量13(,)m a a =，133(,)n a a =-， 且0m n ?，则
216
3
n n S a ++的最小值为（ ）
A ．4
B ．3 C
．2 D ．
92
【命题意图】本题考查等差数列的性质，等差数列的前n 项和，向量的数量积，基本不等式等基础知识，意在考查学生的学生运算能力，观察分析，解决问题的能力． 3． 若P 是以F 1，F 2
为焦点的椭圆=1（a ＞b ＞0
）上的一点，且
=0，
tan ∠PF 1F 2
=，则此椭圆的离心率为（ ） A
．
B
．
C
．
D
．
4． 函数2
-21y x x =-，[0,3]x ∈的值域为（ ） A. B. C. D.
5． 用反证法证明某命题时，对结论：“自然数a ，b ，c 中恰有一个偶数”正确的反设为（ ）
A ．a ，b ，c 中至少有两个偶数
B ．a ，b ，c 中至少有两个偶数或都是奇数
C ．a ，b ，c 都是奇数
D ．a ，b ，c 都是偶数
6． 设1m >，在约束条件,,1.y x y mx x y ≥⎧⎪
≤⎨⎪+≤⎩
下，目标函数z x my =+的最大值小于2，则m 的取值范围为（ ）
A
．(1,1 B
．(1)+∞ C. (1,3) D ．(3,)+∞ 7． 与圆C 1：x 2
+y 2
﹣6x+4y+12=0，C 2：x 2
+y 2
﹣14x ﹣2y+14=0都相切的直线有（ ） A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条
8． 已知f （x ）是定义在R 上的奇函数，且f （x ﹣2）=f （x+2），当0＜x ＜2时，f （x ）=1﹣log 2（x+1），则当0＜x ＜4时，不等式（x ﹣2）f （x ）＞0的解集是（ ）
A ．（0，1）∪（2，3）
B ．（0，1）∪（3，4）
C ．（1，2）∪（3，4）
D ．（1，2）∪（2，3）
9． lgx ，lgy ，lgz 成等差数列是由y 2=zx 成立的（ ） A ．充分非必要条件
B ．必要非充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
10．已知f （x ）在R 上是奇函数，且满足f （x+4）=f （x ），当x ∈（0，2）时，f （x ）=2x 2，则f （2015）=（ ） A ．2
B ．﹣2
C ．8
D ．﹣8 11．已知A ，B 是以O 为圆心的单位圆上的动点，且
|
|=
，则
•
=（ ）
A ．﹣1
B ．1
C
．﹣
D
．
12．在△ABC 中，b=，c=3，B=30°，则a=（ ） A
．
B ．
2
C
．
或
2
D ．2
二、填空题
13．8
1()x x
-的展开式中，常数项为___________．（用数字作答）
【命题意图】本题考查用二项式定理求指定项，基础题.
14．执行如图所示的程序框图，输出的所有值之和是 .
【命题意图】本题考查程序框图的功能识别，突出对逻辑推理能力的考查，难度中等.
15．设集合 {}{}
22
|27150,|0A x x x B x x ax b =+-<=++≤,满足
A
B =∅,{}|52A B x x =-<≤,求实数a =__________.
16．阅读如图所示的程序框图，则输出结果S 的值为 .
【命题意图】本题考查程序框图功能的识别，并且与数列的前n 项和相互联系，突出对逻辑判断及基本运算能力的综合考查，难度中等.
17．如图，在三棱锥P ABC -中，PA PB PC ==，PA PB ⊥，PA PC ⊥，PBC △为等边三角形，则PC 与平面ABC 所成角的正弦值为______________.
【命题意图】本题考查空间直线与平面所成角的概念与计算方法，意在考查学生空间想象能力和计算能力．
18．已知函数21,0()1,0
x x f x x x ⎧-≤=⎨->⎩，()21x
g x =-，则((2))f g = ，[()]f g x 的值域为 ．
【命题意图】本题考查分段函数的函数值与值域等基础知识，意在考查分类讨论的数学思想与运算求解能力.
三、解答题
19．已知函数f （x ）=
．
（1）求函数f （x ）的最小正周期及单调递减区间；
（2）当时，求f（x）的最大值，并求此时对应的x的值．
20．已知等差数列满足：=2，且，成等比数列。

（1）求数列的通项公式。

（2）记为数列的前n项和，是否存在正整数n，使得若存在，求n的最小值；若不存在，说明理由.
21．已知函数f（x）=log2（m+）（m∈R，且m＞0）．
（1）求函数f（x）的定义域；
（2）若函数f（x）在（4，+∞）上单调递增，求m的取值范围．
22．如图，直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，D 、E 分别是AB 、BB 1的中点，AB=2，
（1）证明：BC 1∥平面A 1CD ；
（2）求异面直线BC 1和A 1D 所成角的大小； （3）求三棱锥A 1﹣DEC 的体积．
23．在平面直角坐标系xOy 中，过点(2,0)C 的直线与抛物线2
4y x 相交于点A 、B 两点，设
11(,)A x y ，22(,)B x y ．
（1）求证：12y y 为定值；
（2）是否存在平行于y 轴的定直线被以AC 为直径的圆截得的弦长为定值？如果存在，求出该直线方程 和弦长，如果不存在，说明理由．
24．【常熟中学2018届高三10月阶段性抽测（一）】如图，某公司的LOGO 图案是多边形ABEFMN ，其
设计创意如下：在长4cm 、宽1
c m 的长方形ABCD 中，将四边形DFEC 沿直线EF 翻折到MFEN （点F 是线段AD 上异于D 的一点、点E 是线段BC 上的一点），使得点N 落在线段AD 上.
∆面积；
（1）当点N与点A重合时，求NMF
-最小时，LOGO最美观，试求此时LOGO图案的面积. （2）经观察测量，发现当2NF MF
阳曲县高中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析（参考答案）
一、选择题
1．【答案】B
【解析】
考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．
2．【答案】A
【解析】
3．【答案】A
【解析】解：∵
∴，即△PF1F2是P为直角顶点的直角三角形．
∵Rt△PF1F2中，，
∴=，设PF2=t，则PF1=2t
∴=2c，
又∵根据椭圆的定义，得2a=PF1+PF2=3t
∴此椭圆的离心率为e====
故选A
【点评】本题给出椭圆的一个焦点三角形为直角三角形，根据一个内角的正切值，求椭圆的离心率，着重考查了椭圆的基本概念和简单几何性质，属于基础题．
4． 【答案】A 【解析】
试题分析：函数()2
2
2112y x x x =--=--在区间[]0,1上递减，在区间[]1,3上递增，所以当x=1时，
()()min 12f x f ==-，当x=3时，()()max 32f x f ==，所以值域为[]2,2-。

故选A 。

考点：二次函数的图象及性质。

5． 【答案】B
【解析】解：∵结论：“自然数a ，b ，c 中恰有一个偶数” 可得题设为：a ，b ，c 中恰有一个偶数 ∴反设的内容是 假设a ，b ，c 中至少有两个偶数或都是奇数．
故选B ．
【点评】此题考查了反证法的定义，反证法在数学中经常运用，当论题从正面不容易或不能得到证明时，就需要运用反证法，此即所谓“正难则反“．
6． 【答案】A
【解析】
考点：线性规划.
【方法点晴】本题是一道关于线性规划求最值的题目，采用线性规划的知识进行求解；关键是弄清楚的几何意义直线z x my =+截距为
z
m
，作0my x :L =+,向可行域内平移,越向上,则的值越大,从而可得当直线直线z x my =+过点A 时取最大值，⎩⎨
⎧==+00001m x y y x 可求得点A 的坐标可求的最大值,然后由z 2,>解不等式可求m
的范围.
7．【答案】C
【解析】
【分析】先求出两圆的圆心和半径，判断两个圆的位置关系，从而确定与它们都相切的直线条数．【解答】解：∵圆C1：x2+y2﹣6x+4y+12=0，C2：x2+y2﹣14x﹣2y+14=0的方程可化为，
；；
∴圆C1，C2的圆心分别为（3，﹣2），（7，1）；半径为r1=1，r2=6．
∴两圆的圆心距=r2﹣r1；
∴两个圆外切，
∴它们只有1条内公切线，2条外公切线．
故选C．
8．【答案】D
【解析】解：∵f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x﹣2）=f（x+2），
∴f（0）=0，且f（2+x）=﹣f（2﹣x），
∴f（x）的图象关于点（2，0）中心对称，
又0＜x＜2时，f（x）=1﹣log2（x+1），
故可作出fx（x）在0＜x＜4时的图象，
由图象可知当x∈（1，2）时，x﹣2＜0，f（x）＜0，
∴（x﹣2）f（x）＞0；
当x∈（2，3）时，x﹣2＞0，f（x）＞0，
∴（x﹣2）f（x）＞0；
∴不等式（x﹣2）f（x）＞0的解集是（1，2）∪（2，3）
故选：D
【点评】本题考查不等式的解法，涉及函数的性质和图象，属中档题．
9．【答案】A
【解析】解：lgx ，lgy ，lgz 成等差数列，∴2lgy=lgx •lgz ，即y 2
=zx ，∴充分性成立，
因为y 2
=zx ，但是x ，z 可能同时为负数，所以必要性不成立，
故选：A ．
【点评】本题主要考查了等差数列和函数的基本性质，以及充分必要行得证明，是高考的常考类型，同学们要加强练习，属于基础题．
10．【答案】B
【解析】解：∵f （x+4）=f （x ）， ∴f （2015）=f （504×4﹣1）=f （﹣1）， 又∵f （x ）在R 上是奇函数， ∴f （﹣1）=﹣f （1）=﹣2．
故选B ．
【点评】本题考查了函数的奇偶性与周期性的应用，属于基础题．
11．【答案】B
【解析】解：由A ，B 是以O 为圆心的单位圆上的动点，且||=
，
即有||2+|
|2=|
|2，
可得△OAB 为等腰直角三角形，
则，的夹角为45°，
即有
•=|
|•|
|•cos45°=1×
×
=1．
故选：B ．
【点评】本题考查向量的数量积的定义，运用勾股定理的逆定理得到向量的夹角是解题的关键．
12．【答案】C 【解析】解：∵b=，c=3，B=30°，
∴由余弦定理b 2
=a 2+c 2﹣2accosB ，可得：3=9+a 2
﹣3
，整理可得：a 2
﹣3
a+6=0，
∴解得：a=或2
．
故选：C ．
二、填空题
13．【答案】70
【解析】81
()x x -的展开式通项为8821881()(1)r r r r r r
r T C x C x x
--+=-=-，所以当4r =时，常数项为
448(1)70C -=.
14．【答案】54
【解析】根据程序框图可知循环体共运行了9次，输出的x 是1，3，5，7，9，11，13，15， 17中不是3的倍数的数，所以所有输出值的和54171311751=+++++. 15．【答案】7
,32
a b =-= 【解析】
考
点：一元二次不等式的解法；集合的运算.
【方法点晴】本题主要考查了集合的综合运算问题，其中解答中涉及到一元二次不等式的解法、集合的交集和集合的并集的运算、以及一元二次方程中韦达定理的应用，试题有一定的难度，属于中档试题，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，同时考查了转化与化归思想的应用，其中一元二次不等式的求解是解答的关键. 16．【答案】
2017
2016
【解析】根据程序框图可知，其功能是求数列})
12)(12(2
{+-n n 的前1008项的和，即 +⨯+⨯=
532312S =-++-+-=⨯+)2017120151()5131()311(201720152 2017
2016
.
17．【答案】7
【
解
析
】
-+∞.
18．【答案】2，[1,)
【解析】
三、解答题
19．【答案】
【解析】解：（1）f（x）=﹣
=sin2x+sinxcosx﹣
=+sin2x﹣
=sin（2x﹣）…3分
周期T=π，
因为cosx≠0，所以{x|x≠+kπ，k∈Z}…5分
当2x﹣∈，即+kπ≤x≤+kπ，x≠+kπ，k∈Z时函数f（x）单调递减，
所以函数f（x）的单调递减区间为，，k∈Z…7分
（2）当，2x﹣∈，…9分
sin（2x﹣）∈（﹣，1），当x=时取最大值，
故当x=时函数f（x）取最大值为1…12分
【点评】本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，三角函数的周期性及其求法，三角函数最值的解法，属于基础题．
20．【答案】见解析。

【解析】（1）设数列{a n}的公差为d，依题意，2，2+d，2+4d成比数列，故有（2+d）2=2（2+4d），化简得d2﹣4d=0，解得d=0或4，
当d=0时，a n=2，
当d=4时，a n=2+（n﹣1）•4=4n﹣2。

（2）当a n=2时，S n=2n，显然2n＜60n+800，
此时不存在正整数n，使得S n＞60n+800成立，
当a n=4n﹣2时，S n==2n2，
令2n2＞60n+800，即n2﹣30n﹣400＞0，
解得n＞40，或n＜﹣10（舍去），
此时存在正整数n，使得S n＞60n+800成立，n的最小值为41，
综上，当a n=2时，不存在满足题意的正整数n，
当a n=4n﹣2时，存在满足题意的正整数n，最小值为41
21．【答案】
【解析】解：（1）由m+＞0，（x﹣1）（mx﹣1）＞0，
∵m＞0，
∴（x﹣1）（x﹣）＞0，
若＞1，即0＜m＜1时，x∈（﹣∞，1）∪（，+∞）；
若=1，即m=1时，x∈（﹣∞，1）∪（1，+∞）；
若＜1，即m＞1时，x∈（﹣∞，）∪（1，+∞）．
（2）若函数f（x）在（4，+∞）上单调递增，则函数g（x）=m+在（4，+∞）上单调递增且恒正．
所以，
解得：．
【点评】本题考查的知识点是函数的定义域及单调性，不等关系，是函数与不等式的简单综合应用，难度中档．
22．【答案】
【解析】（1）证明：连接AC1与A1C相交于点F，连接DF，
由矩形ACC1A1可得点F是AC1的中点，又D是AB的中点，
∴DF∥BC1，
∵BC1⊄平面A1CD，DF⊂平面A1CD，
∴BC1∥平面A1CD；…
（2）解：由（1）可得∠A1DF或其补角为异面直线BC1和A1D所成角．
DF=BC1==1，A1D==，A1F=A1C=1．
在△A1DF中，由余弦定理可得：cos∠A1DF==，
∵∠A1DF∈（0，π），∴∠A1DF=，
∴异面直线BC1和A1D所成角的大小；…
（3）解：∵AC=BC，D为AB的中点，∴CD⊥AB，
∵平面ABB1A1∩平面ABC=AB，∴CD⊥平面ABB1A1，CD==1．
∴=﹣S△BDE﹣﹣=
∴三棱锥C﹣A1DE的体积V=…
【点评】本题考查线面平行的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查异面直线BC 1和A 1D 所成角，是中档题，解题时要注意空间中线线、线面、面面间的位置关系及性质的合理运用．
23．【答案】（1）证明见解析；（2）弦长为定值，直线方程为1x =. 【解析】
（2 ，进而得
1a =时为定值.
试题解析：（1）设直线AB 的方程为2my x =-，由22,
4,
my x y x =-⎧⎨=⎩
得2480y my --=，∴128y y =-，
因此有128y y =-为定值．111]
（2）设存在直线：x a =满足条件，则AC 的中点11
2(
,)22
x y E +，AC =，
因此以AC 为直径圆的半径12r AC ==
=E 点到直线x a =的距离12||2
x d a +=-，
所以所截弦长为==
=
当10a -=，即1a =时，弦长为定值2，这时直线方程为1x =．
考点：1、直线与圆、直线与抛物线的位置关系的性质；2、韦达定理、点到直线距离公式及定值问题.
24．【答案】（1）
215cm 16；（2）2
4. 【解析】试题分析：
（1）设MF x =4x =，则15
8
x =
， 据此可得NMF ∆的面积是
211515
1cm 2816
⨯⨯=；
试题解析：
（1）设MF x =，则FD MF x ==
，NF =
∵4NF MF +=，
4x =，解之得158
x =， ∴NMF ∆的面积是
211515
1cm 2816
⨯⨯=； （2）设NEC θ∠=，则2
NEF θ
∠=，NEB FNE πθ∠=∠=-，
∴()22
MNF π
π
πθθ∠=
--=-
，
∴1
1
2MN
NF cos MNF
sin cos πθ
θ==
=
∠⎛
⎫- ⎪
⎝
⎭， MF FD MN tan MNF ==⋅∠=2cos tan sin πθθθ⎛
⎫-=- ⎪⎝
⎭，
∴22cos NF MF sin θ
θ
+-=.
∵14NF FD <+≤，∴114cos sin θθ-<
≤，即142
tan θ
<≤， ∴42πθα<≤（4tan α=且,32ππα⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭）， ∴22πθα<≤（4tan α=且,32ππα⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
）， 设()2cos f sin θθθ+=，则()2
12cos f sin θθθ--='，令()0f θ'=得23
π
θ=， 列表得
∴当23
π
θ=
时，2NF MF -取到最小值，
此时，NEF CEF NEB ∠=∠=∠3
FNE NFE NFM π
=∠=∠=∠=，6
MNF π
∠=
，
在Rt MNF ∆中，1MN =，MF =
，NF =，
在正NFE ∆中，NF EF NE ===，
在梯形ANEB 中，1AB =，4AN =4BE =，
∴MNF EFN ABEFMN ABEN S S S S ∆∆=++=六边形梯形144142⎛⨯⨯= ⎝⎭
.
答：当2NF MF -最小时，LOGO 图案面积为2
4. 点睛：求实际问题中的最大值或最小值时，一般是先设自变量、因变量，建立函数关系式，并确定其定义域，利用求函数的最值的方法求解，注意结果应与实际情况相结合．用导数求解实际问题中的最大（小）值时，如果函数在开区间内只有一个极值点，那么依据实际意义，该极值点也就是最值点.。