2025年高考数学一轮复习课件第七章立体几何-7.2空间点、直线、平面之间的位置关系

所以1 //1 .
因为//1 ，所以//1 ，所以与1 能确定一个平面1 ，
即，，1 ，四点共面.
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（2）由（1）知//1 ，且 =
1
1 ，
2
所以四边形1 是梯形.
所以与1 必相交，设交点为，
则 ∈ ，且 ∈ 1 .
时，两条直线异面.所以直线,的位置关系是异面或相交.故选D．
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【点拨】空间两条直线位置关系的判定方法：
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变式3（1） 已知平面//平面 ，直线 ⊂ ，直线 ⊂ ，下面四种情形：
3
①//；② ⊥ ；③与异面；④与相交．其中可能出现的情形有___种.
平面 .又 ⊄ ,′ ⊂ ，所以// .故选D.
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4.（2021年全国乙卷）在正方体 − 1 1 1 1 中，为1 1 的中点，则直线与
1 所成的角为(
A.
π
2
)
π
3
B.
π
4
C.
D.
√
π
6
解：如图，∠1 即为直线与1 所成的角.易知△ 1 1 为正三角形.又为1 1 的
证明：（方法一）假设和共面，所确定的平面为 ，那么点
，，，，都在平面 内，所以直线，，都在平面 内，与已知条件，
，不共面矛盾.假设不成立，所以与是异面直线．
（方法二）因为 ∩ = ，所以它们确定一个平面，设为 .由题意, 知 ∉ 平面 ，
∈ 平面 ， ⊄ 平面 ， ⊂ 平面 ， ∉ ，所以与是异面直线．
综上，知①②③都有可能出现，共有3种情形．故填3.
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（2）如图，正方体 − 1 1 1 1 中，,分别是1 ,1 的中点，
则与直线1 1 ,,都相交的直线(
A.有且仅有一条
B.有且仅有两条
)
C.有且仅有三条
D.无数条
√
解：如图,在上任意取一点，直线1 1 与点确定一个平面，这
π
6
中点，所以∠1 = .故选D.
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考点一 平面的基本性质
例1 【多选题】已知，，表示三个不同的点，表示直线， ， 表示平面，则
下列判断正确的是(
)
A. ∈ ， ∈ ， ∩ = ⇒ ∈
√
B. , 不重合, ∈ , ∈ , ∈ , ∈ ⇒ ∩ =
第七章 立体几何
7.2 空间点、直线、平面之间的位置关系
课程标准
必备知识
自主评价
核心考点
课时作业
借助长方体，在直观认识空间点、直线、平面的位置关系的基础上，抽象出空间
点、直线、平面的位置关系的定义，并了解基本事实1 ∼ 3.
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【教材梳理】
1.平面的基本性质
（1）基本性质.
基本事实
文字语言
A.异面
C.可能共面，也可能异面
√
)
B.相交
D.平行
解：两条直线都与一个平面平行，在空间中，这两条直线可能相交、平行或者异面.
其中相交或者平行属于共面直线，所以这两条直线的位置关系是可能共面，也可能异
面.故选C．
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例2 如图所示，在正方体 − 1 1 1 1 中，，分别是，1 的中点，连接
个平面与有且仅有1个交点.当点取不同的位置就确定不同的平
面，从而与有不同的交点.而直线与这3条异面直线都有交点，
故在空间中与直线1 1 ,,都相交的直线有无数条.故选D.
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考点三 异面直线所成的角
例4（1） 已知在菱形中, = = 2，将△ 沿折起，使点到达点处，
因为 ⊂ 平面，1 ⊂ 平面1 1 ，
所以 ∈ 平面，且 ∈ 平面1 1 .
又因为平面 ∩ 平面1 1 = ，
所以 ∈ ，所以，1 ，三线共点.
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【点拨】共面、共线、共点问题的证明.①证明共面的方法：先确定一个平面，
D. ≠ ，且直线，是异面直线
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解：如图,连接，，并过点作 ⊥ 于点，连接.则
= 2 + 2 =
7
，
2
= 2 + 2 = ，故 ≠ .
在△ 中，易知是的中点，所以，是相交直线.故选B.
平行，所以梯形可确定一个平面，故D正确.故选B.
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3.已知，是两条异面直线，下列说法中正确的是(
)
A.过直线没有一个平面与直线平行
B.过直线有无数个平面与直线平行
C.过直线有两个平面与直线平行
D.过直线有且只有一个平面与直线平行
√
解：如图所示，在直线上任取一点，作′//，且′ ∩ = ，则′和确定唯一
√
C. ⊄ , ∈ ⇒ ∉
D.,, ∈ ,,, ∈ ⇒ ， 重合
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解：对于A，因为 ∈ ， ∈ ， ∩ = ，由基本事实3,可知 ∈ ，A正确.
对于B， , 不重合, ∈ ， ∈ ， ∈ ， ∈ ，故直线 ⊂ ， ⊂ ，
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（2）两条直线,分别和异面直线,都相交，则直线,的位置关系是(
A.一定是异面直线
C.可能是平行直线
)
B.一定是相交直线
D.可能是异面直线，也可能是相交直线
√
解：如图,设直线与直线分别与两条异面直线相交于点A,B,C,D
（不妨设点A与点C不重合）.
由题意,可得当点D与点B重合时，两条直线相交;当点D与点B不重合
)
A.三角形确定一个平面
B.四边形确定一个平面
√
C.平行四边形可确定一个平面
D.梯形可确定一个平面
解：在A中，经过不共线的三点确定一个平面，故A正确.在B中，四边形可能是空间
四边形，故四边形不一定能确定一个平面，故B错误.在C中，因为平行四边形有一组
对边平行，所以平行四边形能确定一个平面，故C正确.在D中，因为梯形有一组对边
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考点二 判断两条直线的位置关系
例3（1） 如图，点为正方形的中心，△ 为正三角形，平
面 ⊥ 平面，是线段的中点，则(
)
A. = ,且直线，是相交直线
B. ≠ ，且直线，是相交直线
√
C. = ，且直线，是异面直线
再证其余的线（或点）在这个平面内.②证明共线的方法：先由两点确定一条直线，
再证其他各点都在这条直线上.③证明线共点问题的常用方法：先证其中两条直线交
于一点，再证其他直线经过该点.
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变式2 如图，已知不共面的三条直线，，相交于点， ∈ ，
∈ ， ∈ ， ∈ ，求证：与是异面直线．
且 = 3，若为线段的中点，则异面直线与所成角的余弦值为 (
A.
3
2
B.
√
3
4
1
C.
2
)
5
D.
12
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解：如图，取的中点，连接，，.
因为为线段的中点，是线段的中点，所以//，
3
2
= ，∠或其补角即异面直线与所成角.
因为四边形是菱形， = = 2，所以 = = 3.在
1 ，.求证：
（1），，1 ，四点共面；
（2），1 ，三线共点.
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证明：（1）如图所示，连接1 ，，1 .
1
2
因为，分别是，1 的中点，所以//1 ，且 = 1 .
因为1 1 //，且1 1 = ，所以四边形1 1 是平行四边形，
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（2）空间中直线与平面的位置关系.
位置关系
直线在平面内
直线与平面相交
直线与平面平行
公共点个数
无数个
1
0
图形表示
平面外
当直线与平面相交或平行时，直线不在平面内，也称为直线在________.
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（3）空间中平面与平面的位置关系.
位置关系
两个平面相交
两个平面平行
公共点个数
无数个（有一条公共直线）
即 ∩ = ，B正确.
对于C，若 ∩ = ，则有 ⊄ ， ∈ ，但 ∈ ，C错误.
对于D，若 ∩ = , ∈ ,则 ， 不重合，D错误．
故选AB.
【点拨】结合平面的基本性质及其相关推论进行判断，必要时画出图形分析.
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变式1 两条直线都与一个平面平行，则这两条直线的位置关系是(
平行
经过两条______直线，有
// ⇒ 有且只有一个平面 ，使
且只有一个平面
⊂ , ⊂
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2.空间点、直线、平面之间的位置关系
（1）空间中直线与直线的位置关系.
位置关系
共面直线
共面情况
公共点个数
相交直线
在同一个平面内
1
平行直线
在同一个平面内
0
不同在任何一个平面内
0
异面直线
( ×)
（3）设 与 是两个平面，和是两个点， ∈ , ∈ ， ∈ , ∈ ,则
∩ = . ( √ )
（4）两个不重合的平面只能把空间分成四个部分.
( ×)
（5）如果两个平面分别经过两条平行线中的一条，那么这两个平面平行.
( ×)
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2.（教材题改编）下列命题错误的是(
解：因为平面//平面 ，直线 ⊂ ，直线 ⊂ ，所以分别在两个平面的任意两
条直线可以共面，也可以异面，故③正确.
所以直线与直线无公共点，即与不相交，故④错误.
当直线与直线共面时，根据面面平行的性质，可得//，故①正确.
当直线与直线异面时，与所成角的大小可以是90∘ ，故②正确.
两个点
_________在一个平面
且 ∈ ，
平面内；判
内，那么这条直线在这
∈⇒
定点在平面
个平面内
⊂
内等
如果两个不重合的平面
∈ ，且 判定两平面
公共点
有一个________，那么
∈ ⇒∩
相交；判定
它们有且只有一条过该
公共直线
点的__________
= ，且
∈
点在直线上
0
符号表示
∩ =
//
图形表示
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常用结论
1.唯一性定理
（1）过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行.
（2）过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直.
（3）过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行.
（4）过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直.
2.异面直线的两个常用判定
（1）与一个平面相交的直线和这个平面内不经过交点的直线是异面直线.
图形语言
符号语言
作用
,,三点不
不在一条直线
过______________上的
共线⇒ 存在 确定平面；
基本事实1 三个点，有且只有一个
唯一的平面 判定点线共
平面
使，，
∈
面等
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续表
基本事实
基本事实2
基本事实3
文字语言
∈ , 确定直线在
6
)
π
4
B.
C.
√
π
3
π
2
D.
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解：如图，取1 1 的中点，连接1 ，.
在正三棱柱 − 1 1 1 中，1 ⊥ 底面1 1 1 .而1 ⊂ 底面
等
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（2）基本事实1与2的推论.
推论
文字语言
经过一条直线和这条直线
推论1 外一点，有且只有一个
平面
______
推论2
推论3
图形语言
符号语言
∉ ⇒ 有且只有一个平面 ，使
∈ ， ⊂
相交
经过两条______直线，有
∩ = ⇒ 有且只有一个平面
且只有一个平面
，使 ⊂ ， ⊂
（2）分别在两个平行平面内的直线平行或异面.
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1.判断下列命题是否正确，正确的在括号内画“√”，错误的画“×”.
（1）如果两个不重合的平面 ， 有一条公共直线，就说平面 ， 相交，并记
作 ∩ = . ( √ )
（2）两个平面 ， 有一个公共点，就说 ， 相交于过点的任意一条直线.
△ 中，cos∠ =
2 + 2 − 2
2×
与所成角的余弦值为
9
=
3+4−3
3
2× 3×2
=
3
.故异面直线
4
3
.故选B.
4
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（2）正三棱柱 − 1 1 1 中，1 = 2，是的中点，则异面直线与
1 所成的角为(
A.
π