第5章 Hopfield神经网络与联想记忆

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第五章霍普菲尔德(Hopfield)神经网络

在Hopfield网络中，由于反馈的存在，其加权输入和ui，i=1~n为网络状态，网络的输出为y1~yn，则 u,y的变化过程为一个非线性动力学系统。可用非线性差（微）分方程来描述。一般有如下的几种状态演变形式：（1）渐进稳定
（2）极限环
（3）混沌现象
（4）状态轨迹发散
离散型 Hopfield神经网络
• 1982年,美国加州工学院J.Hopfield提出了可用作联想存储器和优化计算的反馈网络,这个网络称为Hopfield神经网络 (HNN)模型,也称Hopfield模型.并用它成功地探讨了旅行商问题(TSP)的求解方法。
HNN是一种循环NN,从输出到输入有反馈连接. HNN有离散型和连续型两种.
• 反馈NN由于其输出端有反馈到其输入端,所以,HNN在输入的激励下,会产生不断的状态变化.
– 当有输入之后,可以求取出HNN的输出,这个输出反馈到输入从而产生新的输出,这个反馈过程一直进行下去. – 如果HNN是一个能稳定的网络,则这个反馈与迭代的计算过程所产生的变化越来越小,一旦到达了稳定平衡状态, 那么HNN就会输出一个稳定的恒值. – 对于HNN来说,关键是在于确定它在稳定条件下的权系数. – 应该指出,反馈网络有稳定的,也有不稳定的. • 对于HNN来说,还存在如何判别它是稳定网络,亦或是不稳定的问题.而判别依据是什么,也是需要确定的.
在不考虑外部输入时,则有
j 1,2,..., n
n y j (t 1) f w i, j yi (t) θ j i 1
•通常网络从某一初始状态开始经过多次更新后才可能达到某一稳态。使用异步状态更新策略有以下优点：（1）算法实现容易，每个神经元节点有自己的状态更新时刻．不需要同步机制；（2）以串行方式更新网络的状态可以限制网络的输出状态，避免不同稳态以等概率出现。一旦给出HNN的权值和神经元的阈值，网络的状态转移序列就确定了。

《hopfield神经网络》课件

神经网络的学习算法
1
Hebbian学习规则
根据同时激活的神经元之间的相关性来更新连接权重。
2
Delta规则
使用反向传播算法根据误差信号来调整连接权重，以逼近期望输出。
3
学习的稳定性
神经网络的学习算法可以保证网络的稳定性和收敛性。
神经网络的应用领域
1 模式识别
2 优化问题
通过学习和存储模式来实现模式识别和分类，例如图像识别和语音识别。
《hopfield神经网络》PPT 课件
介绍《hopfield神经网络》的PPT课件，包含神经网络的基本概念与应用，学习算法以及与其他神经网络的比较，展望神经网络未来的发展趋势。
Hopfield神经网络概述
Hopfield神经网络是一种用于模式识别和优化问题的反馈神经网络，基于神经元之间的相互连接和信号传递。
Kohonen网络
Kohonen神经网络适用于聚类和自组织特征映射，常用于无监督学习和可视化。
神经网络中的记忆与自组织
记忆
Hopfield神经网络可以学习和存储输入模式，并能够通过模式关联实现模式识别和记忆恢复。
自组织
神经网络中的神经元可以自动组织为有效的连接结构，以适应不同问题的处理和学习需求。
神经网络的基本形式
结构
Hopfield神经网络由神经元和它们之间的连接组成，形成一个全连接的反馈网络结构。
激活函数
神经元通过激活函数将输入信号转换为输出信号，常用的激活函数包括Sigmoid函数和ReLU函数。
反向传播算法
Hopfield神经网络使用反向传播算法来量函数
能量函数是Hopfield神经网络的核心概念，它通过计算网络状态的能量来衡量模式之间的关联性和稳定性。

Hopfield联想记忆网络

% ------------------------standard number array-----------------------zero=[-1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1; -1 -1 -1 1 1 1 1 -1 -1 -1;...-1 -1 1 1 1 1 1 1 -1 -1; -1 1 1 1 -1 -1 1 1 1 -1;...-1 1 1 1 -1 -1 1 1 1 -1;-1 1 1 1 -1 -1 1 1 1 -1;...-1 1 1 1 -1 -1 1 1 1 -1;-1 1 1 1 -1 -1 1 1 1 -1 ;...-1 1 1 1 -1 -1 1 1 1 -1;-1 -1 1 1 1 1 1 1 -1 -1];one=[-1 -1 -1 -1 1 1 -1 -1 -1 -1;-1 -1 -1 -1 1 1 -1 -1 -1 -1;...-1 -1 -1 -1 1 1 -1 -1 -1 -1; -1 -1 -1 -1 1 1 -1 -1 -1 -1;...-1 -1 -1 -1 1 1 -1 -1 -1 -1; -1 -1 -1 -1 1 1 -1 -1 -1 -1;...-1 -1 -1 -1 1 1 -1 -1 -1 -1; -1 -1 -1 -1 1 1 -1 -1 -1 -1;...-1 -1 -1 -1 1 1 -1 -1 -1 -1; -1 -1 -1 -1 1 1 -1 -1 -1 -1];two=[-1 1 1 1 1 1 1 1 1 -1;-1 1 1 1 1 1 1 1 1 -1;...-1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 1 1 -1;-1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 1 1 -1;...-1 1 1 1 1 1 1 1 1 -1;-1 1 1 1 1 1 1 1 1 -1;...-1 1 1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1;-1 1 1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1;...-1 1 1 1 1 1 1 1 1 -1;-1 1 1 1 1 1 1 1 1 -1;...-1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1;-1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1];three=[-1 -1 1 1 1 1 1 1 -1 -1;-1 -1 1 1 1 1 1 1 1 -1;...-1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 1 1 -1;-1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 1 1 -1;...-1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 1 1 -1; -1 -1 -1 -1 1 1 1 1 -1 -1;...-1 -1 -1 -1 1 1 1 1 -1 -1;-1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 1 1 -1;...-1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 1 1 -1;-1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 1 1 -1;...-1 -1 1 1 1 1 1 1 1 -1;-1 -1 1 1 1 1 1 1 -1 -1];four=[ -1 1 1 -1 -1 -1 -1 1 1 -1;-1 1 1 -1 -1 -1 -1 1 1 -1;...-1 1 1 -1 -1 -1 -1 1 1 -1;-1 1 1 -1 -1 -1 -1 1 1 -1;...-1 1 1 -1 -1 -1 -1 1 1 -1;-1 1 1 1 1 1 1 1 1 -1;...-1 1 1 1 1 1 1 1 1 -1;-1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 1 1 -1;...-1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 1 1 -1;-1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 1 1 -1;...-1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 1 1 -1;-1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 1 1 -1];six=[-1 1 1 1 1 1 1 -1 -1 -1;-1 1 1 1 1 1 1 -1 -1 -1 ;...-1 1 1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1;-1 1 1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 ;...-1 1 1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1;-1 1 1 1 1 1 1 -1 -1 -1 ;...-1 1 1 1 1 1 1 -1 -1 -1;-1 1 1 -1 -1 1 1 -1 -1 -1;...-1 1 1 -1 -1 1 1 -1 -1 -1;-1 1 1 -1 -1 1 1 -1 -1 -1;...-1 1 1 1 1 1 1 -1 -1 -1;-1 1 1 1 1 1 1 -1 -1 -1];point=[ -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1; -1 1 1 1 1 1 -1 -1 -1 -1;...-1 1 1 1 1 1 -1 -1 -1 -1; -1 1 1 1 1 1 -1 -1 -1 -1;...-1 1 1 1 1 1 -1 -1 -1 -1; -1 1 1 1 1 1 -1 -1 -1 -1;...-1 1 1 1 1 1 -1 -1 -1 -1; -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1;...-1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1; -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1;...-1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1; -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1];nine=[ -1 -1 -1 1 1 1 1 1 1 -1; -1 -1 -1 1 1 1 1 1 1 -1;...-1 -1 -1 1 1 -1 -1 1 1 -1; -1 -1 -1 1 1 -1 -1 1 1 -1;...-1 -1 -1 1 1 -1 -1 1 1 -1; -1 -1 -1 1 1 1 1 1 1 -1;...-1 -1 -1 1 1 1 1 1 1 -1; -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 1 1 -1;...-1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 1 1 -1; -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 1 1 -1;...-1 -1 -1 1 1 1 1 1 1 -1; -1 -1 -1 1 1 1 1 1 1 -1];% ----------------------plot standard number figure-----------------ZERO=imresize(zero,20);subplot(3,3,1)imshow(ZERO)title('stand number')ONE=imresize(one,20);subplot(3,3,2)imshow(ONE)title('stand number')TWO=imresize(two,20);subplot(3,3,3)imshow(TWO)title('stand number')THREE=imresize(three,20);subplot(3,3,4)imshow(THREE)title('stand number')FOUR=imresize(four,20);subplot(3,3,5)imshow(FOUR)title('stand number')SIX=imresize(six,20);subplot(3,3,6)imshow(SIX)title('stand number')POINT=imresize(point,20);subplot(3,3,7)imshow(POINT)title('stand number')NINE=imresize(nine,20);subplot(3,3,8)imshow(NINE)title('stand number')% ----------------------create hopfield net--------------------------T=[zero;one;two;three;four;six;point;nine]';net=newhop(T);5%干扰的程序：% ------------------------standard number array-----------------------six=[-1 1 1 1 1 1 1 -1 -1 -1;-1 1 1 1 1 1 1 -1 -1 -1 ;...-1 1 1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1;-1 1 1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 ;...-1 1 1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1;-1 1 1 1 1 1 1 -1 -1 -1 ;...-1 1 1 1 1 1 1 -1 -1 -1;-1 1 1 -1 -1 1 1 -1 -1 -1;...-1 1 1 -1 -1 1 1 -1 -1 -1;-1 1 1 -1 -1 1 1 -1 -1 -1;...-1 1 1 1 1 1 1 -1 -1 -1;-1 1 1 1 1 1 1 -1 -1 -1];% ----------------------plot standard number figure-----------------SIX=imresize(six,20);subplot(2,1,1)imshow(SIX)title('stand number')% ----------------------create hopfield net--------------------------T=[six]';net=newhop(T);% ------------------------------generate noise----------------------------% -------------------------noise array(fixed noise)--------------% six=[-1 1 1 1 1 1 1 -1 -1 -1;-1 1 1 1 1 1 1 -1 -1 -1 ;...% -1 1 1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1;-1 1 1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 ;...% -1 1 1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1;-1 1 1 1 1 1 1 -1 -1 -1 ;... % -1 1 1 1 1 1 1 -1 -1 -1;-1 1 1 -1 -1 1 1 -1 -1 -1;... % -1 1 1 -1 -1 1 1 -1 -1 -1;-1 1 1 -1 -1 1 1 -1 -1 -1;...% -1 1 1 1 1 1 1 -1 -1 -1;-1 1 1 1 1 1 1 -1 -1 -1];% -----------------------noise array(rand noise)-----------------rand('state',0);for i=1:100a=rand;if a<0.05six(i)=-six(i);endendno1=six;% -------------------------plot noisy figure---------------subplot(2,1,2)NO1=imresize(no1,20);imshow(NO1)title('noisy number')10%干扰的程序：% ------------------------standard number array-----------------------six=[-1 1 1 1 1 1 1 -1 -1 -1;-1 1 1 1 1 1 1 -1 -1 -1 ;...-1 1 1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1;-1 1 1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 ;...-1 1 1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1;-1 1 1 1 1 1 1 -1 -1 -1 ;...-1 1 1 1 1 1 1 -1 -1 -1;-1 1 1 -1 -1 1 1 -1 -1 -1;...-1 1 1 -1 -1 1 1 -1 -1 -1;-1 1 1 -1 -1 1 1 -1 -1 -1;...-1 1 1 1 1 1 1 -1 -1 -1;-1 1 1 1 1 1 1 -1 -1 -1]; % ----------------------plot standard number figure-----------------SIX=imresize(six,20);subplot(2,1,1)imshow(SIX)title('stand number')% ----------------------create hopfield net--------------------------T=[six]';net=newhop(T);% ------------------------------generate noise----------------------------% -------------------------noise array(fixed noise)--------------% six=[-1 1 1 1 1 1 1 -1 -1 -1;-1 1 1 1 1 1 1 -1 -1 -1 ;... % -1 1 1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1;-1 1 1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 ;...% -1 1 1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1;-1 1 1 1 1 1 1 -1 -1 -1 ;...% -1 1 1 1 1 1 1 -1 -1 -1;-1 1 1 -1 -1 1 1 -1 -1 -1;...% -1 1 1 -1 -1 1 1 -1 -1 -1;-1 1 1 -1 -1 1 1 -1 -1 -1;...% -1 1 1 1 1 1 1 -1 -1 -1;-1 1 1 1 1 1 1 -1 -1 -1];% -----------------------noise array(rand noise)-----------------rand('state',0);for i=1:100a=rand;if a<0.1six(i)=-six(i);endendno1=six;% -------------------------plot noisy figure---------------subplot(2,1,2)NO1=imresize(no1,20);imshow(NO1)title('noisy number')20%干扰的程序：% ------------------------standard number array-----------------------six=[-1 1 1 1 1 1 1 -1 -1 -1;-1 1 1 1 1 1 1 -1 -1 -1 ;...-1 1 1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1;-1 1 1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 ;...-1 1 1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1;-1 1 1 1 1 1 1 -1 -1 -1 ;...-1 1 1 1 1 1 1 -1 -1 -1;-1 1 1 -1 -1 1 1 -1 -1 -1;...-1 1 1 -1 -1 1 1 -1 -1 -1;-1 1 1 -1 -1 1 1 -1 -1 -1;...-1 1 1 1 1 1 1 -1 -1 -1;-1 1 1 1 1 1 1 -1 -1 -1];% ----------------------plot standard number figure-----------------SIX=imresize(six,20);subplot(2,1,1)imshow(SIX)title('stand number')% ----------------------create hopfield net--------------------------T=[six]';net=newhop(T);% ------------------------------generate noise----------------------------% -------------------------noise array(fixed noise)--------------% six=[-1 1 1 1 1 1 1 -1 -1 -1;-1 1 1 1 1 1 1 -1 -1 -1 ;... % -1 1 1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1;-1 1 1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 ;...% -1 1 1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1;-1 1 1 1 1 1 1 -1 -1 -1 ;...% -1 1 1 1 1 1 1 -1 -1 -1;-1 1 1 -1 -1 1 1 -1 -1 -1;...% -1 1 1 -1 -1 1 1 -1 -1 -1;-1 1 1 -1 -1 1 1 -1 -1 -1;...% -1 1 1 1 1 1 1 -1 -1 -1;-1 1 1 1 1 1 1 -1 -1 -1];% -----------------------noise array(rand noise)-----------------rand('state',0);for i=1:100a=rand;if a<0.2six(i)=-six(i);endendno1=six;% -------------------------plot noisy figure---------------subplot(2,1,2)NO1=imresize(no1,20);imshow(NO1)title('noisy number')30%干扰的程序：% ------------------------standard number array-----------------------six=[-1 1 1 1 1 1 1 -1 -1 -1;-1 1 1 1 1 1 1 -1 -1 -1 ;...-1 1 1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1;-1 1 1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 ;...-1 1 1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1;-1 1 1 1 1 1 1 -1 -1 -1 ;...-1 1 1 1 1 1 1 -1 -1 -1;-1 1 1 -1 -1 1 1 -1 -1 -1;...-1 1 1 -1 -1 1 1 -1 -1 -1;-1 1 1 -1 -1 1 1 -1 -1 -1;...-1 1 1 1 1 1 1 -1 -1 -1;-1 1 1 1 1 1 1 -1 -1 -1];% ----------------------plot standard number figure-----------------SIX=imresize(six,20);subplot(2,1,1)imshow(SIX)title('stand number')% ----------------------create hopfield net--------------------------T=[six]';net=newhop(T);% ------------------------------generate noise----------------------------% -------------------------noise array(fixed noise)--------------% six=[-1 1 1 1 1 1 1 -1 -1 -1;-1 1 1 1 1 1 1 -1 -1 -1 ;...% -1 1 1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1;-1 1 1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 ;...% -1 1 1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1;-1 1 1 1 1 1 1 -1 -1 -1 ;... % -1 1 1 1 1 1 1 -1 -1 -1;-1 1 1 -1 -1 1 1 -1 -1 -1;...% -1 1 1 -1 -1 1 1 -1 -1 -1;-1 1 1 -1 -1 1 1 -1 -1 -1;...% -1 1 1 1 1 1 1 -1 -1 -1;-1 1 1 1 1 1 1 -1 -1 -1];% -----------------------noise array(rand noise)-----------------rand('state',0);for i=1:100a=rand;if a<0.3six(i)=-six(i);endendno1=six;% -------------------------plot noisy figure---------------subplot(2,1,2)NO1=imresize(no1,20);imshow(NO1)title('noisy number')。

《hopfield神经网络》课件

图像识别实例
总结词
通过Hopfield神经网络，可以实现高效的图像识别。
总结词
图像识别的准确率取决于训练样本的多样性和数量。
详细描述
在图像识别实例中，可以将图像信息转化为神经网络的输入，通过训练和学习，网络能够将输入的图像信息与预存的图像模式进行匹配，从而实现图像的快速识别。
详细描述
为了提高图像识别的准确率，需要收集大量具有代表性的训练样本，并采用多种不同的训练方法对网络进行训练，以增加网络的泛化能力。
神经元模型
神经元模型
Hopfield神经网络的基本单元是神经元，每个神经元通过加权输入信号进行激活或抑制。
激活函数
神经元的输出由激活函数决定，常用的激活函数有阶跃函数和 Sigmoid函数。
权重
神经元之间的连接权重用于存储记忆模式，通过训练可以调整权重。
能量函数
1 2 3
能量函数定义
能量函数是描述Hopfield神经网络状态的一种方式，其值越低表示网络状态越稳定。
《Hopfield神经网络》PPT课件
目录
CONTENTS
• Hopfield神经网络概述 • Hopfield神经网络的基本原理 • Hopfield神经网络的实现 • Hopfield神经网络的优化与改进 • Hopfield神经网络的实例分析
01 Hopfield神经网络概述
定义与特点
能量函数的性质
能量函数具有非负性、对称性、连续性和可微性等性质，这些性质对于网络的稳定性和记忆性能至关重要。
最小能量状态
训练过程中，网络会逐渐趋近于最小能量状态，此时对应的模式被存储在神经元连接权重中。
稳定性分析
稳定性定义

第5章 Hopfield神经网络与联想记忆

第5章Hopfield神经网络与联想记忆前面介绍了前向网络及其学习算法，对于所介绍的前向网络，从学习的观点来看，它是一个强有力的学习系统，系统结构简单、易于编程；从系统的观点来看，它是一个静态非线性映射，通过简单非线性处理单元的复合映射可获得复杂系统的非线性处理能力；从计算的观点来看，它并不是一强有力系统，缺乏丰富的动力学行为。

反馈神经网络是一个反馈动力学系统，具有更强的计算能力。

1982年美国物理学家J. Hopfield提出的单层全互连含有对称突触连接的反馈网络是最典型的反馈网络模型。

Hopfield 用能量函数的思想形成了一种新的计算方法，阐明了神经网络与动力学的关系，并用非线性动力学的方法来研究这种神经网络的特性，建立了神经网络稳定性判据，并指出信息存储在网络中神经元之间的连接上，形成了所谓的Hopfield网络，称之为离散Hopfield网络。

而且Hopfield还将该反馈网络同统计物理中的Ising模型相类比，把磁旋的向上和向下方向看成神经元的激活和抑制两种状态，把磁旋的的相互作用看成神经元的突触权值。

这种类推为大量的物理学理论和许多的物理学家进入神经网络领域铺平了道路。

1984年，Hopfield设计与研制了Hopfield网络模型的电路，指出神经元可以用运算放大器来实现，所有神经元的连接可用电子线路来模拟，称之为连续Hopfield网络。

用该电路Hopfield成功的解决了旅行商（TSP）计算难题（优化问题）。

Hopfield网络是神经网络发展历史上的一个重要的里程碑。

把神经网络看作一种非线性的动力学系统，并特别注意其稳定性研究的学科，被称为神经动力学（Neurodynamics）。

Hopfield神经网络可看作一种非线性的动力学系统，所以为了方便介绍Hopfield神经网络，本章首先简单介绍神经动力学。

前面介绍的单层前向网络和多层前向网络，其思路均是先介绍网络模型再介绍相应的学习算法。

霍普菲尔德(Hopfield)神经网络概述

Hopfield网络的应用
组合优化 (TSP问题) 组合优化问题，就是在给定约束条件下，求出使目标函数极小（或极大）的变量组合问题。将Hopfield网络应用于求解组合优化问题，就是把目标函数转化为网络的能量函数，把问题的变量对应于网络的状态。这样当网络的能量函数收敛于极小值时，问题的最优解也随之求出。
Hopfield网络的特点
单层反馈式网络
x1 o1 W x2 o2 … … xn
on
Hopfield网络的特点
灌输式学习方式灌输式学习中网络权值不是通过训练逐渐形成的，而是通过某种设计方法得到的。权值一旦设计好就一次灌输给网络，不再变动，这种学习是死记硬背式的，而不是训练式的。
Hopfield网络的特点
各神经元的状态在运行中不断更新
x1 o1 W x2 o2 … … xn
on
Hopfield网络的特点
首次引入能量函数
考虑了输入与输出的延迟因素
Hopfield网络的分类
根据激活函数的不同，可以分为：离散型 Hopfield神经网络（DHNN） 1 netj ≥ 0 f(netj ) = sgn(netj ) = − 1 netj < 0 连续型 Hopfield神经网络（CHNN）
霍普菲尔德（Hopfield Hopfield） Hopfield 神经网络概述
旅行商问题(TSP)
旅行商问题（Traveling Saleman Problem， TSP）又译为旅行推销员问题、货郎担问题，简称为TSP问题，是最基Байду номын сангаас的路线问题。
是指一名推销员要拜访多个地点时，如何找到在拜访每个地 TSP问题点一次后再回到起点的最短路径。

Hopfield神经网络ppt课件

1）保证系统在异步工作时的稳定性，即它的权值是对称的；
2）保证所有要求记忆的稳定平衡点都能收敛到自己；
3）使伪稳定点的数目尽可能的少； 4）使稳定点的吸引域尽可能的大。 MATLAB函数
[w,b]=solvehop(T);
.
23
连续性的Hopfield网络
CHNN是在DHNN的基础上提出的，它的原理
.
34
几点说明：
1）能量函数为反馈网络的重要概念。根据能量函数可以方便的判断系统的稳定性；
2）能量函数与李雅普诺夫函数的区别在于：李氏被限定在大于零的范围内，且要求在零点值为零；
3）Hopfield选择的能量函数，只是保证系统稳定和渐进稳定的充分条件，而不是必要条件，其能量函数也不是唯一的。
1、激活函数为线性函数时
2、激活函数为非线性函数时
.
29
当激活函数为线性函数时，即
vi ui 此时系统的状态方程为：
U AU B 其中A 1 WB。
R 此系统的特征方程为：
A I 0 其中I为单位对角阵。通过对解出的特征值1， 2，， r 的不同情况，可以得到不同的系统解的情况。
.
霍普菲尔德（Hopfield）神经网络
1、网络结构形式 2、非线性系统状态演变的形式 3、离散型的霍普菲尔德网络（DHNN） 4、连续性的霍普菲尔德网络（CHNN）
.
1
网络结构形式
Hopfield网络是单层对称全反馈网络，根据激活函数选取的不同，可分为离散型和连续性两种（ DHNN,CHNN）。 DHNN：作用函数为hadlim，主要用于联想记忆。 CHNN：作用函数为S型函数，主要用于优化计算。
.
19
权值修正的其它方法

异联想记忆Hopfield神经网络的模型_算法及性能

虽然在容错性方面反馈式 Hopfield NN 要强于前向式 NN, 然而在网络训练过程中 Hopfield NN 对标准训练样本的记忆存储能力却不如前向式 NN, 它受样本矢量在空间的分布以及相互间的关系影响较严重,
收稿日期: 2004 07 13 资助项目: 国家自然科学基金( 59877016) 作者简介: 姜惠兰( 1965- ) , 女( 汉) , 河北籍, 博士, 副教授, 硕士生导师, 主攻人工智能和电力系统故障分析与控制的研究.
致使所建网络的记忆能力受到限制. 本文在分析 Hebb 规则学习算法的基础上, 以矩阵理论的原理为基础,
将算法进行了改进, 建立了异联想记忆 Hopf ield NN 的伪逆和广义逆学习算法, 它使样本正交的条件变得
宽松, 扩大了 NN 对原型样本的记忆, 进而为研究问题所建立的联想记忆模式对能够被记忆成网络的稳
3 异联想记忆 Hopfield NN 的学习算法
一个有效 NN 的联想记忆能力不仅依赖于它的模型结构, 而且与所采用的学习算法有关. 一般地,
Hopf ield NN 多采用 Hebb 规则, 它具有学习速度快和信息存储方便等优点, 但是它要求用于训练权值的联
想记忆模式对是一组正交的矢量集. 对于工程实际问题, 所构造的训练样本是很难满足这一苛刻的条件,
2005 年 5 月
文章编号: 1000 6788( 2005) 05 0101 07
系统工程理论与实践
第5期
异联想记忆 Hopfield 神经网络的模型、算法及性能
姜惠兰, 孙雅明
( 天津大学电气与自动化工程学院 , 天津 300072)
摘要: 对联想记忆神经网络( neural networks NN) 的特性进行了分析, 基于双向联想存储器 BAM 原理, 对

神经网络_周志华西瓜书

5.3 误差逆传播算法
多层前馈网络表示能力
只需要一个包含足够多神经元的隐层, 多层前馈神经网络就能以任意精度逼近任意复杂度的连续函数
[Hornik et al. , 1989]
多层前馈网络局限
神经网络由于强大的表示能力, 经常遭遇过拟合. 表现为：训练误差持续降低, 但测试误差却可能上升
提出生物神经元学习的机理, 即Hebb学习规则
1958年, Rosenblatt 提出感知机网络（Perceptron）模型和其
学习规则
1960年, Widrow和Hoff提出自适应线性神经元（Adaline）模型
和最小均方学习算法
1969年, Minsky和Papert 发表《Perceptrons》一书, 指出单层
5.1 神经元模型
M-P 神经元模型 [McCulloch and Pitts, 1943]
输入：来自其他个神经云
传递过来的输入信号
处理：输入信号通过带权重
的连接进行传递, 神经元接受到总输入值将与神经元的阈值进行比较
输出：通过激活函数的处理
以得到输出
5.1 神经元模型
激活函数
BP算法基于梯度下降策略, 以目标的负梯度方向对参数进行调整. 对误差 , 给定学习率
5.3 误差逆传播算法
BP 学习算法
类似的可以推导出：
其中
学习率
控制着算法每一轮迭代中的更新步长, 若太长则让容易
震荡, 太小则收敛速度又会过慢.
5.3 误差逆传播算法
BP 学习算法
5.3 误差逆传播算法
[Kohonen, 1988]
机器学习中的神经网络通常是指“神经网络学习” 或者机器学习与神经网络两个学科的交叉部分

第5讲-Hopfield-课件获奖课件

对于同步方式，因为无调整顺序问题，所以相应旳吸引域也无强弱之分。
五、若干有关概念
2. DHNN旳记忆容量（Memory Capacity）
四、DHNN旳联想记忆功能与权值设计
联想记忆（Associative Memory，AM）功能是 DHNN旳一种主要应用。
在Hopfield网络旳拓扑构造及权值矩阵均一定旳情况下，网络旳稳定状态将与其初始状态有关。
也就是说，Hopfield网络是一种能储存若干个预先设置旳稳定状态旳网络。若将稳态视为一种记忆样本，那么初态朝稳态旳收敛过程便是寻找记忆样本旳过程。初态可以为是给定样本旳部分信息，网络变化旳过程可以为是从部分信息找到全部信息，从而实现了联想记忆旳功能。
(1) x(0) x(3) 1 1 1 1T
显然它比较接近x(1),用异步方式按1,2,3,4旳调整顺序来演变网络：
n
x1 (1) f w1 j x j (0) f (6) 1
j1
x2 (1) x2 (0) 1 x3 (1) x3 (0) 1
即 x(1) 1 1 1 1 T x(1)
m ik max 4
m 2 n m 8 1 m 5
不满足前面给出旳充分条件，是否为吸引子需详细加以检验：
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f (Wx(1) ) f 6 1 x(1) , f (Wx(2) ) f 6 1 x(2)
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可见，两个样本均为网络旳吸引子。
3）考察两个吸引子引域
为了能实现联想记忆，对于每一种吸引子应该有一定旳吸引范围，这个吸引范围便称为吸引域。
对于异步方式，对同一种状态，若采用不同旳调整顺序，有可能弱吸引到不同旳吸引子。若存在一种调整顺序能够从x演变到吸引子x(a)，则称x弱吸引到x(a) ；若对于全部旳调整顺序，都能够从x演变到吸引子x(a)，则称x强吸引到x(a) 。

人工神经网络及其应用第5讲Hopfield网络

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3.1 状态更新
由-1变为1；由1变为-1；状态保持不变串行异步方式
任意时刻随机地或确定性地选择网络中的一个神经元进行状态更新，而其余神经元的状态保持不变
并行同步方式
任意时刻网络中部分神经元(比如同一层的神经元) 的状态同时更新。如果任意时刻网络中全部神经元同时进行状态更新，那么称之为全并行同步方式
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1.2 网络稳定性
状态轨迹
离散与连续轨迹
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1.2 网络稳定性
状态轨迹分类：对于不同的连接权值wij和输入 Pj(i, j=1, 2, … r)，反馈网络可能出现不同性质的状态轨迹
轨迹为稳定点轨迹为极限环轨迹为混沌现象轨迹发散
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1.2 网络稳定性
稳定轨迹
状态轨迹从系统在t0时状态的初值N(t0)开始，经过一定的时间t(t＞0)后，到达N(t0+t)。如果 N(t0+t+Δt)=N(t0+t)，Δt＞0，则状态N(t0+t)称为网络的稳定点，或平衡点
状态开始运动，网络系统总可以收敛到某一个稳定
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的平衡状态；
系统稳定的平衡状态可以通过设计网络的权值而被存储到网络中
1.1 反馈网络简介
反馈网络分类
如果激活函数f(·)是一个二值型的硬函数，即ai＝ sgn(ni)，i＝l, 2, … r，则称此网络为离散型反馈网络；
如果f(·)为一个连续单调上升的有界函数，这类网络被称为连续型反馈网络
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上式右边中第一项为期望记忆的样本，而第二项则是当网络学习多个样本时，在回忆阶段即验证该记忆样本时，所产生的相互干扰，称为交叉干扰项
3.3 记忆容量
有效容量
从对网络的记忆容量产生影响的权值移动和交叉干扰上看，采用海布学习法则对网络记忆样本的数量是有限制的

Hopfield神经网络

Hopfield神经⽹络神经⽹络分类多层神经⽹络：模式识别相互连接型⽹络：通过联想记忆去除数据中的噪声1982年提出的Hopfield神经⽹络是最典型的相互连结型⽹络。

联想记忆当输⼊模式为某种状态时，输出端要给出与之相应的输出模式。

如果输⼊模式与输出模式⼀致，称为⾃联想记忆，否则，称为异联想记忆。

Hopfield⽹络结构上，Hopfield神经⽹络是⼀种单层互相全连接的反馈型神经⽹络。

每个神经元既是输⼊也是输出，⽹络中的每⼀个神经元都将⾃⼰的输出通过连接权传送给所有其它神经元，同时⼜都接收所有其它神经元传递过来的信息。

即：⽹络中的神经元在t时刻的输出状态实际上间接地与⾃⼰t-1时刻的输出状态有关。

神经元之间互连接，所以得到的权重矩阵将是对称矩阵。

假设有n个单元组成的Hopfield神经⽹络，第i个单元在t时刻的输⼊记作ui(t)，输出记作xi(t)，连接权重为wij，阈值为bi(t)，则t+1时刻i单元的输出xi(t+1)可表⽰为：在Hopfield神经⽹络中，每个时刻都只有⼀个随机选择的单元会发⽣状态变化。

由于神经元随机更新，所以称此模型为离散随机型。

对于⼀个由n个单元组成的⽹络，如果要完成全部单元的状态变化，⾄少需要n个时刻。

根据输⼊模式联想输出模式时，需要事先确定连接权重wij，⽽连接权重wij要对输⼊模式的训练样本进⾏训练后才能确定。

和多层神经⽹络⼀样，⼀次训练并不能确定连接权重，⽽是要不断重复这个过程，直到满⾜终⽌判断条件，⽽这个指标就是Hopfield神经⽹络的能量函数E。

当输⼊模式与输出模式⼀致时，能量函数E的结果是0。

根据前⾯定义的状态变化规则改变⽹络状态时，上式中定义的能量函数E总是⾮递增的，即随时间的不断增加⽽逐渐减⼩，直到⽹络达到稳定状态为⽌。

Hopfield⽹络的优点单元之间的连接权重对称 (wij = wji)每个单元没有到⾃⾝的连接 (wii = 0)单元的状态采⽤随机异步更新⽅式，每次只有⼀个单元改变状态n个⼆值单元做成的⼆值神经⽹络，每个单元的输出只能是0或1的两个值问题当需要记忆的模式之间较为相似，或者需要记忆的模式太多时，Hopfield神经⽹络就不能正确地辨别模式。

人工智能习题作业神经计算I习题答案

人工智能习题作业神经计算I习题答案第五章神经网络课后习题及答案一、选择题：1. 在BP算法中，设y=f(xi)为xi的平滑函数，想知道xi对y增大变化的情况，我们可求，然后进行下列的哪一项？（ B ）A 取最小B 取最大C 取积分D 取平均值2. 对于反向传播学习，无论是在识别单个概念的学习或识别两个概念的学习中，都涉及到下列的哪一个操作？（ A ）A 权值的修正B 调整语义结构C 调整阀值D 重构人工神经元3. 根据Hopfield网络学习的特点，能实现联想记忆和执行线性和非线性规划等求解问题其应用没有涉及到下列的哪一个内容？（ D ）A 模糊推理模型B 非线性辨认C 自适应控制模型D 图象识别4. 对于神经网络的二级推理产生式规则由三个层次构成，它不含下列的哪一个层次？（ C ）A 输入层B 输出层C 中间层D 隐层5. 人工神经网络借用了生理神经元功能的一些描述方式，它涉及到下列的哪一些内容？（ ABC ）A 模拟神经元B 处理单元为节点C 加权有向图D 生理神经元连接而成6. 在应用和研究中采用的神经网络模型有许多种，下列的哪一些是具有代表性的？（ ABD ）A 反向传递（BP）B Hopfield网C 自适应共振D 双向联想存储器7. 下列的哪一些内容与反向传播学习算法有关？（ ABCD ）A 选取比率参数B 误差是否满足要求C 计算权值梯度D 权值学习修正8. 构造初始网络后，要用某种学习算法调整它的权值矩阵，使NN在功能上满足样例集给定的输入一输出对应关系，并由此产生推理，该矩阵必须满足下列的哪一个性质？ ( A )A 收敛性B 对称性C 满秩性D 稀疏性9. 在人工神经元的功能描述中，往往会用一激发函数来表示输出，常用的一般非线性函数有下列的哪一些项？ ( ABD )A 阀值型B 分段线性强饱和型C 离散型D S i gm oid型10. 基于神经网络的推理，其应用中必须涉及到下列的哪一些内容？( ACD )A NN的结构模型B NN的推理规则C NN的学习算法D 从NN到可解释的推理网二、填空题：1. 前馈网络是一种具有很强学习能力的系统，结构简单，易于编程。

Hopfield神经网络简介

Hopfield神经⽹络简介Hopfield神经⽹络简介⼀、总结⼀句话总结：> 【Hopfield和BP同⼀时期】：BP属于前馈式类型，但是和BP同⼀时期的另外⼀个神经⽹络也很重要，那就是Hopfield神经⽹络，他是反馈式类型。

这个⽹络⽐BP出现的还早⼀点，> 【Hopfield⽹络的权值不是通过训练出来的，⽽是按照⼀定规则计算出来的】：他的学习规则是基于灌输式学习，即⽹络的权值不是通过训练出来的，⽽是按照⼀定规则计算出来的， Hopfield神经⽹络就是采⽤了这种学习⽅式，其权值⼀旦确定就不在改变，⽽⽹络中各神经元的状态在运⾏过程中不断更新，⽹络演变到稳定时各神经元的状态便是问题之解。

> 【其它⽹络的基础】：在这⾥简要解释⼀下为什么要学习这个神将⽹络，因为深度学习算法起源来源于这⾥还有BP，从这⾥开始后⾯会引⼊玻尔兹曼机、受限玻尔兹曼机、深度置信⽹络，径向基逼向器、卷积神经⽹络、递归神经⽹络。

1、Hopfield神经⽹络分为离散型和连续型两种⽹络模型，分别记为DHNN（Discrete Hopfield Neural Network）和CHNN（Continues Hopfield Neural Network）？> (1)、离散的Hopfield⽹络⽤于联想记忆> (2)、连续的Hopfield⽹络⽤于求解最优化问题⼆、Hopfield神经⽹络1982年，⽣物物理学家J.Hopfield提出了⼀种新颖的⼈⼯神经⽹络模型——Hopfield⽹络模型，引⼊了能量函数的概念，是⼀个⾮线性动⼒学系统。

(1) 离散的Hopfield⽹络⽤于联想记忆(2) 连续的Hopfield⽹络⽤于求解最优化问题1. 离散型Hopfield神经⽹络能量函数：能量函数E按照迭代⼀定会下降（证明我⼀直卡在⼀个地⽅，后来发现xi改变了，不仅改变了该节点的能量，⽽且对其它节点也有影响，故把证明贴上来，免得⾃⼰忘记）证明：⽆论x从-1变到1还是从1变到-1，能量都是下降的。

第5讲：Hopfield神经网络

第5讲反馈型Hopfield神经网络 Nhomakorabea
Hopfield 递归网络是美国加洲理工学院物理学家 J.J.Hopfield教授于1983年提出的,他对神经网络学科的发展史颇具影响。作为一个著名的物理学家，J.J.Hopfield在早期学术活动中，他曾研究光和固体之间的相互作用。后来，他集中精力研究生物分子间的电子转移机制。他在数学和物理学上的学术研究和他后来在生物学上经验的结合，为他在神经网络上提出的概念和所作出的贡献奠定了基础。 J.J.Hopfield分别在1982年和1984年发表了两篇非常有影响的研究论文 [1-2]，在这两篇文章中集中了许多前人的观点，如 MP 神经网络模型 [ 3 ] ， Grossberg 的改进模型 [ 4 ] ， Anderson和 Kohonen的线性联想器模型等 [5-6] ，并把一些重要思想结合起来进行简明的数学分析，其重要内容之一就是在反馈神经网络中引入了“能量函数”的概念，这一概念的提出对神经网络的研究有重大意义，它使神经网络运行稳定性的判定有了可靠的依据。并应用Hopfield网络成功地求解了优化组合问题中最有代表性的TSP问题 [7] ，从而开创了神经网络用于智能信息处理的新途径。
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Hopfield网络按网络输入和输出的数字形式不同可分为离散型和连续型两种网络,即： ① 离散型 Hopfield 神经网络 — — DHNN(Discrete Hopfield Neural Network)； ②连续型Hopfield神经网络——CHNN(Continues Hopfield Neural Network)。下面介绍其原理与结构。 3.1 离散Hopfield神经网络模型 3.1.1 DHNN结构与工作方式 1.DHNN结构它是一种单层全反馈网络,共有个神经元。每个神经元都通过连接权接收所有其它神经元输出反馈来的信息，其目的是为了让任一神经元的输出能接受所有神经元输出的控制,从而使各神经元能相互制约。其结构如图3-1所示。

五.反馈（Hopfield）神经网络

五.反馈（Hopfield）神经⽹络前馈⽹络⼀般指前馈神经⽹络或前馈型神经⽹络。

它是⼀种最简单的神经⽹络，各神经元分层排列。

每个神经元只与前⼀层的神经元相连。

接收前⼀层的输出，并输出给下⼀层，数据正想流动，输出仅由当前的输⼊和⽹络权值决定，各层间没有反馈。

包括：单层感知器，线性神经⽹络，BP神经⽹络、RBF神经⽹络等。

递归神经⽹络（RNN）是两种⼈⼯神经⽹络的总称。

⼀种是时间递归神经⽹络（recurrent neural network），⼜名循环神经⽹络，包括RNN、LSTM、GRU等；另⼀种是结构递归神经⽹络（recursive neural network）。

反馈⽹络(Recurrent Network)，⼜称⾃联想记忆⽹络，输出不仅与当前输⼊和⽹络权值有关，还和⽹络之前输⼊有关。

其⽬的是为了设计⼀个⽹络，储存⼀组平衡点，使得当给⽹络⼀组初始值时，⽹络通过⾃⾏运⾏⽽最终收敛到这个设计的平衡点上。

包括Hopfield，Elman，CG，BSB，CHNN、DHNN等。

反馈⽹络具有很强的联想记忆和优化计算能⼒，最重要研究是反馈⽹络的稳定性（即其吸引⼦）离散Hopfield神经⽹络Hopfield神经⽹络是⼀种单层反馈，循环的从输⼊到输出有反馈的联想记忆⽹络。

离散型为DHNN（Discrete Hopfield Neural Network）和连续型CHNN（Continues Hopfield Neural Network）。

Hopfield最早提出的⽹络是⼆值神经⽹络，各神经元的激励函数为阶跃函数或双极值函数,神经元的输⼊、输出只取{0，1}或者{ -1，1}，所以也称为离散型Hopfield神经⽹络DHNN（Discrete Hopfiled Neural Network）。

在DHNN中，所采⽤的神经元是⼆值神经元；因此，所输出的离散值1和0或者1和-1分别表⽰神经元处于激活状态和抑制状态。

人工神经网络原理第5章习题参考答案

1. 试述Hopfield 神经网络的结构特征。

它与层次型神经网络的主要区别是什么？Hopfield 神经网络丢弃了“层次”概念，采用有反馈的无层次的（单层）全互连结构，网络中的各个神经元之间采用双向对称连接方式，每个神经元到自身无反馈。

在层次型神经网络中，要使网络按照某种规则（训练算法）调节各个处理单元之间的连接权值，直到在输入端输入给定信息，神经网络能产生给定输出为止。

其正常工作过程，是针对已经训练好的神经网络，在为训练好的神经网络输入一个信号时，就可以回忆出相应的输出结果。

与层次型神经网络相比，Hopfield 神经网络采用相关学习规则，根据相互连接的神经元的激活水平调整（确定）连接权；其工作过程是网络状态的动态演化过程，即从网络初始状态沿能量递减的方向不断进行演化，直至达到网络的稳定状态，这时的网络状态就是网络的输出。

同时，Hopfield 神经网络引入了“能量函数”的概念，阐明了神经网络与动力学之间的关系，使得神经网络的运行稳定性判断有了可靠而简便的依据。

2. 一个4节点离散型Hopfield 神经网络的初始状态为(-1,-1,1,-1)，各节点的阈值为0，网络的连接权值如下，试求解网络的稳定状态。

⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡------=0213201111013110W t =0 X (0)=(-1,-1,1,-1)t =1 选取节点1，则节点1的状态为x 1(1)=sgn [0*(-1)+1*(-1)+(-1)*1+(-3)*(-1)]=sgn (1)=1，则网络状态为X (1)=(1,-1,1,-1) t =2 选取节点2，则节点2的状态为x 2(2)=sgn [1*1+0*(-1)+1*1+(-1)*(-1)]=sgn (3)=1，则网络状态为X (2)=(1,1,1,-1) t =3 选取节点3，则节点3的状态为x 3(3)=sgn [(-1)*1+1*1+0*1+2*(-1)]=sgn (-2)=-1，则网络状态为X (3)=(1,1,-1,-1) t =4 选取节点4，则节点4的状态为x 4(4)=sgn [(-3)*1+(-1)*1+2*(-1)+0*(-1)]=sgn (-6)=-1，则网络状态为X (4)=(1,1,-1,-1) t =5 选取节点1，则节点1的状态为x 1(5)=sgn [0*1+1*1+(-1)*(-1)+(-3)*(-1)]=sgn (5)=1，则网络状态为X (1)=(1,1,-1,-1) t =6 选取节点2，则节点2的状态为x 2(6)=sgn [1*1+0*1+1*(-1)+(-1)*(-1)]=sgn (1)=1，则网络状态为X (2)=(1,1,-1,-1) t =7 选取节点3，则节点3的状态为x 3(7)=sgn [(-1)*1+1*1+0*(-1)+2*(-1)]=sgn (-2)=-1，则网络状态为X (3)=(1,1,-1,-1) t =8 选取节点4，则节点4的状态为x 4(8)=sgn [(-3)*1+(-1)*1+2*(-1)+0*(-1)]=sgn (-6)=-1，则网络状态为X (4)=(1,1,-1,-1) 至此，网络中各个神经元的输出状态都不再改变，也就是说网络达到了稳定状态，稳定状态为(1,1,-1,-1)。

Hopfield神经网络综述

H o p f i e l d神经网络综述(总19页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--题目： Hopfield神经网络综述一、概述：1.什么是人工神经网络（Artificial Neural Network，ANN)人工神经网络是一个并行和分布式的信息处理网络结构，该网络结构一般由许多个神经元组成，每个神经元有一个单一的输出，它可以连接到很多其他的神经元，其输入有多个连接通路，每个连接通路对应一个连接权系数。

人工神经网络系统是以工程技术手段来模拟人脑神经元（包括细胞体，树突，轴突）网络的结构与特征的系统。

利用人工神经元可以构成各种不同拓扑结构的神经网络，它是生物神经网络的一种模拟和近似。

主要从两个方面进行模拟：一是结构和实现机理；二是从功能上加以模拟。

根据神经网络的主要连接型式而言，目前已有数十种不同的神经网络模型，其中前馈型网络和反馈型网络是两种典型的结构模型。

1）反馈神经网络(Recurrent Network)反馈神经网络，又称自联想记忆网络，其目的是为了设计一个网络，储存一组平衡点，使得当给网络一组初始值时，网络通过自行运行而最终收敛到这个设计的平衡点上。

反馈神经网络是一种将输出经过一步时移再接入到输入层的神经网络系统。

反馈网络能够表现出非线性动力学系统的动态特性。

它所具有的主要特性为以下两点：（1）.网络系统具有若干个稳定状态。

当网络从某一初始状态开始运动，网络系统总可以收敛到某一个稳定的平衡状态；（2）.系统稳定的平衡状态可以通过设计网络的权值而被存储到网络中。

反馈网络是一种动态网络，它需要工作一段时间才能达到稳定。

该网络主要用于联想记忆和优化计算。

在这种网络中，每个神经元同时将自身的输出信号作为输入信号反馈给其他神经元，它需要工作一段时间才能达到稳定。

2.Hopfield神经网络Hopfield网络是神经网络发展历史上的一个重要的里程碑。