水力学-第十四章相似理论
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从无量纲表达看,似乎物理过程涉及的因素减少了,其实涉 及的物理量并未减少,只是这些物理量组合成了若干无量纲量相 互关联。比起有量纲表达来,无量纲表达更接近于相关物理量之 间规律性联系的实质,也更具普遍性。
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应用 定理要点(也是难点)在于:确定物理过程涉及的物 理量时,既不能遗漏,也不要多列。
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1.牛顿数
惯性力总是企图保持原有的运动状态,而其它的非惯
性物理力总是力图改变液体的运动状态。液体的运动 就是惯性力和其它非惯性物理力共同作用的结果。 惯性力:
I ma L3 v L2 v 2 t
非惯性力:F
根据动力相似条件:F
FP I F F FP FM P P M 2 2 FM I M IP IM P L2 v P M L2 v M P M
例
p 用 定理推求水平等直径有压管内压强差. 的表达式。已知影响压强差的物理量有管长l、管径d、 管壁绝对粗糙度 、流速v、液体密度 、动力粘滞系 数 及重力加速度g。 解:
F (d , v, , l , , , p) 0
[d ] L1T 1 M 1 L1T 0 M 0 [v] L 2 T 2 M 2 L1T 1M 0 [ ] L 3 T 3 M 3 L3T 0 M 1
2 dv
3 d
p 4 2 v
l p f ( 1 , 2 , 3 , 4 ) 2 f ( , , , 2 )0 d dv d v l dv p f1 ( , , , 2 )0 d d v
p l dv f2 ( , , ,) 2 v d d p l v2 f 3 (Re, ) g d d 2g
上式表明:相似系统中,原型中非惯性物理力与惯性 力之比应等于模型中非惯性物理力与惯性力之比。 30
习惯上,将非惯性物理力F与惯性力I之比称为牛顿数,以
Ne表示,即
Ne
F
Lv
2
2
NeP NeM
显然,两个流动相似,原型与模型的牛顿数一定相等。
这是标志两个流动相似的一般准则,称为牛顿相似准则。 将上式改写为比尺表示的关系式,就得到相似判据
运动粘性系数
[ ] [ L2T 1 ]
•
无量纲(量纲为一)量 相同量纲量的比值 如角度,三角函数 定义: 物理量 的所有 量纲指 数为零
几个有量纲量通过乘除组合而成 如压力系数
p p Cp 1 2 U 2
2.量纲和谐原理
• •
•
正确反映客观物理规律的函数关系式或方程式,其各项的量 纲指数都分别相同。
长度比尺 l l p / lm 时间比尺 t t p / tm 作用力比尺 F Fp / Fm
4、边界条件和初始条件相似
边界条件和初始条件相似
水流运动受到边界条件和初始条件的影响
和制约,要做到其流动相似,必须使两个系统的边
界条件和初始条件相似。 例如,原型:自由表面 固体边壁 给定瞬时tP的流速vP 模型:自由表面 固体边壁 对应瞬时tP的流速vM
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• 原型:Prototype 模型:Model • 为便于讨论,规定: • 以λ 表示其原型量和模型量的比尺,而 物理 量下标 P、M 则分别表示原型量和模型量。
流动相似
几何相似 运动相似 动力相似
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1、几何相似
几何相似是指原型与模型保持几何形状和几何尺寸相 似,也就是原型和模型的任何一个相应线性长度保持一定的比 例关系。 式中
L
为长度比尺。
Ap AM Lp Lm
2 2
L
L
3 3
2
Lp Lm
面积比尺 体积比尺
A
V
Vp VM
相似
运动相似是指原型与模型两个流动中任何对应质点的迹线 是几何相似的,而且任何对应质点流过相应线段所需的时间又 是具有同一比例的。或者说两个流动的速度场(或加速度场)是 几何相似的。 tp 设时间比尺: t tm 则速度比尺 加速度比尺
任何表示客观物理规律的数学关系式,其数学形式不随单位 制变换而改变形式。
客观物理规律必定可以通过无量纲量之间的关系式来表达。
3. 量纲分析法
1.瑞利法. 适用于影响因素(自变量)间的关系为单项指数形式
y f ( x1 , x2 , x3 , xn ) 0
例
图为理想液体孔口出流,试用瑞利法导出以液体密 度 ,孔口直径d及压强差 p gh表示的孔口流量Q 的表达式. 解: Q f ( , d , p)
第12章 水力模型试验基本原理
12.1 概述 水力模型试验:是将原形实物按照相似原理缩制(或放大) 为模型,在模型中预演或重演与原型相似的自然现象并进行观 测,然后将观测结果再按相似原理引申于原型并作出判断。 量纲分析法:是用于寻求一定物理过程中,相关物理量之间 规律性联系的一种方法。它对于正确地分析、科学地表达物理 过程是十分有益的。
代入(1)
Lm 3 Lp 3 p Lp 2 m Lm 2 tp tm 2 Vm 2 Vp m Lm p Lp Lm Lp
化简
m LmVm p LpV p LV = m p
Rem Rep
即:两流场
要保证粘性力相似,则雷诺数必须相等。反之成立。
2.弗汝德准则(重力相似准则)
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几何相似、运动相似,动力相似是流动相似的重要特征 它们互相联系、互为条件 几何相似是运动相似、动力相似的前提条件 动力相似是是决定流动相似的主导因素 运动相似是几何相似和动力相似的表现形式 它们是一个统一的整体,缺一不可。
12.3.2 相似准则——牛顿数及相似判据
相似准则的导出方法有: ①物理法则法; ②方程分析法; ③量纲分析法。
12.2 量纲分析法
1. 量纲、无量纲量
• •
量纲是指物理量所包含的基本物理要素及其结合形式,表示 物理量的类别,是物理量的质的特征。
在量度物理量数值大小的标准(单位)确定之后,一个具体 的物理量就对应于一个数值,有了比较意义上的大小,这是物 理量的量的特征。
基本量纲
•
• •
量纲 诱导量纲
基本量纲具有独立性,比 如与温度无关的动力学问题 可选取长度[L]、时间[T]和质 量[M]为基本量纲。
• 水流运动是在一定时间和空间中进行的,它遵循水流运动学和动
力学的规律。
• 表征液体运动有三种不同性质的物理量:表征流场几何形状的、
表征运动状态的以及表征动力特性的物理量。 即描述水流运动
的物理量可以分为三个类型:几何量、运动量、动力量。 • 因此,两个系统的流动相似必须做到几何相似、运动相似和动力 相似。即两个流动系统的相似可用几何相似、运动相似及动力相 似来描述。
k a d b p c
[ L3T 1 ] [ ML3 ]a [ L]b [ ML1T 2 ]c
1 1 a , b 2, c 2 2
Q k d p k d
2
1 2
1 2
2
p
令 则
k 2 Q
4
kd
2
gh k d 2 gh
4
d 2 2 gh A 2 gh
1 0 0 1 1 0 1 0 3 0 1
n-m=7-3=4个数
l 1 a1 b1 c1 d v 3 a3 b3 c3 d v
2
d a2 v b2 c2 p 4 a4 b4 c4 d v
1
以1为例
[ L] [ L]a1 [ LT 1 ]b1 [ ML3 ]c1 a1 1 则 b1 0 l 1 d c1 0
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动力相似:原型与模型中相应点上作用的各同名力 矢量互相平行,且均具有同一比值。 动力相似:模型与原型中任意相应点的力多边形相似, 相应边(即同名力)成比例。
原型
模型
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• 动力相似:在对应位置和对应瞬时,流场中各种成分的力
(时变惯性力、位变惯性力、质量力、压差力和粘性力)矢量 图都相似,即相应点力的大小成比例,方向相同。并且五种成 分力的相似比例数也相同,即力多边形相似。
2. 定理
•
物理过程涉及 n 个物理量,其中有 m 个物理量的量纲是互 相独立的,选这些量纲为基本量纲,可组成 n-m 个无量纲量, 物理过程则可由这 n-m 个无量纲量的关系式描述。否则就违反 了量纲和谐原理。
•
物理过程的有量纲表达形式为 f ( x1 , x2 , , xn ) 0 ,其中 m 个物 理量的量纲被选为基本量纲,余下 n-m 个物理量可各自与这m 个物理量组合成无量纲量 1, 2 ,, n m ,定理的结论是:物理 过程的无量纲表达形式为 F (1 , 2 ,, nm ) 0
F t 1 3 L v F 1 1 2 2 L L v 2 L v t F
3
单项力作用下的相似准则
1.雷诺相似准则 当流场中主要是粘性力和惯性力起主要作用
f惯p f 粘p
f惯m f 粘m
(1)
du L 2 V f 粘= A L3 L V 2 L2 f 惯=ma dy 2 L t
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2 相似判据
相似系统中各物理量的比尺是不能任意选定的 而要受描述该运动现象的物理方程的制约的。机械运动 相似的两个系统都应受牛顿第二定律约束,即有
F t du F m 1 dt m u
这是流动相似的重要判据,称为相似判据。
因
m
mp mM
PV P 3 L M VM
3、动力相似
动力相似:
模型与原型中相应点上作用的各同名力
矢量互相平行均具有同一比值。
例如:原型流动中作用有:重力、阻力、表面
张力,则模型流动中相应点上也应存在这三种力,
并且各同名力的方向互相平行、比值保持相等。 23
一般作用在水流中的力有:重力G、粘滞力 T、压力P、表面张力S、弹性力E,如果作用于 质点的合外力F ≠0,将此力视为惯性力I,则所 有的力构成一个平衡力系,并组成一封闭的力多 边形。
p hf , g l v2 hf d 2g 令 f 3 (Re, ) d
12.3 水力相似基本原理
12.3.1 流动相似
在自然界中有些流动规律还不能用完整的理论去描 述,必须通过实验去寻找这些规律。而实验所需的 模型与实型不一定相同,需按一定的规律制作模型, 才能将实验得到的规律换算到实型上。这些规律称 为相似要求。
本章在量纲分析法的基础上探讨流动的相似理论,对流体力 学试验研究有重要的指导意义。
水力模型试验:在模型中重演(或预演)与原型相似的水 流现象以观测分析研究水流运动规律的手段
湖北均县丹江口水利枢纽闸墩振动试验
长江三峡水利枢纽总体布置模型
长江三峡水库变动回水区铜锣峡河段泥沙模型
内容
12.1 概述 12.2 量纲分析法 12.3 水力相似基本原理
当两流场的惯性力与重力起主要作用,同名力的比为
f 惯m Gm
f 惯p Gp
(2)
3
L 2 2 f 惯=ma L 2 L V t 3 G mg L g
代入(2)
LV LV L g L g
2 2 m m m 3 m m 2 m
L v vM LM / t M t
vp Lp / tP
a
ap aM
Lp / tP
2 2
LM / t M
L 2 t
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• 运动相似:以几何相似为前
提。流体质点流过相应的位移 所用时间成比例。
在对应瞬时, 流场速度图相 似,即相应点 速度大小成比 例,方向相同。 长度比尺 l l p / lm 时间比尺 t t p / tm
诱导量纲可由量纲公式通过基本量纲导出
[ x] [ L T M ]
0, 0, 0
如
, , 称为量纲指数
则 x 为几何学的量 则 x 为运动学的量 则 x 为动力学的量 动力粘性系数
[ ] [ L1T 1 M ]
0, 0, 0
0, 0, 0