水力学-第十四章相似理论

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从无量纲表达看，似乎物理过程涉及的因素减少了，其实涉 及的物理量并未减少，只是这些物理量组合成了若干无量纲量相 互关联。比起有量纲表达来，无量纲表达更接近于相关物理量之 间规律性联系的实质，也更具普遍性。
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应用 定理要点（也是难点）在于：确定物理过程涉及的物 理量时，既不能遗漏，也不要多列。
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1.牛顿数
惯性力总是企图保持原有的运动状态，而其它的非惯
性物理力总是力图改变液体的运动状态。液体的运动 就是惯性力和其它非惯性物理力共同作用的结果。 惯性力：
I ma L3 v L2 v 2 t
非惯性力：F
根据动力相似条件：F
FP I F F FP FM P P M 2 2 FM I M IP IM P L2 v P M L2 v M P M
例
p 用 定理推求水平等直径有压管内压强差． 的表达式。已知影响压强差的物理量有管长l、管径d、 管壁绝对粗糙度 、流速v、液体密度 、动力粘滞系 数 及重力加速度g。 解：
F (d , v, , l , , , p) 0
[d ] L1T 1 M 1 L1T 0 M 0 [v] L 2 T 2 M 2 L1T 1M 0 [ ] L 3 T 3 M 3 L3T 0 M 1
2 dv
3 d
p 4 2 v
l p f ( 1 , 2 , 3 , 4 ) 2 f ( , , , 2 )0 d dv d v l dv p f1 ( , , , 2 )0 d d v
p l dv f2 ( , , ,) 2 v d d p l v2 f 3 (Re, ) g d d 2g
上式表明：相似系统中，原型中非惯性物理力与惯性 力之比应等于模型中非惯性物理力与惯性力之比。 30
习惯上，将非惯性物理力F与惯性力I之比称为牛顿数，以
Ne表示，即
Ne
F
Lv
2
2
NeP NeM
显然，两个流动相似，原型与模型的牛顿数一定相等。
这是标志两个流动相似的一般准则，称为牛顿相似准则。 将上式改写为比尺表示的关系式，就得到相似判据
运动粘性系数
[ ] [ L2T 1 ]
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无量纲（量纲为一）量 相同量纲量的比值 如角度，三角函数 定义： 物理量 的所有 量纲指 数为零
几个有量纲量通过乘除组合而成 如压力系数
p p Cp 1 2 U 2
2.量纲和谐原理
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正确反映客观物理规律的函数关系式或方程式，其各项的量 纲指数都分别相同。
长度比尺 l l p / lm 时间比尺 t t p / tm 作用力比尺 F Fp / Fm
4、边界条件和初始条件相似
边界条件和初始条件相似
水流运动受到边界条件和初始条件的影响
和制约，要做到其流动相似，必须使两个系统的边
界条件和初始条件相似。 例如，原型：自由表面 固体边壁 给定瞬时tP的流速vP 模型：自由表面 固体边壁 对应瞬时tP的流速vM
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• 原型：Prototype 模型：Model • 为便于讨论，规定： • 以λ 表示其原型量和模型量的比尺，而 物理 量下标 P、M 则分别表示原型量和模型量。
流动相似
几何相似 运动相似 动力相似
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１、几何相似
几何相似是指原型与模型保持几何形状和几何尺寸相 似，也就是原型和模型的任何一个相应线性长度保持一定的比 例关系。 式中
L
为长度比尺。
Ap AM Lp Lm
2 2
L
L
3 3
2
Lp Lm
面积比尺 体积比尺
A

V
Vp VM

相似
运动相似是指原型与模型两个流动中任何对应质点的迹线 是几何相似的，而且任何对应质点流过相应线段所需的时间又 是具有同一比例的。或者说两个流动的速度场(或加速度场)是 几何相似的。 tp 设时间比尺： t tm 则速度比尺 加速度比尺
任何表示客观物理规律的数学关系式，其数学形式不随单位 制变换而改变形式。
客观物理规律必定可以通过无量纲量之间的关系式来表达。
3. 量纲分析法
１．瑞利法． 适用于影响因素（自变量）间的关系为单项指数形式
y f ( x1 , x2 , x3 , xn ) 0
例
图为理想液体孔口出流，试用瑞利法导出以液体密 度 ，孔口直径d及压强差 p gh表示的孔口流量Q 的表达式． 解： Q f ( , d , p)
第12章 水力模型试验基本原理
12.1 概述 水力模型试验：是将原形实物按照相似原理缩制（或放大） 为模型，在模型中预演或重演与原型相似的自然现象并进行观 测，然后将观测结果再按相似原理引申于原型并作出判断。 量纲分析法：是用于寻求一定物理过程中，相关物理量之间 规律性联系的一种方法。它对于正确地分析、科学地表达物理 过程是十分有益的。
代入（1）
Lm 3 Lp 3 p Lp 2 m Lm 2 tp tm 2 Vm 2 Vp m Lm p Lp Lm Lp
化简
m LmVm p LpV p LV ＝ m p
Rem Rep
即：两流场
要保证粘性力相似，则雷诺数必须相等。反之成立。
2.弗汝德准则（重力相似准则）
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几何相似、运动相似，动力相似是流动相似的重要特征 它们互相联系、互为条件 几何相似是运动相似、动力相似的前提条件 动力相似是是决定流动相似的主导因素 运动相似是几何相似和动力相似的表现形式 它们是一个统一的整体，缺一不可。
12.3.2 相似准则——牛顿数及相似判据
相似准则的导出方法有： ①物理法则法； ②方程分析法； ③量纲分析法。
12．2 量纲分析法
1. 量纲、无量纲量
• •
量纲是指物理量所包含的基本物理要素及其结合形式，表示 物理量的类别，是物理量的质的特征。
在量度物理量数值大小的标准（单位）确定之后，一个具体 的物理量就对应于一个数值，有了比较意义上的大小，这是物 理量的量的特征。
基本量纲
•
• •
量纲 诱导量纲
基本量纲具有独立性，比 如与温度无关的动力学问题 可选取长度[L]、时间[T]和质 量[M]为基本量纲。
• 水流运动是在一定时间和空间中进行的，它遵循水流运动学和动
力学的规律。
• 表征液体运动有三种不同性质的物理量：表征流场几何形状的、
表征运动状态的以及表征动力特性的物理量。 即描述水流运动
的物理量可以分为三个类型：几何量、运动量、动力量。 • 因此，两个系统的流动相似必须做到几何相似、运动相似和动力 相似。即两个流动系统的相似可用几何相似、运动相似及动力相 似来描述。
k a d b p c
[ L3T 1 ] [ ML3 ]a [ L]b [ ML1T 2 ]c
1 1 a , b 2, c 2 2
Q k d p k d
2

1 2
1 2
2
p

令 则
k 2 Q

4
kd
2
gh k d 2 gh

4
d 2 2 gh A 2 gh
1 0 0 1 1 0 1 0 3 0 1
n-m=7-3=4个数
l 1 a1 b1 c1 d v 3 a3 b3 c3 d v
2

d a2 v b2 c2 p 4 a4 b4 c4 d v
1
以１为例
[ L] [ L]a1 [ LT 1 ]b1 [ ML3 ]c1 a1 1 则 b1 0 l 1 d c1 0
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动力相似：原型与模型中相应点上作用的各同名力 矢量互相平行，且均具有同一比值。 动力相似：模型与原型中任意相应点的力多边形相似， 相应边（即同名力）成比例。
原型
模型
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• 动力相似：在对应位置和对应瞬时，流场中各种成分的力
（时变惯性力、位变惯性力、质量力、压差力和粘性力）矢量 图都相似，即相应点力的大小成比例，方向相同。并且五种成 分力的相似比例数也相同，即力多边形相似。
２. 定理
•
物理过程涉及 n 个物理量，其中有 m 个物理量的量纲是互 相独立的，选这些量纲为基本量纲，可组成 n-m 个无量纲量， 物理过程则可由这 n-m 个无量纲量的关系式描述。否则就违反 了量纲和谐原理。
•
物理过程的有量纲表达形式为 f ( x1 , x2 , , xn ) 0 ，其中 m 个物 理量的量纲被选为基本量纲，余下 n-m 个物理量可各自与这m 个物理量组合成无量纲量 1, 2 ,, n m ，定理的结论是：物理 过程的无量纲表达形式为 F (1 , 2 ,, nm ) 0
F t 1 3 L v F 1 1 2 2 L L v 2 L v t F
3
单项力作用下的相似准则
1.雷诺相似准则 当流场中主要是粘性力和惯性力起主要作用
f惯p f 粘p

f惯m f 粘m
(1)
du L 2 V f 粘＝ A L3 L V 2 L2 f 惯＝ma dy 2 L t
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2 相似判据
相似系统中各物理量的比尺是不能任意选定的 而要受描述该运动现象的物理方程的制约的。机械运动 相似的两个系统都应受牛顿第二定律约束，即有
F t du F m 1 dt m u
这是流动相似的重要判据，称为相似判据。
因
m
mp mM
PV P 3 L M VM
３、动力相似
动力相似：
模型与原型中相应点上作用的各同名力
矢量互相平行均具有同一比值。
例如：原型流动中作用有：重力、阻力、表面
张力，则模型流动中相应点上也应存在这三种力，
并且各同名力的方向互相平行、比值保持相等。 23
一般作用在水流中的力有：重力G、粘滞力 T、压力P、表面张力S、弹性力E，如果作用于 质点的合外力F ≠0，将此力视为惯性力I，则所 有的力构成一个平衡力系，并组成一封闭的力多 边形。
p hf , g l v2 hf d 2g 令 f 3 (Re, ) d
12．3 水力相似基本原理
12.3.1 流动相似
在自然界中有些流动规律还不能用完整的理论去描 述，必须通过实验去寻找这些规律。而实验所需的 模型与实型不一定相同，需按一定的规律制作模型， 才能将实验得到的规律换算到实型上。这些规律称 为相似要求。
本章在量纲分析法的基础上探讨流动的相似理论，对流体力 学试验研究有重要的指导意义。
水力模型试验:在模型中重演（或预演）与原型相似的水 流现象以观测分析研究水流运动规律的手段
湖北均县丹江口水利枢纽闸墩振动试验
长江三峡水利枢纽总体布置模型
长江三峡水库变动回水区铜锣峡河段泥沙模型
内容
12.1 概述 12.2 量纲分析法 12.3 水力相似基本原理
当两流场的惯性力与重力起主要作用，同名力的比为
f 惯m Gm

f 惯p Gp
(2)
3
L 2 2 f 惯＝ma L 2 L V t 3 G mg L g
代入（2）
LV LV L g L g
2 2 m m m 3 m m 2 m
L v vM LM / t M t
vp Lp / tP
a
ap aM

Lp / tP
2 2
LM / t M
L 2 t
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• 运动相似：以几何相似为前
提。流体质点流过相应的位移 所用时间成比例。
在对应瞬时， 流场速度图相 似，即相应点 速度大小成比 例，方向相同。 长度比尺 l l p / lm 时间比尺 t t p / tm
诱导量纲可由量纲公式通过基本量纲导出
[ x] [ L T M ]
0, 0, 0
如
, , 称为量纲指数
则 x 为几何学的量 则 x 为运动学的量 则 x 为动力学的量 动力粘性系数
[ ] [ L1T 1 M ]
0, 0, 0
0, 0, 0