重积分__三重积分的计算

Ω Ω Ω Ω Ω
= 3∫∫∫ z dV = 3∫
2 Ω
2π 0
dθ ∫ sin ϕdϕ ∫ r 4cos 2ϕd r
0 0 R
π
R
4 = 6π ∫ sinϕ cos ϕdϕ ⋅ ∫ r 4d r = πR 5 . 0 0 5
2
π
Ω
其中 Ω 由 z = x 2 + y 2 及 z = 4 围成
Ω : −2 ≤ x ≤ 2,− 4 − x 2 ≤ y ≤ 4 − x 2 , x 2 + y 2 ≤ z ≤ 4,
∴ ∫∫∫ zdxdydz
Ω
4
2
= ∫ dx ∫
−2
2
4− x 2
− 4− x
dy ∫ 2
4
x +y
2
zdz
64 = π 3
第三节 三重积分的计算方法
第三节 三重积分的计算法
化成三次积分
一.在直角坐标系中的计算法 在直角坐标系中的计算法 在直角坐标系中,用平行于坐标面的平面将积分区域 Ω 分成 n 份(大部分是小长方体),可知: dv = dxdydz 体积元素 ∴ ∫∫∫ f ( x, y, z )dv = ∫∫∫ f ( x, y, z )dxdydz
∫∫∫
Ω
2.设积分区域 Ω 的边界曲面与平行于坐标轴的直线相交多于 两点.可以将积分域分成简单子域,利用积分可加性计算.
例1
计算 ∫∫∫ xdxdydz
Ω
其中 Ω 由三个坐标面及 x + 2 y + z = 1 围成 解 将 Ω 向 xoy 面作投影,则 1− x Ω : 0 ≤ x ≤ 1,0 ≤ y ≤ ,0 ≤ z ≤ 1 − x − 2 y 2
4 0 0
π
R
1 5 2 5 2 = πR ( − ) 5 3 12
例5.选择适当的坐标系,将 ∫∫∫ f ( x, y, z )dv Ω 化成三次积分. 顶角为α 的内接锥面围成
Ω 由半径为a 的球面与半
2a a
Ω : 0 ≤ θ ≤ 2π ,0 ≤ ϕ ≤ α ,0 ≤ r ≤ 2a cos ϕ ,
∴ ∫∫∫ f ( x, y, z )dv
Ω
= ∫ dθ ∫ dϕ ∫
0 0
2π
α
2 a cosϕ
0
f (r sin ϕ cosθ , r sin ϕ sin θ , r cos ϕ )r 2 sin ϕdr
注:选择合适的坐标系是计算三重积分的关键 选择合适的坐标系是计算三重积分的关键 一般的: (1).区域由平面围成,常选择直角坐标系;
Ω
由对称性知
∫∫∫ xydV = ∫∫∫ yzdV = ∫∫∫ xzdV ,
Ω Ω Ω
x 2 dV = ∫∫∫ y 2 dV = ∫∫∫ z 2 dV . ∫∫∫
Ω Ω Ω
∫∫∫
Ω Ω
( x + y + z ) 2 dV
= ∫∫∫ x 2 dV + ∫∫∫ y 2 dV + ∫∫∫ z 2 dV + 2∫∫∫ xydV + 2∫∫∫ yzdV + 2 ∫∫∫ xzdV
x 2 dv 其中 Ω 由 例4 计算 ∫∫∫
Ω
z = x 2 + y 2 与 z = R 2 − x 2 − y 2 围成.
Ω : 0 ≤ θ ≤ 2π ,0 ≤ ϕ ≤
2π
π
4
,0 ≤ r ≤ R ,
∫∫∫ x dv =
2 Ω
∫
0
d θ ∫ d ϕ ∫ r 2 cos 2 θ sin 2 ϕ r 2 sin ϕ dr
4
∴ ∫∫∫ zdxdydz = ∫∫∫ zrdrd θdz
Ω
= ∫ dθ ∫ rdr ∫ 2 zdz = 64 π r 0 0 3
2 4
Ω
2π
三. 在球面坐标系中的计算法 设空间一点M(x,y,z)可用下列三个数确定: (1).点M与原点的距离 r ; (2). OM 与 z轴正向的夹角 ϕ ; (3). OM 在xoy面上的投影向量与z 轴的夹角 θ . 则 (r , ϕ ,θ )称为点M 的球面坐标. 与直角坐标的关系
x 2 + y 2 + z 2 ≤t 2
1 解 lim 4 t →0 πt
∫∫∫
2
f ( x 2 + y 2 + z 2 ) dV
x + y 2 + z 2 ≤t 2
π t 1 2π = lim 4 ∫ dθ ∫ sin ϕdϕ ∫ f (r )r 2 d r 0 0 t →0 πr 0
x = r sin ϕ cosθ y = r sin ϕ sin θ z = r cos ϕ
z M r y P
ϕ
θ
x
变化范围
0 ≤ r < +∞,0 ≤ θ ≤ 2π ,0 ≤ ϕ ≤ π
坐标面
ϕ = 常数
体积元素
θ = 常数
r = 常数
以原点为心的球面 过z轴的半平面 以原点为顶点,以 ϕ 为半顶角的圆锥面.
∴ ∫∫∫ xdxdydz = ∫ dx ∫
Ω 0
1
1− x 2 0
dy ∫
1− x − 2 y
0
xdz
= ∫ dx ∫
0
1
1− x 2 0
x(1 − x − 2 y )dy
1 1 1 2 3 = ∫ ( x − 2 x − x )dx = 48 4 0
计算三重积分时也要注意积分次序的选择
例2
计算 ∫∫∫ zdxdydz
= lim
t →0 0 0
2π ⋅ 2 ⋅ ∫ f (r )r 2 d r
0
t
πt 4
f ( 0) = 0 . f ( 0) ≠ 0
4πf (t ) 4πt 3 = lim t = ∞, t →0 t →0
2. ∫∫∫ ( x + y + z ) 2 dV , Ω : x 2 + y 2 + z 2 ≤ R 2
若D是X型域
= ∫ dx ∫
a
b
y2 ( x )
y1 ( x )
dy ∫
z2 ( x, y )
z1 ( x , y )
f ( x, y , z ) dz
先对z后对y再对x的三次积分 同理,可将 Ω 投影到 yoz 面或 zox 面上,使三重积分化成其他顺 序的三次积分:
∫∫∫
Ω
x2 ( y , z ) f ( x, y , z ) dx dydz f ( x, y , z ) dxdydz = ∫∫ ∫ x1 ( y , z ) D y 2 ( z , x ) f ( x, y , z ) dy dzdx f ( x, y , z ) dxdydz = ∫∫ ∫ y1 ( z , x ) D
计算过程繁琐 柱面坐标系
能否把极坐标结合到空间坐标系内? 能否把极坐标结合到空间坐标系内
二.在柱面坐标系中的计算法 在柱面坐标系中的计算法 设空间一点M(x,y,z),点M在xoy面上的投影P 的极坐标为 (r ,θ ), 则 (r ,θ , z ) 称为点M 的柱面坐标. z 与直角坐标的关系 x = r cosθ M y = r sin θ
Ω Ω
仿照二重积分研究其计算方法: 1.设积分区域 Ω 的边界曲面与平行于 坐标轴的直线相交不多于两点.
z
例如,与平行于 z 轴的直线相交不多于两 点. D为 Ω 在 xoy 面上的投影域. x 上下曲面为: z = z1 ( x, y ), z = z 2 ( x, y )
y D
∴ ∫∫∫
Ω
z 2 ( x , y ) f ( x, y , z ) dz dxdy f ( x, y , z ) dxdydz = ∫∫ ∫ z1 ( x , y ) D
2 2 (2).区域由圆柱面围成,被积函数形如 f ( x + y ) 常选择柱面坐标系; 2 2 2 (3).区域由球面锥面围成,被积函数形如 f ( x + y + z ) 常选择球面坐标系.
题型解析
1 1.设f (u )具有连续导数，求 lim 4 r →0 πt f ( x 2 + y 2 + z 2 )dxdydz. ∫∫∫
z 2 dv 例3 计算 ∫∫∫
Ω
其中 Ω 由 x 2 + y 2 + z 2 ≤ R 2 围成.
Ω : 0 ≤ θ ≤ 2π ,0 ≤ ϕ ≤ π ,0 ≤ r ≤ R,
z dv = ∫ dθ ∫ dϕ ∫ r 2 cos 2 ϕr 2 sin 2 ϕdr ∫∫∫
2 Ω 0 0 0 2π
π
R
π R 5 2π = dθ ∫ cos 2 ϕ sin ϕdϕ 0 5 ∫0 4 = πR 5 15
∫∫∫ f ( x, y, z )dv = ∫∫∫ f (r cosθ , r sin θ , z )rdrdθdz
Ω Ω
化成三次积分
前面例2 计算
∫∫∫ zdxdydz
Ω 2
其中 Ω 由 z = x + y 2 及 z = 4 围成
Ω : r 2 ≤ z ≤ 4,0 ≤ r ≤ 2,0 ≤ θ ≤ 2π
dv = r 2 sin ϕdrdϕdθ
这是因为: 如果用三组坐标面划分 Ω ,大部 分子域为如图小立体,近似看作长方体,则:
∫∫∫ f ( x, y, z)dv
Ω Ω
化成三次积分
= ∫∫∫ f (r sin ϕ cosθ , r sin ϕ sin θ , r cos ϕ )r 2 sin ϕdrdϕdθ
z=z 变化范围 0 ≤ r < +∞,0 ≤ θ ≤ 2π ,−∞ < z < +∞.
坐标面
y x
θ
θ = 常数
r = 常数 z = 常数
r P
以 z 轴为轴的圆柱面 过 z 轴的半平面 平行于xoy面的平面
体积元素
dv = rdrdθdz
这是因为: 如果用三组坐标面划分 Ω ,大部分子域为小柱体, 近似看作长方体,则: