北师大版高中数学必修5课件:1
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4.在等比数列的前n项和Sn中,当n值较小时,可直接用 a1+a2+…+an来表示Sn,如S3=a1+a2+a3=a1+a1q+a1q2.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
变式训练1
在等比数列{an}中,S3=72,S6=623,求数列{an}的通项公式 an.
解:∵S6≠2S3,∴q≠1.
又 S3=72,S6=623,∴
解析:由等比数列的性质可得S2,S4-S2,S6-S4,S8-S6成等比数列, 又S2=4,S4=16,故S4-S2=12,所以公比为3, 由等比数列可得S6-S4=36,S8-S6=108, 解得S6=52,S8=160,故选A. 答案:A
探究一
探究二
探究三
思维辨析
探究三 乘公比错位相减法求和
【例3】已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=2n2+n,n∈N+,数列{bn}
∴当 q=1 时,Sn=b1(a1+a2+…+an)
=b1·������(������12+������������); 当 q≠1 时,Sn=������1������11-���-���������������������1������������+db1·������((11--���������������)���2-1).
…
+
1 2������
− 2���������+���+21.
则 Sn=3+
1 2
+
1 22
+
…
+
1 2������-1
−
������+2 2������
1 2
1-
1 2
������-1
=3+ 1-12
− ������2+������2=4-������2+������4.
答案:4-������2+������4
探究二
探究三
思维辨析
解:(1)由Sn=2n2+n,得当n=1时,a1=S1=3; 当n≥2时,an=Sn-Sn-1=4n-1, a1=3也符合上式, 所以an=4n-1,n∈N+. 由4n-1=an=4log2bn+3,得bn=2n-1,n∈N+. (2)由(1)知anbn=(4n-1)·2n-1,n∈N+,
������1(1-������3) 1-������
=
7 2
,
������1(1-������6) 1-������
=
63 2
,
整理,得 1+q3=9,解得 q=2.
将
q=2
代入������1(1-������3)
1-������
=
72,得
a1=12,
∴an=a1qn-1=2n-2.
探究一
探究二
当 q≠1 时,等比数列前 n 项和公式 Sn=������1(11--������������������); 当q=1时,数列{an}变为a1,a1,a1,…,a1,…,易得它的前n项和Sn=na1. (2)(拆项法):由Sn=a1+a2+a3+…+an=a1+q(a1+a2+a3+…+an1)=a1+qSn-1=a1+q(Sn-an),得(1-q)Sn=a1-anq.结论同上. (3)(累加法):an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1)=a1+a1(q-1)+a2(q1)+…+an-1(q-1)=a1+(a1+a2+…+an-1)(q-1)=a1+(Sn-an)(q-1),整理,得 (1-q)Sn=a1-anq.结论同上.
又 an=a1·qn-1,即 2=64·12
������ -1
,∴n=6;
当 a1=2,an=64 时,∵Sn=������11--������������������������=126,∴q=2.
又 an=a1·qn-1,即 64=2·2n-1,∴n=6.
综上,n=6,q=12或 2.
探究一
探究二
.(
)
(3)若等比数列{an}的前n项和为Sn=3n+t,则t=-1. ( )
答案:(1)× (2)× (3)√
探究一
探究二
探究三
思维辨析
探究一 等比数列前 n 项和公式的应用
【(例2)1在】等(比1){数an列}为{a等n}比中数,a1列+a,若n=a616+,aa23a=n1-10=,a142+8a,其6=前54n,求项a和4和为S5;
∵a1+an=66,∴a1,an 为方程 x2-66x+128=0 的两根.
∴
������1 ������������
= =
64, 2
或
������1 = 2, ������������ = 64.
当 a1=64,an=2 时,∵Sn=������11--������������������������=126,∴q=12.
(2)在等比数列{an}中,若Sm,S2m-Sm,S3m-S2m均不为0,则Sm,S2mSm,S3m-S2m成等比数列.运用此性质时,注意各项非零的要求及下标 和差的构造.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
变式训练2 已知等比数列前n项和为Sn,若S2=4,S4=16,则
S8=( )
A.160 B.64 C.-64 D.-160
答案:B
知识拓展等比数列前n项和公式的推导
推导前n项和公式的方法,除了教材上提供的错位相减法,还有以
下几种方法. (1)(定义法):由等比数列的定义,得������������21 = ������������32=…=���������������������-���1=q.根据比例
的性质,得���������1���2++���������2���3++……++���������������������-���1 = ������������������������--���������������1���=q,故(1-q)Sn=a1-anq.
+
������2)
=
5 4
.
∵a1≠0,1+q2≠0,
∴两式相除得 q3=18,∴q=12.∴a1=8.
∴a4=a1q3=8×
1 2
3
=1,
S5=������1(11--������������5)
=
8×
1-
1 2
1-12
5
= 321.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
(2)由等比数列的性质知 a1an=a2an-1=128,
3.2 等比数列的前n项和
学习目标
1.掌握等比数列的前 n 项和公 式,并能应用公式解决相关问 题. 2.掌握并能应用等比数列前 n 项和的性质. 3.掌握数列求和的重要方法 ——乘公比错位相减法.
思维脉络
1.等比数列的前n项和公式
若数列{an}是公比为q的等比数列,则 当q=1时,Sn=na1; 当 q≠1 时,Sn=������1(11--������������������) = ������11--������������������������.
探究三
思维辨析
反思感悟1.在等比数列的前n项和公式中,共有a1,an,q,n,Sn这五个 量,已知其中任何三个量,都可以求其余两个量.
2.求解等比数列的计算问题,多采用基本量方法,即建立关于a1和 q的方程(组),求得a1与q后再解决其他问题.
3.应用等比数列前n项和公式时,必须注意q=1与q≠1这两种情况.
所以Tn=3+7×2+11×22+…+(4n-1)·2n-1, 2Tn=3×2+7×22+…+(4n-5)·2n-1+(4n-1)·2n, 所以2Tn-Tn=(4n-1)·2n-[3+4×(2+22+…+2n-1)]
=(4n-5)·2n+5.
故Tn=(4n-5)·2n+5,n∈N+.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
反思感悟1.一般地,如果数列{an}是等差数列,{bn}是等比数列且 公比为q,求数列{an·bn}的前n项和时,可采用乘公比错位相减法.
思考辨析
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打
“×”.
(1)若数列{an}是等比数列,Sn是数列{an}的前n项和,则Sn,S2n-Sn,
S3n-S2n一定成等比数列. ( ) (2)数列a,a2,a3,…,an,…的前n项和为
Sn=������(11--������������������)
探究三
思维辨析
探究二 等比数列前 n 项和性质的应用
【例2】 (1)等比数列{an}共有2n项,其和为-240,且奇数项的和比
偶数项的和大80,则公比q=
;
(2)在等比数列{an}中,S2=7,S6=91,则S4=
.
分析:(1)先分别求出奇数项的和与偶数项的和,再运用性质求
解;(2)根据S2,S4-S2,S6-S4成等比数列求解.
∴Sn-qSn=a1b1+(a2-a1)b1q+(a3-a2)b1q2+…+(an-an-1)b1qn-1-anb1qn.
由等差数列的定义知 a2-a1=a3-a2=…=an-an-1=d,
∴(1-q)Sn=a1b1+db1q+db1q2+…+db1qn-1-anb1qn
=a1b1+db1(q+q2+…+qn-1)-anb1qn,
满足an=4log2bn+3,n∈N+.
(1)求an,bn;
(2)求数列{an·bn}的前n项和Tn.
分析:(1)
先利用 an=
������1,������ = 1, ������������ -������������-1,������
≥
2,求出
an,再求
bn.
(2)利用乘公比错位相减法求和.
探究一
【做一做3】3·2-1+4·2-2+5·2-3+…+(n+2)·2-n=
.
解析:设 Sn=3×12+4×212+5×213+…+(n+2)×21������,
①
则12Sn=3×212+4×213+5×214+…+(n+2)×2������1+1,
②
①-②得12Sn=3×12 +
பைடு நூலகம்
1 22
+
1 23
+
【做一做1】已知等比数列{an}的首项为2,公比为-1,则数列{an}的
前99项之和是
.
解析:由 Sn=������1(11--������������������),得 S99=2[11--((--11))99]=2.
答案:2
2.等比数列前n项和的性质
((12))S在n+等m=比Sn数+q列nS中m;,若项数为2n(n∈N+),则������������偶奇=q; (3)当q=-1,且k为偶数时,Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,…不是等比数列;
3.乘公比错位相减法求和
课本上推导等比数列前n项和的方法,即错位相减法,它解决的主要
求和问题是:如果数列{an}和{bn}分别是等差和等比数列,求数列 {an·bn}的前n项和. 求和过程如下:设数列{an·bn}的前n项和是Sn,等差数列{an}的公差 是d,等比数列{bn}的公比是q,则有 Sn=a1b1+a2b2+a3b3+…+anbn=a1b1+a2b1q+a3b1q2+…+anb1qn-1, qSn=a1b1q+a2b1q2+a3b1q3+…+anb1qn,
Sn,Sn=126,求n和q.
解:(1)设{an}的公比为 q,由通项公式及已知条件得
������1 + ������1������2 = 10,
������1(1 + ������2) = 10,
������1������3
+
������1������5
=
5 4
,
即
������1������3(1
∴有(S4-S2)2=S2(S6-S4), 即(S4-7)2=7×(91-S4),解得S4=28(负值舍去).
答案:(1)2 (2)28
探究一
探究二
探究三
思维辨析
反思感悟应用等比数列前n项和的性质可以避免烦琐的计算,使
解题过程简化,常用的前n项和的性质是: (1)在等比数列{an}中,若项数为 2n(n∈N+),则������������偶 奇=q(公比);
当q≠-1或k为奇数时,Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,…是等比数列.
【做一做2】
设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,若������������63=3,则������������96=(
)
A.2
B.73
C.83
D.3
解析:根据等比数列的性质,S3,S6-S3,S9-S6仍然成等比数列.
∵������������63=3,∴不妨设 S3=x(x≠0),则 S6=3x, ∴S6-S3=2x,∴S9-S6=4x, ∴S9=7x.∴������������96 = 73.故选 B.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
解析:(1)由已知可得 ������奇 + ������偶 = -240, ������奇-������偶 = 80,
∴
������奇 ������偶
= =
-80,
∴公比
-160,
q=������������偶奇
=
--18600=2.
(2)由等比数列前n项和性质,得
S2,S4-S2,S6-S4成等比数列,
探究一
探究二
探究三
思维辨析
变式训练1
在等比数列{an}中,S3=72,S6=623,求数列{an}的通项公式 an.
解:∵S6≠2S3,∴q≠1.
又 S3=72,S6=623,∴
解析:由等比数列的性质可得S2,S4-S2,S6-S4,S8-S6成等比数列, 又S2=4,S4=16,故S4-S2=12,所以公比为3, 由等比数列可得S6-S4=36,S8-S6=108, 解得S6=52,S8=160,故选A. 答案:A
探究一
探究二
探究三
思维辨析
探究三 乘公比错位相减法求和
【例3】已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=2n2+n,n∈N+,数列{bn}
∴当 q=1 时,Sn=b1(a1+a2+…+an)
=b1·������(������12+������������); 当 q≠1 时,Sn=������1������11-���-���������������������1������������+db1·������((11--���������������)���2-1).
…
+
1 2������
− 2���������+���+21.
则 Sn=3+
1 2
+
1 22
+
…
+
1 2������-1
−
������+2 2������
1 2
1-
1 2
������-1
=3+ 1-12
− ������2+������2=4-������2+������4.
答案:4-������2+������4
探究二
探究三
思维辨析
解:(1)由Sn=2n2+n,得当n=1时,a1=S1=3; 当n≥2时,an=Sn-Sn-1=4n-1, a1=3也符合上式, 所以an=4n-1,n∈N+. 由4n-1=an=4log2bn+3,得bn=2n-1,n∈N+. (2)由(1)知anbn=(4n-1)·2n-1,n∈N+,
������1(1-������3) 1-������
=
7 2
,
������1(1-������6) 1-������
=
63 2
,
整理,得 1+q3=9,解得 q=2.
将
q=2
代入������1(1-������3)
1-������
=
72,得
a1=12,
∴an=a1qn-1=2n-2.
探究一
探究二
当 q≠1 时,等比数列前 n 项和公式 Sn=������1(11--������������������); 当q=1时,数列{an}变为a1,a1,a1,…,a1,…,易得它的前n项和Sn=na1. (2)(拆项法):由Sn=a1+a2+a3+…+an=a1+q(a1+a2+a3+…+an1)=a1+qSn-1=a1+q(Sn-an),得(1-q)Sn=a1-anq.结论同上. (3)(累加法):an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1)=a1+a1(q-1)+a2(q1)+…+an-1(q-1)=a1+(a1+a2+…+an-1)(q-1)=a1+(Sn-an)(q-1),整理,得 (1-q)Sn=a1-anq.结论同上.
又 an=a1·qn-1,即 2=64·12
������ -1
,∴n=6;
当 a1=2,an=64 时,∵Sn=������11--������������������������=126,∴q=2.
又 an=a1·qn-1,即 64=2·2n-1,∴n=6.
综上,n=6,q=12或 2.
探究一
探究二
.(
)
(3)若等比数列{an}的前n项和为Sn=3n+t,则t=-1. ( )
答案:(1)× (2)× (3)√
探究一
探究二
探究三
思维辨析
探究一 等比数列前 n 项和公式的应用
【(例2)1在】等(比1){数an列}为{a等n}比中数,a1列+a,若n=a616+,aa23a=n1-10=,a142+8a,其6=前54n,求项a和4和为S5;
∵a1+an=66,∴a1,an 为方程 x2-66x+128=0 的两根.
∴
������1 ������������
= =
64, 2
或
������1 = 2, ������������ = 64.
当 a1=64,an=2 时,∵Sn=������11--������������������������=126,∴q=12.
(2)在等比数列{an}中,若Sm,S2m-Sm,S3m-S2m均不为0,则Sm,S2mSm,S3m-S2m成等比数列.运用此性质时,注意各项非零的要求及下标 和差的构造.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
变式训练2 已知等比数列前n项和为Sn,若S2=4,S4=16,则
S8=( )
A.160 B.64 C.-64 D.-160
答案:B
知识拓展等比数列前n项和公式的推导
推导前n项和公式的方法,除了教材上提供的错位相减法,还有以
下几种方法. (1)(定义法):由等比数列的定义,得������������21 = ������������32=…=���������������������-���1=q.根据比例
的性质,得���������1���2++���������2���3++……++���������������������-���1 = ������������������������--���������������1���=q,故(1-q)Sn=a1-anq.
+
������2)
=
5 4
.
∵a1≠0,1+q2≠0,
∴两式相除得 q3=18,∴q=12.∴a1=8.
∴a4=a1q3=8×
1 2
3
=1,
S5=������1(11--������������5)
=
8×
1-
1 2
1-12
5
= 321.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
(2)由等比数列的性质知 a1an=a2an-1=128,
3.2 等比数列的前n项和
学习目标
1.掌握等比数列的前 n 项和公 式,并能应用公式解决相关问 题. 2.掌握并能应用等比数列前 n 项和的性质. 3.掌握数列求和的重要方法 ——乘公比错位相减法.
思维脉络
1.等比数列的前n项和公式
若数列{an}是公比为q的等比数列,则 当q=1时,Sn=na1; 当 q≠1 时,Sn=������1(11--������������������) = ������11--������������������������.
探究三
思维辨析
反思感悟1.在等比数列的前n项和公式中,共有a1,an,q,n,Sn这五个 量,已知其中任何三个量,都可以求其余两个量.
2.求解等比数列的计算问题,多采用基本量方法,即建立关于a1和 q的方程(组),求得a1与q后再解决其他问题.
3.应用等比数列前n项和公式时,必须注意q=1与q≠1这两种情况.
所以Tn=3+7×2+11×22+…+(4n-1)·2n-1, 2Tn=3×2+7×22+…+(4n-5)·2n-1+(4n-1)·2n, 所以2Tn-Tn=(4n-1)·2n-[3+4×(2+22+…+2n-1)]
=(4n-5)·2n+5.
故Tn=(4n-5)·2n+5,n∈N+.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
反思感悟1.一般地,如果数列{an}是等差数列,{bn}是等比数列且 公比为q,求数列{an·bn}的前n项和时,可采用乘公比错位相减法.
思考辨析
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打
“×”.
(1)若数列{an}是等比数列,Sn是数列{an}的前n项和,则Sn,S2n-Sn,
S3n-S2n一定成等比数列. ( ) (2)数列a,a2,a3,…,an,…的前n项和为
Sn=������(11--������������������)
探究三
思维辨析
探究二 等比数列前 n 项和性质的应用
【例2】 (1)等比数列{an}共有2n项,其和为-240,且奇数项的和比
偶数项的和大80,则公比q=
;
(2)在等比数列{an}中,S2=7,S6=91,则S4=
.
分析:(1)先分别求出奇数项的和与偶数项的和,再运用性质求
解;(2)根据S2,S4-S2,S6-S4成等比数列求解.
∴Sn-qSn=a1b1+(a2-a1)b1q+(a3-a2)b1q2+…+(an-an-1)b1qn-1-anb1qn.
由等差数列的定义知 a2-a1=a3-a2=…=an-an-1=d,
∴(1-q)Sn=a1b1+db1q+db1q2+…+db1qn-1-anb1qn
=a1b1+db1(q+q2+…+qn-1)-anb1qn,
满足an=4log2bn+3,n∈N+.
(1)求an,bn;
(2)求数列{an·bn}的前n项和Tn.
分析:(1)
先利用 an=
������1,������ = 1, ������������ -������������-1,������
≥
2,求出
an,再求
bn.
(2)利用乘公比错位相减法求和.
探究一
【做一做3】3·2-1+4·2-2+5·2-3+…+(n+2)·2-n=
.
解析:设 Sn=3×12+4×212+5×213+…+(n+2)×21������,
①
则12Sn=3×212+4×213+5×214+…+(n+2)×2������1+1,
②
①-②得12Sn=3×12 +
பைடு நூலகம்
1 22
+
1 23
+
【做一做1】已知等比数列{an}的首项为2,公比为-1,则数列{an}的
前99项之和是
.
解析:由 Sn=������1(11--������������������),得 S99=2[11--((--11))99]=2.
答案:2
2.等比数列前n项和的性质
((12))S在n+等m=比Sn数+q列nS中m;,若项数为2n(n∈N+),则������������偶奇=q; (3)当q=-1,且k为偶数时,Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,…不是等比数列;
3.乘公比错位相减法求和
课本上推导等比数列前n项和的方法,即错位相减法,它解决的主要
求和问题是:如果数列{an}和{bn}分别是等差和等比数列,求数列 {an·bn}的前n项和. 求和过程如下:设数列{an·bn}的前n项和是Sn,等差数列{an}的公差 是d,等比数列{bn}的公比是q,则有 Sn=a1b1+a2b2+a3b3+…+anbn=a1b1+a2b1q+a3b1q2+…+anb1qn-1, qSn=a1b1q+a2b1q2+a3b1q3+…+anb1qn,
Sn,Sn=126,求n和q.
解:(1)设{an}的公比为 q,由通项公式及已知条件得
������1 + ������1������2 = 10,
������1(1 + ������2) = 10,
������1������3
+
������1������5
=
5 4
,
即
������1������3(1
∴有(S4-S2)2=S2(S6-S4), 即(S4-7)2=7×(91-S4),解得S4=28(负值舍去).
答案:(1)2 (2)28
探究一
探究二
探究三
思维辨析
反思感悟应用等比数列前n项和的性质可以避免烦琐的计算,使
解题过程简化,常用的前n项和的性质是: (1)在等比数列{an}中,若项数为 2n(n∈N+),则������������偶 奇=q(公比);
当q≠-1或k为奇数时,Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,…是等比数列.
【做一做2】
设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,若������������63=3,则������������96=(
)
A.2
B.73
C.83
D.3
解析:根据等比数列的性质,S3,S6-S3,S9-S6仍然成等比数列.
∵������������63=3,∴不妨设 S3=x(x≠0),则 S6=3x, ∴S6-S3=2x,∴S9-S6=4x, ∴S9=7x.∴������������96 = 73.故选 B.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
解析:(1)由已知可得 ������奇 + ������偶 = -240, ������奇-������偶 = 80,
∴
������奇 ������偶
= =
-80,
∴公比
-160,
q=������������偶奇
=
--18600=2.
(2)由等比数列前n项和性质,得
S2,S4-S2,S6-S4成等比数列,