甘肃省天水一中2018-2019学年高二上学期期末考试数学(文)试题(解析版)

天水一中高二级2018-2019学年第一学期第二学段考试
数学试题（文）
一、单选题(每小题5分，共60分)
1.已知复数其中为虚数单位，则的共轭复数的虚部为
A. 1
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】
【分析】
利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数，再利用共轭复数及虚部的定义求解即可.
【详解】，
，
则的共轭复数的虚部为，故选C．
【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的摸这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.
2.若命题p：∀x∈，tanx>sinx，则命题非p为( )
A. ∃x0∈，tanx0≥sinx0
B. ∃x0∈，tanx0>sinx0
C. ∃x0∈，tanx0≤sinx0
D. ∃x0∈，tanx0>sinx0
【答案】C
【解析】
【分析】
【详解】全称命题中“∀”改为“∃”，并否定结论，
所以命题非p为：∃x0∈，tanx0≤sinx0，故选C.
【点睛】本题主要考查全称命题的否定，属于简单题.全称命题与特称命题的否定与命题的否定有一定的区别，否定全称命题和特称命题时，一是要改写量词，全称量词改写为存在量词、存在量词改写为全称量词;二是要否定结论，而一般命题的否定只需直接否定结论即可.
3.下列说法错误的是
A. 对分类变量X与Y，随机变量K2的观测值k越大，则判断“X与Y有关系”的把握程度越小
B. 在回归直线方程=0.2x+0.8中，当解释变量x每增加1个单位时，预报变量平均增加0.2个单位
C. 两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值就越接近于1
D. 回归直线过样本点的中心（，）
【答案】A
【解析】
A．对分类变量X与Y的随机变量K2的观测值k来说，k越大，“X与Y有关系”可信程度越大，因此不正确；
B．在线性回归方程=0.2x+0.8中，当x每增加1个单位时，预报量平均增加0.2个单位，正确；C．两个随机变量相关性越强，则相关系数的绝对值越接近1，因此正确；
D．回归直线过样本点的中心（，），正确．
综上可知：只有A不正确．
故选：A．
4.已知恒成立，则实数的取值范围是
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
先利用基本不等式求得的最小值，然后根据恒成立，求得m2+2m＜8，进而求得m的范围．
【详解】由基本不等式可得≥2，
若恒成立，则使8＞m2+2m恒成立，
∴m2+2m＜8，求得-4＜m＜2
故选：D．
【点睛】本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用．考查了学生分析问题和解决问题的能力，属于基础题．
5.若变量满足，则的最小值为（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
作出可行域如下图，
由得，平移直线，由图像可知当直线经过点B时，直线截距最
大，此时最小，由解得，B(-2,2)，
故此时，所以选D．
6.“函数在区间上单调递增”是“”的
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件
D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
考虑函数在上为单调递增时实数的取值范围后可得两者的关系.
【详解】若，则对称轴，所以在上为单调递增，
取，则对称轴，在上为单调递增，但，所以“在上为单调递增”是“”的必要不充分条件.
【点睛】充分性与必要性的判断，可以依据命题的真假来判断，若“若则”是真命题，“若则”是假命题，则是的充分不必要条件；若“若则”是真命题，“若则”是真命题，则
是的充分必要条件；若“若则”是假命题，“若则”是真命题，则是的必要不充分条件；若“若则”是假命题，“若则”是假命题，则是的既不充分也不必要条件.
7.点到双曲线渐近线的距离为，则双曲线的离心率等于（）．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
分析：利用点到直线的距离公式列出方程，然后根据a，b，c关系求解双曲线的离心率即可．详解：
∵点到双曲线的渐近线的距离为，
∴，
∴，，
∴双曲线的离心率．
故选．
点睛：本题考查的简单性质的应用，考查计算能力．
8.在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且若，则的形状是
A. 等腰三角形
B. 直角三角形
C. 等边三角形
D. 等腰直角三角形
【答案】C
直接利用余弦定理的应用求出A的值，进一步利用正弦定理得到：b＝c，最后判断出三角形的形状．
【详解】在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，
且b2+c2＝a2+bc．
则：，
由于：0＜A＜π，
故：A．
由于：sin B sin C＝sin2A，
利用正弦定理得：bc＝a2，
所以：b2+c2﹣2bc＝0，
故：b＝c，
所以：△ABC为等边三角形．
故选：C．
【点睛】本题考查了正弦定理和余弦定理及三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．
9.(
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
直接利用裂项相消化简求和即可．
【详解】（1）
=（1）= ，
故选C.
【点睛】本题考查数列的求和方法：裂项相消求和，属于中档题．
10.若双曲线的中心为原点，是双曲线的焦点，过F直线l与双曲线交于M，N两点，且
MN的中点为，则双曲线的方程为
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
圆锥曲线中点弦问题，用点差法。

先把M，N两点坐标设出来，，代入双曲线方程，再做差，得到的式子，将中点及直线斜率代入，然后可以找出a、b的关系，从而解出双曲线方程。

【详解】解：根据题意，是双曲线的焦点，则双曲线的焦点在x轴上，
设双曲线的方程为，且，，
直线MN过焦点F，则，则有，变形可得，
，
，，
又由，且，，
变形可得：，
又由，则，
解可得：，，
则要求双曲线的方程为：；
故选：D．
【点睛】本题是双曲线中点弦问题，利用设而不求的方法，学生在平常学习中要重点练习。

11.已知三角形的三边分别为a，b，c，内切圆的半径为r，则三角形的面积为；四面体的四个面的面积分别为S1，S2，S3，S4，内切球的半径为R.类比三角形的面积可得四面体
的体积为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据几何体和平面图形的类比关系，三角形的边应与四面体中的各个面、面积与体积进行类比，利用类比推理，即可得到结论．
【详解】根据几何体和平面图形的类比关系，三角形的边应与四面体中的各个面进行类比，
而面积与体积进行类比，则的面积为，
对应于四面体的体积为，故选B．
【点睛】本题考查了类比推理的应用，其中合情推理能帮助猜测和发现结论，在证明一个数学结论之前，合情推理常常能为证明提供思路与方向．合情推理仅是“合乎情理”的推理，它得到的结论不一定正确．而演绎推理得到的结论一定正确(前提和推理形式都正确的前提下)．12.设函数是奇函数的导函数，，当时，，则使得
成立的的取值范围是（）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
由已知当x＞0时总有xf′（x）﹣f（x）＜0成立，可判断函数g（x）为减函数，由已知f（x）是定义在R上的奇函数，可证明g（x）为（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的偶函数，根据函数g（x）在（0，+∞）上的单调性和奇偶性，大致画出g（x）的图象，而不等式f（x）＞0等价于x•g（x）＞0，数形结合解不等式组即可．
【详解】设g（x），则g（x）的导数为：g′（x），
∵当x＞0时总有xf′（x）＜f（x）成立，
∴当x＞0时，函数g（x）为减函数，
又∵g（﹣x）g（x），
∴函数g（x）为定义域上的偶函数
又∵g（﹣1）0，
∴函数g（x）的图象大致如图：
数形结合可得，不等式f（x）＞0⇔x•g（x）＞0
⇔或，
⇔0＜x＜1或x＜﹣1．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了利用导数判断函数的单调性，并由函数的奇偶性和单调性解不等式，属于综合题．
二、填空题（每小题5分，共20分）
13.等差数列中，，，则当取最大值时，的值为__________．
【答案】
【解析】
【分析】
由已知条件得到的数量关系，然后结合等差数列的通项公式求出结果
【详解】，，
，
即，
，
解得
若取最大值，
当时成立
故答案为4
【点睛】本题考查了等差数列的前项和最值情况的求解，结合题意先求出的数量关系，要求数列和的最大，找出限制条件，从而求出结果。

14.在中，分别是内角的对边，且，，，，若，则__________．
【答案】
【解析】
【分析】
利用向量垂直时数量积为0以及同角三角函数的商数关系，可求得，结合三角形的内角取值范围，即可确定，进而利用余弦定理求解.
【详解】∵，且，
∴，∴，则，
∴，即.
故填：
【点睛】本题考查了余弦定理在解三角形中的应用，考查了向量垂直的坐标表示；在解三角形中，已知两边和它们的夹角，或已知两边及一边的对角，或已知三边，都能直接利用余弦定理理解三角形.
15.已知点为双曲线的右焦点，直线交于两点，若，
，则的虚轴长为__________．
【答案】
【分析】
设双曲线的左焦点为F1，则四边形AF1BF2是平行四边形，利用余弦定理和双曲线的性质化简
求出b即可．
【详解】由题意知点B与点A关于原点对称，设双曲线的左焦点为F1，连接AF1，BF1，
由对称性可知四边形AF1BF2是平行四边形，
∴∠F1AF2=，，
设|AF2|=m，则|AF1|=2a+m，
在△AF1F2中，由余弦定理可得：
4c2=m2+（m+2a）2﹣m（m+2a），
化简得：4c2﹣4a2=m2+2ma，即4b2=m（m+2a），
又=m（m+2a）•=，
∴b2=2．
∴2b=．
故答案为：．
【点睛】本题考查了双曲线的定义及简单性质的运
用，属于中档题．
16.函数只有一个零点，则实数的取值范围为______．
【答案】
【解析】
【分析】
利用导数研究函数的单调性与极值，由只有一个零点，结合函数的单调性可得，从而可得结果.
【详解】，
由得或，
在上递增，在上递减，
或在上递增，在上递减，
函数有两个极值点，
因为只有一个零点，所以，
解得，故答案为.
【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性、函数的极值以及函数的零点，属于中档题.对于与“三次函数”的零点个数问题，往往考虑函数的极值符号来解决,设函数的极大值为
，极小值为：一个零点；两个零点；三个零点.
三、解答题（共70分.第17题10分，其余每题各12分，写出必要的解答过程）
17.已知等比数列的前n项为和，且，，数列中，，．
求数列，的通项和；
设，求数列的前n项和．
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）由求得等比数列的公比，结合，求得数列的首项，从而求得；根据条件，得到数列是等差数列，从而求得；
（2）由，得到，利用错位相减法求得．
【详解】（1）设等比数列的公比为，
∵，，
∴，，
解得，，
∴数列是等比数列，
∴．
∵，即数列是以2为公差的等差数列，
又，
∴；
（2）∵
∵，
∴，
两式相减得：
，
∴．
【点睛】该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有等差数列的通项公式的求解，等比数列通项公式的求解，以及利用错位相减法对数列求和，头脑清醒，思路清晰，知识点灵活应用是解题的关键.
18.的内角所对的边分别为,且满足.
(Ⅰ)求的值；
(Ⅱ)若外接圆半径为,求的面积.
【答案】（1）（2）
【解析】
【分析】
（1）由及正弦定理得
从而,利用诱导公式结合,可求出的值；（Ⅱ）由正弦定理得，再由余弦定理及，配方化简可得，由三角形面积公式可得结果.
【详解】（Ⅰ）由及正弦定理得
从而即
又中, ∴.
（Ⅱ）外接圆半径为3,,由正弦定理得
再由余弦定理,及
得
∴的面积.
【点睛】以三角形为载体，三角恒等变换为手段，正弦定理、余弦定理为工具，对三角函数及解三角形进行考查是近几年高考考查的一类热点问题，一般难度不大，但综合性较强.解答这类问题，两角和与差的正余弦公式、诱导公式以及二倍角公式，一定要熟练掌握并灵活应用，特别是二倍角公式的各种变化形式要熟记于心.
19.《中华人民共和国道路交通安全法》第47条的相关规定：机动车行经人行横道时，应当减速慢行；遇行人正在通过人行横道，应当停车让行，俗称“礼让斑马线”，《中华人民共和国道路交通安全法》第90条规定：对不礼让行人的驾驶员处以扣3分，罚款50元的处罚.下表是某市一主干路口监控设备所抓拍的5个月内驾驶员不“礼让斑马线”行为统计数据：
（1）请利用所给数据求违章人数与月份之间的回归直线方程；
（2）交警从这5个月内通过该路口的驾驶员中随机抽查了50人，调查驾驶员不“礼让斑马线”行为与驾龄的关系，得到如下列联表：能否据此判断有的把握认为“礼让斑马线”行为与驾龄有关？
参考公式及数据：
.
（其中）
【答案】（1）；（2）有的把握认为“礼让斑马线”行为与驾龄关．【解析】
【分析】
（1）利用所给数据计算、，求出回归系数，写出回归直线方程；
（2）由列联表中数据计算K2，对照临界值得出结论．
【详解】（1）由表中数据知，，
∴，
∴，
∴所求回归直线方程为。

（2）由表中数据得，
根据统计有的把握认为“礼让斑马线”行为与驾龄关．
【点睛】本题考查了线性回归方程与独立性检验的应用问题，属于基础题．
20.已知抛物线与直线相交于、两点，点为坐标原点 .
（1）当k=1时,求的值；
（2）若的面积等于，求直线的方程.
【答案】（1）（2）或
【解析】
【分析】
（1）联立直线与抛物线方程，化为关于y的一元二次方程，由根与系数关系求出A，B两点的横纵坐标的和与积，直接运用数量积的坐标运算求解；
（2）直接代入三角形面积公式求解即可.
【详解】（1）设，由题意可知：k=1，∴，
联立y2＝x得：y2-y﹣1＝0显然：△＞0，
∴，
∴（y12）（y22）+y1y2＝（﹣1）2-1＝0，
（2）联立直线与y2＝x得ky2-y﹣k＝0显然：△＞0，
∴，
∵S△OAB1×|y1﹣y2|，
解得：k＝±，
∴直线l的方程为：2x+3y+2＝0或2x﹣3y+2＝0．
【点睛】本题考查了直线和圆锥曲线的关系，考查了平面向量数量积的坐标运算，训练了三角形面积的求法，是中档题．
21.已知函数.
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）讨论函数的单调区间.
【答案】（1）（2）当时增区间，当时增区间，减区间
【解析】
试题分析：（1）当时，，求得切点为，，求得斜率为，故切线方程为；（2）函数的定义域为，，当时，∵，∴恒成立，函数单调递增，当时，在上单调递减，在上单调递增.
试题解析：
（1）∵，∴，∴，即
，，
由导数的几何意义可知所求切线的斜率，
所以所求切线方程为，即.
（2），
当时，∵，∴恒成立，
∴在定义域上单调递增；
当时，令，得，
∵，∴，得；得；
∴在上单调递减，在上单调递增.
考点：导数与切线、单调区间．
22.已知椭圆E的中心在原点，焦点在x轴上，椭圆的左顶点坐标为，离心率为．
求椭圆E的方程；
过点作直线l交E于P、Q两点，试问：在x轴上是否存在一个定点M，使为定值？若存在，求出这个定点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】1；2.
【解析】
【分析】
设出椭圆的方程，得到关于a，c的方程组，解出即可求出椭圆方程；
假设存在符合条件的点，设，，求出，通过讨论当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为，联立直线和椭圆的方程，结合韦达定理求出m的值，当直线l的斜率不存在时，求出直线方程，代入检验即确定．
【详解】设椭圆E的方程为，
由已知得，解得：，
所以．
所以椭圆E的方程为．
假设存在符合条件的点，
设，，
则，，
，
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为，
由，得：，
，，
，
，
对于任意的k值，上式为定值，
故，解得：，
此时，为定值；
当直线l的斜率不存在时，
直线l：，，，，
由，得为定值，
综合知，符合条件的点M存在，其坐标为．
【点睛】本题考查椭圆的标准方程、椭圆的性质，考查直线与椭圆的位置关系，以及存在性问题、转化与划归思想的应用，属于难题．解决存在性问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在，若结论不正确则不存在，注意：①当条件和结论不唯一时要分类讨论；②当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件；③当条件和结论都不知，按常规方法题很难时采取另外的途径.。