超几何分布的期望和方差

超几何分布的期望和方差
在概率论与数理统计的领域中，超几何分布是一个重要的概念。

要理解超几何分布的期望和方差，首先得知道什么是超几何分布。

想象一下这样一个场景：有一个装有 N 个球的盒子，其中 M 个是红球，N M 个是白球。

现在从盒子中随机抽取 n 个球，那么抽到红球的数量 X 就服从超几何分布。

超几何分布的概率质量函数可以表示为：P(X ＝ k) ＝ C(M, k) C(N M, n k) ／ C(N, n) ，其中 C 表示组合数。

接下来咱们聊聊超几何分布的期望。

期望简单来说就是平均值，是对随机变量取值的一种平均预期。

对于超几何分布，其期望为 E(X) ＝n M ／ N 。

为什么会是这样呢？咱们可以这样来理解。

抽取 n 个球，就相当于从 N 个球中选取 n 个位置。

而每个位置选中红球的概率是 M ／ N ，一共有 n 个位置，所以期望就是 n M ／ N 。

再说说超几何分布的方差。

方差反映的是随机变量取值相对于期望的分散程度。

超几何分布的方差为 V(X) ＝ n M ／ N （ 1 M ／ N ）（ N n ）／（ N 1 ）。

这个式子看起来有点复杂，但咱们可以逐步拆解来理解。

首先，n M ／ N 是期望，乘以（ 1 M ／ N ）表示与期望的偏差。

然后，乘以
（ N n ）表示未抽取的球的数量对偏差的影响，最后除以（ N 1 ）
是进行某种修正。

为了更好地理解超几何分布的期望和方差，咱们来看几个具体的例子。

假设盒子里有 10 个球，其中 4 个是红球，6 个是白球。

现在随机抽取 3 个球。

那么根据公式，期望 E(X) ＝ 3 4 ／ 10 ＝ 12 ，这意味着平均来说，抽取的 3 个球中会有 12 个红球。

方差 V(X) ＝ 3 4 ／ 10 （ 1 4 ／ 10 ）（ 10 3 ）／（ 10 1 ），
经过计算可以得到具体的数值。

通过这个例子，我们能更直观地感受到超几何分布的期望和方差所
代表的意义。

在实际应用中，超几何分布有很多用处。

比如在质量检测中，从一
批产品中随机抽取一部分进行检测，判断不合格产品的数量；在抽样
调查中，估计具有某种特征的个体数量等等。

理解超几何分布的期望和方差，对于我们正确分析和解决这些实际
问题至关重要。

它能帮助我们做出更准确的估计和预测，做出更合理
的决策。

总之，超几何分布的期望和方差是概率论中重要的概念，虽然它们
的公式看起来可能有些复杂，但通过深入理解其背后的原理和结合实
际例子，我们能够更好地掌握和应用它们。

希望通过以上的讲解，能让您对超几何分布的期望和方差有更清晰的认识和理解。