初三数学反比例函数与三角形难题(含详细答案)

《反比例函数—三角形》难度题
1、如图，已知点A 是双曲线y =
x
4
在第一象限的分支上的一个动点，连结AO 并延长交另一分支于点B ，以AB 为边作等边△ABC ，点C 在第四象限．随着点A 的运动，点C 的位置也不断变化，但点C 始终在双曲线x
k
y =
（k ＜0）上运动，则k 的值是 ﹣12 ．
2、如图，已知点A 是双曲线6
y x
=
在第三象限分支上的一个动点，连结AO 并延长交另一分支于点B ，以AB 为边作等边三角形ABC ，点C 在第四象限内，且随着点A 的运动，点C 的位置也在不断变化，但点C 始终在双曲线k
y x
=
上运动，则k 的值是 63-
【解】∵双曲线6
y =
A 与点
B 关于原点对称．∴OA ＝OB ．连接O
C ，如图所示．∵△ABC 是等边三角形，OA ＝OB ，∴OC ⊥AB ．∠BAC ＝60°．∴3OC
tan OAC OA
∠=
=．∴，3OC OA =，过点A 作AE ⊥y 轴，垂足为E ，过点C 作CF ⊥y 轴，垂足为F ，∵AE ⊥OE ，CF ⊥OF ，OC ⊥OA ，∴∠AEO ＝∠OFC ，∠AOE ＝90°－∠FOC ＝∠OCF ．∴△OFC ∽△AEO ．相似比3OC
OA
=3OFC AEO
S S = ．∵点A 在
第一象限，设点A 坐标为
（a ，b ），∵点
A 在双曲线6y x =上，∴S △AEO ＝12ab ＝62，∴S △OFC ＝1
2
FC OF ⋅= 362．∴设点C 坐标为（x ，y ），∵点C 在双曲线k
y x =上，∴k ＝xy ∵点C 在第四象限，∴FC ＝x ，OF ＝－y ．∴FC•OF ＝x•（－y ）＝－xy ＝－36 6．∴xy ＝－36．．故答案为：－36．
3、如图，已知点A 是双曲线x
y 4
=
在第一象限的分支上的一个动点，连结AO 并延长交另一分支于点B ，以AB 为斜边作等腰直角△ABC ，点C 在第四象限．随着点A 的运动，点C 的位置也不断变化，但点C 始终在双曲线x
k
y =
（k ＜0）上运动，则k 的值是 ﹣4 ．
4、如图，等腰直角三角形OAB 和BCD 的底边OB 、BD 都在x 轴上，直角顶点A 、C 都在反
比例函数y ＝
k
x
图象上，若D （－8，0），则k ＝___8-_______．
【方法】利用特殊形的角度、长度与坐标的关系，巧设坐标，联立方程求值 A （－a , a ），C （－4－a , 4－a ） 82
-=-=a k
5、如图，等边三角形OAB 和BCD 的底边OB 、BD 都在x 轴上，直角顶点A 、C 都在反比例
x
y
A
C
D
B
O
函数y ＝
k
x
图象上，若D （－12，0），则k ＝__________318-．
6、如图，Rt △AOB 中，O 为坐标原点，∠AOB ＝90°，∠B ＝30°，如果点A 在反比例函数x
y 1
=（x ＞0）的图象上运动，那么点B 在函数x
y 3
-=（填函数解析式）的图象上运动．
【方法】A 、B 两点分别向y 轴作垂线段，
利用相似直角三角形的比例关系，用A 点坐标表示B 点坐标 设A )1,(00x x , B (x ，y )，得：B )3,3
(00
x x -
7、如图，Rt △ABO 中，∠AOB =90°，点A 在第一象限、点B 在第四象限，且AO ：BO =1：2，若点A ),(00y x 的坐标0x 、0y 满足0
01
x y =
，则点B （x ，y ）的坐标x ，y 所满足的关系式为 x
y 2-=
x
8、已知点A ，B 分别在反比例函数x y 2=（x ＞0），x
y 8-=（x ＞0）的图象上且OA ⊥OB ，则tanB 为
2
1
【解】相似比 A(11,y x ) B(22,y x ) tanB = 2121x y y x =- ∴ 2121y y x x -== 2
116
x x ∴ 421=x x tanB = 21212x x x y == 2
1
9、如图，已知双曲线(0)k
y k x
=
<经过直角三角形OAB 斜边OA 的中点D ，且与直角边AB 相交于点C ．若点A 的坐标为（6-，4），则△AOC 的面积为 9
【解】∵点D 为△OAB 斜边OA 的中点，且点A 的坐标（﹣6，4）， ∴点D 的坐标为（﹣3，2）， 把（﹣3，2）代入双曲线)0(<=
k x
k
y ，可得k =﹣6，即双曲线解析式为x y 6-=，
∵AB ⊥OB ，且点A 的坐标（﹣6，4）， ∴C 点的横坐标为﹣6，代入解析式x
y 6
-=，y=1， 即点C 坐标为（﹣6，1），
∴AC=3，又∵OB=6，∴S △AOC =×AC×OB = 9． 故答案为：9．
10、如图，已知双曲线)0(＞k x
k
y =
经过直角三角形OAB 斜边OB 的中点D ，与直角边AB 相交于点C ．若△OBC 的面积为3，则k ＝_____2_____
【方法】设D ),(a k a ， 则B )2,2(a k a , C )2,2(a
k a
11、如图，Rt △AOB 的一条直角边OB 在x 轴上，双曲线x k
y =
(x >0)经过斜边OA 的中点C ，与另一直角边交于点D ．若S △OCD =9，则S △OBD 的值为 6 ．
A
B
O
x y
D
C A
B
O
x y
D
C
12、如图，等腰直角三角形ABC 顶点A ，C 在x 轴上，∠BCA =90°，AC =BC =22，反比例函数y =
x
3
（x ＞0）的图象分别与AB ，BC 交于点D ，E ．当△BDE ∽△BCA 时，点E 的坐标为 )2,2
2
3(
【方法】设E ),(11y x ，D ),(22y x ； D )22,(1x 直线DE ：m x y +-=
联立方程⎪⎩
⎪⎨⎧=+-=x y m x y 3 得：032
=+-mx x 得：321=x x ∴ 11222x x y +
== 2231=x ∴ D )2,2
2
3(
13、如图，已知在Rt △OAC 中，O 为坐标原点，直角顶点C 在x 轴的正半轴上，反比例函数x
k
y =
（k ≠0）在第一象限的图象经过OA 的中点B ，交AC 于点D ，连接OD ．若△OCD ∽△ACO ，则直线OA 的解析式为
14、如图，Rt △AOC 的直角边OC 在x 轴上，∠ACO=90o ，反比例函数x
k
y =经过另一条直角边AC 的中点D ，3=∆AOC S ，则k = 3
15、如图，A 、B 是双曲线)0(>=
k x
k
y 上的点， A 、B 两点的横坐标分别是a 、2a ，线段AB 的延长线交x 轴于点C ，若S △AOC = 6．则k= 4
【方法】向坐标轴作垂线段，将坐标与长度、角度建立等量关系 C(3a , 0)
16、如图，反比例函数x
y 6
-
=在第二象限的图象上有两点A 、B ，它们的横坐标分别为﹣1，﹣3，直线AB 与x 轴交于点C ，则△AOC 的面积为（ ）
y
x
O
B
C
A
A ．8
B ．10
C ．12
D ．24
17、如图，点A 、B 在反比例函数(0,0)k
y k x x
=
>>的图像上，过点A 、B 作x 轴的垂线，垂足分别为M 、N ，延长线段AB 交x 轴于点C ，若OM MN NC ==,AOC ∆的面积为6，则k 的值为 4.
18、如图，点A 、B 在反比例函数y ＝ k
x
的图象上，且点A 、B 的横坐标分别为a 、2a （a ＜0），
若S △AOB
＝3，则k 的值为____－4____．
【方法】等面积法
设A(a , 2b ), B(2a, b ) 梯形AFEB 面积为3 4-=∴k
O
A
B
x
y
O A
B x
y
E
F
19、如图，若双曲线y =
k
x
与边长为5的等边△AOB 的边OA ，AB 分别相交于C ，D 两点，且OC =3BD ，则实数k 的值为 ．
20、已知点A 是双曲线y ＝
4
x
上一动点，且OA ＝4，OA 的垂直平分线交x 轴于点B ，过A 作
AC ⊥x 轴于点C ，则△ABC 的周长为________62________，∠ABC ＝____︒30_____
【方法】设而不求，求比例；勾股定理；AB = 2
1
AC
21、如图，点A 在双曲线6
y x
=
上，且OA ＝4，过A 作AC ⊥x 轴，垂足为C ，OA 的垂直平分线交OC 于B ，则△ABC 的周长为_______7O
C
A B
x
y
M 934
22、如图，点P 1（x 1，y 1），点P 2（x 2，y 2），…，点P n （x n ，y n ）在函数x
y 1
=
（x ＞0）的图象上，△P 1OA 1，△P 2A 1A 2，△P 3A 2A 3，…，△P n A n ﹣1A n 都是等腰直角三角形，斜边OA 1、A 1A 2、A 2A 3，…，A n ﹣1A n 都在x 轴上（n 是大于或等于2的正整数），则点P 3的坐标是
)23,23(-+ ；点P n 的坐标是 )1,1(---+n n n n （用含n 的式
子表示）．
23、如图，点P 是反比例函数y ＝
x
3
4 （x ＞0）图象上的动点， 在y 轴上取点Q ，使得以P ，O ，Q 为顶点的三角形是一个含有
30°的直角三角形，则符合条件的点Q 的坐标是 (0,2), (0,8),(0,23),(0,
33
8
) ． O
C
A B
x
y
M
24、如图，点A（m，6），B（n，1）在反比例函数图象上，AD⊥x轴于点D，BC⊥x轴于点C，DC=5．线段DC上有一点E，当△ABE的面积等于5时，点E的坐标为（5，0）．
25、如图，以原点O为顶点的等腰直角三角形ABO中，∠BAO＝90°，反比例函
数
k
y
x
=过A、B两点，若点A的横坐标为2，则k＝2
5
2-．
26、如图，A 、B 是双曲线x
k
y =
上的两点，过A 点作AC ⊥x 轴，交OB 于D 点，垂足为C ．若△ADO 的面积为1，D 为OB 的中点，则k 的值为
27、如图，已知点A 在反比例函数)0(<=
x x
k
y 上，作RT ⊿ABC ，点D 为斜边AC 的中点，连DB 并延长交y 轴于点E ，若⊿BCE 的面积为8，则k = 16
28、如图，平面直角坐标系中，OB 在x 轴上，∠ABO=90°，点A 的坐标为（1，2），将△AOB 绕点A 逆时针旋转90°，点O 的对应点C 恰好落在双曲线x
k
y =（x ＞0）上，则k 的值为 3
【解】易得OB=1，AB=2，∴AD=2，∴点D 的坐标为（3，2）， ∴点C 的坐标为（3，1），∴k =3×1=3．
29、如图，△AOB 和△ACD 均为正三角形，顶点B 、D 在双曲线x
y 4
=（x ＞0）上，则S △OBP = 4 ．
30、如图，点A 是反比例函数x
k
y =
的图象上的一点，过点A 作AB ⊥x 轴，垂足为B ．点C 为y 轴上的一点，连接AC ，BC ．若△ABC 的面积为3，则k 的值是 ﹣6
31、如图在反比例函数x
y x y 3
2=-=和的图象上分别有A 、B 两点，若AB ∥x 轴
且OA ⊥OB,则
=OB
OA
36 ．
第15题
O B
A
y x
34、如图，已知点A ，B 在双曲线)0(>=
x x
k
y 上，AC ⊥x 轴于点C ，BD ⊥y 轴于点D ，AC 与BD 交于点P ，P 是AC 的中点，若△ABP 的面积为3，则k 的值为 12 ．
35、 如图，过点C （1,2）分别作x 轴、y 轴的平行线，交直线y=－x +6于A 、B 两点，若反
比例函数k
y x
=
（x ＞0）的图像与△ABC 有公共点，则k 的取值范围是（ ） A ．2≤k ≤9 B. 2≤k ≤8 C. 2≤k ≤5 D. 5≤k ≤8
答案：A
36、如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线x y 23=
与双曲线x
y 6
=相交于A ，B 两点，C 是第一象限内双曲线上一点，连接CA 并延长交y 轴于点P ，连接BP ，BC ．若△PBC 的面积是24，则点C 的坐标为 （6，1）．
38、如图，A 、B 是双曲线x
k
y =
上的两点，过A 点作AC ⊥x 轴，交OB 于D 点，垂足为C ．若△ADO 的面积为1，D 为OB 的中点，则k 的值为
39、如图，点A 在双曲线y ＝
x
k
的第一象限的那一支上，AB 垂直于x 轴与点B ，点C 在x 轴正半轴上，且OC ＝2AB ，点E 在线段AC 上，且AE ＝3EC ，点D 为OB 的中点，若△ADE 的面积为3，则k 的值为___
3
16
_____．
【方法】等面积法，设A （a , 2b ）, 则C （2a ,0）
4=∆ACD S ACD COD ABD ABCD S S S S ∆∆∆++=梯形
40、如图，OAC ∆和BAD ∆都是等腰直角三角形， 90=∠=∠ADB ACO ,反比例函数x
k y =
在第一象限的图象经过点B ，若122
2=-AB OA ，则k 的值为________.6
41、如图，已知动点A 在函数4
(0)y x x
=
>的图象上，AB x ⊥轴于点B ，AC y ⊥轴于点C ，延长CA 至点D ，使AD=AB ，延长BA 至点E ，使AE=AC 。

直线DE 分别交x 轴于点P ，Q 。

当49QE DP =：：时，图中阴影部分的面积等于___13
3
____
【解】过D 作DF 垂直X 轴于F ， 设A （a , b ），则E （a , a+b ）, FP = a
b 2
3
2
=b a 又ab = 4
42、如图7所示，点1A 、2A 、3A 在x 轴上，且11223OA A A A A ==，分别过点1A 、2A 、3A 作y 轴的平行线，与反比例函数()8
0y x x
=
>的图象分别交于点1B 、2B 、3B ，分别过点1B ，2B ，3B 作x 轴的平行线，分别与y 轴交于点1C ，
2C ，3C ，连接1OB ，2OB ，3OB ，那么图中阴影部分的面积之和为___________
49
9
. D
C
A
Ｏ
x
y
B
第19题图
43、如图，矩形ABCD 的对角线BD 经过坐标原点，矩形的边分别平行于坐标轴，点C 在反比例函数x
k
y =
的图象上，若点A 的坐标为（﹣2，﹣2），则k 的值为 4 ．
44、如图，双曲线)0(2
>=
x x
y 经过四边形OABC 的顶点A 、C ，∠ABC ＝90°
，OC 平分OA 与x 轴正半轴的夹角，AB ∥x 轴，将△ABC 沿AC 翻折后得到△AB ＇C ，B ＇点落在OA 上，则四边形OABC 的面积是 2.
1A 2A 3B
2B
1B
3C
2C 1C O
x
y
3A
图7
45、（2011•宁波）正方形的2111P P B A 顶点1P 、2P 在反比例函数)0(2
>=
x x
y 的图象上，顶点A1、B1分别在x 轴、y 轴的正半轴上，再在其右侧作正方形2232B A P P ，顶点3P 在反比例函
数)0(2
>=x x
y 的图象上，顶点2A 在x 轴的正半轴上，则2P 点的坐标为_______（2，1）____，
则点3P 的坐标为_________)13,13(-+
46、如图，P 为反比例函数x
k
y =
（k ＞0）在第一象限内图象上的一点，过点P 分别作x 轴，y 轴的垂线交一次函数y=﹣x ﹣4的图象于点A 、B ．若∠AOB=135°，则k 的值是 8
47、如图，点A 是反比例函数x
y 1
=
（x ＞0）上的一个动点，连接OA ，过点O 作OB ⊥OA ，并且使OB=2OA ，连接AB ，当点A 在反比例函数图象上移动时，点B 也在某一反比例函数x
k
y =
图象上移动，则k 的值为（﹣4 ）
48、如图，直线63-=x y 分别交x 轴，y 轴于A ，B ，M 是反比例函数x
k y =
（x ＞0）的图象上位于直线上方的一点，MC ∥x 轴交AB 于C ，MD ⊥MC 交AB 于D ，AC•BD=34，则k 的值为 ﹣3
49、（2010•衡阳）如图，已知双曲线x
k
y =
（k ＞0）经过直角三角形OAB 斜边OB 的中点D ，与直角边AB 相交于点C ．若△OBC 的面积为3，则k = 2 ．
50、(2013湖北随州) 如图，直线l 与反比例函数2
y x
=
的图象在第一象限内交于A 、B 两点，交x 轴的正半轴于C 点，若AB :B C=(m -1):1（m >1），则△OAB 的面积（用m 表示）为
21m m
-
51、如图，直线l 是经过点（1，0）且与y 轴平行的直线．Rt △ABC 中直角边AC =4，BC =3．将BC 边在直线l 上滑动，使A ，B 在函数x
k
y =的图象上．那么k 的值是( D )
A ．3
B ．6 Ｃ．12 D ．4
15
52、如图，Rt △AOC 的直角边OC 在x 轴上，∠ACO=90°，反比例函数x
k y =
经过另一条直角边AC 的中点D ，S △AOC =3，则k = 3
B A
C
O
1
x
y l
53、如图，平面直角坐标系中，OB 在x 轴上，∠ABO=90°，点A 的坐标为（1，2），将△AOB 绕点A 逆时针旋转90°，点O 的对应点C 恰好落在双曲线x k y =（x ＞0）上，则k 的值为 3
解：易得OB=1，AB=2，∴AD=2，
∴点D 的坐标为（3，2），∴点C 的坐标为（3，1），∴k=3×1=3．故选B ．
54、如图，A 、B 是双曲线x
k y =（k ＞0）上的点，A 、B 两点的横坐标分别是a 、2a ，线段AB 的延长线交x 轴于点C ，若S △AOC =6．则k= 4 ．
55、在直角坐标系中，有如图所示的t ,R ABO AB x ∆⊥轴于点B ，斜边3105AO AOB =∠=，sin ,反比例函数(0)k y x x
=>的图像经过AO 的中点C ，且与AB 交于点D ,则点D 的坐标为 382
（，）.。