高二物理竞赛课件电路判断奇点类型的充要条件

z
1
1z
2
z
1 2 1
z
1 3 1
1 z 1
1
ez
1 z1
1
z2
1
z2
2!
n!
6
四、m 级零点
1 定义
设f z在 z z0 R内解析，不恒为零若，f z能表示成
f z (z z0 )m z，
其中 z在z0解析，且 z0 0，m为正整数，
则z0为f z的m级零点.
例如 对于 f z z(z 1)3，z0 0, z0 1分别是其一级
和三级零点。
2 充要条件 设f z在z0解析，则
f nz0 0, n 1,2,, m 1,
z0为f z的m级零点
f mz0 0
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证 如果z0为f z的m级零点, 则有f z (z z0 )m z，
z解析, z0 0, 所以 z在 z0的泰勒展开式为 z c0 c1z z0 c2 z z0 ,
z z0
时,
有
:
zz0
1 2
z0
.
z
1 2
z0
.
f z (z z0 )m z在z0的去心邻域内 0,
而只有f z0 0.
解析函数f z的零点z0是孤立的.
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例1 找出下列各函数的零点，并判断是几级零点.
1 f z z3 z2 1 2 f z z sinz
解 ⑴ 由于 f z z3 z2 1 z3 z iz i
f z c0z z0 m c1z z0 m1 c2z z0 m2
f z在z0的泰勒展开式的前m项系数都为零.
由 泰 勒 展 开 式 的 系 数 公式 得 :
f n z0 0, n 1,2,, m 1, f m z0 m!c0 0
例如 对于 f z z3 1， f z 3z z1 3 0,
所以是 z 1其一级零点。 8
3 性质 一个不恒为零的解析函数的零点是孤立的.
证 设f z在 z z0 内解析，不恒为零，
f z (z z0 )m z， z解析， z0 0,
则 z在z0的某个邻域内不等于0, 这是因为
由于 z在z0解析, z在z0连续,
对
1 2
z0
,
0,
当0
此时 f z在 z0的去心邻域内的洛朗级数就是一个普通的
幂级数，且在 0 z z0 R内解析，即
f z c0 c1z z0 cnz z0 n ,
4
若令 f z0 c0 , 则 f z 在 z0也解析，即在 z z0 R内解析。
例如
sinz z
1 z
z
z3 3!
z5 5!
0 z z0 内处处解析, 则称z0为f z的孤立奇点.
例如 1 , z 0为 奇 点, 但不是孤立奇点. sin 1 z
z 1 n 1,2,为奇点, n , z 0,
n
在z0的不论多么小的去心邻域内, 总有f z的奇点存在.
再如
zz
1
1z
4，z
4,
1,
0
均为孤立奇点.
3
二、孤立奇点的分类
z 0为零点，为三级零点.
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五、零点与极点关系（判断极点的级数）
定理 z0是f z的m级极点
反 过 来 也 成 立.
z0是 f 1z的m级零点,
定理
f
z
H z Gz
,
z0是H z的m级零点, z0是Gz的p级零点,
m p时, z0是f z的可去奇点.
m p时, z0是f z的p m级极点.
1
z2 3!
z4 4!
0 z
z 0为可去奇点. 若定义 f 0 1, 则 sinz 在 z 内解析。
z
以后视可去奇点为解析点.
2 极点：（1）中含有有限多个的负幂次项；
此时若设关于 z z0 1的最高次幂为z z0 m , 则
f z cm z z0 m c1 z z0 1
c0 c1z z0 cnz z0 n m 1, cm 0
例2 z 0是z3 z2 1 的三级零点,
z 0是
z3
1 z2
1
的三级极点.
例3
f
z
sinz sin2z z2 ez 1
,
z 0是f z一级极点.
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例4
1 有些什么奇点?如果是极点，指出它的级. sin z
解 1 的奇点是使sin z 0的点, sin z
奇点：z k k 0,1,2,.
电路判断奇点类型的充要条件
电路判断奇点类型的充要条件
设当 0 z z0 R时f z解析,
f z c0 c1z z0 c2 z z0 2
即z0为可去奇 点.
lim f
zz0
z
c0
易证
f z cm z z0 m c2 z z0 2 c1z z0 1 c0 c1z z0
sin z
cos z z k
1k
z k
z k为一级极点.
ez 1 z2 ,z
0是
几
级
极
点
？ z
2
sin ez
z
1
,z
0是几级极点?
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5
上式又可记为
f z
cm
c1z z0 m1 c0 z z0 m z z0 m
1
z z0 m
gz
其中 gz cm cm1z z0 cm2z z0 2 , gz0 0.
z0称为 f z 的 m级极点，例如
z
1
1z
2
z
1
1
1
z
1
z
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0 z 1 1
3 本性奇点：（1）中含有无穷多个的负幂次项；
对于f z 的每一个孤立奇点 z0 , 都可以把 f z在 z0 的某个去
心邻域内展开成洛朗级数，以此分类如下。
f z cnz z0 n c1z z0 1 0 z z0 R c0 c1z z0 cnz z0 n （1）
设 z0为 f z的孤立奇点，则 z0为f z的：
1 可去奇点：（1）中不含负幂次项；
孤立奇点z0为f z的m级极点.
lim f z
zz0
易证
f z cnz z0 n c1z z0 1 0 z z0 R c0 c1z z0 cnz z0 n
z0为本性奇点
lim f z不存在且不为.
zz0
证略
2
孤立奇点
一、孤立奇点定义
如果函数f z在z0不解析, 但在z0的某个去心邻域
z 0为三级零点，z i, i为一级零点.
⑵ 法1
f z z (z 1 z3 1 z5 ) z3(1 1 z2 1 z4 )
3! 5!
3! 5!
法2
f z 1 cos z, f (z) sin z, f (z) cos z f 0 0, f 0 0, f (0) 0, f (0) 0,