【5】数列【2023年高考数学复习——大题狂练解答210道】

2023年高考数学复习——大题狂练：数列（15题）
一．解答题（共15小题）
1．（2022秋•新罗区校级月考）已知等差数列{a n}的公差d＝2，其前n项和为，n∈N*．
（1）求通项公式a n；
（2）若，求数列{b n}的前n项和T n．
2．（2022秋•南海区月考）已知数列{a n}的首项a1＝，（1）求证数列为等比数列；
（2）记T n＝，若T n＜20，求m的最大值．
3．（2022•南京模拟）已知等比数列{a n}的首项a1＝81，公比，数列b n＝log3a n （1）证明：数列{b n}为等差数列；
（2）设数列{b n}前n项和为S n，求使S n＞0的所有正整数n的值．
4．（2022秋•河南月考）记各项均为正数的等比数列{a n}的前n项和是S n，已知
．
（1）求{a n}的通项公式；
（2）求数列{na n}的前n项和T n．
5．（2022•青铜峡市校级开学）已知数列{a n}的前n项和．（1）求{a n}的通项公式；
（2）求数列的前n项和．
6．（2022秋•连城县校级月考）公差不为0的等差数列{a n}中，a7+a9＝2，且a8，a9，a12成等比数列．
（1）求数列{a n}的通项公式；
（2）若S n为等差数列{a n}的前n项和，求使S n＜0成立的n的最大值．
7．（2022秋•兴庆区校级月考）等差数列{a n}中，a3+a4＝4，a5+a7＝6．
（1）求{a n}的通项公式；
（2）设b n＝[a n]，求数列{b n}的前5项和，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[0.9]＝0，
[2.6]＝2．
8．（2022秋•河南月考）已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足a1＝1，2S n+1＝S n+2．（1）求数列{a n}的通项公式；
（2）若数列{b n}满足b n＝a n+，求数列{b n}的前n项和T n．
9．（2022秋•包头月考）记S n为等差数列{a n}的前n项和，已知a1＝6，S6＝S7．（1）求{a n}的通项公式；
（2）求S n，并求S n的最大值．
10．（2022•青羊区校级开学）已知公差d不为0的等差数列{a n}的前n项和为S n，a3＝6，．
（1）求数列{a n}的通项公式；
（2）若数列，c n＝a n+b n，求数列{c n}的前n项和T n．
11．（2022•南关区校级开学）已知二次函数f（x）＝x2﹣5x+10，当x∈（n，n+1]（n∈N*）时，把f（x）在此区间内的整数值的个数表示为a n．
（1）求a1和a2，并求n≥3时a n的表达式；
（2）令b n＝，数列{b n}的前n项和为S n（n≥3），求证：S n＜．
12．（2022秋•太和县校级月考）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，等差数列{b n}的公差为1，且．
（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；
（2）求数列的前n项和T n．
13．（2022秋•五华区校级月考）已知数列{a n}的前n项和为S n，S n＝2a n﹣1．（1）求数列{a n}的通项公式；
（2）若数列{b n}满足a n•b n＝log2a n，求数列{b n}的前n项和T n．
14．（2022•安徽开学）已知数列{a n}，{b n}满足b n＝，且数列{b n}的前n项和为．（1）求数列{a n}的通项公式；
（2）已知c n＝，记数列{c n}的前n项和为S n，求证：S n＜．
15．（2021秋•昆山市月考）已知数列{a n}满足a2＝2，a n+1＝．
（1）记b n＝a2n﹣1，写出b1，b2，并求出数列{b n}的通项公式；
（2）求数列{a n}的前n项和S n．
2023年高考数学复习——大题狂练：数列（15题）
参考答案与试题解析
一．解答题（共15小题）
1．（2022秋•新罗区校级月考）已知等差数列{a n}的公差d＝2，其前n项和为，n∈N*．
（1）求通项公式a n；
（2）若，求数列{b n}的前n项和T n．
【考点】数列的求和；等差数列的通项公式；等差数列的前n项和．
【专题】分类讨论；综合法；等差数列与等比数列；数学运算．
【分析】（1）根据题意表示出a1，a2，结合d＝2，可得p的值，进而求得首项，由此可得通项公式；
（2）由（1）求出b n＝（﹣1）n•2n，然后分n为偶数及n为奇数讨论即可．
【解答】解：（1）∵等差数列{a n}的公差d＝2，其前n项和为，
∴a1＝S1＝p+1，a1+a2＝S2＝4p+2，
∴a1＝p+1，a2＝3p+1，
∴d＝a2﹣a1＝2p＝2，解得p＝1，
∴a1＝2，
∴a n＝2n；
（2），
当n为偶数时，T n＝2[（﹣1+2）+（﹣3+4）+……+（1﹣n+n）]＝n；
当n为奇数时，T n＝T n﹣1+b n＝n﹣1﹣2n＝﹣n﹣1；
∴，其中k∈N•．
【点评】本题考查等差数列的通项公式及其前n项和，考查分类讨论思想及运算求解能力，属于中档题．
2．（2022秋•南海区月考）已知数列{a n}的首项a1＝，
（1）求证数列为等比数列；
（2）记T n＝，若T n＜20，求m的最大值．
【考点】数列递推式；数列的求和．
【专题】转化思想；综合法；等差数列与等比数列；数学运算．
【分析】（1）由条件求得a n+1，﹣2，运用等比数列的定义即可得证；
（2）由等比数列的通项公式可得﹣2，，再由数列的分组求和与等比数列的求和公式，可得T n，分别计算T10，T11，T12，可得所求最大值．
【解答】解：（1）证明：由首项a1＝，
可得a n+1＝，＝，
则＝＝．
所以数列为等比数列．
（2）＝，
，
T n＝，
当n＝10，T10＝20﹣＜20，
当n＝11，T11＝22﹣＞20，
所以n＝10．
【点评】本题考查等比数列的定义、通项公式和求和公式的运用，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题．
3．（2022•南京模拟）已知等比数列{a n}的首项a1＝81，公比，数列b n＝log3a n （1）证明：数列{b n}为等差数列；
（2）设数列{b n}前n项和为S n，求使S n＞0的所有正整数n的值．
【考点】数列的求和；等差数列与等比数列的综合．
【专题】转化思想；综合法；等差数列与等比数列；数学运算．
【分析】（1）首先得到等比数列{a n}的通项公式，再根据对数的运算性质得到b n，再根据等差数列的定义证明即可；
（2）根据等差数列前n项和公式得到S n，再解不等式即可．
【解答】（1）证明：∵等比数列{a n}的首项a1＝81，公比，
∴a n＝81•＝36﹣2n，
∴，
∴b n+1﹣b n＝6﹣2（n+1）﹣（6﹣2n）＝﹣2，b1＝4，
∴{b n}是首项为4，公差为﹣2的等差数列；
（2）解：由（1）可得b n＝6﹣2n，∴，
令S n＞0，即n（5﹣n）＞0，解得0＜n＜5，
又n∈N*，∴n＝1、2、3、4．
【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
4．（2022秋•河南月考）记各项均为正数的等比数列{a n}的前n项和是S n，已知
．
（1）求{a n}的通项公式；
（2）求数列{na n}的前n项和T n．
【考点】数列的求和；等比数列的通项公式；等比数列的前n项和．
【专题】计算题；转化思想；综合法；等差数列与等比数列；点列、递归数列与数学归纳法；逻辑推理；数学运算．
【分析】（1）直接利用数列的递推关系式求出数列的通项公式，
（2）利用（1）的结论，进一步利用乘公比错位相减法在数列求和中的应用求出数列的和．
【解答】解：（1）设等比数列{a n}的公比为q．
因为，
当n＝1时，，
解得a2＝3；
当n＝2时，，
则．
因为{a n}是等比数列，所以，
即，
整理得，
解得（舍去）或．
所以，
所以．
（2）由（1）得，
所以①，则，②
①一②，得＝
，
所以．
【点评】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，数列的求和，乘公比错位相减法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．5．（2022•青铜峡市校级开学）已知数列{a n}的前n项和．（1）求{a n}的通项公式；
（2）求数列的前n项和．
【考点】数列的求和．
【专题】转化思想；综合法；等差数列与等比数列；数学运算．
【分析】（1）直接由数列的通项与前n项和的关系求解；
（2）利用等差数列求和公式计算可得．
【解答】解：（1）因为，
所以当n＝1时，，
当n≥2时，，
显然n＝1时也满足a n＝4n﹣32，
所以a n＝4n﹣32．
（2）因为，
所以数列为公差为2的等差数列，
其前n项和．
【点评】本题考查数列的通项与前n项和的关系，以及等差数列的通项公式和求和公式的运用，考查转化思想和运算能力，属于基础题．
6．（2022秋•连城县校级月考）公差不为0的等差数列{a n}中，a7+a9＝2，且a8，a9，a12成等比数列．
（1）求数列{a n}的通项公式；
（2）若S n为等差数列{a n}的前n项和，求使S n＜0成立的n的最大值．
【考点】等差数列与等比数列的综合．
【专题】计算题；方程思想；综合法；等差数列与等比数列；数学运算．
【分析】（1）首先根据等差中项的性质求得a8的值，设等差数列{a n}的公差d，由可求d，代入通项公式计算即可；
（2）求出S n，由S n＜0可得n的取值范围，由此可得n的最大值．
【解答】解：（1）依题意，，a7+a9＝2a8＝2，所以a8＝1，
设等差数列{a n}的公差d，（d≠0），
则（1+d）2＝1×（1+4d），
解得d＝2，
所以a n＝a8+（n﹣8）d＝2n﹣15；
（2）由（1）可得a1＝﹣13，，
由n（n﹣14）＜0得0＜n＜14，
又n∈N*，所以n的最大值为13．
【点评】本题考查了等差数列与等比数列的综合计算，属于基础题．
7．（2022秋•兴庆区校级月考）等差数列{a n}中，a3+a4＝4，a5+a7＝6．
（1）求{a n}的通项公式；
（2）设b n＝[a n]，求数列{b n}的前5项和，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[0.9]＝0，
[2.6]＝2．
【考点】数列的求和；等差数列的通项公式．
【专题】计算题；转化思想；综合法；等差数列与等比数列；逻辑推理；数学运算．【分析】（1）直接利用等差数列的性质建立方程组，进一步求出首项和公差，进一步求出数列的通项公式．
（2）利用数列的通项公式和取整问题的应用求出数列的和．
【解答】解：（1）设首项为a1，公差为d的等差数列{a n}中，a3+a4＝4，a5+a7＝6．故，解得，
整理得．
（2）由（1）知：，当n＝1，2，3时，，故b n＝1，
当n＝4，5时，，故b n＝2，
所以数列{b n}的前5项和为3+2×2＝7．
【点评】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法，数列的取整问题，数列的求和，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．
8．（2022秋•河南月考）已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足a1＝1，2S n+1＝S n+2．（1）求数列{a n}的通项公式；
（2）若数列{b n}满足b n＝a n+，求数列{b n}的前n项和T n．
【考点】数列的求和；数列递推式．
【专题】转化思想；综合法；等差数列与等比数列；数学运算．
【分析】（1）由2S n+1＝S n+2，构造得2（S n+1﹣2）＝S n﹣2，从而知数列{S n﹣2}是首项为﹣1，公比为的等比数列，求得S n后，再利用a n＝S n﹣S n﹣1（n≥2），即可得解，注意检验n＝1的情形；
（2）采用分组求和法，结合等比数列的前n项公式，得解．
【解答】解：（1）由2S n+1＝S n+2，知2（S n+1﹣2）＝S n﹣2，即＝，
又S1﹣2＝a1﹣2＝1﹣2＝﹣1，
所以数列{S n﹣2}是首项为﹣1，公比为的等比数列，
所以S n﹣2＝﹣1•＝﹣，
所以S n＝2﹣，
当n≥2时，a n＝S n﹣S n﹣1＝2﹣﹣2+＝，
而a1＝1，满足上式，
所以a n＝．
（2）b n＝a n+＝2n﹣1+，
所以T n＝20+21+…+2n﹣1+++…+＝+＝2n﹣+1．
【点评】本题考查数列的通项公式与前n项和的求法，熟练掌握利用a n＝S n﹣S n﹣1（n≥2）和构造法求通项公式，等比数列的前n项和公式，分组求和法是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
9．（2022秋•包头月考）记S n为等差数列{a n}的前n项和，已知a1＝6，S6＝S7．（1）求{a n}的通项公式；
（2）求S n，并求S n的最大值．
【考点】等差数列的前n项和．
【专题】转化思想；转化法；等差数列与等比数列；数学运算．
【分析】（1）根据已知条件，结合等差数列的性质，求出公差，即可求解．
（2）根据已知条件，结合等差数列的前n项和公式，即可求解．
【解答】解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，
∵S6＝S7，
∴a7＝0，
∴6d＝a7﹣a1＝0﹣6＝﹣6，解得d＝﹣1，
故a n＝a1+（n﹣1）×（﹣1）＝﹣n+7．
（2）由（1）可知，a1＝6，d＝﹣1，
S n＝＝＝+，
当n＝6或7时，S n取得最大值21．
【点评】本题主要考查等差数列的前n项和公式，考查转化能力，属于中档题．10．（2022•青羊区校级开学）已知公差d不为0的等差数列{a n}的前n项和为S n，a3＝6，．
（1）求数列{a n}的通项公式；
（2）若数列，c n＝a n+b n，求数列{c n}的前n项和T n．
【考点】数列的求和．
【专题】计算题；转化思想；综合法；等差数列与等比数列；点列、递归数列与数学归纳法．
【分析】（1）直接利用等差数列的性质求出数列的首项和公差，进一步求出数列的通项公式，
（2）利用（1）的结论，进一步利用分组法的应用求出数列的和．
【解答】解：（1）设数列的首项为a1，公差d不为0的等差数列{a n}的前n项和为S n，满足a3＝6，，
所以，整理得，
解得：，故a n＝2+2（n﹣1）＝2n．
（2）由（1）得：，
故＝．
【点评】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法，数列的求和，分组法的求和，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．
11．（2022•南关区校级开学）已知二次函数f（x）＝x2﹣5x+10，当x∈（n，n+1]（n∈N*）时，把f（x）在此区间内的整数值的个数表示为a n．
（1）求a1和a2，并求n≥3时a n的表达式；
（2）令b n＝，数列{b n}的前n项和为S n（n≥3），求证：S n＜．
【考点】数列的求和．
【专题】分类讨论；综合法；点列、递归数列与数学归纳法；数学运算．
【分析】（1）分n＝1，n＝2和n⩾3三种情况，结合二次函数的图象与性质，分类讨论求a n；
（2）由（1）知，a1＝2，a2＝1，a n＝2n﹣4（n⩾3），先直接写出b1和b2的值，再结合裂项求和法，即可得证．
【解答】（1）解：对于二次函数f（x）＝x2﹣5x+10，开口向上，对称轴为x＝，
当x∈（1，2]时，f（x）单调递减，∵f（1）＝6，f（2）＝4，∴a1＝2，
当x∈（2，3]时，f（x）在（2，）上递减，在（，3]上递增，∵，∴a2＝1，
当n⩾3时，函数f（x）在（n，n+1]（n∈N*）上单调递增，
∴f（x）＞f（n）＝n2﹣5n+10，f（x）≤f（n+1）＝n2﹣3n+6，
∴a n＝f（n+1）﹣f（n）＝2n﹣4，n⩾3，
综上所述，a1＝2，a2＝1，a n＝2n﹣4（n⩾3）．
（2）证明：由（1）知，a1＝2，a2＝1，a n＝2n﹣4（n⩾3），
∴，
而b1＝＝，b2＝＝，
∴数列{b n}的前n项和S n＝++（1﹣+++……+﹣）＝1+（1﹣），
∵n≥3，∴＞0，
∴1﹣＜1，
∴S n＝1+（1﹣）＜1+＝，得证．
【点评】本题主要考查数列的求和，熟练掌握二次函数的图象与性质，裂项求和法是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
12．（2022秋•太和县校级月考）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，等差数列{b n}的公差为1，且．
（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；
（2）求数列的前n项和T n．
【考点】数列的求和；等差数列的前n项和．
【专题】计算题；方程思想；综合法；等差数列与等比数列；数学运算．
【分析】（1）利用当n≥2时，
，可求得a n＝2n+2b1﹣3，进而求得数列{a n}的公差为2，再由，解得b1＝1，从而求得数列
{a n}和数列{b n}的通项公式；
（2）利用裂项相消法求和即得所求．
【解答】解：（1）由b n＝b1+（n﹣1）＝n+b1﹣1可得，
当n⩾2时，＝n+b1﹣1+n﹣1+b1﹣1＝2n+2b1﹣3，
则a n+1＝2（n+1）+2b1﹣3＝2n+2b1﹣1，
所以a n+1﹣a n＝2，
即数列{a n}的公差为2，
又，
所以，解得b1＝1，
故数列{a n}的通项公式为a n＝2n﹣1，数列{b n}的通顶公式为b n＝n；
（2）由（1）可知，，
所以，
．
【点评】本题考查了数列的递推关系以及裂项相消求和计算，属于中档题．13．（2022秋•五华区校级月考）已知数列{a n}的前n项和为S n，S n＝2a n﹣1．（1）求数列{a n}的通项公式；
（2）若数列{b n}满足a n•b n＝log2a n，求数列{b n}的前n项和T n．
【考点】数列的求和；数列递推式．
【专题】方程思想；转化法；等差数列与等比数列；数学运算．
【分析】（1）利用n≥2时，a n＝S n﹣S n﹣1；n＝1时，a1＝2a1﹣1，解得a1，利用等比数列的通项公式即可得出a n．
（2）由数列{b n}满足a n•b n＝log2a n，可得b n＝．利用错位相减法即可得出数列{b n}的前n项和T n．
【解答】解：（1）∵S n＝2a n﹣1，
∴n≥2时，a n＝S n﹣S n﹣1＝2a n﹣1﹣（2a n﹣1﹣1），
化为：a n＝2a n﹣1，
n＝1时，a1＝2a1﹣1，解得a1＝1，
∴数列{a n}是等比数列，首项为1，公比为2，
∴a n＝2n﹣1．
（2）∵数列{b n}满足a n•b n＝log2a n，
∴2n﹣1b n＝，
解得b n＝．
∴数列{b n}的前n项和T n＝0++++…+，
∴T n＝0++++…++，
相减可得：T n＝++…+﹣＝﹣，
整理为：T n＝2﹣．
【点评】本题考查了数列递推关系、等比数列的通项公式与求和公式、错位相减法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
14．（2022•安徽开学）已知数列{a n}，{b n}满足b n＝，且数列{b n}的前n项和为．（1）求数列{a n}的通项公式；
（2）已知c n＝，记数列{c n}的前n项和为S n，求证：S n＜．
【考点】数列的求和；数列递推式．
【专题】转化思想；综合法；点列、递归数列与数学归纳法；数学运算．
【分析】（1）易知b n＝﹣＝（n≥2），再检验n＝1的情形，从而得b n，然后代入b n＝中，化简运算，即可；
（2）结合（1）中所得结论，可知c n＝•（﹣），然后裂项求和，即可得证．【解答】（1）解：∵数列{b n}的前n项和为，
∴b n＝﹣＝（n≥2），
当n＝1时，b1＝满足上式，
∴b n＝，
由b n＝，知a n＝（+5）＝（3n+5）．
（2）证明：由（1）知，a n+1＝（3n+8），a n+2＝（3n+11），
∴c n＝＝＝•（﹣），
∴S n＝•[（﹣）+（﹣）+…+（﹣）]＝•（﹣）＝＜＝．
【点评】本题考查数列的求和，熟练掌握利用a n＝S n﹣S n﹣1（n≥2）求通项公式，裂项求和法是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
15．（2021秋•昆山市月考）已知数列{a n}满足a2＝2，a n+1＝．
（1）记b n＝a2n﹣1，写出b1，b2，并求出数列{b n}的通项公式；
（2）求数列{a n}的前n项和S n．
【考点】数列的求和；数列递推式．
【专题】计算题；整体思想；综合法；等差数列与等比数列；数学运算．
【分析】（1）由递推公式得出b1，b2，再由a2n＝a2n﹣1+1＝a2n﹣1﹣1，a2n+1＝a2n+3两式相加结合等差数列的定义得出数列{b n}的通项公式；
（2）讨论n为奇数和偶数两种情况，结合等差数列的求和公式得出前n项和S n．【解答】解：（1）∵a2＝a1﹣1＝2，∴a1＝3，故b1＝a1＝3，b2＝a3＝a2+3＝5，
由题意可知，a2n＝a2n﹣1+1＝a2n﹣1﹣1①，a2n+1＝a2n+3②，
由①+②可得，a2n+1﹣a2n﹣1＝2，
即{a2n﹣1}是首项为3，公差为2的等差数列，则a2n﹣1＝3+2（n﹣1）＝2n+1，
故b n＝2n+1；
（2）∵a2n＝a2n﹣1﹣1，a2n﹣1＝a2n﹣2+3，两式相加得a2n﹣a2n﹣2＝2，
故{a2n}是首项为2，公差为2的等差数列，则a2n＝2+2（n﹣1）＝2n，
当n为奇数时，S n＝a1+a2+a3+⋯+a n﹣1+a n
＝（a1+a3+⋯+an）+（a2+a4+⋯+an﹣1）
＝
＝，
当n为偶数时，S n＝a1+a2+a3+⋯+a n﹣1+a n
＝（a1+a3+⋯+an﹣1）+（a2+a4+⋯+an）
＝．
【点评】本题考查了等差数列的通项公式和等差数列的求和公式，属于中档题．
考点卡片
1．等差数列的通项公式
【知识点的认识】
等差数列是常见数列的一种，数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，已知等差数列的首项a1，公差d，那么第n项为a n＝a1+（n﹣1）d，或者已知第m项为a m，则第n项为a n＝a m+（n﹣m）d．
【例题解析】
eg1：已知数列{a n}的前n项和为S n＝n2+1，求数列{a n}的通项公式，并判断{a n}是不是等差数列
解：当n＝1时，a1＝S1＝12+1＝2，
当n≥2时，a n＝S n﹣S n﹣1＝n2+1﹣（n﹣1）2﹣1＝2n﹣1，
∴a n＝，
把n＝1代入2n﹣1可得1≠2，
∴{a n}不是等差数列
考察了对概念的理解，除掉第一项这个数列是等差数列，但如果把首项放进去的话就不是等差数列，题中a n的求法是数列当中常用到的方式，大家可以熟记一下．
eg2：已知等差数列{a n}的前三项分别为a﹣1，2a+1，a+7则这个数列的通项公式为
解：∵等差数列{a n}的前三项分别为a﹣1，2a+1，a+7，
∴2（2a+1）＝a﹣1+a+7，
解得a＝2．
∴a1＝2﹣1＝1，a2＝2×2+1＝5，a3＝2+7＝9，
∴数列a n是以1为首项，4为公差的等差数列，
∴a n＝1+（n﹣1）×4＝4n﹣3．
故答案：4n﹣3．
这个题很好的考察了的呢公差数列的一个重要性质，即等差中项的特点，通过这个性质然后解方程一样求出首项和公差即可．
【考点点评】
求等差数列的通项公式是一种很常见的题型，这里面往往用的最多的就是等差中项的性质，
这也是学习或者复习时应重点掌握的知识点．
2．等差数列的前n项和
【知识点的认识】
等差数列是常见数列的一种，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，而这个常数叫做等差数列的公差，公差常用字母d 表示．其求和公式为S n＝na1+n（n﹣1）d或者S n＝
【例题解析】
eg1：设等差数列的前n项和为S n，若公差d＝1，S5＝15，则S10＝
解：∵d＝1，S5＝15，
∴5a1+d＝5a1+10＝15，即a1＝1，
则S10＝10a1+d＝10+45＝55．
故答案为：55
点评：此题考查了等差数列的前n项和公式，解题的关键是根据题意求出首项a1的值，然后套用公式即可．
eg2：等差数列{a n}的前n项和S n＝4n2﹣25n．求数列{|a n|}的前n项的和T n．
解：∵等差数列{a n}的前n项和S n＝4n2﹣25n．
∴a n＝S n﹣S n﹣1＝（4n2﹣25n）﹣[4（n﹣1）2﹣25（n﹣1）]＝8n﹣29，
该等差数列为﹣21，﹣13，﹣5，3，11，…前3项为负，其和为S3＝﹣39．
∴n≤3时，T n＝﹣S n＝25n﹣4n2，
n≥4，T n＝S n﹣2S3＝4n2﹣25n+78，
∴．
点评：本题考查等差数列的前n项的绝对值的和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意分类讨论思想的合理运用．其实方法都是一样的，要么求出首项和公差，要么求出首项和第n项的值．
【考点点评】
等差数列比较常见，单独考察等差数列的题也比较简单，一般单独考察是以小题出现，大题一般要考察的话会结合等比数列的相关知识考察，特别是错位相减法的运用．
3．等比数列的通项公式
【知识点的认识】
1．等比数列的定义
如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比值等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示（q≠0）．从等比数列的定义看，等比数列的任意项都是非零的，公比q也是非零常数．
2．等比数列的通项公式
设等比数列{a n}的首项为a1，公比为q，则它的通项a n＝a1•q n﹣1
3．等比中项：
如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项．G2＝a•b（ab≠0）
4．等比数列的常用性质
（1）通项公式的推广：a n＝a m•q n﹣m，（n，m∈N*）．
（2）若{a n}为等比数列，且k+l＝m+n，（k，l，m，n∈N*），则a k•a l＝a m•a n
（3）若{a n}，{b n}（项数相同）是等比数列，则{λa n}（λ≠0），{a}，{a n•b n}，仍是等比数列．
（4）单调性：或⇔{a n}是递增数列；或⇔{a n}
是递减数列；q＝1⇔{a n}是常数列；q＜0⇔{a n}是摆动数列．
4．等比数列的前n项和
【知识点的知识】
1．等比数列的前n项和公式等比数列{a n}的公比为q（q≠0），其前n项和为S n，
当q＝1时，S n＝na1；
当q≠1时，S n＝＝．
2．等比数列前n项和的性质
公比不为﹣1的等比数列{a n}的前n项和为S n，则S n，S2n﹣S n，S3n﹣S2n仍成等比数列，其公比为q n．
5．数列的求和
【知识点的知识】
就是求出这个数列所有项的和，一般来说要求的数列为等差数列、等比数列、等差等比数列等等，常用的方法包括：
（1）公式法：
①等差数列前n项和公式：S n＝na1+n（n﹣1）d或S n＝
②等比数列前n项和公式：
③几个常用数列的求和公式：
（2）错位相减法：
适用于求数列{a n×b n}的前n项和，其中{a n}{b n}分别是等差数列和等比数列．
（3）裂项相消法：
适用于求数列{}的前n项和，其中{a n}为各项不为0的等差数列，即＝（）．
（4）倒序相加法：
推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n个（a1+a n）．
（5）分组求和法：
有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可．
【典型例题分析】
典例1：已知等差数列{a n}满足：a3＝7，a5+a7＝26，{a n}的前n项和为S n．
（Ⅰ）求a n及S n；
（Ⅱ）令b n＝（n∈N*），求数列{b n}的前n项和T n．
分析：形如的求和，可使用裂项相消法如：
＝
＝．
解：（Ⅰ）设等差数列{a n}的公差为d，
∵a3＝7，a5+a7＝26，
∴，解得a1＝3，d＝2，
∴a n＝3+2（n﹣1）＝2n+1；
S n＝＝n2+2n．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知a n＝2n+1，
∴b n＝＝＝＝，
∴T n＝＝＝，
即数列{b n}的前n项和T n＝．
点评：该题的第二问用的关键方法就是裂项求和法，这也是数列求和当中常用的方法，就像友情提示那样，两个等差数列相乘并作为分母的一般就可以用裂项求和．
【解题方法点拨】
数列求和基本上是必考点，大家要学会上面所列的几种最基本的方法，即便是放缩也要往这
里面考．
6．数列递推式
【知识点的知识】
1、递推公式定义：如果已知数列{a n}的第1项（或前几项），且任一项a n与它的前一项a n
（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．﹣1
2、数列前n项和S n与通项a n的关系式：a n＝．
在数列{a n}中，前n项和S n与通项公式a n的关系，是本讲内容一个重点，要认真掌握．
注意：（1）用a n＝S n﹣S n﹣1求数列的通项公式时，你注意到此等式成立的条件了吗？（n≥2，当n＝1时，a1＝S1）；若a1适合由a n的表达式，则a n不必表达成分段形式，可化统一为一个式子．
（2）一般地当已知条件中含有a n与S n的混合关系时，常需运用关系式a n＝S n﹣S n﹣1，先将已知条件转化为只含a n或S n的关系式，然后再求解．
3、数列的通项的求法：
（1）公式法：①等差数列通项公式；②等比数列通项公式．
（2）已知S n（即a1+a2+…+a n＝f（n））求a n，用作差法：a n＝．一般地当已知条件中含有a n与S n的混合关系时，常需运用关系式，先将已知条件转化为只含或的关系式，然后再求解．
（3）已知a1•a2…a n＝f（n）求a n，用作商法：a n，＝．
（4）若a n+1﹣a n＝f（n）求a n，用累加法：a n＝（a n﹣a n﹣1）+（a n﹣1﹣a n﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1（n≥2）．
（5）已知＝f（n）求a n，用累乘法：a n＝（n≥2）．
（6）已知递推关系求a n，有时也可以用构造法（构造等差、等比数列）．特别地有，
①形如a n＝ka n﹣1+b、a n＝ka n﹣1+b n（k，b为常数）的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为k的等比数列后，再求a n．
②形如a n＝的递推数列都可以用倒数法求通项．
（7）求通项公式，也可以由数列的前几项进行归纳猜想，再利用数学归纳法进行证明．7．等差数列与等比数列的综合
【知识点的知识】
1、等差数列的性质
（1）若公差d＞0，则为递增等差数列；若公差d＜0，则为递减等差数列；若公差d＝0，则为常数列；
（2）有穷等差数列中，与首末两端“等距离”的两项和相等，并且等于首末两项之和；（3）m，n∈N+，则a m＝a n+（m﹣n）d；
（4）若s，t，p，q∈N*，且s+t＝p+q，则a s+a t＝a p+a q，其中a s，a t，a p，a q是数列中的项，特别地，当s+t＝2p时，有
a s+a t＝2a p；
（5）若数列{a n}，{b n}均是等差数列，则数列{ma n+kb n}仍为等差数列，其中m，k均为常数．
（6）a n，a n﹣1，a n﹣2，…，a2，a1仍为等差数列，公差为﹣d．
（7）从第二项开始起，每一项是与它相邻两项的等差中项，也是与它等距离的前后两项的等差中项，即2a n+1＝a n+a n+2，
2a n＝a n﹣m+a n+m，（n≥m+1，n，m∈N+）
（8）a m，a m+k，a m+2k，a m+3k，…仍为等差数列，公差为kd（首项不一定选a1）．
2、等比数列的性质．
（1）通项公式的推广：a n＝a m•q n﹣m，（n，m∈N*）．
（2）若{a n}为等比数列，且k+l＝m+n，（k，l，m，n∈N*），则a k•a l＝a m•a n
（3）若{a n}，{b n}（项数相同）是等比数列，则{λa n}（λ≠0），{a}，{a n•b n}，仍是等比数列．
（4）单调性：或⇔{a n}是递增数列；或⇔{a n}
是递减数列；q＝1⇔{a n}是常数列；q＜0⇔{a n}是摆动数列．
8．数学归纳法
【知识点的认识】
1．数学归纳法
一般地，当要证明一个命题对于不小于某正整数n0的所有正整数n都成立时，可以用以下两个步骤：
（1）证明当n＝n0时命题成立；
（2）假设当n＝k（k∈N+，且k≥n0）时命题成立，证明n＝k+1时命题也成立．
在完成了这两个步骤后，就可以断定命题对于不小于n0的所有正整数都成立．这种证明方法称为数学归纳法．
2．用数学归纳法证明时，要分两个步骤，两者缺一不可．
（1）证明了第一步，就获得了递推的基础，但仅靠这一步还不能说明结论的正确性．
在这一步中，只需验证命题结论成立的最小的正整数就可以了，没有必要验证命题对几个正整数成立．
（2）证明了第二步，就获得了推理的依据．仅有第二步而没有第一步，则失去了递推的基础；而只有第一步而没有第二步，就可能得出不正确的结论，因为单靠第一步，我们无法递推下去，所以我们无法判断命题对n0+1，n0+2，…，是否正确．
在第二步中，n＝k命题成立，可以作为条件加以运用，而n＝k+1时的情况则有待利用命题的已知条件，公理，定理，定义加以证明．
完成一，二步后，最后对命题做一个总的结论．
3．用数学归纳法证明恒等式的步骤及注意事项：
①明确初始值n0并验证真假．（必不可少）
②“假设n＝k时命题正确”并写出命题形式．
③分析“n＝k+1时”命题是什么，并找出与“n＝k”时命题形式的差别．弄清左端应增加的项．
④明确等式左端变形目标，掌握恒等式变形常用的方法：乘法公式、因式分解、添拆项、配方等，并用上假设．
9．归纳推理
【知识点的认识】
1．归纳推理：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些
特征的推理，或由个别事实概括出一般结论的推理．
推理形式：设S＝{A1，A2，A3，…，A n，…}，
2．特点：
（1）归纳推理的前提是几个已知的特殊现象，归纳得出的结论是尚属未知的一般现象，该结论超越了前提所包容的范围；
（2）归纳推理得到的结论具有猜测性质，结论是否真实，需要通过逻辑证明和实践检验，不能作为数学证明的工具；
（3）归纳推理是一种具有创造性的推理，通过归纳推理得到的猜想，可以作为进一步研究的起点，帮助人们发现问题和提出问题．
3．作用：
（1）获取新知，发现真理；
（2）说明和论证问题．
【解题技巧点拨】
归纳推理一般步骤：
（1）对有限的资料进行观察、分析、归纳、整理；
（2）提出带有规律性的结论，即猜想；
（3）检验猜想．
【命题方向】
归纳推理主要以填空、选择题的形式出现，比较基础，考查对归纳推理的理解，会运用归纳推理得出一般性结论．
（1）考查对归纳推理理解
掌握归纳推理的定义与特点，注意区分与类比推理、演绎推理的不同．
例1：下列表述正确的是（）
①归纳推理是由部分到整体的推理；
②归纳推理是由一般到一般的推理；
③演绎推理是由一般到特殊的推理；
④类比推理是由特殊到一般的推理；
⑤类比推理是由特殊到特殊的推理．
A．①②③B．②③④C．②④⑤D．①③⑤
分析：本题考查的知识点是归纳推理、类比推理和演绎推理的定义，根据定义对5个命题逐一判断即可得到答案．
解答：归纳推理是由部分到整体的推理，
演绎推理是由一般到特殊的推理，
类比推理是由特殊到特殊的推理．
故①③⑤是正确的
故选D
点评：判断一个推理过程是否是归纳推理关键是看他是否符合归纳推理的定义，即是否是由特殊到一般的推理过程．判断一个推理过程是否是类比推理关键是看他是否符合类比推理的定义，即是否是由特殊到与它类似的另一个特殊的推理过程．判断一个推理过程是否是演绎推理关键是看他是否符合演绎推理的定义，即是否是由一般到特殊的推理过程．
例2：下列推理是归纳推理的是（）
A．A，B为定点，动点P满足||P A|﹣|PB||＝2a＜|AB|（a＞0），则动点P的轨迹是以A，B为焦点的双曲线
B．由a1＝2，a n＝3n﹣1求出S1，S2，S3，猜想出数列{a n}的前n项和S n的表达式
C．由圆x2+y2＝r2的面积S＝πr2，猜想出椭圆的面积S＝πab
D．科学家利用鱼的沉浮原理制造潜水艇
分析：根据归纳推理的定义，对各个选项进行判断．
解答：A选项用的双曲线的定义进行推理，不符合要求．
B选项根据前3个S1，S2，S3的值，猜想出S n的表达式，属于归纳推理，符合要求．
C选项由圆x2+y2＝r2的面积S＝πr2，猜想出椭圆的面积S＝πab，用的是类比推理，不符合要求．
D选项用的是演绎推理，不符合要求．
故选B．
点评：本题主要考查归纳推理的定义，归纳推理、类比推理、演绎推理的区别联系，属于基。