上海市位育中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷

所以
AB
=
2(
OE
+
r)
=
2 æç è
0+
0-4 2
+1ö÷ ø
=
4
2+2，
故答案为： 4 2 + 2
答案第51 页，共22 页
( 12． 1, 3ùû
【分析】根据椭圆和双曲线的定义求出 MF1 、 MF2 ，由勾股定理即可得到 e1 、 e2 的关系，
从而解出 e2 的范围．
【详解】由椭圆及双曲线定义得
3x2 【详解】双曲线
-
y2
=8 可化为
x2 8
-
y2 8
=1，
3
所以双曲线的渐近线方程为 y = ± 3x ，
所以直线 y = 3x 的倾斜角为 π ，直线 y = - 3x 的倾斜角为 2π ，
3
3
答案第11 页，共22 页
所以两条渐近线的夹角为 π . 3
故答案为： π 3
4． 240
【分析】根据二项式定理可得展开式通项，代入 r = 4 即可得到常数项.
14．直线 l1 : (a -1) x + y +1 = 0 ， l2 : 4x + (a + 2) y -1 = 0 ，则“ a = 2 ”是“ l1//l2 ”的（ ）
条件 A．必要不充分条件 C．充要条件
B．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件
0< a <1
æ0 a 1ö
(0,1)
15．设
,
12 5
ù úû
【分析】根据条件得到点
P( x,
y)
在以
(1,
0)
为圆心，
r
=
2
为半径的半圆上，而
y x
-
2 4
表示半
圆上的点 P(x, y) 与点 (4, 2) 连线的斜率，根据图形，利用几何关系，即可求出结果.
【详解】由 y = - 4 - ( x -1)2 得到 (x -1)2 + y2 = 4 ，所以 y = - 4 - ( x -1)2 是以 (1, 0) 为圆心，
7 2
，求
m
的值．
( ) ( ) 18．已知椭圆的焦点是 F1 - 3, 0 ， F2 3, 0 ，长轴长是短轴长的 2 倍，求椭圆上的点到
直线 2x + 3y + 8 = 0 距离的最大值．
19．已知双曲线 C
:
x2 4
-
y2
= 1，直线
l
经过点
æ çè
-
3 2
,0
ö ÷ø
，且与双曲线 C
交于 M
r = 2 为半径的半圆，如图所示，
令
y x
-
2 4
=
k
，即
y
-
2
=
k
(x
-
4)
，
由图知，当 y - 2 = k(x - 4) 过点 (-1, 0) 时， k 最小，将 (-1, 0) 代入 y - 2 = k (x - 4) ，得到
k
=
2 5
，
当 y - 2 = k(x - 4) 与半圆相切时， k 最大，由
15
15
试卷第11 页，共33 页
概率为
3 8
，则既刮风又下雨的概率为
．
9．将 6 位志愿者分成 4 组，其中两个组各 2 人，另两个组各 1 人，分赴世博会的四个不同 场馆服务，不同的分配方案有 种(用数字作答).
x, y 10．已知实数 满足 y = -
4
-(
x
-1)2
，则
y x
-
2 4
的取值范围是
民进行调查，经过计算 c 2 » 0.95 ，根据这一数据分析，下列说法正确的是（ ）
( ) （附： P c 2 ³ 3.841 » 0.05 ）
A．有 95% 的人认为该电视栏目优秀 B．有 95% 的人认为该电视栏目是否优秀与改革有关系
试卷第21 页，共33 页
C．在犯错误的概率不超过 5% 的前提下，认为该电视栏目是否优秀与改革有关系 D．没有理由认为该电视栏目是否优秀与改革有关系
m
的取值范围是
．
3．双曲线 3x2 - y2 = 8 的两条渐近线夹角为 ．
4．
æ çè
x
+
2 ö6 的二项展开式中常数项是 x ÷ø
.
5．已知双曲线 C：
x2 9
-
y2 7
= 1的左､右焦点分别为 F1 ， F2 ，双曲线 C 上有一点 P，若
PF1 = 5 ，则 PF2 =
.
6．为了研究小滑块在平面上的运动，测量得到如下一组数据：
，随机变量
X
的分布是
ç ççè
1 3
1 3
1 3
÷ ÷÷ø
，则当
a
在
内增大时，（ ）
A． D[ X ] 增大
B． D[ X ] 减小
C． D[ X ] 先增大后减小
D． D[ X ] 先减小后增大
16．在平面直角坐标系中，当 P(x, y) 不是原点时，定义 P 的“伴随点”为
P¢(
x2
y +
y2
,
使得以 AB 为直径的圆恒过定点T ？若存在，求出T 的坐标，若不存在，说明理由． 试卷第51 页，共33 页
1． 300
参考答案：
【分析】求出直线的斜率，然后求解直线的倾斜角
【详解】 x -
3y +1 = 0 ，则 y =
3 3
x
+
3 ，斜率为 3
3
3
则 tana =
3 ，解得a = 30°
3
【详解】
æ çè
x
+
2 x
ö6 ÷ø
展开式通项公式为： Tr +1
=
C6r x6-r
×
æ çè
2 x
ör ÷ø
=
2r
×
Cr6
x
6-
3 2
r
，
令
6
-
3 2
r
=
0
，解得：
r
=
4
，
\æçè x +
2 ö6 展开式中常数项为 24 ´ C64 = 16 ´15 = 240 . x ÷ø
故答案为： 240 . 5．11 【分析】由定义得出 PF2 即可.
上海市位育中学 2023-2024 学年高二下学期期中考试数学试
卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、填空题
1．直线 x - 3y +1 = 0 的倾斜角为 ．
2．方程
x2 25 -
m
+
y2 m+
9
= 1表示焦点在
y
轴上的椭圆，则
-x x2 + y2
)
；当
P
是原点时，定义
P
的“伴随点”为它自身，平面曲线
C
上所有点
的“伴随点”所构成的曲线 C¢ 定义为曲线 C 的“伴随曲线”，现有下列命题：
①若点 A 的“伴随点”是点 A¢ ，则点 A¢ 的“伴随点”是点 A ；
②若曲线 C 关于 x 轴对称，则其“伴随曲线” C' 关于 y 轴对称；
8． 1 /0.1 10
【分析】利用条件概率的计算公式求解即可 【详解】记 A = “下雨”， B = “刮风”， AB = “刮风又下雨”，
则 P( A)
=
4 15
,
P
(
B)
=
2 15
,
P
(
B
A)
=
3 8
，
所以 P ( AB)
=
P( A)P(B
A)
=
4 15
´
3 8
=
1 10
.
故答案为： 1 10
法，进而将其分配到四个不同场馆，有 A44 = 24 种情况，
答案第31 页，共22 页
由分步计数原理可得，不同的分配方案有 45×24=1080 种. 故答案为：1080.
【点睛】易错题，在分组过程中，要注意分组重复的情况，理解 C62C24C12 中分母的意义．
A
2 2
A
2 2
10．
é êë
2 5
21．已知椭圆 C
:
x2 2
+
y2
=1
(1)若双曲线
x2 a2
-
y2 b2
=1
(a
> 0, b
> 0) 的一条渐近线方程为
y
=
3 2
x
，且与椭圆
C
有公共焦点，
求此双曲线的方程；
(2)过点
S
æ çè
0,
-
1 3
ö ÷ø
的动直线
l
交椭圆
C
于
A,
B
两点，试问在坐标平面上是否存在一个定点 T
，
试卷第41 页，共33 页
故答案为 30° 【点睛】本题主要考查了直线的倾斜角，解题的关键是求出直线的斜率，属于基础题
2．(8, 25)
【分析】由椭圆的方程列式求解 【详解】由题意得 m + 9 > 25 - m > 0 ，解得8 < m < 25 ，
故答案为：(8, 25)
3． π 3
【分析】求出双曲线的渐近线方程，可得渐近线的倾斜角，再结合两条直线夹角的范围即 可得答案.
时间（s） 位移
（cm）
12345 6
7
1.8 3.6 5.3 7.1 8.8 10.4 12.0
这组数据的线性回归方程经过点 (4, a) ，则 a = ．
7．已知随机变量 X ~ N (4,s 2 ) ，且 P ( X £ 2) = 0.3 ，则 P ( X < 6) = ．
8．某地区气象台统计，该地区下雨的概率是 4 ，刮风的概率为 2 ，在下雨天里，刮风的
2 - 3k 1+ k2
= 2 ，得到 5k 2 -12k
=
0
，解得
k
=
12 5
或
k = 0 （舍），
所以
y x
-
2 4
的取值范围是
é êë
2 5
,
12 5
ù úû
，
答案第41 页，共22 页
故答案为：
é êë
2 5
,
12 5
ù úû
.
11． 4 2 + 2 / 2 + 4 2
【分析】恒成立可知， O : x2 + y2 = 1始终在以 AB 为直径的圆内或圆上，求出点 O (0, 0) 到
所以
a
=
1.8
+
3.6
+
5.3 +
7.1 + 7
8.8
+ 10.4
+ 12.0
=
49 7
=
7
，
故答案为：7
7． 7 / 0.7 10
【分析】由正态分布的对称性得出概率.
【详解】由对称性知， P ( X < 6) = 1- P( X > 6) = 1- P(X < 2) = 0.7 ，
故答案为： 0.7 .
9．1080 【分析】该问题属于平均分组（堆）再分配的问题，先将 6 位志愿者分成 4 组，其中两个 组各 2 人，另两个组各 1 人，再将其分配到四个不同场馆即得.
【详解】将 6 位志愿者分成 4 组，其中两个组各 2 人，另两个组各 1 人有 C62C42C12 A 22 A 22
= 45 种方
ìï í ïî
MF1 MF1
+ -
MF2 MF2
= 2a1 = 2a2
，所以
ìï í ïî
MF1 MF2
= a1 + a2 ， = a1 - a2
因为 ÐF1MF2 = 60° ，
由余弦定理得 4c2 = (a1 + )a2 2 + (a1 - )a2 2 - 2(a1 + a2 ) (a1 - a2 ) cos 60o = a12 + 3a22 ，
直线 l 的距离即得线段 AB 长度的最小值.
【详解】圆 O : x2 + y2 = 1的圆心为 (0, 0) 半径为 r = 1 ，
因为在直线
l
:
x
+
y
-
4
=
0
上均存在两点
A，B，使得
ÐAPB
³
π 2
恒成立，
所以以线段 AB 为直径的圆包含圆 O，如图所示：
当两圆内切时，线段 AB 的长度最小， 设线段 AB 的中点为 E，则 OE ^ AB ，
【详解】因为 PF1 = 5 < a + c = 7 ，所以 PF2 - PF1 = 2a = 6 ，故 PF2 = 11.
故答案为：11 6．7 【分析】根据线性回归方程过样本数据中心点求解.
【详解】因为
1
+
2
+
3
+
4+ 7
5
+
6
+
7
=
4
，
所以线性回归方程经过的点 (4, a) 为样本中心点，
答案第21 页，共22 页
．
11．已知点 P 在圆 O : x2 + y2 = 1上运动，若对任意点 P，在直线 l : x + y - 4 = 0 上均存在两
点
A，B，使得
ÐAPB
³
π 2
恒成立，则线段
AB
长度的最小值是
．
12．设
F1
，
F2
是椭圆
C1
:
x2 a12
+
y2 b12
= 1(a1
> b1
> 0) 与双曲线 C2
:
x2 a22
-
y2 b22
= 1 （ a2
> 0 ， b2
Hale Waihona Puke > 0）的公共焦点，曲线 C1 ， C2 在第一象限内交于点 M， ÐF1MF2 = 60° ，若椭圆的离心率
e1
Î
é ê
ë
3 3
,1öø÷÷
，则双曲线的离心率
e2
的取值范围是
．
二、单选题 13．为了评价某个电视栏目的改革效果，某机构在改革前后分别从居民点抽取了 100 位居
,
N
两点，线
段 MN 的垂直平分线过点 (0,1) ，求直线 l 的方程．
20．如图，一个质点在随机外力的作用下，从数轴点 1 的位置出发，每隔1s 向左或向右移
动一个单位，设每次向右移动的概率为 p(0 < p < 1) ．
(1)当
p
=
1 2
5s 时，求
后质点移动到点
0
的位置的概率；
(2)记 3s 后质点的位置对应的数为 X ，若随机变量 X 的期望 E ( X ) > 0 ，求 p 的取值范围．
③单位圆的“伴随曲线”是它自身；
④一条直线的“伴随曲线”是一条直线.