福建省南安市一中2016届高三上学期期中考试数学(文)试卷

南安一中2015～2016学年度上学期期中考高三数学（文）试卷
注意事项：
1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题纸上.
2．考生作答时，请将答案答在答题纸上，在本试卷上答题无效。

按照题号在各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效.
3．答案使用0．5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚. 4．保持答题纸纸面清洁，不破损。

考试结束后，将本试卷自行保存，答题纸交回. 5．柱体体积公式V Sh =其中S 为底面面积，h 为高
锥体公式1
3
V Sh =
，其中S 为底面面积，h 为高 球的表面积、体积公式24S πR =，34
3
V πR =，其中为球的半径．
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.
1．已知集合{11}A x x =-≤≤，{02}B x x =≤≤，则A
B =（ ）
A. [1,0]-
B. [1,2]-
C. [0,1]
D. (,1][2,)-∞+∞
2．设复数1z i =+（是虚数单位），则
2
z
=（ ） A. 1i - B. 1i +
C. 1i --
D. 1i -+
31,2==a b ，且⊥a b ，则||+a b 为（ ）
C. D.
4．下列函数中，是奇函数且在区间（0,1）内单调递减的是（ ）
A ．12
log y x = B ．1
y x
=
C ．3
y x = D ．x y tan =
5．角的终边过点(1,2)P -，则sin α等于（ ）
A ．． 6． 已知等比数列{}n a 的公比2q =，前项和为n S ,若37
2
S =
，则6S 等于（ ）
A ．
312 B ．632 C ．63 D ．1272
7．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是（ ）
A ．2+
B ．2+
C ．43
D ．23
8．函数sin()y x ωϕ=+的部分图像如图，则()2
f π
=（ ）
A ．12-
B ．1
2
C ． D
9．函数()1ln f x x x ⎛
⎫
=-
⎪⎝
⎭
的图象是（ ）
10. 将sin(2)4
y x π
=-的图像上所有点向左平移
4
π
后得到)(x f y =的图像，则)(x f y =在[
2
π
，0]上的最小值为（ ） A. 1- B. 22-
C.0
D. 2
3- 11．已知双曲线22
221x y a b
-=的渐近线与圆22(2)1x y +-=相交， 则该双曲线的离心率的取
值范围是（ ）
A ．)+∞
B ．
C ．(2,)+∞
D ．(1,2) 12.已知2()3y f x x =+的图象关于原点对称，若(2)3f =函数()()3g x f x x =-，则(2)g -的
值（ ）
A ．12
B ．-12
C ．-27
D ． -21 二、填空题：每小题5分，共20分，请将答案填在横线上.
13.已知函数()()()
20lg 0x x f x x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩，则()(1)f f -=___________. 14．已知y x ,满足约束条件10,
0,3,x y x y x -+≥⎧⎪
+≥⎨⎪≤⎩
则y x z 2+=的最大值为 ．
15、已知两圆的圆心均在直线0x y c ++=上，且两圆相交于()()1,3,,1A B m -两点， 则= ．
16、底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面中心的棱锥叫正棱锥.半球内有一内接正四棱锥S ABCD -，该四棱锥的体积为，则该半球的体积为 .
三、解答题：本大题共6小题，共70分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.等差数列{}n a 中，13a =，公差0≠d ，且1413,,a a a 成等比数列，前项的和为n S . （Ⅰ）求n a ; （Ⅱ）设1
n n b S n
=-，12n n T b b b =+++，求30T .
18.在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且满足sin cos c A C =. （Ⅰ）求角C 的大小；
（Ⅱ）已知=6b ,ABC ∆的面积为
19．在直三棱柱111C B A ABC -中，⊥AD 平面1A BC ，其垂足
落在直线1A B 上． （Ⅰ）求证：B A BC 1⊥；
（Ⅱ）若111ABC A B C V -=2BC =，16
BAC π
∠=，
求三棱锥1A ABC -的体积及AD 长．
20.若动圆与定圆2
2
:(2)1M x y -+=外切，与定直线10x +=相切. （Ⅰ）求动圆圆心的轨迹C 的方程；
（Ⅱ）若直线l 过点(2,0)且与轨迹C 相交于,A B 两点，试判断OA OB ⋅是否为定值(点O 为坐标原点)，若是求出该定值，不是请说明理由。

21.已知函数()ln x
f x e a x =-，若()f x 在(1,(1))f 处的切线1l 与直线2:l (1)y e x =-平行.
（Ⅰ）求的值及1l 与2l 之间的距离； （Ⅱ）证明：()2f x >
22.设函数()212--+=x x x f （Ⅰ）求不等式()2>x f 的解集； （Ⅱ）若()t t x f R x 2
11
,2-
≥∈∀恒成立，求实数的取值范围．
南安一中2015～2016学年度高三期中考考试
数学（文）科试卷
一、选择题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 C
A
B
B
B
B
B
D
B
A
C
D
二、填空题
13. 0 14. 11
15. 0 16.
三、解答题：本大题共6小题，共70分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17：解：（Ⅰ） 1413,,a a a 成等比数列2
1134a a a ⋅=
2111(12)(3)a a d a d ⋅+=+......................2分
21960d a d -=13a =，0≠d 2d ∴=.......................4分
21n a n ∴=+ .........................6分
（Ⅱ）
21n a n =+(2)n S n n ∴=+...........................8分
1111
()(1)1
n n b S n n n n n ∴=
==--++...........................10分 301230T b b b =++⋅⋅⋅+1111111(1)()()()223343031=-+-+-+⋅⋅⋅+-=
30
31
..............12分
18：解（I ）由正弦定理得sin sin cos .C A A C =
0,A π<<所以sin 0A >sin C C ∴=....................3分
cos 0,tan C C ≠∴=(0)C π∈，3
C π
∴=
.....................6分
(Ⅱ)
1sin 2ABC S ab C ∆=
= 6,3
b C π
==，2,a ∴=..........9分 由余弦定理2222cos c a b ab C =+-1
436226282
=+-⋅⋅⋅
=，
c ∴=....................12分 19：解（I ）三棱柱111C B A ABC -为直棱柱
1AA ⊥平面ABC
1AA BC ∴⊥.........2分
AD 平面1A BC AD BC ∴⊥1AA AD A
∴⋂=1,AA AD ⊂平面1AA B
1BC A AB ∴⊥平面BA AB ∴⊥...................6分
(Ⅱ) 111ABC A B C V -=111113
A ABC ABC A
B
C V V --∴==
分
1BC A AB ⊥平面1BC A B ∴⊥2BC =，1
6
BAC π
∠=1
14,AC A B ∴==
1A BC S ∆∴=.........10分
⊥AD 平面1A BC 11113A ABC A A BC A BC V V S AD --∆∴==
⋅=1
3
AD ⋅=3=2AD ∴，三棱锥1A A BC -的高3
=2
AD .........12分
20：解（I ）解法（1）：令点坐标为(,)x y ，设动圆得半径为，(2,0)M 则根据两圆相外切及直线与圆相切得性质可得，1PM r =+，11r x x =+=+
2PM x =+2(2)x =+化简得：28y x =.........6分
解法（2）动圆与定圆2
2
:(2)1M x y -+=外切，与定直线10x +=相切 动圆圆心到定点(2,0)M 比到定直线10x +=的距离大1 动圆圆心到定点(2,0)M 与到定直线20x +=的距离相等，
动圆圆心的轨迹是以定点(2,0)M 为焦点，定直线20x +=为准线的抛物线， 所以方程为2
8y x =........6分
(Ⅱ)设直线方程为2x my =+，设1122(,),(,)A x y B x y 联立2
2
8x my y x
=+⎧⎨
=⎩得到28160y mx --=
2121264640816m y y m y y ⎧∆=+>⎪
∴+=⎨⎪=-⎩
........8分 1212(2)(2)x x my my ∴=++212122()4m y y m y y =+++22161644m m =-++= (1)
0分
121241612OA OB x x y y ∴⋅=+=-=-为定值.........12分
21：解（I ）
()ln x f x e a x =-/()(0)x a
f x e x x
∴=->.........1分
()f x 在(1,(1))f 处的切线1l 与直线2:l (1)y e x =-平行
/(1)1f e a e ∴=-=-1
a ∴=(1)f e =.........3分
切线1l ：(1)(1)y e e x -=--即(1)1y e x =-+
1l 与2l
之间的距离d =
=
.........5分
(Ⅱ)
()ln x f x e x =-（0x >）
/1()x f x e x ∴=-，令1()x h x e x =-/21
()0x h x e x ∴=+>
/1
()x f x e x
∴=-在(0,)+∞上单调递增
/1
()202
f =-<，/(1)10f e =-> /1()x f x e x ∴=-在(0,)+∞上存在唯一零点设为，即/1
()0t f t e t =-=
(0,)x t ∴∈/()0f t ∴<单调递减，(,)x t ∈+∞/()0f t >单调递增.........10分
min ()()f x f t ∴=ln t e t =-=111
ln 2t t t e t -=+>
()2f x ∴>.........12分
22：解（I ）由题意得()13,21
31,223,2
x x f x x x x x ⎧
--<-⎪⎪
=⎨--≤<⎪⎪
+≥⎩ , 当1
2
x <- 时，不等式化为32x -->，解得5x <-，∴5x <-， 当1
22
x -
≤<时，不等式化为312x ->，解得1x >，∴12x <<， 当2x ≥时，不等式化为32x +>，解得1x >-，∴2x ≥， 综上，不等式的解集为{}
15x x x ><-或．........5分
分。