城口县高级中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

城口县高级中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析
班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1．某几何体的三视图如图所示，其中正视图是腰长为2的等腰三角形，俯视图是半径为
1的半圆，则其侧视图的面积是（）
A．B．C．1D．
2．若函数f（x）=ka x﹣a﹣x，（a＞0，a≠1）在（﹣∞，+∞）上既是奇函数，又是增函数，则g（x）=log a（x+k）的是（）
A．B．C．D．
3．已知数列{a n}中，a1=1，a n+1=a n+n，若利用如图所示的程序框图计算该数列的第10项，则判断框内的条件是（）
A ．n ≤8？
B ．n ≤9？
C ．n ≤10？
D ．n ≤11？
4． 拋物线E ：y 2＝2px （p ＞0）的焦点与双曲线C ：x 2－y 2＝2的焦点重合，C 的渐近线与拋物线E 交于非原点的P 点，则点P 到E 的准线的距离为（
）A ．4
B ．6
C ．8
D ．10
5． 如图，在平面直角坐标系中，锐角α、β及角α+β的终边分别与单位圆O 交于A ，B ，C 三点．分别作AA'、BB'、CC'垂直于x 轴，若以|AA'|、|BB'|、|CC'|为三边长构造三角形，则此三角形的外接圆面积为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．π
6． 在下面程序框图中，输入，则输出的的值是（ ）
44N S A ． B ． C ． D ．251253255260
【命题意图】本题考查阅读程序框图，理解程序框图的功能，本质是把正整数除以4后按余数分类. 7．在△ABC中，若2cosCsinA=sinB，则△ABC的形状是（）
A．直角三角形B．等边三角形
C．等腰直角三角形D．等腰三角形
8．已知a n=（n∈N*），则在数列{a n}的前30项中最大项和最小项分别是（）
A．a1，a30B．a1，a9C．a10，a9D．a10，a30
9．已知函数f（x）满足：x≥4，则f（x）=；当x＜4时f（x）=f（x+1），则f（2+log23）=（）
A．B．C．D．
10．已知全集I={1，2，3，4，5，6}，A={1，2，3，4}，B={3，4，5，6}，那么∁I （A ∩B ）等于（ ）A ．{3，4}B ．{1，2，5，6}C ．{1，2，3，4，5，6}D ．∅
　11．已知等差数列{a n }满足2a 3﹣a
+2a 13=0，且数列{b n } 是等比数列，若b 8=a 8，则b 4b 12=（
）A ．2B ．4C ．8D ．1612．将甲，乙等5位同学分别保送到北京大学，清华大学，浙江大学等三所大学就读，则每所大学至少保送一人的不同保送的方法数为（
）（A ）150种 （ B ） 180 种
（C ） 240 种 （D ） 540 种二、填空题
13．若x ，y 满足线性约束条件，则z=2x+4y 的最大值为 ．
14．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若﹣1＜a 3＜1，0＜a 6＜3，则S 9的取值范围是 ．　
15．设某总体是由编号为的20个个体组成，利用下面的随机数表选取个个体，选取方01,02,…,19,206法是从随机数表第1行的第3列数字开始从左到右依次选取两个数字，则选出来的第6个个体编号为________．
【命题意图】本题考查抽样方法等基础知识，意在考查统计的思想．
16．直线l 过原点且平分平行四边形ABCD 的面积，若平行四边形的两个顶点为B （1，4），D （5，0），则直线l 的方程为 ．
17．
（sinx+1）dx 的值为 ．18．若与共线，则y= ．
三、解答题
19．如图，四边形是等腰梯形，，四边形
ABEF ,2,AB EF AF BE EF AB ====A 是矩形，平面，其中分别是的中点，是的中点．
ABCD AD ⊥ABEF ,Q M ,AC EF P
BM （1）求证: 平面；
PQ A BCE （2）平面.
AM ⊥BCM 1818 0792 4544 1716 5809 7983 8619
6206 7650 0310 5523 6405 0526 6238
20．【常州市2018届高三上武进区高中数学期中】已知函数，．()()2
21ln f x ax a x x =+--R a ∈⑴若曲线在点处的切线经过点，求实数的值；
()y f x =()()1,1f ()2,11a ⑵若函数在区间上单调，求实数的取值范围；
()f x ()2,3a ⑶设，若对，，使得成立，求整数的最小值．()1sin 8
g x x =()10,x ∀∈+∞[]20,πx ∃∈()()122f x g x +≥a 21．已知
，其中e 是自然常数，a ∈R
（Ⅰ）讨论a=1时，函数f （x ）的单调性、极值；
（Ⅱ）求证：在（Ⅰ）的条件下，f （x ）＞g （x ）+．
　22．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲
已知函数．
3212)(-++=x x x f
（I ）若，使得不等式成立，求实数的最小值；
R x ∈∃0m x f ≤)(0m M （Ⅱ）在（I ）的条件下，若正数满足，证明：.,a b 3a b M +=313b a
+≥
23．已知数列{a n }的首项为1，前n 项和S n 满足
=+1（n ≥2）．（Ⅰ）求S n 与数列{a n }的通项公式；
（Ⅱ）设b n =
（n ∈N *），求使不等式b 1+b 2+…+b n ＞成立的最小正整数n ．
　24．某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：
[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]（Ⅰ）求图中x 的值，并估计该班期中考试数学成绩的众数；
（Ⅱ）从成绩不低于90分的学生和成绩低于50分的学生中随机选取2人，求这2人成绩均不低于90分的概率．
城口县高级中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析（参考答案）一、选择题
1．【答案】B
【解析】解：由三视图知几何体的直观图是半个圆锥，
又∵正视图是腰长为2的等腰三角形，俯视图是半径为1的半圆，
∴半圆锥的底面半径为1，高为，
即半圆锥的侧视图是一个两直角边长分别为1和的直角三角形，
故侧视图的面积是，
故选：B．
【点评】本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状．
2．【答案】C
【解析】解：∵函数f（x）=ka x﹣a﹣x，（a＞0，a≠1）在（﹣∞，+∞）上是奇函数
则f（﹣x）+f（x）=0
即（k﹣1）（a x﹣a﹣x）=0
则k=1
又∵函数f（x）=ka x﹣a﹣x，（a＞0，a≠1）在（﹣∞，+∞）上是增函数
则a＞1
则g（x）=log a（x+k）=log a（x+1）
函数图象必过原点，且为增函数
故选C
【点评】若函数在其定义域为为奇函数，则f（﹣x）+f（x）=0，若函数在其定义域为为偶函数，则f（﹣x）﹣f（x）=0，这是函数奇偶性定义的变形使用，另外函数单调性的性质，在公共单调区间上：增函数﹣减函数=增函数也是解决本题的关键．
3．【答案】B
【解析】解：n=1，满足条件，执行循环体，S=1+1=2
n=2，满足条件，执行循环体，S=1+1+2=4
n=3，满足条件，执行循环体，S=1+1+2+3=7
n=10，不满足条件，退出循环体，循环满足的条件为n≤9，
故选B．
【点评】本题主要考查了当型循环结构，算法和程序框图是新课标新增的内容，在近两年的新课标地区高考都考查到了，这启示我们要给予高度重视，属于基础题．
4． 【答案】
【解析】解析：选D.双曲线C 的方程为－＝1，其焦点为（±2，0），由题意得＝2，
x 22y 22p 2
∴p ＝4，即拋物线方程为y 2＝8x ，双曲线C 的渐近线方程为y ＝±x ，
由，解得 x ＝0（舍去）或x ＝8，则P 到E 的准线的距离为8＋2＝10，故选D.{y 2＝8x y ＝±x )
5． 【答案】 A
【解析】（本题满分为12分）
解：由题意可得：|AA'|=sin α、|BB'|=sin β、|CC'|=sin （α+β），
设边长为sin （α+β）的所对的三角形内角为θ，
则由余弦定理可得，cos θ==
﹣cos αcos β=
﹣cos αcos β=sin αsin β﹣cos αcos β
=﹣cos （α+β），
∵α，β∈（0，
）∴α+β∈（0，π）
∴sin θ==sin （α+β）
设外接圆的半径为R ，则由正弦定理可得2R=
=1，∴R=，
∴外接圆的面积S=πR 2=
．
故选：A ．
【点评】本题主要考查了余弦定理，三角函数恒等变换的应用，同角三角函数基本关系式，正弦定理，圆的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了转化思想和数形结合思想，属于中档题．
6．【答案】B
7．【答案】D
【解析】解：∵A+B+C=180°，
∴sinB=sin（A+C）=sinAcosC+sinCcosA=2cosCsinA，
∴sinCcosA﹣sinAcosC=0，即sin（C﹣A）=0，
∴A=C 即为等腰三角形．
故选：D．
【点评】本题考查三角形形状的判断，考查和角的三角函数，比较基础．
8．【答案】C
【解析】解：a n==1+，该函数在（0，）和（，+∞）上都是递减的，
图象如图，
∵9＜＜10．
∴这个数列的前30项中的最大项和最小项分别是a10，a9．
故选：C．
【点评】本题考查了数列的函数特性，考查了数形结合的解题思想，解答的关键是根据数列通项公式画出图象，是基础题．
9． 【答案】A
【解析】解：∵3＜2+log 23＜4，所以f （2+log 23）=f （3+log 23）
且3+log 23＞4
∴f （2+log 23）=f （3+log 23）
=
故选A ．
10．【答案】B
【解析】解：∵A={1，2，3，4}，B={3，4，5，6}，
∴A ∩B={3，4}，
∵全集I={1，2，3，4，5，6}，
∴∁I （A ∩B ）={1，2，5，6}，
故选B ．
【点评】本题考查交、并、补集的混合运算，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．
11．【答案】D
【解析】解：由等差数列的性质可得a 3+a 13=2a 8，
即有a 82=4a 8，
解得a 8=4（0舍去），
即有b 8=a 8=4，
由等比数列的性质可得b 4b 12=b 82=16．
故选：D ．
12．【答案】A
【解析】人可以分为和两种结果，所以每所大学至少保送一人的不同保送的方法数为
51,1,31,2,2种,故选A ．223335353
322150C C C A A A ⋅⋅+⋅=二、填空题
13．【答案】　38　．
【解析】解：作出不等式组对应的平面区域如图：
由z=2x+4y得y=﹣x+，
平移直线y=﹣x+，由图象可知当直线y=﹣x+经过点A时，
直线y=﹣x+的截距最大，此时z最大，
由，解得，
即A（3，8），
此时z=2×3+4×8=6+32=32，
故答案为：38
14．【答案】　（﹣3，21）　．
【解析】解：∵数列{a n}是等差数列，
∴S9=9a1+36d=x（a1+2d）+y（a1+5d）=（x+y）a1+（2x+5y）d，
由待定系数法可得，解得x=3，y=6．
∵﹣3＜3a3＜3，0＜6a6＜18，
∴两式相加即得﹣3＜S9＜21．
∴S9的取值范围是（﹣3，21）．
故答案为：（﹣3，21）．
【点评】本题考查了等差数列的通项公式和前n项和公式及其“待定系数法”等基础知识与基本技能方法，属于中档题．
15．【答案】19
【解析】由题意可得，选取的这6个个体分别为18,07,17,16,09,19，故选出的第6个个体编号为19．16．【答案】 ．
【解析】解：∵直线l过原点且平分平行四边形ABCD的面积，则直线过BD的中点（3，2），
故斜率为=，
∴由斜截式可得直线l的方程为，
故答案为．
【点评】本题考查直线的斜率公式，直线方程的斜截式．
17．【答案】　2　．
【解析】解：所求的值为（x﹣cosx）|﹣11
=（1﹣cos1）﹣（﹣1﹣cos（﹣1））
=2﹣cos1+cos1
=2．
故答案为：2．
18．【答案】　﹣6　．
【解析】解：若与共线，则2y﹣3×（﹣4）=0
解得y=﹣6
故答案为：﹣6
【点评】本题考查的知识点是平面向量共线（平行）的坐标表示，其中根据“两个向量若平行，交叉相乘差为零”的原则，构造关于y的方程，是解答本题的关键．
三、解答题
19．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．
【解析】
考
点：直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定.
20．【答案】⑴⑵⑶2a =11,,64⎛⎤⎡⎫-∞⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭
2【解析】试题分析：（1）根据题意，对函数求导，由导数的几何意义分析可得曲线 在点f x （）y f x =（）
处的切线方程，代入点
，计算可得答案；11f （，（））211（，）（2）由函数的导数与函数单调性的关系，分函数在（上单调增与单调减两种情况讨论，综合即可得答案；
23，）（3）由题意得， 分析可得必有 ，对求导，2min max f x g x +≥（）（），
()()215218
f x ax a x lnx +--≥＝f x （）对分类讨论即可得答案．
a 试题解析：
⑵，()()()211'ax x f x x
-+= 若函数在区间上单调递增，则在恒成立，
∴()f x ()2,3210y ax =-≥()2,3，得； 410{ 610a a -≥∴-≥14
a ≥若函数在区间上单调递减，则在恒成立，()f x ()2,3210y ax =-≤()2,3，得， 410{ 610a a -≤∴-≤16a ≤综上，实数的取值范围为；a 11,,64⎛
⎤⎡⎫-∞⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦
⎣⎭
⑶由题意得，，()()min max 2f x g x +≥，()max 128
g x g π⎛⎫== ⎪⎝⎭ ，即，()min 158f x ∴≥()()21521ln 8
f x ax a x x =+--≥由，()()()()()222112111'221ax a x ax x f x ax a x x x
+---+=+--==当时，，则不合题意；
0a ≤()10f < 当时，由，得或（舍去），0a >()'0f x =12x a =
1x =-当时，，单调递减，102x a <<()'0f x <()f x 当时，，单调递增．12x a
>()'0f x >()f x ，即，()min 11528
f x f a ⎛⎫∴=≥ ⎪⎝⎭117ln 428a a --≥
整理得，， ()117ln 2228
a a -
⋅≥设，，单调递增，()1ln 2h x x x =-()21102h x x x
∴=+>'()h x ∴，为偶数，
a Z ∈ 2a ∴又，， ()172ln248h =-<()174ln488
h =->，故整数的最小值为。

24a ∴≥a 221．【答案】
【解析】解：（1）a=1时，因为f （x ）=x ﹣lnx ，f ′（x ）=1﹣，
∴当0＜x ＜1时，f ′（x ）＜0，此时函数f （x ）单调递减．
当1＜x ≤e 时，f ′（x ）＞0，此时函数f （x ）单调递增．
所以函数f （x ）的极小值为f （1）=1．
（2）因为函数f （x ）的极小值为1，即函数f （x ）在（0，e]上的最小值为1．
又g ′（x ）=，所以当0＜x ＜e 时，g ′（x ）＞0，此时g （x ）单调递增．
所以g （x ）的最大值为g （e ）=，
所以f （x ）min ﹣g （x ）max ＞，
所以在（1）的条件下，f （x ）＞g （x ）+．
【点评】本题主要考查利用函数的单调性研究函数的单调性问题，考查函数的极值问题，本题属于中档题．．　
22．【答案】
【解析】【命题意图】本题考查基本不等式、绝对值三角不等式等基础知识，意在考查转化思想和基本运算能力．
23．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）因为=+1（n≥2），
所以是首项为1，公差为1的等差数列，…
则=1+（n﹣1）1=n，…
从而S n=n2．…
当n=1时，a1=S1=1，
当n＞1时，a n=S n﹣S n﹣1=n2﹣（n﹣1）2=2n﹣1．
因为a1=1也符合上式，
所以a n=2n﹣1．…
（Ⅱ）由（Ⅰ）知b n===，…
所以b1+b2+…+b n=
==，…
由，解得n＞12．…
所以使不等式成立的最小正整数为13．…
【点评】本小题主要考查数列、不等式等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想　
24．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）由（0.006×3+0.01+0.054+x）×10=1，解得x=0.018，
前三组的人数分别为：（0.006×2+0.01+0.018）×10×50=20，第四组为0.054×10×50=27人，故数学成绩的众数落在第四组，故众数为75分．
（Ⅱ）分数在[40，50）、[90，100]的人数分别是3人，共6人，
∴这2人成绩均不低于90分的概率P==．
【点评】本题考查频率分布直方图及古典概型的问题，前者要熟练掌握直方图的基本性质和如何利用直方图求众数；后者往往和计数原理结合起来考查．。