(完整版)线性代数复习——计算或应用题.doc

一
21. 设 α1, α2, α3 线性无关，证明
β1
1
2
，
β
2
α
2
α3 ， β3 α3 α1也线性无
关。

1 1 1 0
22.
计算行列式
1
1 0 1 。

1 0 1 1
0 1 1 1
23. 1 1 0 1 2
利用逆矩阵解矩阵方程
0 1 1 X -1 1 。

1 0 1 1 -1
24.
1 a 1 2
已知A 0 1 a 2 ，求 a 的值，使得 r ( A)
2。

1 0 1 2
25. 求向量组 α1
1
1
1
1 ， α
2 1 ， α
3 2 ， α
4 0 的秩和一个极大线性无关组，并
1
1
1
把其余向量用此极大线性无关组线性表示。

26. 求矩阵 A =
21
的特征值与特征向量。

1 2
x 1 4 x 2 3x 3 0
27.
讨论当 取何值时， 齐次线性方程组
2 x 1 3x 2 x
3 0 有非零解， 并在有非零解时求其
x 1
x 2 2 x 3
通解。

参考答案 ： 21. 如果
k
1 1
k 2
2
k 3
3
O ，
k 1 ( 1
2
)k 2
(
2
3
)k 3
(
3
1) O ，
于是
(k 1 k 3 ) 1 (k 1
k 2 ) 2 (k 2 k 3 ) 3 O ，
由 1 , 2 ,
k 1
k 3 0, 3
线性无关知
k 1 k 2 0,
k 2
k 3
0,
此方程组只有零解 k 1 0, k 2 0, k 3
0 ，因此 1, 2
,
3 线性无关。

1 1 1 0
1 1 1 0
1 1
0 1 1 1 0 1
1 1
0 1
0 0 1 1
22. = =101=1
0 1=-0
1 1
3
1011 0 1 0 1
0 1
1 1
0 1
1
1
1 1
1
0 3 0
0 3
1 1 0 1
1 -1 1
1
23.
0 1 1 1 1 -1 故
1 0 1
2 -1
1 1
1 1 0 1
2 1
-1 1 1 2
3 0
1
X
0 1 1 -1 1 1 1
1
-1-11 1 -1 4
1 0 1
1 -1
2
-1 1
1
1 -1
2 -1 -2
1 a 1 2
0 a
0 0 1 0 1 2
24.A0
1 a
2 0 1 a 2 0 1 a 2 1 0
1 2 1 0
1 2
0 a 0 0
当 a=0 时， r (A) 2。

25. 记A
1
, 2 ,
3 ,
4
A
1 0 1
1 1 0 1 1 ，
1 1
2 0 0 1 1 1
0 1 1 1 0 0 0 0
向量组的秩
r ( 1 , 2
, 3 , 4 ) r ( A)
2 ．所以
1
,
2
是向量组的一个极大线性无关组，且
3= 1
,+ 2， 4= 1,－ 2。

26. 由特征方程
|
E A |
2 1
（ -3）（ 1）=0
1
2
得 A 的特征值
1
1， 2 3 。

对于特征值 1
1，解方程组（ 1E A) X
O ，
求得一个基础解系
1
1
，故 A 的属于
1
1的全部特征向量为 k 1 1 ， k 1 为任意非零数。

1
对于特征值 2
3，解方程组 （ 2E A) X
O ，即 x 1 x 2 0 ，
求得一个基础解系
2
1 ，故 A 的属于 2
3 的全部特征向量为
k 2 2 ， k 2 为任意非零
1
数。

27. 对增广矩阵作初等行变换得
1 4
3 1
4 3 1 0 1
A2 3 1 0 1 1 0 1 1 当 3 时 r (A) 2 3 方程组有
1
2
0 0 3 0 0
3
x 1 x 3 0 kX 1 ，
非零解。

此时对应方程组为
x 3
，基础解系为 X 1 =( 1 1 1)T ，所求通解为 X
x 2 0
k 为任意常数。

二
21. 设 1 2 为 n 阶方阵 A 的两个互不相等的特征值
与之对应的特征向量分别为
X 1X 2 证
明X 1 2
不是矩阵 A 的特征向量。

X
22. 1 1 x 2 2
设函数 f ( x) 1 x 2 1
2 求方程 f(x) 0 的根。

2 1 1
23. 解矩阵方程
1 4 X
2 0
3 1
1 2 1 1
0 1 。

24. 若向量组 α (1 1 1) T α (1 2 3) T α
(1 3 t) T 线性相关 求（ 1）t 的值；（ 2）将 α
1 2 3
3
表示为 α1 和 α2 的线性组合。

x 1 3x 2 2x 3 0,
25. 求方程组 x 1 5x 2 x 3 0, 的一个基础解系和通解。

3x 1 5x 2 8x 3 0.
26. 已知二次型 f 2x 1x 2 2x 2x 3 2x 3x 1 (1)求出二次型 f 的矩阵 A 的特征值 (2) 写出二次型 f
的标准形。

x 1 x 2
x 3 1
27.
当 取何值时 方程组
2 x 2
x 3
2 有唯一解，并求解。

x 3
3
( 1)x 3
(
3)( 1)
参考答案 :
21. 假设 X 1
X 2 是矩阵 A 的属于 特征向量，即
1
2
1 2
A(X
X )
（ X
X
）
因为
AX 1= 1X 1， AX 2 2X 2，
所以 A(X 1 X 2 ) AX 1 AX 2
1X 12X 2，
消减 （ - 1）X 1 （ - 2） X 2=O
因为属于不同特征值的特征向量线性无关，所以
X 1， X 2 线性无关，
得 - 1=
- 2=0既 =
1= 2，矛盾。

1 1
2 1
1
2
1 1 2
22.
f (x)
1
1
x 2
2
x
2
4 0
x 2
4
2
1
2
1
2
3
2 x 1
2 x 1
0 x 1
x 2
x 2 4
(x 2
4)( x 2 1) ，
1 3
得方程 f(x) 0 的根为 x
1 x 2。

1 4 1
1 2
4
2 0 1
1 1 0
23. 因为
1 2
611
,
1 1 212
,所以
1 4 1
3 1
2 0 1
X
1 2
0 1
1 1
1 2
4 3 1
1 0
1 1
2 12
=
1 1
1 1 2
12 3
12
1 1 1
24. (1) 记 A
1 ,
2 ,
3 ，因为 | A|
1 2 3 t 5 因为向量组 1
,
2
,
3 线性相关充分必
1 3 t
要条件是 A
0 ，所以当 t 5 时 向量组
1
, 2 ,
3
线性相关 )
1 1 1
1 0 1 （2）由 x 1
1 x 2
2
3
因为增广矩阵
1
,
2 ,
3
= 1 2 3 0 1 2
1 3 5
0 0
得方程组的解为 x 1 1 x 2
2 从而 3
1
2 2。

1 3
2 1
3 2 1 3 2
107/2 25. A
1 5
1 0
2 1 0 1 1/ 2 0 1 1/ 2 方程组的一
3 5
8
4 2 0 0
个基础解系为 X 1 (-7/2 1/2 1)T
方程组的通解 X k X 1 (k 为任意常数 )。

26. (1) 二次型 f 的矩阵为 A
0 1 1
1 0 1
1 1 0
因为 |A
1
1
2
E | 1
1
(
2)
1) (
1 1
所以 A 的特征值为 12
1 3 2。

(2) 二次型 f 化为标准形为
f
y 12
y 22
2 y 32
27. 对增广矩阵进行初等行变换得
1 1
1 1 1 1 1 1 0
2 1 2 0 2 1 2
( A, b)
0 1
3
0 0 1
3
0 0
1 (
3)( 1)
0 0 0
2(
3)( 1)
当
3 或 1 时 r (A b) r(A) 3
方程组有唯一解；
3,1
,0
T
7 , T
当
3 时，解为
；当
1 时，解为 3
,2 。

2 2
2 2
三
21. 若 A k O(k 是正整数 ) 求证 (E A)
1
E A A 2
A k 1 。

22. 计算行列式
x y x y
y x y x 。

x y x y
23.
1 1 1
1 2
1 。

X 0 1
1
0 1
1
0 0
1
24. 已知
(1
2 3)
β (1 1 1 设 A
T
求 A
n
2 )
及 A
3
25.
求向量组 α
2
1 2 3
4 ， α
1
， α
3 ， α 5 的秩和一个极大线性无关组，并把
1
2
3
4
2
1 2
其余向量用此极大线性无关组线性表示。

x 1 x 2 5
26.
求解线性方程组 2 x 1
x 2 x 3
2x 4 1 的通解。

5x 1 3x 2 2x 3 2 x 4
3
27. 判断矩阵 A
2 1 是否可对角化？若可对角化，求可逆矩阵使之对角化。

1 2
参考答案 :
21. 由 A k
O 得
E A k E O E
而
E A k (E A )(E A A 2
A k 1 )
所以
(E A)(E A A 2
A k 1) E
因此 (E A)可逆 且
(EA)1EAA 2
A k 1
x y x y 2( x y) y
x y
1 y x y 22.
y x y x = 2( x y) x
y
x
2( x y) 1 x
y x x y x
y
2( x y)
x y
1 x y
1
y x y
x
y
2( x
3
y 3
)
= 2( x y) 0
x
y = 2( x y) x y
x =-
0 x y
x
1
1 1 1 1 1
1 1 1
23.
1 2
1
1
0 1 1 = 0 1
1
X
0 1 1
0 1
1
0 0 1 0 0 1
0 0 1
1 2 1
1 1 0 1 3 3
X
0 1 1 =
0 1 1
0 0 1 0 1
2
24.
T 3(
T
是个数)
A n
( T
)( T
)
( T
) T
T
)( T
( T
T
( T n 1
( )
)
)
1 1 1
1
2 3
1 1)
2
3n 1 T
3n 1 2 (1 2 1
3 2 3
3 3
3 1
2
25. 记 A
1
, 2 ,
3
,
4
，
A
2 1 2
3 2 1 2 3 2 1 2 3
2 0 1 2 4 1
3 5 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 2
0 1 2
0 1 1
1
0 0 0 0
0 0 0 0
1 0 1 1
2
记
0111 1, 2, 3, 4 =C ，
0 0 0 0
所以向量组的秩 r ( 1
, 2
, 3 , 4
)
r ( A) r (C ) 2 ；
因为 1, 2 是列向量组 1
, 2
,
3
,
4 的一个极大线性无关组，
所以 1
,
2 是向量组 1, 2, 3, 4
的一个极大线性无关组， (2 分)
并且
1
2
， 4
2。

3
1
1
2
26. 对增广矩阵作初等行变换得
1 1 0 0 5 1 0 1 0 8 ( A b)
2 1 1 2 1 0 1 1 0 1
3 5 3 2 2 3 0 0 0 1 2
x 1 x 3 8 对应的方程组为
x 2 x 3 13
x 4
2
取 x 3 0，得方程组的一个特解为 X 0(8130
2)T
x 1 x 3
取 x 3
1，得导出组 x 2 x 3
的一个基础解系 X 1 (1110)T
，
x 4 0
所求方程组的通解为
X X 0 k 1 X 1 ，其中 k 1 为任意常数。

27.
由
| E A |
1 2 1 (2)2 1=0，
2
得 A 的特征值
1
1 ，
2
3 。

对 1 1，解方程组 （ E A) X O ，得其一个基础解系
1
1 ；
1
对 2
3 ，解方程组（3E A) X O ，得其一个基础解系
2
1 ；
1 因为矩阵 A 有两个线性无关的特征向量，所以 A 可相似对角化． 取
P (1,2)
1 1
，则P 1AP = =
1 0 。

1 1
3
四
21. 设方程组： x 1
x 2 a 1 ， x 2 x 3 a 2 ， x 3 x 4 a 3 ， x 4
x 5
a 4 ， x 5 x 1 a 5 ．
5
证明方程组有解的充分必要条件是
a i 0 。

i 1
1 2 3 4 22.
计算行列式
2
3 4 1 。

3 4 1 2
4 1 2 3
23. 设 A
3 0 0
3 6
0 1 1 B
1 1 满足 AX=2X+B 求 X 。

0 1 4
2 3
24.
1 1
3 α, α, α
设 α1
1 ， α
2 0 ， α
3 0 ， β 1 ， (1)验证
1 2 3
线性无关；（ 2）将 β用
1
2
4
α, α, α
1 23 线性表示。

26. 求矩阵 A 1 0 0
2 5 2 的特征值和特征向量。

2 4 1
1 2 3k
27. 设 A
1 2k 3 , 试讨论 k 为何值时 ,（ 1）） r(A ) 1；（2） r (A ) 2；（ 3） r(A) 3。

k 2 3
参考答案 :
21.
方 程
1 1 0 0 0 a 1
0 1 1 0 0 a 2 ( A,b )
0 0 1 1 0 a 3 0 0 0 1 1 a 4
1
1 a 5
因为方程组有解的充分必要条件是
5
组
的 增 广
矩
阵
1 1 0 0 0 a 1
1 1 0 0 a
2 前四行都加到第五行0
0 1 1 0 a 3
0 0 1 1
a 4
5
a i
i 1
r(A b) r (A) 。

所以方程组有解的充分必要条件是
i 1 a i 0 。

1 2
3 4 10 2 3 4 1 2 3 4 22.
2 3 4 1 10 3 4 1 1 3 4 1
3 4 1 2 =
10 4 1 2 =10 1 4 1 2
4 1 2 3
10 1 2 3 1 1 2 3
1 2 3
4 1 2 3 4 1 2 3 4 0 1 1 3 0 1 1 3 0 1 1 3
=10 0
2 2 2 =20 0 1 1 1 =20 0 0 2 2 160
1
1 1 0 1
1
1 0 0 0 4
1
1 0 0
23.
(A 2E)X B,因为
A
2 E
0 1 1 , (A 2 E) 1
2 1 ,
0 1 2 0
1 1
1 0 0 1
6 3 6
所以X (A 2E) 1B
3
0 1 1 1 1 4 1 0 1 2 2 3 3 2
24. 记A
1 1 0
，1,2,3 1 0 0
0 1 2
因为 r ( A) 3 ，或者AX O 只有零解，所以1, 2 , 3 线性无关。

或因为 A 0 ，所以 1 , 2 , 3 线性无关。

由x
1 1 x
2 2
x
3 3 ，
即1 1 0 x1
=
3
，1 0 0 2 1
x
0 1 2 x3 4
得惟一解： x1 1,x2 2, x3 1 ．故 1 2 2 3 。

25. A 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 0 0 1/ 2
2 1 8
3 0 3 6 3 0 1 2 1 0 1 0 0 2 1 0 1 0 1 2 1 0 0 2 1 0 0 1 1/ 2
方程组的一个基础解系为X1 (1/2,0,-1/2,1) T 方程组的通解 X k X1 (k 为任意常数 )。

26. 由
1 0 0
1)2 (
| E A | 2 5 2 ( 3) =0，
2 4 1
得A的特征
值 1 1 （二重）， 2 3 。

对 1 1，将方程组（ E A)X O 化简为 2 x1 4 x2 2 x3 0 ，
2 1
它的一个基础解系为 1 1 ， 2 0 。

0 1
A的属于 1 1 的全部特征向量为k1 1 + k2 2 ( k1 , k2不全为零 )。

2 x1 0,
对 2 3 ，解方程组（3E A) X O ，即 2 x1 2 x2 2 x3 0,
2 x1 4 x2 4 x
3 0,
它的一个基础解系为 3 1 。

1
A的属于 2 3 的全部特征向量为k 3 ( k 0 )。

27. A 1 2 3k 1 2 3k 1 2 3k
=B。

1 2k 3 0 2k
2 3k
3 0 2k 2 3k 3
k 2 3 0 2k 2 3 3k 2 0 0 6 3k 3k 2
1 2 3 1 2 6
(1) 当 k=1时， B = 0 0 0 , r ( A) 1 (2) 当k=-2 时， B = 0 6 9 , r ( A) 2;
0 0 0 0 0 0
1 2 3k
(3) 当K 1. 2时，0 2 3
， r ( A) 3。

0 0 1
五
21. 如果方阵 A 满足 A 2
A ，则 A 的特征值只有 0或者 1。

x y y y
22. 计算行列式 y x y y 。

y y x y y y y x
23.
已知 P AP
Λ,其中P
1 4 , Λ
1 0 , 求 A ，A 11。

1
2
1 1
0 2
24. 设3阶方阵 A B C 满足方程 C(2A B) A 求矩阵 A 其中
1 2 3
1 2 4 B 0 1 2
C
0 1 2 。

0 0 1
0 1
25. 求向量组 α
( 1 1 4) T
α ( 2 1 5)
T
α
( 4，2 10) T
α
1) T 的一个极大无
1
2 3
4 (10
关组
并把其余向量用极大无关组线性表示。

26. 已知二次型
f 2
2 2 4x 1 x 2 4x 2 x 3
(1)求出二次型 f 的
x 1
2x 2 3 x 3 矩阵 A 的特征值 (2) 写出二次型 f 的标准形。

27. 讨论 a 、 b 为何值时非齐次线性方程组
x 1 3 x 2 x 3 0
x 1 4 x 2 a x 3 b 有无穷多解 并求其通解。

2 x 1 x 2
3 x 3 5
参考答案 :
21. 设 为 A 的任一特征值，
为A 的属于
的特征向量，即 A ，
所以 2
A 2 ，
2
，而
O ，故
2 0
，得 =0或1，因此 A 的
A
特征值只有 0 或者 .
x y y y x 3 y y y y
1 y y y
1 y y y
2 y x y y
x 3 y x y y
( x 3y)
1 x y y
( x 3 y)
0 x y
0 0 y y x y x 3 y y x y 1 y x y 0 0
x y 0 y y y x x 3 y y y x
1 y y x
x y
( x 3 y)( x y)3
23.
1
1 1
4
A=
P
1
P 3
1
1 ， P
A =P ΛP = 1 4 ( 1) 2
0 1 1 4 = 15 12
5 4
2. 2 -1
22
1
1 1 0
3 1 1 3 3 0
1 0
A 11
= P 11 P
1 1 4 ( 1)11
0 1
1 4
=
11
3
1 1
2 1
1
1
4
=
1 1
1 1
4
1 1 213
4
213
3
211 211 =3 1 211
4 211
1 0 3 1 4 8
24. (2C E)A CBCB= 0 1 0 ， (2C E)可逆并且 (2C E) 1= 0 1 4
0 0 1 0 0 1
1 4 8 1 0 3 1 4 11
得 A (2C E) 1(CB)= 0 1 4 0 1 0 0 1 4
0 0 1 0 0 1 0 0 1
1 2 4 1 1 0 0 1
25. 因为(1, 2, 3, 4) 1 1 2 0 0 1 2 1
4 5 10 1 0 0 0 0
所以向量组的秩r( 1, 2, 3 , 4 ) 2．因为1,2线性无关所以1 , 2是一个极大无关组
并且 3
2 2 4 1 2。

，
26. 二次型的矩阵为
1 2 0
A 2 2 2
0 2 3
120
因为 |AE| 2 2 2 ( 1)( 2)(5)
0 2 3
所以 A的特征值
为 1 2 2 5 3 1 (2) 二次型 f的标准形为2 y12 5y22 y32 27.对增广矩阵进行初等行变换得
1 3 1 0 1 3 1 0
( A, b ) 1 4 a b 0 1 1 1
2 1
3 5 0 0 a 2 b 1
当 a 2 且 b 1 时 r (A) r(A b) 2 3 方程组有无穷多组解
1 0
2 3
x1 2x3 3
此时( A, b) 0 1 1 1 对应的方程组为
x3 1
0 0 0 0 x2
取 x3 0，得方程组的一个特解为X0 (3 1 0)T
取 x3 1，得导出组x1 2 x3 0
1 1)T，x
2 x3
的一个基础解系 X 1 ( 2
所求方程组的通解为X X 0 k1 X1，其中k1为任意常数。

六
21. 设方阵 A 满足 A2 3A E O 证明 (A 2E )可逆并求 (A 2E) 1。

a 1 1 L 1
22. 计算 n 阶行列式 D n
1 a 1 L 1。

1 1 a L 1
L L L L L
1 1 1 L a
23. 解矩阵方程 AX B X 其中 A 0 1 0 1 1
1 1 1B
2 0 。

1 0 1 5 3
24. 求一个非零向量α，使得α 与向量α1 T α2 1， 11，T
1，21，
，都正交。

3 3
25. 确定 a 的值，使方程组x1 x2 x3 a
ax1 x2 x3 1有无穷多个解，求出它的通解。

x1 x2 ax3 1
26. 求矩阵A 1 1 的特征值及特征向量。

2 2
27. 1 ， 2 1 ， 3 0 ， 3 ，能否用α, α, α
设 1
0 0 β 1 线性表示？若能，表
α 1 ααβ123
0 1 3 1
示法是否惟一？
参考答案 :
21.由A23A E O可知A23A 2E E
即(A 2E)(A E) E所以(A2E)可逆且(A2E) 1 A E
22.把第二列加到第一列，再把第三列加到第一列一直到把第 n 列加到第一列，得
a n 1 1 1 L 1 1 1 1 L 1
a n 1 a 1 L 1 1 a 1 L 1
D n a n 1 1 a L 1 (a n 1) 1 1 a L 1
L L L L L L L L L L
a n 1 1 1 L a 1 1 1 L a
1 1 1 L 1
0 a 1 0 L 0
= (a n 1)(a 1)n 1
= ( a n 1) 0 0 a 1 L 0
L L L L L
0 0 0 L a 1
23. 由 AX B X 得(E A)X B
因为
1 1 0 1 1 0
2 1
E A 1 0 1(EA)
3
3 2 1
1 0
2 0 1 1 X (E A)1B 1
0 2 1 1 1 3 1
所以 3 2 1 2 0 2 0
3 0 1 1 5 3 1 1
24. 设 3 = x 1 , x 2 , x 3 T
T 0
T 3
0 ，
，由题意
1
3
，
2
x 1 2x 2 x 3
，
即
x 1
x 2
x 3
，
T
．(2 分) 取
1,0,1 T
方程组的基础解系为
1,0,1 3
即可。

1 1 1 a
1 1 1
a
25. (A,b)
a 1 1 1
0 1 a
1 a 1 2
a
1 1 a 1
0 0 a 1 1 a
当 a= 1 时， R(A) R(A, b) 1<3
方程组有无穷多解。

1 1 1 1
当 a= 1 时， (A, b)
0 0 0 0
0 0 0 0
取 x 2 x 3 0，得方程组的一个特解为 X 0 (1
0 0)T 分别取 x 2 1， x 3 0，和 x 2 0， x 3 1，得导
出组的一个基础解系
X 1
(-1 1 0)T ， X 2
(-1 0 1)T
.方程组的通解为 X
X 0 k 1 X 1 k 2 X 2 ，其中 k 1 , k 2 为任意
常数。

26. 由特征方程
| E A |
1
1
（
1）=0
2
2
得 A 的特征值
1
0， 2
1 ．
对于特征值 1
0，解方程组（ 1E
A) X O ，即 - x 1 x 2 0
求得一个基础解系
1
1
，故 A 的属于 1
0 的全部特征向量为 k 1
1
， k 1 为任意非零数。

1
对于特征值 2
1 ，解方程组（
2 E A) X O ，即 -2 x 1 x 2 0 ，
求得一个基础解系
2
1/ 2 ，故 A 的属于 2
1 的全部特征向量为 k
2 2 ， k 2 为任意非零
1
数。

27. 由
x
1 1
x 2
2
x 3
3
，
即
1 1 0 x 1 3
，
1 0 0 x
2 = 1
0 1 3
x 3
1
得惟一解： x 1 1,x 2 2, x 3
1 ．
故
1
2
2
3
，(1 分 ) 且表示法惟一。

七
21. 如果向量组 a1 a2a s线性无关证明向量组 a1 a1 a2a1 a2 a s线性无关。

22.
x 1 1
设 1 x 1 0 求 x。

1 1 x
23.
1 0 1
，且AB EA2
设 A 0 2 0 B，求 B。

1 0 1
24. 设向量组α1 (1 1 3 1)Tα2 (3 1 2 4)T并问向量组α, α, α是线性相关还是线性无关？
12 3 α3
(227 1) T 求向量组
α, α,α
的秩，
1 23
α3 能否由向量组α1 α2 线性表示 ?
25. a 取何值时，齐次线性方程组2x y z 0
有非零解，并求其通解。

ax z 0
x 3z 0
26. a 取何值时矩阵
1 1 1 2
的秩 r ( A) 2？
A 3 5 1 2
5 3 a 6
27. 判断矩阵 A 7 12 是否可对角化？若可对角化，求可逆矩阵使之对角化。

4 7
参考答案 :
21. 设 x1a1 x2(a1 a2) x s(a1 a2 a s) o
则(x1 x2 x s)a1 (x2 x s)a2 x s a s o
因为 a1 a2 a s线性无关所以
x1 x2 x s 0
x2 x s 0
x s 0
显然此方程只有零解故向量组 a1 a1 a2 a1 a2 a s线性无关。

22. x 1 1 x 2 1 1 1 1 1
1 x 1 x
2 x 1 (x 2) 1 x 1
1 1 x x
2 1 x 1 1 x
1 1 1
( x 2)( x 1)2 0 得 x 2 或x 1。

( x 2) 0 x 1 0
0 0 x 1
23.ABEA2B ABBA2E (A E)B (A E)( A E)
因为 A E 可逆，所以(A E) 1(A E)B (A E) 1(A E)(A E)
2 0 1
B A E 0 3 0
1 0 2
24. 记 A 1, 2, 3 ，对A施行初等变换得
1 3
2 1
3 2
A 1 1 2 0 1 0
3 2 7 0 0 1
1 4 1 0 0 0
r ( 1, 2, 3 ) = r ( A) = 3 (2 分) 向量组1, 2 , 3 是线性无关， 3 不能由向量组1 2 线性表
示。

25. A
2 1 1
1 0 3 1 0 3 a 0 1
2 1 1 0 1 7
1 0 3 a 0 1 0 0 1 3a
当 a= 1
时，r (A) 2 3，方程组有非零解
或由系数行列式等于 0，得 a= 1
时方程组有非零解 ，
3
T
3
基础解系为 X 1 X kX 1 ，k 为任意常数。

3, 7,1 ，所求通解为
26. 对矩阵 A 作初等变换
1 1 1
2 1 1 1
2 1 1 1 2 A
3
5 1 2 0 8 4 4
0 8 4 4
5 3 a 6
0 8 a 5 4
0 0 a 1 0
当 a=1 时， r ( A) 2。

27. 由
| E A |
7 12 2
4
7 1=0，
得A 的特征值 1 1 ， 2
1 ．
对 1 1，解方程组 （ E A) X
O ，得其一个基础解系
1 2 ．
1
对 2
1 ，解方程组 （ -1 E
A) X O ，得其一个基础解系
2
3/2 ．
1
因为矩阵 A 有两个线性无关的特征向量，所以 A 可相似对角化．
取
P (
1, 2
)
2 3 / 2 ，并且 P 1
AP= = 1 0 。

1 1
1
八
21.
T
T
设 α为 n 维非零列向量， 且 α α 1 ， E 为 n 阶单位矩阵， 则 A
E 2αα为正交矩阵。

2 3 4 5 22.
计算行列式 D=
3
4 5 6 。

4 5 6 7
5 6 7 8
23.
已知 P 1 A P Λ，其中 P
2 3
， Λ= 1 0 ，计算 A 3 ， A 2n 。

1 2
0 1
24. 求向量组 α
(1 0 1) T α
(1 1 1) T
α
(0 1 1)
T α
(3 5 6) T
的一个极大线性无
1
2 3 4
关组；并将其他向量表示为极大线性无关组的线性组合。

x 1
2x 3
x 4 0
25. 求方程组
x 1 x 2 3x 3 2 x 4 0 的一个基础解系和通解。

2 x 1
x 2
5x 3 3 x 4
26. 求矩阵 A =
1 1
的特征值与特征向量。

0 2
27. 讨论当 a 取何值时 f ( x 1 , x 2 , x 3 ) = x 12
x 22
5 x 32
2ax 1 x 2 2x 1x 3
4 x 2 x 3 为正定二次型。

参考答案 :
21. 证明 因为 AA T
(E 2 T
)(E 2 T )
T
=(E 2
T
)(E 2
T
)
= E 4 T
4(T )T
E 4
T 4
T
E
所以 A
E
2
T
为正交矩阵。

2 3 4
5 22. 第四行减第三行，然后第三行减第二行，得
D=
3
4 5 6
，由行列式的性质知： D=0
1
1 1 1
1
1 1 1
23.
P 1
2
3 ， A=P P 1
1 2
A 3=P
3
P
1
=23
13
0 3
2 3=2
3 1 0
2 3=7 12
1 2
0(1)
1 2 1 2
0 1 1 2
4
7
A 2 n = P
2n
P 1 =
2 3 12 n
2n 2 3 = 23 10
2 3 =P P 1=E 2
1 2
0 (1)
1 2 1 2 0 1 1 2
24.
1 1 0 3
1 1 0 3 1 0 0 11 ( 1 ,
2 , 3
,
4
)
0 1 1 5 0 1 1 5 0 1 0 14 所以向量组的
1 1 1 6
0 1
9
0 1 9
秩 r( 1 , 2 , 3,
4 ) 3．又 r( 1
, 2
,
3 ) 3，所以
1
, 2
,
3 是一个极大线性无关组。

并且 4
11 1 14 2 9 3
25. 对系数矩阵作初等行变换得
1 0
2 1 1 0 2 1
A 1 1 3 2 0 1 1 1
2 1 5
3 0 0 0 0
原方程组与方程组x1 2 x3
x4 x4同解。

x2 x3
当( x3 x4) (1 0)时 (x1 x2) ( 2 1) 当 (x3 x4) (0 1)时 (x1 x2) (1 1) 方程组的基础解系为1 T 2 T
X (2110) X (1 101)
方程组的通解为X k1 X1 k2 X 2，其中k1,k2为任意常数。

26. 由特征方程| E A |
1 1 （ -1 ）（ -
2 ）
=0 0 2
得 A 的特征值 1 1， 2 2 ．
对于特征值 1 1 ，解方程组（1 E A) X O ，求得一个基础解系 1 1
，故A的属于0
的全部特征向量为k1 1， k1为任意非零数．
对于特征值 2 2 ，解方程组（2 E A) X O ，即x1x2 0 ，求得一个基础解系 2 故A的属于 2 2 的全部特征向量为k2 2， k2为任意非零数。

1 a 1
27.二次型的矩阵为A a 1 2
1 2 5
要使 A为正定其各阶顺序子式要大于零即
|A1| 1 0 |A2 | 1
a 1 a2 0 a 1
1 a 1
| A3 | a 1 2 a (5a 4) 0
1 2 5
解得4
，即当
4
时二次型为正定。

a 0 a 0
5 5
11
1，
1。