上海市长宁区高三下学期质量抽测(数学文含答案)

2010年长宁区高三数学质量检测试卷（文）
、填空题（本大题满分 56分，本大题共有14题，只要求直接填写结果，每
个空格填对得4分，否则一律得零分） 1、设i 为虚数单位，则复数
1 -i
2、若函数f （x ）二a x （a .0,a=1）的反函数的图像过点（2,一1），则a =
1 2 肿7-n lim 厂 n 2n 2 -n 1
4、执行右边的程序框图，若
_____________________________ p=9，则输出的S=
x —1 2
5、函数f （X ）= 图像的顶点是（b,c ），且a,b,c,d 成
-x x +3
等比数列，则ad = ________
6、 已知集合 A = {x log 2X E2},B =（—°o,a ），若A G B 则实数a 的取值范围是
7、 已知正四棱柱 ABCD —ABQ 1D 1中，AA=2AB, E 为AA 中点，则异面直线 BE 与CD 1
所成的角的余弦值为 _________
4x y-9 _0
9、已知实数x 、y 满足条件{x -y-1兰0 则x —3y 的最大值为 _________________
.八3
10、投掷两颗骰子，得到其向上的点数分别为 m,n ，设a = （m, n ），则满足| a|：：： 5的
概率为
11、已知某几何体的三视图如右，根据图中标出的尺寸
（单位：cm ），可得这个几何体的体积是 _____________ （ cm 3） 12、从抛物线y 2 =4x 上一点P 引其准线的垂线, 垂足为M ，设抛物线的焦点为 F ，且| PF |= 5，
8、已知x
3：）n
展开式中，各项系数的和与各项二项式系数的和之比为
64，则
3、
则MPF的面积为____________
13、棱长为a 的正方体ABCD-ABC .D ,的8个顶点都在 球O 的表面上，E 、F 分别是棱AA 、DD !的中点，则直
线EF 被球0截得的线段长是 ____________ .
14、已知函数f(x)=』
2
_1(^
0)，
若方程f(x) = x+a 有且只有两个不相等的实数根,
」(x —1)(x>0).
则实数a 的取值范围是 ____________ 二、选择题(每小题 4分，计16分) 15、不等式|2 - x|却的解集是
最大值是
18、函数y =m|x|与y =］；：'x 2・1在同一坐标系的图像有公共点的充要条件是
A m .2
B 、m_、2
C 、m _1
D 、m 1 三、解答题(本大题共
5题，计78分)
19、(本题满分14 分 卜，第(1)小题6分，第(2)小题8 分)
设函数f (x)二ax 2
(b - 2)x 3(a = 0)，若不等式f (x) • 0的解集为(T,3)。

(1)求a,b 的值;
(2)若函数f (x)在［m,1］上的最小值为1,求实数m 的值。

20、（本题满分14分，第（1）小题6分，第（2）小题8 分）
设a,b,c 分别为 ABC 的内角A, B,C 的对边,
A .
B . [1,3] C. [-3,1] D • [-1,3]
16、已知a , B 表示两个不同的平面,
m 为平面a 内的一条直线，则”一：「1 F 是
A.充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C.充要条件
D.
既不充分也不必要条件
17、已知甘2是椭圆
2
x —
—+
25 9 =1的两个焦点，P 是椭圆上的任意一点， 则|PR | |PF 2 | 的
B 、16
C 、25
― C C - C C -
m=(cos ,sin ), n 二(cos ，-sin ), m 与n 的夹角为
2 2 2 2 3
(1) 求角C的大小；
7 3 '3
（2）已知c ，ABC的面积S ，求a b的值。

2 2
21、（本题满分16分，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（2）小题6分）设数列a*中，若a n
1二a n • a n .2,（ n・N ），则称数列3匚为“凸数列”。

（1）设数列 & ?为“凸数列”，若印=1,a2二-2，试写出该数列的前6项，并求出该之和；（2）在“凸数列”；中，求证：a n 3- -a n, n・N；
（3）设a^ a, a2二b，若数列'-a n为“凸数列”，求数列前2010项和S>010。

22、(本题满分16分，第(1)小题4分，第(2)小题6分，第(2)小题6分)
在平行四边形OABC中，已知过点C的直线与线段OA,OB分别相交于点M,N。

若OM =xOA,ON 二yOB。

(1)求证：x与y的关系为y = —X；
x+1
(2)设f (x)=—，定义在R上的偶函数F(x)，当[0,1]时F(x)二f (x)，且函数F(x)
x +1
图象关于直线x = 1对称，求证：F (x • 2) = F (x)，并求x • [2k,2k T]( k • N)时的解析式；(3)在(2)的条件下，不等式F(x)：：：_x・a在x • [2k,2k T](k • N)上恒成立，求实数a
的取值范围。

23、(本题满分18分，第(1)小题4分，第(2)小题6分，第(2)小题8分)
2 2
已知双曲线C：=1 (a 0,b 0)的一个焦点是F2(2,0)，且b= . 3a。

a b
(1)求双曲线C的方程；
(2)设经过焦点F2的直线丨的一个法向量为(m,1)，当直线l与双曲线C的右支相交于代B不同的两点时，求实数m的取值范围；并证明AB中点M在曲线3（x - I）? _ y =3上。

（3）设（2）中直线丨与双曲线C的右支相交于A, B两点，问是否存在实数m，使得.AOB 为锐角？若存在，请求出m的范围；若不存在，请说明理由。

2010年长宁区高三数学模拟卷答案（文）
x
T T T T 又 m n =J m || n | cos
3 2
.cosC 0 ::: C ：：：二，因此 2
31
C =—。

3 1
_；3
⑵ S
，亍
bsinC r ab
，ab =6。

2
由余弦定理得
2
2
2
2
心
c a b -2abcosC = (a b) -2ab-2abcos —，
3
12分
2 121
得出：
(a • b)=
14分
21、解：(1)a , =1,a 2 --2，
= -3, a^ = -1， a^ = 2, a^ = 3，
S 6 =0。

(2)由条件得
-a n 3 =
一
a
n 。

10分 (3)由(
2)
的结论，.a n 6 - -a * 3 = a*，即 a n - a n 。

12分
a, a 2 = b,a 3 二 b —a,a 4 - -a, a 5 - -b,a 6 二 a - b 。

S 6 = 0。

14分
由(2
)得
S
6n k
= S k , n N ,k=1,,6。

S
2010
335 6 = 0。

T
T T
、…OM
OM ON
) >
T
T
OA
CB NB
，从而y x — 。

1 x
[0,1]时， F(x)二 x (
16分。

：F(x)图像关于直线x =1对称,
F (2 - x)二 F(x)，
-F(x 2)=F(-x)，又 F(x)为偶函数，.F(x ，2)=F(x)。

=S. 22、解:
y (2)当 x
x = 1 -y
x - 2k 1 2 3 3
.a 2k ，即 a (2k ,：：)(k ・ N)。

............................. 16 分
2 2
23、解：(1) c = 2 c 2 二 a 2 b 2
. 4 二 a 2 3a 2 . a 2 二 1,b 2 二 3
2
■双曲线为X 2 - y =1。

........................... 4分
3
y = _mx + 2m
(2) l : m(x -2) +y =0 由」2 y 2 得 x =1
I 3
M 在曲线3(x _1)2 _y 2 =3上。

(3) A*,%), B(X 2，y 2),设存在实数m,使.AOB 为锐角,则OA OB 0
-3
设 x [2k,2k 1]，则 x _2k [0,1], F(x -2k)
x -2k x —2k 1 即 F(x)二
x -2k x —2k 1
10分
x —2k
(3)不等式为 ---------- x a ,
x —2k +1
12分
a (1 x -
1
x - 2k 1 对 x [2k,2k 1](k N)
1
x —2k 1 max
14分
1 3
1 x 在x • [2k,2k 1]上单调递增，.x = 2k T 时其最大值为2k •
又』
(3 —m 2)x 2
2 2 4m x —4m —
3 = 0 (3 - m 2)(4m 2
4m 2
3) 0
12m 2 9 - 3m 2 0 即m 2
-1 0恒成立
x^i +x 2 A 0
* ・x 2 >0
m2-3 0
4m 2 3 3 . m
一( .3,
x 1 x 2
2m 2
y 1 y
2
2m 3 2 m 2
-3
2
小
m -3
2m 「
6m
2
小
m -3
AB 中点M ( 2m 2 m 2 -3 6m ) m 2
-3
)
10分
■ - 3( 2m 2
m 2
-3
36m 2 (m 2 -3)2 (m 2 3)2 (m 2 -3)2
36m 2 (m 2 -3)2
6m 2 9— 12m 2 (m 2 -3)2
12分
X1X2 ym 0 ........................................ 14 分
i I r ” 2 2 2
因为y-i y2 = (_m备2m)(_mx2 2m) = m %x2 _2m (x1 x2) 4m
(1m )x^2「2m (x1 x2) 4m 0 ........................................................... 16分
.(1 m2)(4m2 3) -8m4 4m2 (m2 - 3) 0 即7m23 -12m20
2 3 t 2一"
-m , 与m • 3矛盾•不存在
5
18分
L. a
解得：a - -1,b = 4。

.......................................... 6 分
(2) f (x) - -x l. 2 2x 3, ....................................................................... 8 分
对称轴方程为x=1 , . f (x)在x • [m,1]上单调递增， ....................... 10分
2
x=m 时f(x)min 二-m 2m 3 = 1 , ...................... 12 分
解得m =1 - . 3。

m 1, m = 1 - . 3。

................................ 14 分
—■ —■2 C 2 C
20、解：(1)由条件得m f二cos 「sin cosC , ........................... 2 分
2 2
设A(X1，yJ,B(X2，y2),。