高考数学一轮复习第2章基本初等函数导数及其应用第4讲函数的奇偶性及周期性知能训练轻松闯关理北师大版

【2019最新】精选高考数学一轮复习第2章基本初等函数导数及其应用第4讲函数的奇偶性及周期性知能训练轻松闯关理北师大版
1．(2014·高考课标全国卷Ⅰ)设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，
g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是( )
A．f(x)g(x)是偶函数
B．|f(x)|g(x)是奇函数
C．f(x)|g(x)|是奇函数
D．|f(x)g(x)|是奇函数解析：选C.A：令h(x)＝f(x)·g(x)，则h(－x)＝f(－x)·g(－x)＝－f(x)·g(x)＝－h(x)，所以h(x)是奇函数，A错．B：令h(x)＝|f(x)|·g(x)，则h(－x)＝|f(－x)|·g(－x)＝|－f(x)|·g(x)＝|f(x)|g(x)＝h(x)，所以h(x)是偶函数，B错．C：令h(x)＝f(x)|g(x)|，则h(－x)＝f(－x)·|g(－x)|＝－f(x)|g(x)|＝－h(x)，所以h(x)是奇函数，C正确．D：令h(x)＝|f(x)·g(x)|，则h(－x)＝|f(－x)·g(－x)|＝|－f(x)·g(x)|＝|f(x)·g(x)|＝h(x)，所以h(x)是偶函数，D错．2．(2016·山西省第三次四校联考)已知偶函数f(x)，当x∈[0，2)时，f(x)＝2sin
x，当x∈[2，＋∞)时，f(x)＝log2x，则f＋f(4)＝( )
B．1
A．－＋2
C．3
D.＋2
解析：选D.因为f＝f＝2sin ＝，f(4)＝log24＝2，所以f＋f(4)＝＋2，故选D. 3．设f(x)是定义在R上的周期为3的周期函数，如图表示该函数在区间(－2，1]上
的图像，则f(2 016)＋f(2 017)＝( )
A．3
B．2
D．0
C．1 解析：选C.因为f(x)是定义在R上的周期为3的周期函数，所以f(2 016)＋f(2 017)＝f(672×3＋0)＋f(672×3＋1)＝f(0)＋f(1)，而由图像可知f(1)＝1，f(0)＝
0，所以f(2 016)＋f(2 017)＝0＋1＝1. 4．(2016·江西省高考适应性测试)已知函数f(x)＝x－2，g(x)＝x3＋tan x，那么
( )
B．f(x)·g(x)是偶函数
A．f(x)·g(x)是奇函数
D．f(x)＋g(x)是偶函数
C．f(x)＋g(x)是奇函数
解析：选 A.由已知易得f(x)＝f(－x)，g(x)＝－g(－x)，故f(－x)·g(－x)＝f(x)·[－g(x)]＝－f(x)g(x)，故f(x)·g(x)是奇函数，A正确，B错误；f(－x)＋g(－x)＝f(x)－g(x)，所以f(x)＋g(x)既不是奇函数也不是偶函数．5．(2016·郑州调研)已知函数f(x)在区间[－5，5]上是奇函数，在区间[0，5]上是
单调函数，且f(3)＜f(1)，则( )
B．f(0)＞f(－1)
A．f(－1)＜f(－3)
D．f(－3)＞f(－5)
C．f(－1)＜f(1)
解析：选A.函数f(x)在区间[0，5]上是单调函数，又3＞1，且f(3)＜f(1)，故此函数在区间[0，5]上是减函数．由已知条件及奇函数性质知，函数f(x)在区间[－5，
5]上是减函数．
选项A中，－3＜－1，故f(－3)＞f(－1)．
选项B中，0＞－1，故f(0)＜f(－1)．
同理，选项C中f(－1)＞f(1)，选项D中f(－3)＜f(－5)．6．若函数f(x)是周期为4的偶函数，当x∈[0，2]时，f(x)＝x－1，则不等式xf(x)>0
在[－1，3]上的解集为 ( )
B．(－1，1)
A．(1，3)
D．(－1，0)∪(0，1)
C．(－1，0)∪(1，3)
解析：选C.f(x)的图像如图．
当x∈[－1，0)时，由xf(x)>0，得x∈(－1，0)；
当x∈[0，1)时，由xf(x)>0，得x∈∅；
当x∈[1，3]时，由xf(x)>0，得x∈(1，3)．
故x∈ (－1，0)∪(1，3)．7．已知函数f(x)在R上为奇函数，且x＞0时，f(x)＝＋1，则当x＜0时，f(x)＝
________．
解析：因为f(x)为奇函数，x＞0时，f(x)＝＋1，
所以当x＜0时，－x＞0，
f(x)＝－f(－x)＝－(＋1)，
即x＜0时，f (x)＝－(＋1)＝－－1.
答案：－－1 8．若f(x)＝k·2x＋2－x为偶函数，则k＝________，若f(x)为奇函数，则k＝
________．解析：f(x)为偶函数时，f(－1)＝f(1)，即＋2＝2k＋，解得k＝1.
f(x)为奇函数时，f(0)＝0，
即k＋1＝0，
所以k＝－1(或f(－1)＝－f(1)，
即＋2＝－2k－，解得k＝－1)．
答案：1 －1 9．若偶函数y＝f(x)为R上周期为6的周期函数，且满足f(x)＝(x＋1)(x－a)(－3
≤x≤3)，则f(－6)等于________．解析：因为y＝f(x)为偶函数，且f(x)＝(x＋1)·(x－a)(－3≤x≤3)，
所以f(x)＝x2＋(1－a)x－a，1－a＝0.
所以a＝1.f(x)＝(x＋1)(x－1)(－3≤x≤3)．
f(－6)＝f(－6＋6)＝f(0)＝－1.
答案：－1 10．(2016·河北省衡水中学一调考试)设函数f(x)＝的最大值为M，最小值为m，则
M＋m＝________．
解析：f(x)＝＝1＋.设g(x)＝，则g(－x)＝＝－g(x)，
所以g(x)是R 上的奇函数．所以若g(x)的最大值是W ，则g(x)的最小值是－W.所以函数f(x)的最大值是1＋W ，最小值是1－W ，即M ＝1＋W ，m ＝1－W ，所以M ＋m ＝2.
答案：2
11．设f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，f(x ＋2)＝－f(x)，当0≤x ≤1时，f(x)＝
x.
(1)求f(π)的值；
(2)当－4≤x≤4时，求f(x)的图像与x 轴所围成的图形的面积．
解：(1)由f(x ＋2)＝－f(x)，得 f(x ＋4)＝f((x ＋2)＋2)＝－f(x ＋2)＝f(x)，
所以f(x)是以4为周期的周期函数．
所以f(π)＝f(－1×4＋π)＝f(π－4)＝－f(4－π)
＝－(4－π)＝π－4.
(2)由f(x)是奇函数与f(x ＋2)＝－f(x)，
得f((x －1)＋2)＝－f(x －1)＝f(－(x －1))，
即f(1＋x)＝f(1－x)．
从而可知函数y ＝f(x)的图像关于直线x ＝1对称．
又当0≤x≤1时，f(x)＝x ，且f(x)的图像关于原点成中心对称，则f(x)的图像如图
所示．
设当－4≤x≤4时，f(x)的图像与x 轴围成的图形面积为S ，
则S ＝4S△OAB＝4×＝4.
12．已知函数f(x)＝是奇函数．
(1)求实数m 的值；
(2)若函数f(x)在区间[－1，a －2]上递增，求实数a 的取值范围．
解：(1)设x ＜0，则－x ＞0，
所以f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)
＝－x2－2x.
又f(x)为奇函数，
所以f(－x)＝－f(x)，
于是x ＜0时，f(x)＝x2＋2x ＝x2＋mx ，
所以m ＝2.
(2)由(1)知f(x)在[－1，1]上是增函数，要使f(x)在[－1，a －2]上递增．
结合f(x)的图像知⎩⎪⎨⎪⎧a －2＞－1，a －2≤1，
所以1＜a≤3，故实数a 的取值范围是(1，3]．
1．(2016·河南省适应性模拟练习)定义在R 上的函数f(x)满足f(－x)＝－f(x)，f(x
－2)＝f(x ＋2)，且x ∈(－1，0)时，f(x)＝2x ＋，则f(log220)＝( )
A ．1
B ．－1 C.
D ．－45
解析：选B.因为f(－x)＝－f(x)，所以f(x)为奇函数，又f(x －2)＝f(x ＋2)，所以f(x)的周期为4，由4<log220<5得f(log220)＝f(log220－4)＝－f(4－log220)
＝－f ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫2log245＋15
＝－＝－1，故选B. 2．已知定义在R 上的奇函数f(x)满足f(x －4)＝－f(x)，且在区间[0，2]上是增函数．若方程f(x)＝m(m>0)在区间[－8，8]上有四个不同的根x1，x2，x3，x4，则x1＋x2＋x3＋x4＝________． 解析：因为f(x)为奇函数并且f(x －4)＝－f(x)． 所以f(x －4)＝－f(4－x)＝－f(x)，即f(4－x)＝f(x)，且f(x －8)＝－f(x －4)＝f(x)， 即y ＝f(x)的图像关于x ＝2对称，并且是周期为8的周期函数． 因为f(x)在[0，2]上是增函数， 所以f(x)在[－2，2]上是增函数，在[2，6]上为减函数，据此可画出y ＝f(x)的图像．
其图像也关于x ＝－6对称， 所以x1＋x2＝－12，x3＋x4＝4， 所以x1＋x2＋x3＋x4＝－8. 答案：－8 3．函数f(x)的定义域为D ＝{x|x ≠0}，且满足对于任意x1，x2∈D ，有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)． (1)求f(1)的值． (2)判断f(x)的奇偶性并证明你的结论． (3)如果f(4)＝1，f(x －1)＜2，且f(x)在(0，＋∞)上是增函数，求x 的取值范围．
解：(1)因为对于任意x1，x2∈D，
有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)，
所以令x1＝x2＝1，得f(1)＝2f(1)，
所以f(1)＝0.
(2)f(x)为偶函数．证明如下：
令x1＝x2＝－1，
有f(1)＝f(－1)＋f(－1)，
所以f(－1)＝f(1)＝0.
令x1＝－1，x2＝x 有f(－x)＝f(－1)＋f(x)，
所以f(－x)＝f(x)，所以f(x)为偶函数．
(3)依题设有f(4×4)＝f(4)＋f(4)＝2，
由(2)知，f(x)是偶函数，
所以f(x －1)＜2，等价于f(|x －1|)＜f(16)．又f(x)在(0，＋∞)上是增函数． 所以0＜|x －1|＜16，解得－15＜x ＜17且x≠1.所以x 的取值范围是{x|－15＜x ＜
17且x≠1}．
4．(2016·菏泽模拟)已知函数y ＝f(x)在定义域[－1，1]上既是奇函数，又是减函
数．
(1)求证：对任意x1，x2∈[－1，1]，有[f(x1)＋f(x2)]·(x1＋x2)≤0；
(2)若f(1－a)＋f(1－a2)＜0，求实数a 的取值范围． 解：(1)证明：若x1＋x2＝0，显然不等式成立． 若x1＋x2＜0，则－1≤x1＜－x2≤1， 因为f(x)在[－1，1]上是减函数且为奇函数， 所以f(x1)＞f(－x2)＝－f(x2)， 所以f(x1)＋f(x2)＞0. 所以[f(x1)＋f(x2)](x1＋x2)＜0成立． 若x1＋x2＞0，则1≥x1＞－x2≥－1， 同理可证f(x1)＋f(x2)＜0. 所以[f(x1)＋f(x2)](x1＋x2)＜0成立． 综上得证，对任意x1，x2∈[－1，1]，有[f(x1)＋f(x2)]·(x1＋x2)≤0恒成立．
(2)因为f(1－a)＋f(1－a2)＜0⇔f(1－a2)＜－f(1－a)＝f(a －1)，所以由f(x)在
定义域[－1，1]上是减函数，得 ⎩⎪⎨⎪⎧－1≤1－a2≤1，－1≤a－1≤1，1－a2＞a －1，即⎩⎪⎨⎪⎧0≤a2≤2，0≤a≤2，a2＋a －2＜0，
解得0≤a＜1.
故所求实数a 的取值范围是[0，1)．。