湖北省2013高考理科数学12月月考考前强化与演练(七)

湖北省2013高考理科数学12月月考考前强化与演练（七）
时量120分钟。

满分150分。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 若A 、B 、C 分别为ΔABC 的三个内角，那么“sin cos A B >”是“ΔABC 为锐角三角形”的
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件 2. 已知59(,)a b i ai a b R ++=+∈，则b=
A 、4
B 、5
C 、9
D 、11
3.已知()f x 是R 上的奇函数，且满足(4)()f x f x +=，当(0,2)x ∈时，()2f x x =+，则(7)f = A. 3 B. 3- C. 1 D. 1-
4．已知函数⎩⎨⎧>≤=+.0,log ,
0,3)(2
1x x x x f x 若()30>x f ，则0x 的取值范围是 ( )
（A ）80>x . （B ）00<x 或80>x . （C ）800<<x . （D ）00<x 或800<<x .
5.已知函数()y f x =的定义域为D ，若对于任意的1212,()x x D x x ∈≠，都有1212()()
()22
x x f x f x f ++<
，则称()y f x =为D 上的凹函数.由此可得下列函数中的凹函数为 A.2log y x =
B.y =2
y x = D.3
y x = 6.函数f （x ）=log a （x 3–ax ）（a>0且a≠1）在(2,+∞）上单调递增，则a 的取值范围是
A ．a>1
B ．1<a<12
C ．1<a≤12
D ．1<a≤4
7.已知)91(log 2)(3≤≤+=x x x f ，则函数[])()(2
2
x f x f y +=的最大值为
A ．6
B ．13
C ．22
D ．33
8. 定义在R 上的函数()f x 满足()(4)f x f x -=-+，当2x >时，()f x 单调递增，如果
1212124(2)(2)0,()()x x x x f x f x +<--<+且则的值（ ）
A ．恒小于0
B ．恒大于0
C ．可能为0
D ．可正可负 9.已知函数f (x )满足：f (p +q )= f (p ) f (q )，f (1)= 3，则
)1()2()1(2f f f ++)3()4()2(2f f f ++)5()6()3(2f f f ++)
7()8()4(2f f f ++)9()10()5(2f f f +的值为
A.15
B.30
C.75
D.60 10.在一次研究性学习中，老师给出函数()()1x
f x x R x
=
∈+，三位同学甲、乙、丙在研究此函数时给出命题：甲：函数()f x 的值域为[]1,1-；乙：若12x x ≠，则一定有12()()f x f x ≠；丙：若规定
11()(),()(())n n f x f x f x f f x -==，则()1n x f x n x
=
+ 对任意n N *
∈恒成立。

你认为上述三个命题
中不正确的个数有 （ ）
A ．0个 B.1个 C.2个 D.3个
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.
三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
16.（12分）已知集合A ＝{|(2)[(31)]0}x x x a --+<，B ＝2
2{|0}(1)
x a
x x a -<-+． ⑴当a ＝2时，求A B ； ⑵求使B ⊆A 的实数a 的取值范围．
17.（12分）已知函数()()0x 12≥++=x b ax x f ，且函数()x f 与()x g 的图像关于直线x y =对称，又()323-
=f
，()01=g . （Ⅰ） 求()x f 的值域;
（Ⅱ） 是否存在实数m ，使得命题 ()
()43:2-<-m f m m f p 和 4
341:>
⎪⎭⎫ ⎝⎛-m g q 满足复合命题q p 且为真命题？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，说明理由.
18.（12分）我国加入WTO 后，根据达成的协议，若干年内某产品关税与市场供应量P 的关系允许近似
的满足：2
(1)()()2
kt x b P x --=（其中t 为关税的税率，且)2
1
,0[∈t ）.（x 为市场价格，b 、k 为正常数），
当t=
8
1
时的市场供应量曲线如图 （1）根据图象求k 、b 的值；
（2）若市场需求量为Q ，它近似满足x
x Q 2
1112)(-=. 当P=Q 时的市场价格称为市场平衡价格.为使市 场平衡价格控制在不低于9元，求税率t 的最小值.
19.（13分）设曲线32
132
ax y bx cx =
++在点x 处的切线斜率为()k x ，且(1)0k -=,对一切实数x ，不等式()()21
12
x k x x ≤≤+恒成立（0a ≠）.
（1）求()1k 的值；（2）求函数()k x 的表达式；（3）求证：()1221n
n k i n i >
∑+=
20．（13分）已知函数()2x c f x ax b +=+为奇函数，()()13f f <，且不等式()3
02
f x ≤≤的解集是
[][]2,12,4--⋃。

（1）求,,a b c 的值；
（2）是否存在实数m 使不等式()23
2sin 2
f m θ-+<-+对一切R θ∈成立？若存在，求出m 的取值
范围；若不存在，请说明理由。

21.（13分）设函数
2()ln()f x x a x =++
（I ）若当1x =-时，()f x 取得极值，求a 的值，并讨论()f x 的单调性； （II ）若()f x 存在极值，求a 的取值范围，并证明所有极值之和大于e ln 2
．
湖北省2013高考理科数学12月月考考前强化与演练（七）
参考答案
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.
11． 03a <≤ 12． 16 13．5a ≥ 14． 23（，）
15． a ＞3或a ＜1
三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
16.解：（1）当a ＝2时，A ＝（2，7），B ＝（4，5）∴ A B ＝（4，5）．
（2）∵ B ＝2
{1}x a x a |2<<+
当a ＜
1
3
时，A ＝（3a ＋1，2） 要使B ⊆A ，必须2231
12
a a a ≥+⎧⎨+≤⎩，此时a ＝－1；
当a ＝13时，A ＝Φ，使B ⊆A 的a 不存在； 当a ＞1
3
时，A ＝（2，3a ＋1）
要使B ⊆A ，必须222
131a a a ≥⎧⎨+≤+⎩
，此时1≤a ≤3．
综上可知，使B ⊆A 的实数a 的取值范围为[1，3]∪{－1}
17. 解：（Ⅰ）依题意()()x g x f 与互为反函数，由()01=g 得()10=f
()()⎩⎨⎧-=+===∴3
2233 1
0b a
f
b f ，得 ⎩⎨
⎧=-=1
1
b a
()x
x x x x f ++=++-=∴2
2
111 ……………………3分
故()x f 在[)+∞,0上是减函数
()()1011
x f 0 2
=≤++=<∴f x
x 即 ()x f 的值域为(]1,0 . …………6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知()x f 是[)+∞,0 上的减函数，()x g 是(]1,0上的减函数，
又4321g 2143=⎪⎭⎫ ⎝⎛∴=⎪⎭⎫ ⎝⎛f ⎪⎭
⎫
⎝⎛>⎪⎭⎫ ⎝⎛∴2141-m g g …………9分
故 ⎪⎩
⎪⎨⎧≤<-<≥->-1214100
432m m m m 解得 2334≠<≤m m 且 因此，存在实数m ，使得命题q p 且为真命题，且m 的取值范围为233
4
≠<≤m m 且. ……………………12分 18．（1）由图可知，⎩⎨⎧==⎪⎩
⎪⎨⎧===----562
212
8122)7)(81()5)(8
1(b k t b k b k
解得时有 ………5分 （2）当P=Q 时， 得x
x t 2
111)5)(61(2
22
---= 解得：
]251)5(17[121])5(2)5(171[61])5(2221[6122
2-----=----=---=
x x x x x x t ……9分 2
1
11,9,[0,][172]
5
412
m x m t m m x =
≥∴∈=----令在中11(0,)344∴∈对称轴 且开口向下； 9,192
19
,41==∴x t m 此时取得最小值
时 ………12分
19.解：（1）解：()2
k x ax bx c =++，
()()
1212x k x x ≤≤
+, ()()1
111112
k ∴≤≤+=, ()11k ∴=
(2)解：1
(1)002(1)1112
b k a b
c k a b c a c ⎧=⎧⎧-=-+=⎪⎪
⎪⇒∴⎨⎨⎨
=++=⎪⎪⎩⎩⎪+=
⎩ ()k x x ≥12
2ax x c x ∴+
+≥()1111220,40,404102442ax x c ac a a a ⎛⎫-+≥∆=-≤∴--≤⇔-≤ ⎪⎝⎭
即14
a c ∴==
()()111122
14244k x x x x ∴=++=+
(3)证明:()()1421k x x =+∴原式()()()444222112131=++++++…()421n +
+1114222234⎡=+++⎢⎢⎣…()121n ⎤⎥
+⎥+⎦ 1114344523⎡>+++⎢⨯⨯⨯⎣…()()1
12n n ⎤+⎥++⎥⎦
1111114233445⎛=-+-+-+ ⎝…()12111441222222n n n n n n n ⎫⎛⎫++=-=⨯
=⎪ ⎪+++++⎭⎝⎭
20. 解：（1）
()f x 是奇函数⇔()()f x f x -=-对定义域内一切x 都成立⇔b=0,从而()1c f x x a x ⎛⎫
=+ ⎪⎝⎭。

又
()()()()()2020
2042020f f f c f f ≥≥⎧⎧⎪⎪⇔⇔=⇔=-⎨⎨-≥-≥⎪⎪⎩⎩
，再由()()13f f <，得03a c >⎧⎨
<⎩或03a c <⎧⎨>⎩，所以0a >。

此时，()14f x x a x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭
在[]2,4上是增函数，注意到()20f =，则必有()342f =，即143442a ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以
2a =，综上：2,0,4a b c ===-；
（2）由（1），()142f x x x ⎛⎫=
- ⎪⎝⎭
，
它在()(),0,0,-∞+∞上均为增函数，
而32sin 1θ-≤-+≤-所以()2sin f θ-+的值域为53,62⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
，符合题设的实数m 应满足23322m ->，即20m <，故符合题设的实数m 不存在。

21.解：（Ⅰ）1
()2f x x x a
'=
++， 依题意有(1)0f '-=，故3
2a =．从而2231(21)(1)()3322
x x x x f x x x ++++'==++． ()f x 的定义域为32⎛⎫
-+ ⎪⎝⎭
，
∞，当312x -<<-时，()0f x '>； 当112x -<<-时，()0f x '<； 当1
2
x >-时，()0f x '>．
从而，()f x 分别在区间31122⎛⎫⎛⎫---+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，∞单调增加，在区间112⎛
⎫-- ⎪⎝⎭
，单调减少． （Ⅱ）()f x 的定义域为()a -+，∞，2221
()x ax f x x a
++'=+．
方程22210x ax ++=的判别式2
48a ∆=-．
（ⅰ）若0∆<
，即a <<()f x 的定义域内()0f x '>，故()f x 的极值．
（ⅱ）若0∆=
，则a
或a =
若a =
()x ∈+∞
，2
()f x '=
当2x =-
时，()0f x '=，当2
x ⎛⎛⎫∈-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，∞时，()0f x '>，所以()f x 无极值．
若a =)x ∈+∞，()0f x '=>，()f x 也无极值．
（ⅲ）若0∆>，即a >或a <2
2210x ax ++=有两个不同的实根1x =，
22
a x -+=． 当a <12x a x a <-<-，，从而()f x '有()f x 的定义域内没有零点，
故()f x 无极值．
当a >
1x a >-，2x a >-，()f x '在()f x 的定义域内有两个不同的零点，由根值判别方法知()
f x 在12x x x x ==，取得极值．
综上，()f x 存在极值时，a 的取值范围为)+∞．且()f x 的极值之和为 2221211221()()ln()ln()ln 11ln 2ln 22
e
f x f x x a x x a x a +=+++++=+->-=．。