第3讲 第三章泊松过程(1)

g N (u ) E e

iuN t
e
t eiu 1


二. 时间间隔的分布与到达时间（等待时间） N(t) T4 一个样本：跃度 T3 为1 的阶梯函数 T2 T1 W1 W2 W3 W4 … t
Wn为第n个事件到达的时间(等待时间). Tn为第n个事件与第n－1个事件出现的时间间隔.
§3.2 泊松过程的性质 一.有限维分布、特征函数、布数字特征 N(t)的有限维分布：
对任意 0<t1 t2 , tn ,
N(t)的有限维分布为：
P X t1 k1 , X t2 k2 , , X t n k n
P X t1 k1 , X t2 X t1 k2 k1 ,, X t n X t n 1 k n k n 1

t1
k1 !
k1
e
t1
k
i i 2
n
t
ti 1
k1 ki 1
1
ki 1 !
e (ti ti 1 )
N(t)的特征函数： N (t ) ~ t
g N (u ) E e

iuN t
e
t eiu 1
0
s
t
显然，计数过程应满足： (1) N( 0)=0; (2) N( t ) 取非负整数值；
(3) 如果s < t，则N( s )≤N( t )；
(4) 对于s < t, N(t) －N(s)表示时间间隔(s, t]内事 件出现的次数.
定义3.2 若计数过程{N(t),t≥0}满足下述条件： (1) N(0)=0；
注：在排队论中称Wn 服从爱尔朗分布。 证明： t 0,
Fwn (t ) P n t PN t n W
k n
t
k!
k
e t
t
f wn t FWn t
k n

t
k 1
k 1!
1 e
t
P 2 t T1 s PN t s N s 1T1 s T
即T1 服从参数为λ的指数分布， E{T}=1/λ.
PN t s N s 1 （增量独立）
1 PN t s N s 0
§3.1 泊松过程的定义 在天文，地理，物理，生物，通信，医学，计算机 网络，密码学等许多领域，都有关于随机事件流的计数 问题，如： 电话交换机上的呼唤流；
计算机网络上的（图象，声音）流；
编码（密码）中的误码流；
交通中事故流；
均构成以时间顺序出现的事件流A1,A2, …
0
t1 t2
tn
定义3.1 ：如果N(t)表示在(0, t]内事件A 出现的总 次数.称随机过程{N(t), t≥0}为计数过程

k n

t
k!
k
e
t
e
t

n 1
(n 1)!
例3.2 已知仪器在 [0, t ) 内发生震动的次数 X t 是具 有参数 的泊松过程。若仪器振动 k k 1次就会出 现故障，求仪器在时刻 t 0 正常工作的概率。
解：仪器在时刻 t 0 正常工作的概率：
p P X t0 k

i 0 k 1
t0
i!
i
e t0
或这样解： 设Wk 是第k次振动的时间，概率密度为：
t ( t ) k 1 t0 e f t (k 1)! 0 其它
p P Wk t0 e t
0
t t+h
P t P t 0 0 P0 0 1, 由条件 1 N 0 0
令h 0, 得P0 t P0 t
解得p0 (t ) e t , t 0
当n≥1时， n pn (t h) pk (h) pn k (t )
由于是平稳增量故只需证1phhoh?10phohhoh2kk?ph121kkphph???potht000hppt?令得ohh000pthptpth????????t00ppt??????当n1时?tth0potpoh增量独立1pth?ptptoh?0?oh00h1000p10n由条件0pt0tet解得npthohoh011tnnphptphp?0tnknk?kphp?11tnnhpthp??oh1tnnnpthpthp??tohh1nnnnpthptptph???t0nhp令得ttppnn1??00nptnn
记：Pn t PN (t ) n
下面我们依次求Po(t), P1(t),…， Pk(t) ,…
首先，由定义3.3中的条件（3）：
P h h o h 1
P h o h
k 2 k
P0 h 1 P h Pk h 1 h oh 1
有Ti Wi Wi 1 , Wn Ti
i 1 n
定理3.2 设{Tn, n≥1}是参数为λ的泊松过程{N(t),t≥0}的 时间间隔序列，则{Tn, n≥1}相互独立同服从指数分布，且 E{T}=1/λ. 证明： t 0 时
PT1 t PN t 1 1 PN t 0
1 1 h o h h o h oh
所以3.2→定义3.3
再证 由定义3.3 → 定义3.2 即：需证明 N (t s) N ( s) ~ t 由于是平稳增量故只需证 N (t ) ~ t
t0

( t ) k 1 dt (k 1)!
例3.3 设N1(t)和N2( t )分别是强度为λ1和λ2的相互独立的 1为过程N (t)的第k个事件的到达时间， 泊松过程, Wk 1
W1 为过程N2(t)的第1个事件的到达时间，求
2
P Wk W1
1

2

解：f w x 1e
第三章 泊松过程 一种累计随机事件发生次数的最基本的独立增量 过程。例如随着时间增长累计某电话交换台收到的呼 唤次数,就构成一个泊松过程。 泊松过程是由法国著名数学家泊松（Poisson, Simeon-Denis）（1781-1840）证明的。1943年C.帕尔 姆在电话业务问题的研究中运用了这一过程，后来 Α .Я .辛钦于50年代在服务系统的研究中又进一步发展 了它。 独立增量过程的莱维-伊藤分解表明，利用泊松还可 构成一般的独立增量过程，因而它在随机过程中占有特 殊地位，也有人把它与布朗运动一起称之为随机过程的 基石。
1 k
1 x
1 x

k 1
(k 1)!

x0
f w 2 y 2 e 2 y y 0
1
P Wk W1
(2) N(t)是独立增量过程；
(3) 对一切0≤s,t, N(t+s) －N(s) ～P(λt),即 [t ]k t P [ N (t s) N ( s)] k e , k 0,1, 2, k! 称{N( t ),t≥0)是参数为λ的齐次泊松过程. 注1 从增量分布知：齐次泊松过程也是平稳增量过程. 注2 N(t) ～P(λt).
p P T 10
0.1 e
0
10
0.1t
1 dt 1 e
定理3.3 参数为λ的泊松过程{N(t),t≥0},第n个事件A到 达时间服从Γ分布,其概率密度为：
t (t )n 1 e , f W t ( n 1)! n 0, t 0; t0
PN t s1 sn1 N s1 sn1 1
1 PN t s1 sn1 N s1 sn1 0
1 e t
（与 s1，s2，…，sn-1无关）
故Tn与T1 ,T2 ,…,Tn-1 相互独立，且Tn也服从均值为 1/λ的指数分布.
例3.1 某人在公交站等车，在20分钟内来了2车，但都因 人多没上成。该人在10分钟内等到下一辆车的概率多大？
2 0.1 20
解：把 [0, t ) 通过的公交车数看做一个参数 的泊松过程，
在20分钟内来了两车，故 的估计
T为两辆车之间时间间隔,服从参数为0.1的指数分布。 该人在10分钟内等到下一辆车的概率：
h 0时， he
P [ N (t h) N (t )] 0 e h 1 h oh
h
~ h，
P [ N (t h) N (t )] 2
根据指数函数的泰勒展式
1 P N (t h) N (t )] 0 P N (t h) N (t )] 1 [ [
因为
E[ N (t s) N (s)] t = t t
所以λ又称为齐次泊松过程的速率或强度. 由于定义3.2的条件3很难检验，所以用这个定义判 别一个过程是不是泊松过程就变得困难。 我们给出泊松过程的如下定义：
定义3.3 设计数过程{N( t ), t≥0} 满足： (1 )N(0)=0; (2) N( t )是独立增量过程； (3) P{N(t+h)-N(t)= 1}=λh+o(h), λ>0； P{N(t+h) )-N(t) ≥2}=o(h). 称{N( t ),t≥0)是参数为λ的齐次泊松过程.
p0 (h) pn (t ) p1 (h) pn 1 (t ) o h
1 h pn (t ) hpn 1 (t ) o h pn (t ) hpn (t ) hpn 1 (t ) o h
k 0
Pn t h Pn t h
k 2
Po(t+h) =Po(t) Po(h) （增量独立） P0 t 1 h o h
P0 t P0 t h o h
o h P0 t h P0 t h P0 t h


N(t)的数字特征：
均值函数
方差函数 相关函数
m t EN t t Dt t
R(s,t)=λmin(s,t)+λ2st.
协方差函数 B(s,t)=λmin(s,t)
证： s<t时， B(s,t)= COV(X(s),X(t)) =COV(X(s),X(t)-X(s）+X(s)） (N( t )是独立增量过程) =COV(X(s),X(s)) =λs 所以 B(s,t)=λmin(s,t), R(s,t)=λmin(s, t)+λ2st. N(t)的特征函数： N (t ) ~ t
Pn t Pn 1 t
o h h
令h 0, 得
Pn t Pn t Pn 1 t
Pn 0 0
t t 用数学归纳法，解出： Pn t e n !
n
（详解见教材，此处略） 所以定义3.3 → 定义3.2 证毕。
1 e
t
（与s 无关）
故T2与T1相互独立，且T2也服从均值为1/λ的指数分布. 对于n＞1 和t＞0,以及 s1，s2，…，sn-1>0,有
P n t T1 s1 , , Tn 1 sn 1 T
PN t s1 sn 1 N s1 sn 1 1T1 s1 ,, Tn 1 sn 1
注：注意到条件（3）中概率 P{N(t+h)-N(t)= 1}=λh+o(h) 表达式右边与t无关，可知该过程也是平稳增量过程 。
定理3.1
定义3.2与定义3.3是等价的
证明： 先证由定义3.2→定义3.3
P [ N (t h) N (t )] 1 he h h o h