2020年八年级数学上期末一模试卷含答案

2020年八年级数学上期末一模试卷含答案
一、选择题
1．张老师和李老师同时从学校出发，步行15千米去县城购买书籍，张老师比李老师每小时多走1千米，结果比李老师早到半小时，两位老师每小时各走多少千米？设李老师每小时走x千米，依题意，得到的方程是（）
A．15151
12
x x
-=
+
B．
15151
12
x x
-=
+
C．
15151
12
x x
-=
-
D．
15151
12
x x
-=
-
2．如图所示，小兰用尺规作图作△ABC边AC上的高BH，作法如下：
①分别以点DE为圆心，大于DE的一半长为半径作弧两弧交于F；
②作射线BF，交边AC于点H；
③以B为圆心，BK长为半径作弧，交直线AC于点D和E；
④取一点K使K和B在AC的两侧；
所以BH就是所求作的高．其中顺序正确的作图步骤是（）
A．①②③④B．④③①②C．②④③①D．④③②①
3．如果a c
b d
=成立，那么下列各式一定成立的是（）
A．a d
c b
=B．
ac c
bd b
=C．
11
a c
b d
++
=D．
22
a b c d
b d
++
=
4．若
b
a b
-
=
1
4
，则
a
b
的值为（）
A．5B．1
5
C．3D．
1
3
5．如图， BD 是△ABC 的角平分线， AE⊥ BD ，垂足为 F ，若∠ABC＝35°，∠ C＝50°，则∠CDE 的度数为（）
A．35°B．40°C．45°D．50°
6．把多项式x2+ax+b分解因式，得(x+1)(x-3)，则a、b的值分别是（）
A．a=2，b=3B．a=-2，b=-3
C．a=-2，b=3D．a=2，b=-3
7．如果解关于x 的分式方程2122m x x x -=--时出现增根，那么m 的值为 A ．-2
B ．2
C ．4
D ．-4 8．下列计算中，结果正确的是（ ） A ．236a a a ⋅= B ．(2)(3)6a a a ⋅= C ．236()a a = D ．623a a a ÷= 9．如果2x +ax+1 是一个完全平方公式，那么a 的值是（）
A ．2
B ．－2
C ．±2
D ．±1
10．如图，在小正三角形组成的网格中，已有6个小正三角形涂黑，还需涂黑n 个小正三角形，使它们与原来涂黑的小正三角形组成的新图案恰有三条对称轴，则n 的最小值为（ ）
A ．10
B ．6
C ．3
D ．2
11．如图，用四个螺丝将四条不可弯曲的木条围成一个木框，不计螺丝大小，其中相邻两螺丝的距离依序为2、3、4、6，且相邻两木条的夹角均可调整．若调整木条的夹角时不破坏此木框，则任两螺丝的距离之最大值为何？
A ．5
B ．6
C ．7
D ．10 12．若关于x 的方程
244x a x x =+--有增根，则a 的值为（ ） A ．-4 B ．2 C ．0 D ．4
二、填空题
13．已知23
a b =，则a b a b -+=__________. 14．如图，小新从A 点出发，沿直线前进50米后向左转30°，再沿直线前进50米，又向左转30°，…照这样下去，小新第一次回到出发地A 点时，一共走了__米．
15．若实数，满足，则______.
16．记x=（1+2）（1+22）（1+24）（1+28）…（1+2n ），且x+1=2128，则n=______．
17．已知等腰三角形的两边长分别为4和6，则它的周长等于_______
18．若分式242
x x --的值为0，则x 的值是_______． 19．如图，在△ABC 中，∠A=70°，点O 到AB,BC,AC 的距离相等，连接BO ，CO ，则∠BOC=________．
20．计算：2
422a a a a -=++____________． 三、解答题
21．如图，在等边ABC V 中，点D 是AB 边上一点，连接CD ，将线段CD 绕点C 按顺时针方向旋转60o 后得到CE ，连接AE .求证://AE BC .
22．如图，在直角坐标系中，A （－1，5），B （－3，0），C （－4，3）．
（1）在图中作出△ABC 关于y 轴对称的图形△A 1B 1C 1；
（2）求△ABC 的面积．
23．因式分解：（1）()()36x m n y n m ---；（2）()222936x x +-
24．某书店老板去图书批发市场购买某种图书，第一次用1200元购书若干本，并按该书定价7元出售，很快售完．由于该书畅销，第二次购书时，每本书的批发价已比第一次提高了20%，他用1500元所购该书的数量比第一次多10本，当按定价售出200本时，出现滞销，便以定价的4折售完剩余的书．
（1）第一次购书的进价是多少元？
（2）试问该老板这两次售书总体上是赔钱了，还是赚钱了（不考虑其他因素）？若赔钱，赔多少；若赚钱，赚多少？
25．作图题：（要求保留作图痕迹，不写做法）
如图，已知∠AOB 与点M 、N.
求作：点P,使点P 到OA 、OB 的距离相等,且到点M 与点N 的距离也相等.(不写作法与证明,保留作图痕迹)
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题
1．B
解析：B
【解析】
【分析】
设小李每小时走x 千米，则小张每小时走（x+1）千米，根据题意可得等量关系：小李所用时间-小张所用时间=半小时，根据等量关系列出方程即可．
【详解】
解：设小李每小时走x 千米，依题意得：
1515112
x x -=+ 故选B ．
【点睛】
此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系列出方程．
2．B
解析：B
【解析】
【分析】
根据直线外一点作已知直线的垂线的方法作BH ⊥AC 即可．
【详解】
用尺规作图作△ABC 边AC 上的高BH ，做法如下：
④取一点K 使K 和B 在AC 的两侧；
③以B 为圆心，BK 长为半径作弧，交直线AC 于点D 和E ；
①分别以点D 、E 为圆心，大于DE 的长为半径作弧两弧交于F ；
②作射线BF ，交边AC 于点H ；
故选B ．
【点睛】
考查了复杂作图，关键是掌握线段垂直平分线、垂线的作法．
3．D
解析：D
【解析】 已知a c b d
=成立，根据比例的性质可得选项A 、B 、C 都不成立；选项D ，由2a b b +＝2c d d +可得22a c b d +=+，即可得a c b d
=，选项D 正确，故选D. 点睛：本题主要考查了比例的性质，熟练运用比例的性质是解决问题的关键.
4．A
解析：A
【解析】 因为b a b -=14
， 所以4b=a-b ．，解得a=5b ， 所以
a b ＝55b b
=. 故选A. 5．C
解析：C
【解析】
【分析】
根据角平分线的定义和垂直的定义得到∠ABD=∠EBD=12
∠ABC=352︒，∠AFB=∠EFB=90°，推出AB=BE ，根据等腰三角形的性质得到AF=EF ，求得AD=ED ，得到∠DAF=∠DEF ，根据三角形的外角的性质即可得到结论．
【详解】
∵BD 是△ABC 的角平分线，AE ⊥BD ，
∴∠ABD=∠EBD=
12
∠ABC=352︒，∠AFB=∠EFB=90°， ∴∠BAF=∠BEF=90°-17.5°，
∴AB=BE ，
∴AF=EF ，
∴AD=ED ，
∴∠DAF=∠DEF ，
∵∠BAC=180°-∠ABC-∠C=95°，
∴∠BED=∠BAD=95°，
∴∠CDE=95°-50°=45°，
故选C ．
【点睛】
本题考查了三角形的内角和，全等三角形的判定和性质，三角形的外角的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
6．B
解析：B
【解析】
分析：根据整式的乘法，先还原多项式，然后对应求出a 、b 即可.
详解：（x+1）（x-3）
=x 2-3x+x-3
=x 2-2x-3
所以a=2，b=-3，
故选B ．
点睛：此题主要考查了整式的乘法和因式分解的关系，利用它们之间的互逆运算的关系是解题关键.
7．D
解析：D
【解析】
【详解】
2122m x x x
-=--，去分母，方程两边同时乘以(x ﹣2)，得： m +2x =x ﹣2，由分母可知，分式方程的增根可能是2．
当x =2时，m +4=2﹣2，m =﹣4，
故选D ．
8．C
解析：C
【解析】
选项A ，235a a a ⋅=，选项A 错误；选项B ，()()2
236a a a ⋅= ，选项B 错误；选项C ，()326a a =，选项C 正确；选项D ，624a a a ÷=，选项D 错误.故选C.
9．C
解析：C
【解析】
【分析】
【详解】
解：根据完全平方公式可得：a=±2×1=±2．
考点：完全平方公式．
10．C
解析：C
【解析】
【分析】
由等边三角形有三条对称轴可得答案．
【详解】
如图所示，n的最小值为3．
故选C．
【点睛】
本题考查了利用轴对称设计图案，解题的关键是掌握常见图形的性质和轴对称图形的性质．
11．C
解析：C
【解析】
依题意可得，当其中一个夹角为180°即四条木条构成三角形时，任意两螺丝的距离之和取到最大值，为夹角为180°的两条木条的长度之和．因为三角形两边之和大于第三边，若长度为2和6的两条木条的夹角调整成180°时，此时三边长为3,4,8，不符合；若长度为2和3的两条木条的夹角调整成180°时，此时三边长为4,5,6，符合，此时任意两螺丝的距离之和的最大值为6；若长度为3和4的两条木条的夹角调整成180°时，此时三边长为2,6,7，符合，此时任意两螺丝的距离之和的最大值为7；若长度为4和6的两条木条的夹角调整成180°时，此时三边长为2,3,10，不符合．综上可得，任意两螺丝的距离之和的最大值为7，故选C
12．D
解析：D
【解析】
【分析】
增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．让最简公分母x-4=0，得到x=4．再将x=4代入去分母后的方程即可求出a=4.
【详解】
解：由分式方程的最简公分母是x-4，
∵关于x 的方程
244
x a x x =+--有增根， ∴x-4=0， ∴分式方程的增根是x=4．
关于x 的方程
244
x a x x =+--去分母得x=2(x-4)+a, 代入x=4得a=4 故选D ．
【点睛】
本题考查了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行：
①让最简公分母为0确定增根；
②化分式方程为整式方程；
③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
二、填空题
13．【解析】【分析】由已知设a=2t 则b=3t 代入所求代数式化简即可得答案
【详解】设a=2t ∵∴b=3t ∴==故答案为：【点睛】本题考查了代数式的求值把a=b 代入后计算比较麻烦采用参数的方法使运算简便灵 解析：15
- 【解析】
【分析】
由已知设a=2t ，则b=3t ，代入所求代数式化简即可得答案.
【详解】
设a=2t ， ∵
23
a b =， ∴b=3t ， ∴a b a b -+=2323t t t t -+=15
-. 故答案为：15
- 【点睛】 本题考查了代数式的求值，把a=
23
b 代入后，计算比较麻烦，采用参数的方法，使运算简便，灵活运用参数方法是解题关键. 14．600【解析】【分析】【详解】解：根据题意可知：小新从A 点出发沿直线前进50米后向左转30º再沿直线前进50米又向左转30º……照这样下去小新第一次
回到出发地A点时小新走的路线围成一个正多边形且这个
解析：600
【解析】
【分析】
【详解】
解：根据题意可知：小新从A点出发，沿直线前进50米后向左转30º，再沿直线前进50米，又向左转30º，……照这样下去,小新第一次回到出发地A点时,小新走的路线围成一个正多边形,且这个多边形的外角等于30º，所以这个正多边形的边数是12，小新一共走了12×50=600米，
故答案为：600．
15．5【解析】【分析】根据非负数的性质列式求出mn的值然后代入代数式进行计算即可得解【详解】解：根据题意得：m-2=0n-2018=0∴m=2n=2018∴m-
1+n0=12+1=32；故答案为：32【
解析：5
【解析】
【分析】
根据非负数的性质列式求出m，n的值，然后代入代数式进行计算即可得解．
【详解】
解：根据题意得：
，
∴
∴；
故答案为：.
【点睛】
本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0，解题的关键是利用非负性正确求值.
16．64【解析】试题分析：先在前面添加因式（2﹣1）再连续利用平方差公式计算求出x然后根据指数相等即可求出n值解：（1+2）（1+22）（1+24）
（1+28）…（1+2n）=（2﹣1）（1+2）（1+
解析：64
【解析】
试题分析：先在前面添加因式（2﹣1），再连续利用平方差公式计算求出x，然后根据指数相等即可求出n值．
解：（1+2）（1+22）（1+24）（1+28）…（1+2n），
=（2﹣1）（1+2）（1+22）（1+24）（1+28）…（1+2n），
=（22﹣1）（1+22）（1+24）（1+28）…（1+2n），
=（2n﹣1）（1+2n），
=22n﹣1，
∴x+1=22n﹣1+1=22n，
2n=128，
∴n=64．
故填64．
考点：平方差公式
点评：本题考查了平方差公式，关键是乘一个因式（2﹣1）然后就能依次利用平方差公式计算了．
17．14或16【解析】当4是底时三边为466能构成三角形周长为4+6+6=16；当6是底时三边为446能构成三角形周长为4+4+6=14故周长为16或14故答案为：16或14
解析：14或16
【解析】当4是底时，三边为4，6，6，能构成三角形，周长为4+6+6=16；
当6是底时，三边为4，4，6，能构成三角形，周长为4+4+6=14.
故周长为16或14.
故答案为：16或14.
18．－2【解析】【分析】根据分式值为零的条件可得x2-
4=0且x﹣2≠0求解即可【详解】由题意得：x2-
4=0且x﹣2≠0解得：x=﹣2故答案为：－2【点睛】此题主要考查了分式的值为零的条件需同时具备两
解析：－2
【解析】
【分析】
根据分式值为零的条件可得x2-4=0，且x﹣2≠0，求解即可.
【详解】
由题意得：x2-4=0，且x﹣2≠0，
解得：x=﹣2
故答案为：－2
【点睛】
此题主要考查了分式的值为零的条件，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可．
19．125°【解析】【分析】根据角平分线性质推出O为△ABC三角平分线的交点根据三角形内角和定理求出∠ABC+∠ACB根据角平分线定义求出∠OBC+∠OCB 即可求出答案【详解】：∵点O到ABBCAC的距
解析：125°
【解析】
【分析】
根据角平分线性质推出O为△ABC三角平分线的交点，根据三角形内角和定理求出
∠ABC+∠ACB ，根据角平分线定义求出∠OBC+∠OCB ，即可求出答案．
【详解】
：∵点O 到AB 、BC 、AC 的距离相等，
∴OB 平分∠ABC ，OC 平分∠ACB ， ∴12OBC ABC ∠=
∠，12
OCB ACB ∠=∠， ∵∠A=70°，
∴∠ABC+∠ACB=180°-70°=110°， ∴1110552
OBC OCB ∠+∠=⨯︒=︒， ∴∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB ）=125°；
故答案为：125．
【点睛】
本题主要考查平分线的性质，三角形内角和定理的应用，能求出∠OBC+∠OCB 的度数是解此题的关键．
20．【解析】【分析】根据分式的加减运算的法则先因式分解复杂的因式找到最简公分母通分然后按同分母的分式相加减的性质计算在约分化为最简二次根式【详解】解：=====故答案为：【点睛】本题考查分式的加减运算 解析：2a a
- 【解析】
【分析】
根据分式的加减运算的法则，先因式分解复杂的因式，找到最简公分母，通分，然后按同分母的分式相加减的性质计算，在约分，化为最简二次根式．
【详解】 解：2422a a a a
-++ =42(2)
a a a a -++ =24(2)(2)
a a a a a -++ =24(2)
a a a -+ =
(2)(2)(2)a a a a +-+ =2a a
-．
故答案为：
2
a
a
-
．
【点睛】
本题考查分式的加减运算．
三、解答题
21．见解析
【解析】
【分析】
根据等边三角形的性质得出60
AC BC B ACB
=∠=∠=︒
，，根据旋转的性质得出
60
CD CE DCE
=∠=︒
，，根据SAS推出BCD ACE
≅
n n，根据全等得出
60
B EAC
∠=∠=︒，根据平行线的判定定理即可证得答案.
【详解】
等边ABC
V中，∴60
AC BC B ACB
=∠=∠=︒
，，
∵线段CD绕点C按顺时针方向旋转60o后得到CE，
∴60
CD CE DCE
=∠=︒
，，
∴DCE ACB
∠=∠，
即1223
∠+∠=∠+∠, ，
∴13
∠=∠，
在BCD
n与ACE
n中，
13
BC AC
CD CE
=
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
∴BCD ACE
≅
n n(SAS)
∴60
B EAC
∠=∠=︒，
∴EAC ACB
∠=∠
∴//
AE BC
【点睛】
本题考查了平行线的判定、等边三角形的性质以及旋转的性质，利用全等三角形的证明是解题的关键.
22．（1）图见解析；（2）
11
2
．
【解析】
【分析】
（1）利用关于y 轴对称的点的坐标特征写出A 1、B 1、C 1的坐标，然后描点即可； （2）用一个矩形的面积减去三个三角形的面积计算△ABC 的面积．
【详解】
：（1）如图，△A 1B 1C 1为所作；
（2）△ABC 的面积11111353132522222
=⨯-
⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯=. 【点睛】 本题考查了作图-对称性变换，注意画轴对称图形找关键点的对称点然后顺次连接是解题的关键．
23．（1）3()(2)m n x y -+；（2）22(3)(3)x x +-.
【解析】
【分析】
（1）原式变形后，提取公因式即可；
（2）原式先利用平方差公式进行因式分解，再利用完全平方公式分解即可.
【详解】
（1）原式3()6()x m n y m n =-+-
3()3()2m n x m n y =-⋅+-⋅
3()(2)m n x y =-+
（2）原式()2229(6)x x =+-
()()
229696x x x x =+++-
22(3)(3)x x =+-
【点睛】
此题考查了提公因式与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键. 24．赚了520元
【解析】
【分析】
（1）设第一次购书的单价为x 元，根据第一次用1200元购书若干本，第二次购书时，每
本书的批发价已比第一次提高了20%，他用1500元所购该书的数量比第一次多10本，列出方程，求出x的值即可得出答案；
（2）根据（1）先求出第一次和第二次购书数目，再根据卖书数目×（实际售价﹣当次进价）求出二次赚的钱数，再分别相加即可得出答案．
【详解】
（1）设第一次购书的单价为x元，
根据题意得：1200
x
+10＝
1500
(120)0x
，
解得：x＝5，
经检验，x＝5是原方程的解，
答：第一次购书的进价是5元；
（2）第一次购书为1200÷5＝240（本），
第二次购书为240+10＝250（本），
第一次赚钱为240×（7﹣5）＝480（元），
第二次赚钱为200×（7﹣5×1.2）+50×（7×0.4﹣5×1.2）＝40（元），
所以两次共赚钱480+40＝520（元），
答：该老板两次售书总体上是赚钱了，共赚了520元．
【点睛】
此题考查了分式方程的应用，掌握这次活动的流程，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
25．见解析
【解析】
【分析】
首先作出∠AOB的角平分线，再作出MN的垂直平分线，两线的交点就是P点．
【详解】
如图所示：
【点睛】
此题考查角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，作图—复杂作图，解题关键在于掌握作图法则.。