2021届高考物理二轮复习专题一力与运动第4讲万有引力与航天学案

第4讲 万有引力与航天
真题再现
考情分析
(多项选择)(2021·高考全国卷 Ⅰ )2021年，人类第一次直接探测到来自双中子星合并的引力波．根据科学家们复原的过程，在两颗中子星合并前约100 s 时，它们相距约400 km ，绕二者连线上的某点每秒转动12圈．将两颗中子星都看做是质量均匀分布的球体，由这些数据、万有引力常量并利用牛顿力学知识，可以估算出这一时刻两颗中子星( )
A.质量之积 B ．质量之和 C.速率之和 D ．各自的自转角速度
解析：选BC.由题意可知，合并前两中子星绕连线上某点每秒转动12圈，那么两中子星的周期相等，且均为T ＝1
12 s ，两中子星的角速度均
为ω＝2π
T
，两中子星构成了双星模型，假设两中子星的质量分别为m 1，
m 2，轨道半径分别为r 1、r 2，速率分别为v 1、v 2，那么有：G m 1m 2L
2＝m 1ω2r 1、
Gm 1m 2L 2＝m 2ω2
r 2，又r 1＋r 2＝L ＝400 km ，解得m 1＋m 2＝
ω2L 3
G
，A 错误，B 正确；又由v 1＝ωr 1、v 2＝ωr 2，那么v 1＋v 2＝ω(r 1＋r 2)＝ωL ，C 正确；由题中的条件不能求解两中子星自转的角速度，D 错误
[命题点分析] 天体运动、万有引力定律、牛顿运动
定律 [思路方法] 由双星运动规律可得其周期、角速度相等、向心力相等的条件，再根据题
意知其频率的情况下可求解结果
(2021·高考全国卷 Ⅱ )2021年2月，我国500 m 口径射电望远镜(天眼)发现毫秒脉冲星“J0318＋0253〞，其自转周期T ＝5.19 ms ，假设星体为质量均匀分布的球体，万有引力常量为×10－11
N ·m 2/kg 2
.以
周期T 稳定自转的星体的密度最小值约为( )
×109
kg/m 3
×1012
kg/m
3
×1015
kg/m 3
×1018
kg/m 3
解析：选C.毫秒脉冲星稳定自转时由万有引力提供其外表物体做圆周
运动的向心力，根据G Mm R 2＝m 4π2R T 2，M ＝ρ·43πR 3，得ρ＝3π
GT 2，代入数
据解得ρ≈5×1015
kg/m 3
，C 正确.
[命题点分析] 天体密度的计算 [思路方法] 由万有引力提供向心力和密度公式可
联立求解 (2021·高考全国卷 Ⅲ )为了探测引力波，“天琴方案〞预计发射地球卫星P ，其轨道半径约为地球半径的16倍；另一地球卫星Q 的轨道
[命题点分析] 行星运动中的开普
半径约为地球半径的4倍．P 与Q 的周期之比约为( ) ∶∶∶∶1
解析：选 C.由开普勒第三定律得r 3T 2＝k ，故T P
T Q
＝
⎝ ⎛⎭
⎪⎫R P R Q 3
＝
⎝ ⎛⎭
⎪⎫1643
＝81
，C 正确.
勒定律 [思路方法]
由题意知卫星P 与Q
的轨道半径，再根据开普勒定律求解问题
命题规律研究及预测
天体运动规律及万有引力定律的应用是高考每年必考内容，考察方向很广泛，
从天体质量或密度的计算、行星运动规律的分析，到同步卫星、双星、宇宙速度的求解、变轨问题等均在考察范围之内.
在2021年的高考备考中要注重复习解决天体运动的两条思路、开普勒定律等核心知识点，并关注一些天体学中的前沿知识点，像2021年涉及的引力波就属于这类结合
万有引力定律及天体质量和密度的求解
[高分快攻]
自力更生法：利用天体外表的重力加速度g 和天体半径R .
由G Mm R 2＝mg 得天体质量M ＝gR 2
G .
天体密度：ρ＝M V ＝M 43
πR 3＝3g 4πGR
.
借助外援法：通过观察卫星绕天体做匀速圆周运动的半径r 和周期T .
(1)由G Mm r 2＝m 4π2r T 2得天体的质量为M ＝4π2r
3
GT 2
.
(2)假设天体的半径R ，那么天体的密度
ρ＝M V ＝M 43
πR
3＝3πr 3GT 2R 3
.
(3)假设卫星绕天体外表运行时，可认为轨道半径r 等于天体半径R ，那么天体密度ρ＝3π
GT
2，
可见，只要测出卫星环绕天体外表运行的周期T ，就可估算出中心天体的密度．
(多项选择)“嫦娥五号〞于2021年在海南文昌航天发射中心发射，完成探月工程的重大跨越——带回月球样品．假设“嫦娥五号〞在“落月〞前，以速度v 沿月球外表做匀速
圆周运动，运动的周期为T ，引力常量为G ，不计周围其他天体的影响，那么以下说法正确的选项是( ) A ．月球的半径为vT
π
B ．月球的平均密度约为3π
GT
2
C ．月球的质量约为v 3T
2πG
D ．月球外表的重力加速度约为2π
vT
[解析] 由T ＝2πR v 可得月球的半径约为R ＝vT 2π，选项A 错误；由GMm R 2＝m ⎝ ⎛⎭
⎪⎫2πT 2
R 可得月球
的质量M ＝v 3T 2πG ，选项C 正确；由M ＝43πR 3ρ得月球的平均密度约为ρ＝3π
GT
2，选项B 正确；
由
GMm R 2＝mg 得g ＝
2πv
T
，选项D 错误． [答案] BC
[突破训练] (多项选择)(2021·大连模拟)宇航员抵达一半径为R 的星球后，做了如下的实验：取一根细绳穿过光滑的细直管，细绳的一端拴一质量为m 的砝码，另一端连接在一固定的拉力传感器上，手捏细
直管抡动砝码，使它在竖直平面内做圆周运动．假设该星球外表没有空气，不计阻力，停顿抡动细直管，砝码可继续在同一竖直平面内做完整的圆周运动，如下图，此时拉力传感器显示砝码运动到最低点与最高点两位置时读数差的绝对值为ΔF .万有引力常量为G ，根据题中提供的条件和测量结果，可知( ) A ．该星球外表的重力加速度为ΔF 2m
B ．该星球外表的重力加速度为ΔF
6m
C ．该星球的质量为ΔFR
2
6Gm
D ．该星球的质量为ΔFR
23Gm
解析：选BC.设砝码在最高点的速率为v 1，受到的弹力为F 1，在最低点的速率为v 2，受到的弹力为F 2，那么有
F 1＋mg ＝m v 21R ，F 2－mg ＝m v 22
R
砝码由最高点到最低点，由机械能守恒定律得：
mg ·2R ＋1
2mv 21＝12
mv 2
2
拉力传感器读数差为ΔF ＝F 2－F 1＝6mg
故星球外表的重力加速度为g ＝ΔF
6m ，A 错误，B 正确；
在星球外表附近有：
G Mm R 2＝mg ，那么M ＝ΔFR 2
6Gm
，故C 正确，D 错误． 卫星运行参量的分析
[高分快攻]
在讨论有关卫星的运动规律时，关键要明确向心力、轨道半径、线速度、角速度、周期和向心加速度，彼此影响、互相联系，只要其中一个量确定了，其他的量也就不变了；只要一个量发生了变化，其他的量也随之变化．
不管是定性分析还是定量计算，必须抓住卫星运动的特点．万有引力提供卫星绕地球做
匀速圆周运动的向心力，根据G Mm r 2＝m v 2r ＝mω2
r ＝m 4π2
T
2r ＝ma 求出相应物理量的表达式即可
讨论或求解，需要注意的是a 、v 、ω、T 均与卫星质量无关． 两种卫星的特点 (1)近地卫星
①轨道半径＝地球半径． ②卫星所受万有引力＝mg . ③卫星向心加速度＝g . (2)同步卫星
①同步卫星绕地心做匀速圆周运动的周期等于地球的自转周期． ②所有同步卫星都在赤道上空一样的高度上．
北斗卫星导航系统空间段方案由35颗卫星组成，包括5颗静止轨道卫星、27颗中地球轨道卫星、3颗倾斜同步轨道卫星．中地球轨道卫星和静止轨道卫星都绕地球球心做圆周运动，中地球轨道卫星离地面高度较低，那么中地球轨道卫星与静止轨道卫星相比，做圆周运动的( )
A ．向心加速度大
B ．周期大
C ．线速度小
D ．角速度小
[解析] 由于中地球轨道卫星离地面高度较低，轨道半径较小，那么中地球轨道卫星做圆周运动的向心加速度大，选项A 正确；由 G Mm r 2＝ mr ⎝ ⎛⎭
⎪⎫2πT 2，解得T ＝ 2π
r 3
GM
，可知中地
球轨道卫星做圆周运动的周期小，选项B 错误；由 G Mm r 2＝ m v 2
r
，解得 v ＝
GM
r
， 可知中地球轨道卫星做圆周运动的线速度大，选项C 错误；由G Mm
r
2＝ mrω2
，解得 ω＝GM r 3
，可知中地球轨道卫星做圆周运动的角速度大，选项 D 错误． [答案] A
[题组突破]
角度1 卫星轨道上物理参量的比拟
1.(2021·高考四川卷)国务院批复，自2021年起将4月24日设立为“中国航天日〞.1970年4月24日我国首次成功发射的人造卫星东方红一号，目前仍然在椭圆轨道上运行，其轨道近地点高度约为440 km ，远地点高度约为2 060 km ；1984年4月8日成功发射的东方红二号
卫星运行在赤道上空35 786 km 的地球同步轨道上．设东方红一号在远地点的加速度为a 1，东方红二号的加速度为a 2，固定在地球赤道上的物体随地球自转的加速度为a 3，那么a 1、a 2、
a 3的大小关系为( )
A ．a 2＞a 1＞a 3
B ．a 3＞a 2＞a 1
C ．a 3＞a 1＞a 2
D ．a 1＞a 2＞a 3
解析：选D.固定在赤道上的物体随地球自转的周期与同步卫星运行的周期相等，同步卫星做圆周运动的半径大，由a ＝r ⎝ ⎛⎭⎪⎫2πT 2
可知，同步卫星做圆周运动的加速度大，即a 2>a 3，B 、
C 项错误；由于东方红二号与东方红一号在各自轨道上运行时受到万有引力，因此有G Mm r
2＝
ma ，即a ＝G M
r 2，由于东方红二号的轨道半径比东方红一号在远地点时距地高度大，因此有
a 1>a 2，A 项错误，D 项正确．
角度2 三种宇宙速度及其应用
2．(多项选择)在星球外表发射探测器，当发射速度为v 时，探测器可绕星球外表做匀速圆周运动；当发射速度到达2v 时，可摆脱星球引力束缚脱离该星球．地球、火星两星球的质量比约为10∶1，半径比约为 2∶1，以下说法正确的有( ) A ．探测器的质量越大，脱离星球所需要的发射速度越大 B ．探测器在地球外表受到的引力比在火星外表的大 C ．探测器分别脱离两星球所需要的发射速度相等 D ．探测器脱离星球的过程中，势能逐渐增大
解析：选BD.探测器在星球外表做匀速圆周运动时，由G Mm R 2＝m v 2
R
，得v ＝
GM
R
，那么摆脱星球引力时的发射速度2v ＝
2GM
R
，与探测器的质量无关，选项A 错误；设火星的质量
为M ，半径为R ，那么地球的质量为10M ，半径为2R ，地球对探测器的引力F 1＝G 10Mm 〔2R 〕2＝5GMm
2R 2，
比火星对探测器的引力F 2＝G Mm
R 2
大，选项B 正确；探测器脱离地球时的发射速度v 1＝ 2G ·10M
2R
＝ 10GM
R ，脱离火星时的发射速度v 2＝
2GM
R
，v 2＜v 1，选项C 错误；探
测器脱离星球的过程中克制引力做功，势能逐渐增大，选项D 正确． 角度3 同步卫星的特点
3．“北斗〞卫星导航定位系统由地球静止轨道卫星(同步卫星)、中轨道卫星和倾斜同步轨道卫星组成．地球静止轨道卫星和中轨道卫星都在圆轨道上运行，，以下说法中正确的选项是( )
A ．静止轨道卫星的周期约为中轨道卫星的2倍
B ．静止轨道卫星的线速度大小约为中轨道卫星的2倍
C ．静止轨道卫星的角速度大小约为中轨道卫星的17
D ．静止轨道卫星的向心加速度大小约为中轨道卫星的1
7
解析：选 A.根据万有引力提供向心力有G Mm r 2＝mr 4π
2
T
2， 解得卫星周期公式 T ＝2π
r 3GM ，，，所以静止轨道卫星的周期约为中轨道卫星的2倍，故 A 正确；由 G Mm r 2＝ m v 2
r 可得 v ＝
GM
r
，所以静止轨道卫星的线速度大小小于中轨道卫星的线速度大小，故B 错误；由G Mm
r
2＝mrω2可得ω＝GM r 3，由此可知，，故C 错误；由G Mm r 2＝ma 得a ＝GM r 2
，，故D 错误． 命题角度
解决方法 易错辨析
天体运行参量分析 由万有引力提供向心力求解 分清做哪种圆周运动来确定
是根据万有引力提供向心力来计算还是做为整体来计算
宇宙速度的计算
由万有引力定律结合“黄金
代换〞联立求解
一定是针对圆周运动而言
同步卫星的特点 从周期入手分析其他运动参量
掌握几个定量关系的数值
卫星变轨与对接问题
[高分快攻]
人造卫星变轨过程中各物理量的分析比拟
人造卫星的发射过程要经过屡次变轨，过程简图如下图．
变轨原理：卫星绕中心天体稳定运动时，万有引力提供卫星做匀速圆周运动的向心力，
有G Mm r 2＝m v 2r .当由于某种原因卫星速度v 突然增大时，有G Mm r 2＜m v 2
r ，卫星将偏离圆轨道做离
心运动；当v 突然减小时，有G Mm r 2＞m v 2
r
，卫星将做向心运动．
变轨的两种情况
较低圆轨道近地点向后喷气近地点向前喷气椭圆轨道远地点向后喷气远地点向前喷气较高圆
轨道
各物理量的比拟
①两个不同轨道的“切点〞处线速度v 不相等．图中v Ⅲ＞v ⅡB ，v ⅡA ＞v Ⅰ.
②同一个椭圆轨道上近地点和远地点线速度v 大小不相等．从远地点到近地点万有引力对卫星做正功，动能增大(引力势能减小)．图中v ⅡA ＞v ⅡB ，E k ⅡA ＞E k ⅡB ，E p ⅡA ＜E p Ⅱ
B.
③两个不同圆轨道上线速度v 大小不相等．轨道半径越大，v 越小，图中v Ⅰ＞v Ⅲ.
④不同轨道上运行周期T 不相等．根据开普勒行星运动第三定律r 3
T
2＝k ，内侧轨道的运行周
期小于外侧轨道的运行周期．图中T Ⅰ＜T Ⅱ＜T Ⅲ.Ｋ
⑤卫星在不同轨道上的机械能E 不相等，“高轨高能，低轨低能〞．卫星变轨过程中机械能不守恒．图中E Ⅰ＜E Ⅱ＜E Ⅲ.
⑥在分析卫星运行的加速度时，只要卫星与中心天体的距离不变，其加速度大小(由万有引力提供)就一定与轨道形状无关，图中a Ⅲ＝a ⅡB ，a ⅡA ＝a Ⅰ.
(多项选择)在发射一颗质量为m 的地球同步卫星时，先将其发射到贴近地球外表的圆
轨道Ⅰ上(离地面高度忽略不计)，再通过一椭圆轨道Ⅱ变轨后到达距地面高为h 的预定圆轨道Ⅲ上．卫星在圆形轨道Ⅰ上运行的加速度为g ，地球半径为R ，卫星在变轨过程中质量不变，那么( )
A ．卫星在轨道Ⅲ上运行的加速度大小为⎝ ⎛⎭
⎪
⎫h R ＋h 2
g B ．卫星在轨道Ⅲ上运行的线速度大小为
gR 2
R ＋h
C ．卫星在轨道Ⅲ上运行时经过P 点的速率大于在轨道Ⅱ上运行时经过P 点的速率
D ．卫星在轨道Ⅲ上做匀速圆周运动的动能大于在轨道Ⅰ上的动能
[解析] 设地球质量为M ，由万有引力提供向心力得在轨道Ⅰ上有G Mm R
2＝mg ，在轨道Ⅲ上有
G
Mm
〔R ＋h 〕
2＝ma ，
所以a ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫R R ＋h 2
g ，A 错误；又因a ＝v 2
R ＋h ，所以v ＝
gR 2
R ＋h
，B 正确；卫星由轨道Ⅱ变轨到轨道Ⅲ需要加速做离心运动，所以卫星在轨道Ⅲ上运行时经过P 点的速率大于在轨道Ⅱ上运行时经过P 点的速率，C 正确；尽管卫星从轨道Ⅰ变轨到轨道Ⅲ要在P 、Q 点各加速一次，但在圆形轨道上稳定运行时的速度v ＝GM
r
，由动能表达式知卫星在轨道Ⅲ上的动能小于在轨道Ⅰ上的动能，D 错误． [答案] BC
[突破训练] (多项选择)(2021·高考全国卷Ⅱ)如图，海王星绕太阳沿椭圆轨道运动，P 为近日点，Q 为远日点，M 、N 为轨道短轴的两个端点，运行的周期为T 0.假设只考虑海王星和太阳之间的相互作用，那么海王星在从P 经M 、Q 到N 的运动过程中( ) A ．从P 到M 所用的时间等于T 0
4
B ．从Q 到N 阶段，机械能逐渐变大
C ．从P 到Q 阶段，速率逐渐变小
D ．从M 到N 阶段，万有引力对它先做负功后做正功
解析：选CD.在海王星从P 到Q 的运动过程中，引力做负功，根据动能定理可知，速度越来越小，C 项正确；海王星从P 到M 的时间小于从M 到Q 的时间，因此从P 到M 的时间小于T 0
4，
A 项错误；由于海王星运动过程中只受到太阳引力作用，引力做功不改变海王星的机械能，即从Q 到N 的运动过程中海王星的机械能守恒，
B 项错误；从M 到Q 的运动过程中引力与速度的夹角大于90°，因此引力做负功，从Q 到N 的过程中，引力与速度的夹角小于90°，因此引力做正功，即海王星从M 到N 的过程中万有引力先做负功后做正功，D 项正确．
双星与多星问题
宇宙双星模型
(1)各自所需的向心力由彼此间的万有引力提供，即
Gm 1m 2L 2＝m 1ω21r 1，Gm 1m 2L
2＝m 2ω2
2r 2. (2)两颗星的周期及角速度都一样，即 T 1 ＝ T 2, ω1＝ω2. (3)两颗星的运行半径与它们之间的距离关系为：r 1＋r 2＝L . (4)两颗星到圆心的距离r 1、r 2 与星体质量成反比，即m 1m 2＝r 2r 1
. (5)双星的运动周期 T ＝2π
L 3
G 〔m 1＋m 2〕
.
(6)双星的总质量公式 m 1＋m 2＝4π2L
3
T 2G
. [高分快攻]
宇宙三星模型
(1)如图1所示，三颗质量相等的行星，一颗行星位于中心位置不动， 另外两颗行星围绕它做圆周运动．这三颗行星始终位于同一直线上，中心行星受力平衡，运转的行星由其余两颗
行星的引力提供向心力：Gm 2r 2＋Gm 2
〔2r 〕2
＝ ma
向．
两行星运行的方向一样，周期、角速度、线
速度的大小相等．
(2)如图2所示，三颗质量相等的行星位于一正三角形的顶点处，都绕三角形的中心做圆周
运动．每颗行星运行所需向心力都由其余两颗行星对其万有引力的合力来提供，即Gm 2
L
2×2×
cos 30°＝ma 向，其中L ＝ 2r cos 30°. 三颗行星运行的方向一样，周期、角速度、线速度的大小相等．
①记忆口诀：N 星系统周期同，受力源自其他星；几何关系找半径，第二定律列方程． ②思维导图
(2021·山东青岛模拟)2021年2月11日，美国科学家宣布探测到引力波的存在，引力波的发现将为人类探索宇宙提供新视角，这是一个划时代的
发现．在如下图的双星系统中，A 、B 两个恒星靠着相互之间的引力正在做匀速圆周运动，恒星A 的质量为太阳质量的29倍，恒星B 的质量为太阳质量的36倍，两星之间的距离L ＝2×105
m ，太阳质量M ＝2×1030
kg ，引力常量G ＝6.67×10
－11
N ·m 2/kg 2，π2
，该引力波的频
率与两星做圆周运动的频率具有一样的数量级，那么根据题目所给信息估算该引力波频率的数量级是( )
A ．102
Hz B ．104
Hz C ．106Hz
D ．108
Hz
[解析] A 、B 的周期一样，角速度相等，靠相互之间的引力提供向心力
有G M A M B L 2＝M A r A 4π2
T 2①
G M A M B L 2＝M B r B 4π2
T
2② 有M A r A ＝M B r B ，r A ＋r B ＝L 解得r A ＝
M B
M A ＋M B
L ＝36
65
L .
由①得T ＝4π2L 3
×
3665GM B
那么f ＝1
T
＝
GM B
4π2L 3×
36
65
＝错误!Hz ≈×102
Hz. [答案] A
[突破训练] 地球和月球可以看做一个双星系统，设质量分别为M 、m ，它们绕两球球心连线上的某一点O 转动，据科学家研究发现，亿万年来地球把局部自转能量通过地月相互作用而转移给了月球，使地月之间的距离变大了，月球绕O 点转动的机械能增加了，由此可以判断( )
A ．月球绕O 点转动的角速度减小
B ．月球绕O 点转动的角速度增大
C ．地球球心到O 点的距离减小
D ．月球绕O 点转动的动能增加
解析：选A.月球的机械能增加了，因为能量大了，速度大了，万有引力缺乏以提供所需的向心力，做离心运动，最后到了半径更大的圆上做圆周运动．根据万有引力提供向心力，有：
G Mm r 2＝m v 2r ＝mω2
r ＝m 4π2T
2r ，知轨道半径变大，速度减小，动能减小，周期变大，角速度变小，应选项A 正确．
, (建议用时：30分钟)
一、单项选择题
1．(2021·高考北京卷)假设想检验“使月球绕地球运动的力〞与“使苹果落地的力〞遵循同样的规律，在月地距离约为地球半径60倍的情况下，需要验证( ) A ．地球吸引月球的力约为地球吸引苹果的力的1602
B ．月球公转的加速度约为苹果落向地面加速度的1
602
C ．自由落体在月球外表的加速度约为地球外表的1
6
D ．苹果在月球外表受到的引力约为在地球外表的1
60
解析：选
B.假设想检验“使月球绕地球运动的
力〞与“使苹果落地的力〞遵循同样的规律——万有引力定律，那么应满足G Mm r
2＝ma ，即加速度a 与距离r 的平方成反比，由题中数据知，选项B 正确，其余选项错误．
2．为了测量某行星的质量和半径，宇航员记录了登陆舱在该行星外表做圆周运动的周期T ，登陆舱在行星外表着陆后，用弹簧测力计称量一个质量为m 的砝码，读数为F .引力常量为
G .那么以下说法错误的选项是( ) A ．该行量的质量为F 3T 4
16π4Gm
3
B ．该行星的半径为4π2
FT
2
m
C ．该行星的密度为3πGT
2
D ．该行星的第一宇宙速度为
FT
2πm
解析：选B.据F ＝mg 0＝m 4π
2
T 2R ，得R ＝FT 2
4π2m ，B 错误；由G Mm R 2＝m 4π2T 2R ，得M ＝4π2R
3
GT 2
，又R
＝FT 2
4π2m ，那么M ＝F 3T 416π4Gm 3
，A 正确；密度ρ＝M V ＝3πGT 2，C 正确；第一宇宙速度v ＝g 0R ＝FT
2πm
，D 正确．
3．理论上已经证明：质量分布均匀的球壳对壳内物体的万有引力为零．现假设地球是一半径为R 、质量分布均匀的实心球体，O 为球心，以O 为原点建立坐标轴Ox ，如下图．在x 轴上各位置的重力加速度用g 表示，那么以下图中能描述g 随x 的变化关系图正确的选项是( )
解析：选A.令地球的密度为ρ，那么在地球外表，重力和地球的万有引力大小相等，有：g
＝GM R 2，由于地球的质量为M ＝43πR 3·ρ，所以重力加速度的表达式可写成：g ＝4πGR ρ3
.根据题意有，质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零，在距离地球球心为r 处，受到地球的万有引力即为半径等于r 的球体在其外表产生的万有引力，g ′＝4πG ρ3r ，当r <R 时，g
与r 成正比，当r >R 后，g 与r 平方成反比，应选A.
4．过去几千年来，人类对行星的认识与研究仅限于太阳系内，行星“51 peg b 〞的发现拉开了研究太阳系外行星的序幕．“51 peg b 〞绕其中心恒星做匀速圆周运动，周期约为4天，轨道半径约为地球绕太阳运动半径的1
20.该中心恒星与太阳的质量比约为( )
A.1
10 B ．1 C ．5 D ．10
解析：选
B.行星绕中心恒星做匀速圆周运动，万有
引力提供向心力，由牛顿第二定律得G Mm r 2＝m 4π2T 2r ，那么M 1M 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫r 1r 23·⎝ ⎛⎭⎪⎫T 2T 12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1203×⎝ ⎛⎭
⎪⎫36542
≈
1，选项B 正确．
5．(2021·高考全国卷Ⅲ)2021年4月，我国成功发射的天舟一号货运飞船与天宫二号空间
实验室完成了首次交会对接，对接形成的组合体仍沿天宫二号原来的轨道(可视为圆轨道)运行．与天宫二号单独运行时相比，组合体运行的( ) A ．周期变大 B ．速率变大 C ．动能变大
D ．向心加速度变大
解析：选C.组合体比天宫二号质量大，轨道半径R 不变，根据GMm R 2＝m v 2
R
，可得v ＝
GM
R
，可知与天宫二号单独运行时相比，组合体运行的速率不变，B 项错误；又T ＝2πR
v
，那么周期T 不变，A 项错误；质量变大、速率不变，动能变大，C 项正确；向心加速度a ＝GM
R
2，不变，D 项错误．
6．(2021·怀化二模)使物体脱离星球的引力束缚，不再绕星球运行，从星球外表发射所需的最小速度称为第二宇宙速度，星球的第二宇宙速度v 2与第一宇宙速度v 1的关系是v 2＝2
v 1.某星球的半径为地球半径R 的4倍，质量为地球质量M 的2倍，地球外表重力加速度为g .不计其他星球的影响，那么该星球的第二宇宙速度为( )
A ．
1
2
gR B.1
2gR C.gR
D ．
18
gR 解析：选C.设在地球外表飞行的卫星质量为m ，由万有引力提供向心力得GmM R 2＝mv 2R ，又由G Mm
R
2
＝mg ，解得地球的第一宇宙速度为v 1＝ GM
R
＝gR ；设该星球的第一宇宙速度为v ′1，根据题意，有
v ′1
v 1
＝2M
M
×
R 4R ＝1
2
；由题意知第二宇宙速度v 2＝2v 1，联立得该星球的第二宇宙速度为v ′2＝gR ，故A 、B 、D 错误，C 正确．
7．2021年12月22日，我国在酒泉卫星发射中心成功发射全球二氧化碳监测科学实验卫星．这是我国首颗、全球第三颗专门用于“看〞全球大气中二氧化碳含量的卫星．在发射卫星时，首先将该卫星发射到低空轨道1，待测试正常后通过点火加速使其进入高空轨道2，卫星在上述两轨道运行时均做匀速圆周运动，假设卫星的质量不变，在两轨道上稳定运行时的动能之比为E k1∶E k2a 1、a 2表示，角速度分别用ω1、ω2 表示，周期分别用 T 1、T 2 表示，轨道半径分别用 r 1、r 2表示．那么以下关系式正确的选项是( ) A ．a 1∶a 2＝4∶1 B ．ω1∶ω2＝2∶1 C ．T 1∶T 2＝1∶8
D ．r 1∶r 2＝1∶2
解析：选C.根据 E k ＝ 12
mv 2
得 v ＝
2E k
m
，所以卫星变轨前、后的速度的比值为 v 1v 2
＝2.
根据 G Mm r 2＝ m v 2r ，得卫星变轨前、后的轨道半径的比值为r 1r 2＝ v 22
v 21 ＝ 14，D 错误；根据G Mm r 2＝
ma ，得卫星变轨前、后的向心加速度大小的比值为 a 1a 2＝r 22r 21 ＝ 16, A 错误；根据 G Mm r 2＝mω2
r ，
得卫星变轨前、后的角速度大小的比值为 ω1
ω2
＝
r 32r 31
＝8，B 错误；根据T ＝2πω，得卫星变轨前、后的周期的比值为T 1T 2＝
ω2ω1＝1
8
，C 正确．
8．(2021·高考全国卷Ⅰ)利用三颗位置适当的地球同步卫星，可使地球赤道上任意两点之间保持无线电通讯．目前，地球同步卫星的轨道半径约为地球半径的6.6倍．假设地球的自转周期变小，假设仍仅用三颗同步卫星来实现上述目的，那么地球自转周期的最小值约为( ) A ．1 h B ．4 h C ．8 h D ．16 h
解析：选
B.设地球半径为R ，画出仅用三颗地球同
步卫星使地球赤道上任意两点之间保持无线电通讯时同步卫星的最小轨道半径示意图，如下图．由图中几何关系可得，同步卫星的最小轨道半径r ＝2R .设地球自转周期的最小值为T ，
那么由开普勒第三定律可得，R 〕3〔2R 〕3＝
〔24 h 〕
2
T 2
，解得T ≈4 h ，选项B 正确．
年12月11日，新一代静止轨道定量遥感气象卫星“风云四号〞在西昌卫星发射中心成功发射．假设该卫星绕地飞行的三条轨道如下图，其中轨道1是近地圆形轨道，轨道2和3是变轨后的椭圆轨道，它们相切于 A
点．卫星在轨道1上运行时经过 A 点的速率为 v ，加速度大小为a . 以下说法正确的选项是(假设卫星的质量不变)( )
A ．卫星在轨道2上经过A 点时的速率大于v
B ．卫星在轨道2上经过A 点时的加速度大于a
C ．卫星在轨道2上运行的周期大于在轨道3上运行的周期
D ．卫星在轨道2上具有的机械能大于在轨道3上具有的机械能
解析：选A.卫星在轨道1上运行经过 A 点时，只有速度增大，才能由轨道1变轨到轨道2，故卫星在轨道2上经过 A 点时的速率大于 v ，选项 A 正确；在同一点，卫星所受的万有引力大小相等，故卫星在轨道2上经过 A 点时的加速度仍等于a ，选项 B 错误；根据开普勒
第三定律，可知卫星在轨道2上运行的周期小于在轨道3上运行的周期，选项 C 错误；卫星在轨道2上运行经过 A 点时，只有速度增大，才能由轨道2变轨到轨道3，故卫星在轨道3上具有的机械能大于在轨道2上具有的机械能，选项 D 错误．
10．由三颗星体构成的系统，叫做三星系统．有这样一种简单的三星系统，质量刚好都一样的三个星体甲、乙、丙在三者相互之间的万有引力作用下，分别位于等边三角形的三个顶点上，绕某一共同的圆心O 在三角形所在的平面内做一样周期的圆周运动．假设三个星体的质量均为m ，三角形的边长为a ，万有引力常量为G ，那么以下说法正确的选项是( ) A ．三个星体做圆周运动的半径均为a B ．三个星体做圆周运动的周期均为2πa a
3Gm
C ．三个星体做圆周运动的线速度大小均为
3Gm
a
D ．三个星体做圆周运动的向心加速度大小均为3Gm
a
2
解析：选B.质量相等的三星系统的位置关系构成一等边三角形，其中心O 即为它们的共同圆心，由几何关系可知三个星体做圆周运动的半径r ＝
33
a ，应选项A 错误；每个星体受到的另外两星体的万有引力提供向心力，其大小
F ＝3·Gm 2a 2，那么3Gm 2a 2＝m 4π
2
T
2r ，得T ＝2πa
a 3Gm ，应选项B 正确；由线速度v ＝2πr
T
得v ＝
Gm a ，应选项C 错误；向心加速度a ＝F m ＝3Gm
a
2，应选项D 错误． 二、多项选择题
11.(2021·高考天津卷)2021年2月2日，我国成功将电磁监测试验卫星“张衡一号〞发射升空，标志我国成为世界上少数拥有在轨运行高精度地球物理场探测卫星的国家之一．通过观测可以得到卫星绕地球运动的周期，并地球的半径和地球外表处的重力加速度．假设将卫星绕地球的运动看做是匀速圆周运动，且不考虑地球自转的影响，根据以上数据可以计算出卫星的( ) A ．密度 B ．向心力的大小 C ．离地高度 D ．线速度的大小
解析：选C
D.卫星做圆周运动的向心力由万有引力
提供，那么有G Mm 〔R ＋h 〕2＝m (
2πT
)2
(R ＋h )，无法计算得到卫星的质量，更无法确定其密度。