高等数学部分易混淆概念及例题

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高三数学易混淆知识点归纳

高三数学易混淆知识点归纳高三数学是学生们备战高考的重要阶段，而数学作为一门理科学科，难免存在一些易混淆的知识点。

下面就是对高三数学中常见的易混淆知识点进行归纳总结，以帮助同学们更好地理解和掌握这些概念。

1. 函数与方程函数与方程是高中数学中最重要的基础概念之一，但是很多学生容易混淆它们之间的关系。

函数是一种映射关系，将自变量的值映射到唯一的因变量的值；而方程则是一个等式，由自变量和常数构成。

需要注意的是，函数可以通过方程表示，但方程不一定表示函数。

2. 三角函数的定义与性质在学习三角函数时，学生们常常会混淆三角函数的定义与性质。

三角函数的定义通过单位圆上的坐标来确定，例如正弦函数就是y 轴上的坐标值；而三角函数的性质涉及到周期性、奇偶性等特点，需要理解和记忆。

3. 平面向量与复数平面向量与复数都是数学中常见的概念，但容易被高三学生混淆。

平面向量是有大小和方向的量，可用箭头表示；而复数是由实部和虚部构成的，通常表示为a+bi的形式。

需要记住，平面向量与复数虽然在某些运算上相似，但本质上是不同的概念。

4. 排列与组合排列与组合是高中数学中的常见概念，也是高考中常考的内容。

排列是选取若干元素进行有序排列，考虑元素的顺序；而组合则是选取若干元素进行无序排列，不考虑元素的顺序。

需要确切理解排列与组合的差别，以避免混淆和错误。

5. 极限与连续极限和连续是高三数学中的重要概念，涉及到函数的趋势和取值。

极限是函数在某一点无限逼近的值，可以通过左右极限或函数的性质进行求解；而连续则是指函数在某一点上具有无间断的性质。

注意极限与连续的定义和判定条件，避免混淆和误解。

综上所述，高三数学易混淆的知识点主要包括函数与方程、三角函数的定义与性质、平面向量与复数、排列与组合以及极限与连续。

同学们在备考高考时应该加强对这些知识点的理解和掌握，注意它们之间的区别和细微差别。

只有通过充分的练习和掌握，才能顺利应对高考数学的各种问题，取得优异的成绩。

数学中容易出错和混淆知识点

数学中容易出错和混淆知识点1.过直线外一点可以画（1）条已知直线的平行线或垂线。

2.过直线外可以画（无数）条已知直线的平行线或垂线。

3.什么叫平行线？（在同一平面内永不相交的两条直线叫平行线）4.在同一平面内两条直线不相交就平行。

（√）5.两条直线不相交就平行。

（×）6.（3或9）时所组成的角是直角，（6）时所组成的角是平角。

（12或24）时所组成的角是周角。

7.人们将圆平均分成（360）份，其中的（1）份所对的角的大小叫作（1度），记作（1°），通常用（1°）作为度量角的单位。

8.加法交换律：（a+b=b+a）加法结合律：（a+b）+c=a+(b+c)乘法交换律：a×b=b×a 乘法结合律：（a×b）×c=a×（b×c）乘法分配律：（a+b）×c=a×b+b×c9.一图形经过旋转平移后（方向）可能变了，（大小）一定没变。

10.一个数经四舍五入到万位后得到的数是123万，这个数最大是（1234999）这个数最小是（1225000）。

11.230000000这个数改写成亿为单位的数是（2.3亿），四舍五入到亿位是（2亿）。

[注意：改写后的数与原数大小一样，四舍五入得到的数与原数大小不一样，只是个近似数]。

12.商不变的规律：在除法算式中，被除数和除数同时乘或除以相同的数（零除外）商不变。

13.温度和角的单位一样。

（×）14.+5℃表示（零上5℃），-2℃表示（零下2℃）15.0（既不是正数，也不是负数）。

16.在一除法算式中除数缩小3倍，要想商不变，被除数（缩小3倍）。

17.在一乘法算式中一个因数缩小4倍要想积不变，另一个因数（扩大4倍）。

高考数学最易混淆知识点归纳

高考数学最易混淆知识点归纳高考数学作为高中数学的重要组成部分，在高考中占据着很重要的位置。

一些题目可能会涉及到一些知识点的混淆，因此我们必须要对这些混淆的知识点进行整合和分类，以便于我们更好地理解和掌握。

下面，我们来分析一下高考数学中最易混淆的知识点。

一、函数的分段定义在高考数学中，我们经常涉及到函数的分段定义。

如果我们没有认真地学习和理解分段函数的定义，就很容易在相关的题目中出现混淆。

另外，有些题目需要用到二次函数、三角函数等相关的知识点，如果我们没有对这些函数进行系统化的学习，也很容易出现混淆。

二、导数的概念和应用在高考数学中，导数的概念和应用也是很重要的一个知识点。

例如，在求解变化率、极值等相关的问题时，需要用到导数的概念和应用，如果我们对这些相关的知识点没有进行归纳和整理，就很容易出错。

三、立体图形的计算在高考数学中，我们还需要涉及到立体图形的计算。

例如，在计算长方体、圆柱体、圆锥体以及球体的面积和体积等问题时，如果我们没有将这些相关的知识点进行分类、整理，就很容易出现混淆。

四、复合函数的概念在高考数学中，复合函数的概念也是很重要的一个知识点。

例如，在单项式的运算、幂函数、指数函数和对数函数的运算中都用到了复合函数的概念。

如果我们没有对这些相关知识点进行整理和分类，也很容易出现混淆。

五、统计学问题与数学知识的结合在高考数学中，我们还经常遇到同样涉及到一些统计学问题与数学知识的结合。

例如，我们需要对数据进行分析和统计，同时需要运用到平均值、标准差、方差、概率等知识点。

如果我们没有对这些知识点进行系统化的学习和整理，那么也很容易出现混淆。

综上所述，高考数学中最易混淆的知识点包括函数的分段定义、导数的概念和应用、立体图形的计算、复合函数的概念以及统计学问题与数学知识的结合。

如果我们没有对这些相关的知识点进行整理和分类，那么在做相关的题目时就很容易出现混淆。

因此，在备考高考数学时，我们需要认真复习和整理这些知识点，以便于我们更好地掌握和理解。

高等数学易错知识点

n→∞
1 ) n−2 n
=
+∞
．
即无限多个无穷小量的积是一个发散的数列．
有限个无穷小量的积是无穷小量，这性质同样不能推广到无限多个无穷小量的乘积上
去．这是因为每个无穷小量只是在变化的某个时刻后才任意小，而在这时刻之前变量可以有
较大的值．如果在构造这无穷多个无穷小量时，让其进入任意小的时刻构成一个趋于无穷大
例： f (x) = x −[x], g(x) = cos x. f (x)以1为周期，g(x)以2π为周期，而f (x) +
g(x) = x −[x] + cos x 却不是周期函数。
3. 有界函数与无界函数之积未必无界。
例 1：f (x) = 0, g(x) = x ，在区间 (−∞, +∞) 内 f (x) 有界，g(x) 无界，而 f (x)g(x) = 0 却在区间 (−∞, +∞) 内有界。例 2： f (x) = e−x , g(x) = x ，在区间 (0, +∞) 内 f (x) < 1, 而 g(x) 是无界的， f (x)g(x) = xe−x ，因为 lim xe−x = 0 ，从而易见 f (x)g(x) 在区间 (0, +∞) 内是有界的。
因为对任给 ε > 0, 存在δ = ε , 对 a = 0 的δ 邻域内的任何一点 x,
若 x 为无理数,则 ϕ(x) − 0 = 0 − 0 = 0 < ε ; 若 x 为有理数 p , 其中 p,q 为互质整数,且 q>0, q
则 ϕ(x) − 0 = 1 ≤ p = x − 0 < δ = ε , 所以 limϕ(x) = 0 .
= n −1 + 1 =1 . nn

高中易错的数学概念

高中易错的数学概念
以下是一些高中易错的数学概念：
1. 指数与对数的运算法则：很多学生容易混淆指数和对数的运算法则，例如，误认为log(a-b)等于log(a) - log(b)。

正确的法则是log(a-b)等于log(a) + log(1-b/a)，因为log(a-b) = log[(a-b)/1] = log(a/b) - log(1) = log(a/b) = log(a) - log(1-b/a)。

2. 二次方程解的形式：在解二次方程时，学生有时会忘记区分平方根的正负值。

例如，在解方程x^2 = 9时，正确的解应该是x = ±3，但有些学生只写出x = 3。

3. 因式分解：因式分解是高中数学中的一个重要概念，但很多学生在因式分解时容易出错。

常见的错误包括忽略最大公因数、错误地使用分配律、错误地分解差平方和等。

4. 幂指函数的性质：幂指函数的性质是高中数学中的一个重要概念，但很多学生容易搞混。

例如，他们可能不记得幂指函数的导数是幂次乘以常数因子，或者混淆指数函数和对数函数的图像。

5. 三角函数的关系式：学生常常会弄混三角函数之间的关系式，例如sin^2(x) + cos^2(x) = 1，tan(x) = sin(x)/cos(x)。

这些关系式是三角函数的基本性质，但
学生可能会忘记或混淆它们。

6. 统计概率：统计概率是易错的数学概念之一。

学生可能容易误解统计概率的概念，例如，将独立事件的概率相乘，而不是相加，或者将条件概率的关键概念忽略掉。

以上只是一些常见的易错概念，具体还要根据学生的情况和具体的学习内容进行分析。

高中数学函数中最易混淆的11对概念

例9. (I)若函数 j(x）对一切实数X都有 j(x +8)= j(-2-x），且x 主 3 时有 j(x) = x2 一 7x+4＿求j(x）解析
式．
(II ）若函数 j(x）对一切实数X都有 j(x+8)=-f(-2 -x），且 x 主 3 日才有 j(x)=x2一 7x+4.求 j(x）解析式．
。g（，α） >[f（功］皿
六、单调区间与区间单调
例6.
(I)若函数j(x)
=
2
x
- (3α－1x) ＋α2
在区间［1何，刀）上单调递增，
求实数α的取值范围．
(II）若函数j(x)
=
2
x
- (3α－1)x＋α2
单调递增区间是［1+, oo ），
求实数α的取值范围．
分析：（I)j(x)
=
2
x
- (3α－1)x＋α2
分析：(I）若函数 j(x）对一切实数X都有 j(x+8) = j(-2 -x），则有y = j(x）的图象关于直线 x=3 成轴对称：
又 x 主 3 日才有j(x)=x2 -7x+4; 所以 x<3 时，有－ x+6> 3 , j(x)= j(6-x)=(6-x) 2 -7(6-x) +4=x2 -5x- 2.
[ x 2 -7x+ 4(x三巧，
l j(x）解析式为 j(x)=才 x"钊' -Sx- 2(x < 3).
(II ）函数 j(x）对一切实数X都有 f(x+8)=-f(-2 -x），那么 f(x）的图象关于点（3, 0）成中心对称：又 x 主 3 时

容易混淆的概念-数学一11页

高等数学部分易混淆概念第一章：函数与极限一、数列极限大小的判断例1：判断命题是否正确．若()n n x y n N <>，且序列,n n x y 的极限存在，lim ,lim ,n n n n x A y B A B →∞→∞==<则解答：不正确．在题设下只能保证A B ≤，不能保证A B <．例如：11,1n n x y n n ==+，,n n x y n <∀，而lim lim 0n n n n x y →∞→∞==．例2．选择题设n n n x z y ≤≤，且lim()0,lim n n n n n y x z →∞→∞-=则（）A ．存在且等于零 B. 存在但不一定等于零 C ．不一定存在 D. 一定不存在答：选项C 正确分析：若lim lim 0n n n n x y a →∞→∞==≠，由夹逼定理可得lim 0n n z a →∞=≠，故不选A 与D.取11(1),(1),(1)n n n n n n x y z n n=--=-+=-，则n n n x z y ≤≤，且lim()0n n n y x →∞-=，但lim n n z →∞不存在，所以B 选项不正确，因此选C ．例3．设,n n x a y ≤≤且lim()0,{}{}n n n n n y x x y →∞-=则与（）A ．都收敛于a B. 都收敛，但不一定收敛于a C ．可能收敛，也可能发散 D. 都发散答：选项A 正确．分析：由于,n n x a y ≤≤，得0n n n a x y x ≤-≤-，又由lim()0n n n y x →∞-=及夹逼定理得lim()0n n a x →∞-=因此，lim n n x a →∞=，再利用lim()0n n n y x →∞-=得lim n n y a →∞=．所以选项A ．二、无界与无穷大无界：设函数()f x 的定义域为D ，如果存在正数M ，使得()f x Mx X D ≤∀∈⊂则称函数()f x 在X 上有界，如果这样的M 不存在，就成函数()f x 在X 上无界；也就是说如果对于任何正数M ，总存在1x X ∈，使1()f x M >，那么函数()f x 在X 上无界．无穷大：设函数()f x 在0x 的某一去心邻域内有定义（或x 大于某一正数时有定义）．如果对于任意给定的正数M （不论它多么大），总存在正数δ（或正数X ），只要x 适合不等式00x x δ<-<（或x X >），对应的函数值()f x 总满足不等式()f x M >则称函数()f x 为当0x x →（或x →∞）时的无穷大．例4：下列叙述正确的是： ②① 如果()f x 在0x 某邻域内无界，则0lim ()x xf x →=∞②如果0lim ()x xf x →=∞，则()f x 在0x 某邻域内无界解析：举反例说明．设11()sin f x x x=，令11,,22n n x y n n πππ==+，当n →+∞时，0,0n n x y →→，而lim ()lim (2)2n n n f x n ππ→+∞→+∞=+=+∞lim ()0n n f y →+∞=故()f x 在0x =邻域无界，但0x →时()f x 不是无穷大量，则①不正确．由定义，无穷大必无界，故②正确．结论：无穷大必无界，而无界未必无穷大．三、函数极限不存在≠极限是无穷大当0x x →（或x →∞）时的无穷大的函数()f x ，按函数极限定义来说，极限是不存在的，但是为了便于叙述函数的性态，我们也说“函数的极限是无穷大”．但极限不存在并不代表其极限是无穷大．例5：函数10()0010x x f x x x x -<⎧⎪==⎨⎪+>⎩，当0x →时()f x 的极限不存在．四、如果0lim ()0x xf x →=不能退出01lim()x x f x →=∞ 例6：()0x x f x x ⎧=⎨⎩为有理数为无理数，则0lim ()0x x f x →=，但由于1()f x 在0x =的任一邻域的无理点均没有定义，故无法讨论1()f x 在0x =的极限．结论：如果0lim ()0x xf x →=，且()f x 在0x 的某一去心邻域内满足()0f x ≠，则01lim()x xf x →=∞．反之，()f x 为无穷大，则1()f x 为无穷小。

《高等数学》常见易混淆概念梳理

《高等数学》常见易混淆概念梳理摘要概念教学是培养数学核心素养的重要手段，也是高等数学课堂教学的重要一环，只有准确把握概念的内涵与外延，才能够正确理解概念以及应用概念。

《高等数学》作为工科、理科学生必修的基础课程，对于高等数学的学习不仅是对高等数学知识的学习，同时也是对能力与素质的培养，也可以说，高等数学是解锁其他学科的一把钥匙。

高等数学的学习是从对概念的学习开始的，因此，准确把握概念，理清概念之间的区别与联系尤为重要。

本文将讨论三组常见易混淆概念，分析易混淆概念产生原因以及该如何解决。

关键词：高等数学、易混概念一、函数的导数与微分根据同济大学出版的第七版《高等数学》中给出的定义，导数的定义：设函数在点的某个邻域内有定义，当自变量x在处取得增量（点仍在该邻域内）时，相应地，因变量取得增量；如果与之比当时的极限存在，那么称函数在点处可导，并称这个极限为函数在点处的导数，记为，即.也就是说导数是自变量的增量趋于零时，函数增量与自变量的增量比的极限，而微分的定义为：设函数在某区间内有定义，及在这区间内，如果函数的增量可表示为，其中A是不依赖于的常数，那么称函数在点是可微的，而叫做函数在点相应于自变量增量的微分，记作dy,即.由此可见，微分的实质是函数值增量的近似值。

很多学生在学习过导数与微分的概念过后，常常会产生，“学习了导数为什么还要学习微分？函数的微分与导数有什么区别？”等等诸如此类的问题，还有部分学生存在对微分概念理解不透彻，对函数的微分与导数的区别与联系理解模糊的问题。

产生以上问题主要有三方面原因：第一、目前，国内大部分教材对于函数的导数与微分的内容安排一般都是首先介绍导数的概念以及导数的相关知识，再介绍求导法则以及求高阶导数、隐函数和参数方程求导数等问题，最后再介绍函数的微分，由于经过前期的学习，学生对于导数及其相关计算熟悉程度较高，在学习到微分的概念时，容易发现函数可导与可微之间的充分必要关系，且在计算微分的过程中，微分的计算又可以借助导数的计算来进行，因此导致学生过多地关注导数的相关知识，忽视了对微分概念的学习，久而久之，导致学生对函数微分的概念理解模糊；第二、函数在一点处可导与函数在一点处可微是充分必要关系，，若只强调导数与微分的计算则会加重对两个概念的混淆，所以，教师若未对函数的微分与导数的区别与联系进行强调，只是强调两者的计算，也会导致对微分的概念理解模糊的问题。

高等数学部分易混淆概念

高等数学部分易混淆概念第一章：函数与极限一、数列极限大小的判断例1：判断命题是否正确．若()nn x y n N <>，且序列,n n x y 的极限存在，lim ,lim ,n n n n x A y B A B →∞→∞==<则解答：不正确．在题设下只能保证A B ≤，不能保证A B <．例如：11,1n n x y n n ==+，,n n x y n <∀，而lim lim 0nn n n x y →∞→∞==．例2．选择题设nn n x z y ≤≤，且lim()0,lim n n n n n y x z →∞→∞-=则（）A ．存在且等于零 B. 存在但不一定等于零 C ．不一定存在 D. 一定不存在答：选项C 正确分析：若lim lim 0nn n n x y a →∞→∞==≠，由夹逼定理可得lim 0n n z a →∞=≠，故不选A 与D.取11(1),(1),(1)n n n nn n x y z n n =--=-+=-，则n n n x z y ≤≤，且l i m ()0n n n y x →∞-=，但l i m n n z →∞ 不存在，所以B 选项不正确，因此选C ．例3．设,nn x a y ≤≤且lim()0,{}{}n n n n n y x x y →∞-=则与（）A ．都收敛于a B. 都收敛，但不一定收敛于a C ．可能收敛，也可能发散 D. 都发散答：选项A 正确．分析：由于,nn x a y ≤≤，得0n n n a x y x ≤-≤-，又由lim()0n n n y x →∞-=及夹逼定理得lim()0n n a x →∞-=因此，lim nn x a →∞=，再利用lim()0n n n y x →∞-=得lim n n y a →∞=．所以选项A ．二、无界与无穷大无界：设函数()f x 的定义域为D ，如果存在正数M ，使得()f x Mx X D ≤∀∈⊂则称函数()f x 在X 上有界，如果这样的M 不存在，就成函数()f x 在X 上无界；也就是说如果对于任何正数M ，总存在1x X ∈，使1()f x M >，那么函数()f x 在X 上无界．无穷大：设函数()f x 在0x 的某一去心邻域内有定义（或x 大于某一正数时有定义）．如果对于任意给定的正数M （不论它多么大），总存在正数δ（或正数X ），只要x 适合不等式00x x δ<-<（或x X >），对应的函数值()f x 总满足不等式()f x M >则称函数()f x 为当0x x →（或x →∞）时的无穷大．例4：下列叙述正确的是： ② ① 如果()f x 在0x 某邻域内无界，则0lim ()x x f x →=∞② 如果0lim ()x x f x →=∞，则()f x 在0x 某邻域内无界解析：举反例说明．设11()sin f x x x =，令11,,22nn x y n n πππ==+，当n →+∞时，0,0n n x y →→，而lim ()lim (2)2n n n f x n ππ→+∞→+∞=+=+∞ lim ()0n n f y →+∞=故()f x 在0x =邻域无界，但0x →时()f x 不是无穷大量，则①不正确．由定义，无穷大必无界，故②正确．结论：无穷大必无界，而无界未必无穷大．三、函数极限不存在≠极限是无穷大当0x x →（或x →∞）时的无穷大的函数()f x ，按函数极限定义来说，极限是不存在的，但是为了便于叙述函数的性态，我们也说“函数的极限是无穷大”．但极限不存在并不代表其极限是无穷大．例5：函数10()0010x x f x x x x -<⎧⎪==⎨⎪+>⎩，当0x →时()f x 的极限不存在．四、如果0lim ()0x x f x →=不能退出01lim()x x f x →=∞ 例6：()0x x f x x ⎧=⎨⎩为有理数为无理数，则0l i m ()0x x f x →=，但由于1()f x 在0x =的任一邻域的无理点均没有定义，故无法讨论1()f x 在0x =的极限．结论：如果0lim ()0x x f x →=，且()f x 在0x 的某一去心邻域内满足()0f x ≠，则01lim()x x f x →=∞．反之，()f x 为无穷大，则1()f x 为无穷小。

高等数学复习资料易错题解析带答案(下)

x
1 e x ,
f
0,
y
y2
2y
求 f x, y 的极值
【2011 数 1，2】已知函数 f (x, y) 具有二阶连续偏导数，且 f (1, y) 0 ， f (x,1) 0 ， f (x, y)dxdy a ， D
其中 D (x, y) | 0 x 1,0 y 1 ，计算二重积分 I xy fxy (x, y)dxdy ． D
01 x
11 0 1 y2
dy)
1
1
1
dx
0 0 1 x 1 y2
dy .
【二重积分积分区域的极坐标和直角坐标的表示与相互转化】
1
0
dx
1
0
1
x
1
1
y
dy
真题是怎么考的？
nn
【2010 数 1,2】 lim
n
(
n i1 j1 n i n2 j2
)
(A)
1
x
dx
1
dy
0 0 1 x 1 y2
(B)
1
0
x
dx0
1
1
x 1
y
dy
(C)
1
0
dx
1
0
1
x
1
1
y
dy
(D)
1
0
dx
1
0
1
x
1
1
y
dy
答案：D
1
xdx
0
1 0
fx(x, y)dy
1
dy
0
1
0 xfx(x, y)dx
1 0
dy
xf

考研人最易混淆的那些高数概念定理_毙考题

考研人最易混淆的那些高数概念定理摘要：高数向来是考研数学最难的一个要点，它不仅考察内容多，并且考察的角度也深。

对于初期备考的考研人来说，更是有很多易混淆点扰乱大家复习时的视线。

因此，在备考初期，这些概念定理务必要理清。

高数基础复习一定要垫好基础，有些概念定理必须搞清楚，以免后续复习漏洞太大。

整理了一些易混的概念定理，大家来梳理梳理。

►几个易混概念连续，可导，存在原函数，可积，可微，偏导数存在他们之间的关系式怎么样的？存在极限，导函数连续，左连续，右连续，左极限，右极限，左导数，右导数，导函数的左极限，导函数的右极限。

►罗尔定理设函数f(x)在闭区间[a，b]上连续(其中a不等于b)，在开区间(a，b)上可导，且f(a)=f(b)，那么至少存在一点(a、b)，使得f ( )=0。

罗尔定理是以法国数学家罗尔的名字命名的。

罗尔定理的三个已知条件的意义：①f(x)在[a，b]上连续表明曲线连同端点在内是无缝隙的曲线；②f(x)在内(a，b)可导表明曲线y=f(x)在每一点处有切线存在；③f(a)=f(b)表明曲线的割线(直线AB)平行于x轴；罗尔定理的结论的直几何意义是：在(a，b)内至少能找到一点，使f ( )=0，表明曲线上至少有一点的切线斜率为0，从而切线平行于割线AB，与x轴平行。

►泰勒公式有的同学，看到泰勒公式就哆嗦，因为咋一看很长很恐怖，瞬间大脑空白，身体失重的感觉。

其实在搞明白一下几点后，原来的症状就没有了第一：什么情况下要进行泰勒展开；第二：以哪一点为中心进行展开；第三：把谁展开；第四：展开到几阶？►中值定理应用多次中值定理的专题：大部分的考研题，一般要考察你应用多次中值定理，最重要的就是要培养自己对这种题目的敏感度，要很快反映老师出这题考哪几个中值定理，敏感性是靠自己多练习综合题培养出来的。

经常会去复习，那样渐渐地你对中值定理的题目就没有那种刚学高数时的害怕之极。

►对称性，轮换性，奇偶性在积分的综合应用对称性，轮换性，奇偶性在积分(重积分，线，面积分)中的综合应用：这几乎每年必考，要么小题中考，要么大题中要用，这是必须掌握的知识，但是往往不是那么容易就靠做3，4个题目就能了解这知识点的应用到底有多广泛。

高考数学易混淆知识点总结

高考数学易混淆知识点总结数学是高考科目中一个相对容易失分的科目，很多学生在数学考试中容易混淆一些知识点，导致失分。

为了帮助大家更好地复习数学，我总结了一些容易混淆的知识点，希望对大家有所帮助。

一、代数知识点1. 二次函数与二次方程的区别二次函数是形如y=ax²+bx+c的函数，a≠0，其中a、b、c 是常数，x是自变量，y是因变量。

二次函数的图像是抛物线。

二次方程是形如ax²+bx+c=0的方程，a≠0，其中a、b、c 是常数，x是未知数。

解二次方程就是找到方程的根，也就是方程的解。

混淆的原因：二次函数和二次方程的公式都带有x²，容易让人混淆。

解决方法：理解二次函数和二次方程的概念和特点，二次函数是一个函数关系，而二次方程是一个方程，要求找到方程的解。

2. 整式与多项式的区别整式是由有限个数的项用加法和减法连接起来的代数表达式，每一项的指数必须是非负整数。

多项式是特殊的整式，是由若干项用加法和减法连接起来的代数表达式，每一项的指数必须是非负整数，并且不能有分式以及根式。

混淆的原因：整式是多项式的一种特殊情况，容易被误认为整式就是多项式。

解决方法：了解整式和多项式的定义和概念，多项式是整式的一种常见形式。

3. 幂的混淆正整数次幂：a^n=a×a×...×a，其中a是底数，n是指数。

零次幂：a^0=1，其中a≠0。

负整数次幂：a^(-n)=1/(a^n)，其中a≠0。

混淆的原因：容易混淆正整数次幂、零次幂和负整数次幂的概念。

解决方法：理解正整数次幂、零次幂和负整数次幂的定义和特点，注意在计算幂时要遵循相应的规律。

二、几何知识点1. 长度与面积的混淆长度是表示一条线段的大小，通常用单位长度来度量，如厘米、米等。

面积是表示一个平面图形大小的量，通常用单位面积来度量，如平方厘米、平方米等。

混淆的原因：长度和面积都是度量物体大小的量，容易混淆。

解决方法：理解长度和面积的概念和计算方法，注意在计算时要根据题目中的要求选择适当的计算方式。

高数易错题目

高数易错题目一、定义与定理类题目一：请写出极限的定义，并简要说明其思想。

解析：极限是高等数学中的重要概念，用以描述函数在某一点附近的变化趋势。

极限的定义如下：设函数f(x)在点x=a的某个去心邻域内有定义，如果存在常数L，对于任意给定的正数ε（不论它多么小），总存在正数δ（依赖于ε），当0 < |x-a| < δ时，有|f(x)-L| < ε成立，则称函数f(x)当x趋近于a时的极限为L，记作：lim (x→a) f(x) = L其中，x→a表示当x趋近于a时，f(x)的极限。

这个定义的思想是，极限L是在函数f(x)的变化趋势中的稳定值，无论多么接近L的ε都能找到一个足够小的去心邻域，使得邻域中的函数值都与L的差距小于ε。

题目二：请叙述洛必达法则的基本思想，并给出计算极限的步骤。

解析：洛必达法则是计算函数极限的常用方法之一，其基本思想是利用函数的导数来简化极限的计算。

计算极限的步骤如下：步骤一：确定极限的形式为0/0或∞/∞。

步骤二：对原函数及其极限形式应用洛必达法则，即将函数及其极限形式分别求导，然后计算导数的极限。

步骤三：重复步骤二，直到得到的极限不存在为止，或找到可以直接计算的结果。

步骤四：根据得到的极限结果，判断原函数的极限。

题目三：请说明泰勒展开的概念及其应用领域。

解析：泰勒展开是将一个函数在某一点附近用幂级数表示的方法，可以将复杂的函数近似表示为简单的多项式。

泰勒展开的公式如下：f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + f''(a)(x-a)^2/2! + ... + fⁿ⁺¹(a)(x-a)^ⁿ⁺¹/ⁿ⁺¹! + Rⁿ⁺²(x)其中，fⁿ⁺¹(a)表示函数f(x)在点a处的（ⁿ⁺¹）阶导数，Rⁿ⁺²(x)表示剩余的余项，并满足当x→a时Rⁿ⁺²(x)趋近于0。

高中数学易混易错知识点大全

高中数学易错、易混、易忘备忘录1.在应用条件A ∪B ＝Ｂ⇔A ∩B ＝Ａ⇔ＡＢ时，易忽略Ａ是空集Φ的情况2.求解与函数有关的问题易忽略定义域优先的原则 3 根据定义证明函数的奇偶性时，易忽略检验函数定义域是否关于原点对称 4 求反函数时，易忽略求反函数的定义域 5 单调区间不能用集合或不等式表示. 6 用基本不等式求最值时，易忽略验证“一正二定三等”这一条件7 你知道函数(0,0)b y ax a b x=+>>的单调区间吗？（该函数在(,)-∞+∞和上单调递增；在[和（0上单调递减）这可是一个应用广泛的函数！(其在第一象限的图像就象“√”，特命名为：对勾函数) 是奇函数，图像关于原点对称. 8 解对数函数问题时，你注意到真数与底数的限制条件了吗？（真数大于零，底数大于零且不等于1）字母底数还需讨论呀 9 用判别式判定方程解的个数（或交点的个数）时，易忽略讨论二次项的系数是否为０尤其是直线与圆锥曲线相交时更易忽略 10 等差数列中的重要性质：若m+n=p+q ，则m n p q a a a a +=+;（反之不成立）等比数列中的重要性质：若m+n=p+q,则m n p a a a a = （反之不成立） 11 用等比数列求和公式求和时，易忽略公比ｑ＝１的情况12 已知n S 求n a 时, 易忽略n ＝１的情况13 等差数列的一个性质：设n S 是数列{n a }的前n 项和, {n a }为等差数列的充要条件是：2n S an bn =+（a, b 为常数）其公差是2a14 你知道怎样的数列求和时要用“错位相减”法吗？（若n n n c a b =其中{n a }是等差数列，{n b }是等比数列，求{n c }的前n 项的和） 15 你还记得裂项求和吗？（如111(1)1n n n n =-++） 16 在解三角问题时，你注意到正切函数的定义域了吗？你注意到正弦函数、余弦函数的有界性了吗？17 你还记得三角化简的通性通法吗？（异角化同角，异名化同名，高次化低次）18 你还记得在弧度制下弧长公式和扇形面积公式吗？1(||,2l r S lr α==扇形） 19 在三角中，你知道1等于什么吗？(这些统称为1的代换) 常数 “1”的种种代换有着广泛的应用20 0与实数0有区别，0的模为数0，它不是没有方向，而是方向不定 0可以看成与任意向量平行，但与任意向量都不垂直 21 0a =，则0a b ⋅=，但0a b ⋅=不能得到0a =或b = a b ⊥有0a b ⋅= 22 a b =时，有a c b c ⋅=⋅ 反之a c b c ⋅=⋅不能推出a b = 23一般地()()a b c a b c ⋅⋅≠⋅⋅ 24 使用正弦定理时易忘比值还等于2R ::sin :sin :sin a b c A B C = 25 两个不等式相乘时,必须注意同向同正时才能相乘,即同向同正可乘；同时要注意“同号可倒”即ａ＞ｂ＞ｏ11a b ⇒<，ａ＜ｂ＜ｏ1a b ⇒> 26 分式不等式的一般解题思路是什么？（移项通分、零点分段） 27 解指对数不等式应该注意什么问题？（指数函数与对数函数的单调性, 对数的真数大于零） 28 在解含有参数的不等式时，怎样进行讨论？（特别是指数和对数的底或）讨论完之后，要写出：综上所述，原不等式的解是…… 29常用放缩技巧：211111111(1)(1)1n n n n n n n n n-=<<=-++-- k k k k k k k k k +-=+-<<++=-+1112111130用直线的点斜式、斜截式设直线的方程时, 易忽略斜率不存在的情况31直线的倾斜角、到的角、与的夹角的取值范围依次是[0,),(0,),(0,2πππ 32 函数的图象的平移、方程的平移以及点的平移公式易混：33sin sin()3x x x y x y x πππ→-=−−−−−−→=-沿轴向右平移① 22sin 2sin ,sin 2y y y y x y x y x →-=−−−−−→-==+沿轴向上平移②即 212sin sin 2x x x y x y x →=−−−−−−−→=沿轴缩短到原来的③ 1221sin sin 2x x x y x y x →=−−−−−−−→=沿轴伸长到原来的倍④ 2121sin 2sin ,sin 2y y y y x y x y x →=−−−−−−−→==沿轴缩短到原来的⑤即 1221sin sin ,2sin 2y y y y x y x y x →=−−−−−−−→==沿轴伸长到原来的倍⑥即 33 定比分点的坐标公式是什么？（起点，中点，分点以及值可要搞清） 34 直线在坐标轴上的截距可正，可负，也可为0 35 处理直线与圆的位置关系有两种方法：（1）点到直线的距离；（2）直线方程与圆的方程联立，判别式一般来说，前者更简捷 36处理圆与圆的位置关系，可用两圆的圆心距与半径之间的关系 37 在圆中，注意利用半径、半弦长、及弦心距组成的直角三角形 38 还记得圆锥曲线方程中的a,b,c,p ,ca a c 2,的意义吗？ 39 离心率的大小与曲线的形状有何关系？（圆扁程度，张口大小）等轴双曲线的离心率是多少？40 在用圆锥曲线与直线联立求解时，消元后得到的方程中要注意：二次项的系数是否为零？判别式的限制（求交点，弦长，中点，斜率，对称，存在性问题都在下进行） 41 椭圆中，注意焦点、中心、短轴端点所组成的直角三角形（a ，b ，c ） 42 通径是抛物线的所有焦点弦中最短的弦（通径是过焦点，且垂直于x 轴的弦） 43 你知道椭圆、双曲线标准方程中a ，b ，c 之间关系的差异吗？45作出二面角的平面角主要方法是什么？（定义法、三垂线法、垂面法）三垂线法：一定平面，二作垂线，三作斜线，射影可见 46 求点到面的距离的常规方法是什么？（直接法、等体积法、换点法、向量法） 47 求多面体体积的常规方法是什么？（割补法、等积变换法） 48 两条异面直线所成的角的范围：0°<α≤90°直线与平面所成的角的范围：0o ≤α≤90°二面角的平面角的取值范围：0°≤α≤180° 49 二项式()na b +展开式的通项公式中ａ与ｂ的顺序不变 50 二项式系数与展开式某一项的系数易混, 第ｒ＋１项的二项式系数为rn C 51 二项式系数最大项与展开式中系数最大项易混二项式系数最大项为中间一项或两项；展开式中系数最大项的求法为用解不等式组112r r r r T T T T +++≥⎧⎨≥⎩来确定ｒ 52 解排列组合问题的依据是：分类相加，分步相乘，有序排列，无序组合 53 解排列组合问题的规律是：相邻问题捆绑法；不邻问题插空法；多排问题单排法；定位问题优先法；定序问题倍缩法；多元问题分类法；有序分配问题法；选取问题先排后排法；至多至少问题间接法或看为若干个恰好 54 二项式展开式的通项公式、n 次独立重复试验中事件A 发生k 次的概率与二项分布的分布列三者易记混通项公式：1r n r r r n T C a b -+= （它是第ｒ＋１项而不是第ｒ项）事件A 发生k 次的概率：()(1)k k n k n n P k C p p -=-其中ｋ＝0,1,2,3,…,n,且0<p<1，p+q=1 55 常见函数的导数公式：0'=C ；1)'(-=n n nx x ；x x cos )'(sin =；x x sin )'(cos -= x x )'(ln = xx a a log 1)'(log = x x e e =)'( a a a x x ln )'(= 2();u u v uv uv u v uv v v '''-⎛⎫'''=+= ⎪⎝⎭，(())u x f u x f u '''=⋅高中数学重要基础知识记忆检查一、幂函数、指数函数和对数函数1、由n 个元素组成的集合，其非空真子集个数为。

专升本高等数学易错题

专升本高等数学易错题高等数学是专升本考试中的一门重要科目，涵盖了微积分、线性代数、概率统计等内容，题目难度较大，易错性较高。

下面我将从微积分、线性代数和概率统计三个方面，分别给出高等数学中易错题的相关参考内容。

1. 微积分1.1. 极限与连续：易错点：对于极限与连续的定义、性质、计算和应用不够熟悉。

参考内容：- 极限与连续的定义和性质：包括数列极限和函数极限的定义、极限的四则运算、夹逼准则、无穷小和无穷大的概念等。

- 极限的计算方法：常用的极限计算方法包括利用等价无穷小、洛必达法则、泰勒展开等。

- 极限的应用：例如在求解函数的渐近线、曲线的凹凸性、函数的极值等问题中的应用。

还可以结合实际问题，如质点运动、物理和经济学中的应用，深入理解极限的思想和方法。

1.2. 函数与导数：易错点：对于导数的定义、性质、计算和应用不够熟悉。

参考内容：- 导数的定义和性质：包括导数的几何意义、导数的四则运算、高阶导数等。

- 导数的计算方法：常用的导数计算方法包括基本导数公式、导数的运算法则、隐函数的导数、参数方程的导数等。

- 导数的应用：例如在函数的单调性、凹凸性、最值、曲线的切线和法线、函数的近似计算等问题中的应用。

还可以结合实际问题，如质点运动、物理和经济学中的应用，深入理解导数的思想和方法。

2. 线性代数易错点：对于线性方程组的解法、矩阵的运算和特征值特征向量的计算不够熟悉。

参考内容：- 线性方程组：包括线性方程组的概念、线性方程组的解的判断和解法（例如高斯消元法、矩阵消元法、矩阵的逆等）。

- 矩阵运算：包括矩阵的加减法、标量乘法、矩阵乘法、逆矩阵、转置矩阵等运算法则。

- 特征值和特征向量：包括特征值和特征向量的概念、特征值和特征向量的计算、特征向量的应用（如对称矩阵的对角化等）。

3. 概率统计易错点：对于概率与统计的基本概念、概率计算公式和统计分析方法不够熟悉。

参考内容：- 概率基础：包括随机事件、概率的公理化定义、条件概率、独立性、全概率公式和贝叶斯公式等。

2024年高考数学易混淆知识点总结(2篇)

2024年高考数学易混淆知识点总结一、函数与方程1. 函数与方程的概念：函数是一种特殊的关系，它将一个集合中的每个元素映射到另一个集合中的唯一元素；方程是一个等式，将一个表达式与0相等。

2. 一次函数与一元一次方程：一次函数是形如y=ax+b的函数，其中a和b为常数；一元一次方程是形如ax+b=0的方程。

3. 二次函数与一元二次方程：二次函数是形如y=ax^2+bx+c的函数，其中a、b和c为常数，且a≠0；一元二次方程是形如ax^2+bx+c=0的方程。

4. 指数函数与指数方程：指数函数是形如f(x)=a^x的函数，其中a为常数且a>0且a≠1；指数方程是形如a^x=b的方程。

5. 对数函数与对数方程：对数函数是指底数为正实数a的函数f(x)=log_a(x)，其中a>0且a≠1；对数方程是形如log_a(x)=b的方程。

二、数列与数列极限1. 等差数列与通项公式：等差数列是指数列中相邻两项之差都相等的数列；通项公式是指能够用一个式子表示数列的第n项的公式。

2. 等差数列的前n项和：等差数列前n项和Sn=n(a+l)/2，其中a为首项，l为末项，n为项数。

3. 等比数列与通项公式：等比数列是指数列中相邻两项之比都相等的数列；通项公式是指能够用一个式子表示数列的第n项的公式。

4. 等比数列的前n项和：等比数列前n项和Sn=a(1-q^n)/(1-q)，其中a为首项，q为公比，n为项数。

5. 数列极限的概念：数列极限是指随着数列项数的增加，数列中的项趋于某个常数或正无穷或负无穷的情况。

三、平面几何1. 三角形的内角和：三角形的内角和为180度，即三个内角的和等于180度。

2. 直角三角形的性质：直角三角形的两个直角边的平方和等于斜边的平方。

3. 相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等，对应边成比例。

4. 圆的性质：圆的直径是圆上任意两点间的最大距离，半径等于直径的一半，圆的周长等于2πr，圆的面积等于πr^2。

全国通用版高中数学选修一易混淆知识点

(名师选题)全国通用版高中数学选修一易混淆知识点单选题1、已知圆C 1：(x ＋3)2＋y 2＝1和圆C 2：(x －3)2＋y 2＝9，动圆M 同时与圆C 1及圆C 2相外切，求动圆圆心M 的轨迹方程（）A ．x 2－y 28＝1(x ≤－1)B ．x 2－y 28＝1 C ．x 2－y 28＝1(x ≥1)D ．y 28－x 2＝1 答案：A分析：根据双曲线定义求解|MC 1|=r +1,|MC 2|=r +3,则|MC 2|−|MC 1|=2 根据双曲线定义知M 的轨迹为x 2−y 28=1的左半支故选：A2、在棱长为2的正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，点E 在棱AA 1上，AE =3A 1E ，点G 是棱CD 的中点，点F 满足BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =λBB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (0<λ<12)，当平面EFG 与平面ABCD 所成（锐）二面角的余弦值为√63时，经过E,F,G 三点的截面的面积为（）A ．2√6B ．7√64C ．√17D ．7√66答案：B分析：以D 为坐标原点，分别以DA,DC,DD 1所在的直线为x,y,z 轴，建立空间直角坐标系，由空间向量结合平面EFG 与平面ABCD 所成二面角的余弦值为√63求出λ的值，画出截面图，求出截面五边形的边长，再由等腰三角形及等腰梯形的面积求和可得答案解：如图，以D 为坐标原点，分别以DA,DC,DD 1所在的直线为x,y,z 轴，建立空间直角坐标系，则G(0,1,0),E(2,0,32),F(2,2,2λ)，所以GE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,−1,32),GF⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,1,2λ)，设平面EFG 的一个法向量为m ⃗⃗ =(x,y,z)，则 {m ⃗⃗ ⋅GE⃗⃗⃗⃗⃗ =2x −y +32z =0m ⃗⃗ ⋅GF ⃗⃗⃗⃗⃗ =2x +y +2λz =0，取z =1，则m ⃗⃗ =(−38−λ2,−λ+34,1)，平面ABCD 的一个法向量为n ⃗ =(0,0,1)，由题意得|m⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ |m⃗⃗⃗ ||n ⃗ ||=√(38+λ2)2+(−λ+34)2+1=√63，解得λ=14或λ=1320（舍去），延长EF,AB ，设EF ∩AB =I ，连接IG ，交BC 于K ，延长IG ，交AD 的延长线于L ，连接EL ，交DD 1于H ，则五边形EFKGH 为截面图形，由题意求得EF =√5，FK =√12+(12)2=√52，GK =√2，HG =√52，EH =√5，FH =2√2，截面五边形EFKGH 如图所示，则等腰三角形EFH 底边FH 上的高为√3，等腰梯形HGKF 的高为√32，则截面面积为S =12×2√2×√3+12(√2+2√2)×√32=7√64故选：B小提示：关键点点睛：此题考查二面角的平面角及其求法，考查平面的基本性质及推理，考查运算能力，解题的关键是建立空间直角坐标系，由平面EFG 与平面ABCD 所成（锐）二面角的余弦值为√63求出λ=14，属于中档题3、“a =1”是“直线x +ay −1=0与直线ax −y +1=0相互垂直”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件答案：A分析：直线x+ay−1=0与直线ax−y+1=0相互垂直得到a∈R，再利用充分必要条件的定义判断得解. 因为直线x+ay−1=0与直线ax−y+1=0相互垂直，所以1×(a)+a×(−1)=0，所以a∈R.所以a=1时，直线x+ay−1=0与直线ax−y+1=0相互垂直，所以“a=1”是“直线x+ay−1=0与直线ax−y+1=0相互垂直”的充分条件；当直线x+ay−1=0与直线ax−y+1=0相互垂直时，a=1不一定成立，所以“a=1”是“直线x+ay−1= 0与直线ax−y+1=0相互垂直”的非必要条件.所以“a=1”是“直线x+ay−1=0与直线ax−y+1=0相互垂直”的充分非必要条件.故选：A小提示：方法点睛：充分必要条件的判定，常用的方法有：（1）定义法；（2）集合法；（3）转化法. 要根据已知条件灵活选择方法求解.4、设F1,F2是椭圆x212+y224=1的两个焦点，P是椭圆上一点，且cos∠F1PF2=13.则△PF1F2的面积为（）A．6B．6√2C．8D．8√2答案：B分析：利用椭圆的几何性质，得到|PF1|+|PF2|=2a=4√6，|F1F2|=2c=4√3，进而利用cos∠F1PF2=13得出|PF1|⋅|PF2|=18，进而可求出S△PF1F2解：由椭圆x 212+y224=1的方程可得a2=24,b2=12，所以c2=a2−b2=12，得a=2√6,c=2√3且|PF1|+|PF2|=2a=4√6，|F1F2|=2c=4√3，在△PF 1F 2中，由余弦定理可得 cos∠F 1PF 2=|PF 1|2+|PF 2|2−|F 1F 2|22|PF 1||PF 2|=(|PF 1|+|PF 2|)2−2|PF 1||PF 2|−|F 1F 2|22|PF 1||PF 2|=4a 2−4c 2−2|PF 1||PF 2|2|PF 1||PF 2|=4b 2−2|PF 1||PF 2|2|PF 1||PF 2|=4×12−2|PF 1||PF 2|2|PF 1||PF 2|，而cos∠F 1PF 2=13，所以，|PF 1|⋅|PF 2|=18，又因为，cos∠F 1PF 2=13，所以sin∠F 1PF 2=2√23，所以，S △PF 1F 2=12|PF 1||PF 2|⋅sin∠F 1PF 2=12×18×2√23=6√2故选：B5、如图所示，在空间直角坐标系中，BC =2，原点O 是BC 的中点，点D 在平面yOz 内，且∠BDC =90∘，∠DCB =30∘，则点D 的坐标为（）．A ．(0，−12，−√32) B ．(0，−12，√32) C ．(0，12，−√32) D ．(0，12，√32) 答案：B分析：过点D 作DE ⊥BC ，垂足为E ，然后在Rt △BDC 中求解. 过点D 作DE ⊥BC ，垂足为E ，在Rt △BDC 中，∠BDC =90∘，∠DCB =30∘，BC =2，得|BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=1、|CD ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√3，所以|DE ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|CD ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅sin30∘=√32，所以|OE ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OB ⃗⃗⃗⃗⃗ |−|BE ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OB ⃗⃗⃗⃗⃗ |−|BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅cos60∘=1−12=12，所以点D 的坐标为(0，−12，√32)，故选：B ．6、若圆x 2+y 2=1上总存在两个点到点(a,1)的距离为2，则实数a 的取值范围是（） A ．(−2√2,0)∪(0,2√2)B ．(−2√2,2√2) C ．(−1,0)∪(0,1)D ．(−1,1) 答案：A分析：将问题转化为圆(x −a)2+(y −1)2=4与x 2+y 2=1相交，从而可得2−1<√a 2+12<2+1，进而可求出实数a 的取值范围.到点(a,1)的距离为2的点在圆(x −a)2+(y −1)2=4上，所以问题等价于圆(x −a)2+(y −1)2=4上总存在两个点也在圆x 2+y 2=1上，即两圆相交，故2−1<√a 2+12<2+1，解得−2√2<a <0或0<a <2√2，所以实数a 的取值范围为(−2√2,0)∪(0,2√2)，故选：A ．7、已知点A （1，2）在圆C ：x 2+y 2+mx −2y +2=0外，则实数m 的取值范围为（）A．(−3,−2)∪(2,+∞)B．(−3,−2)∪(3,+∞)C．(−2,+∞)D．(−3,+∞)答案：A分析：由x2+y2+mx−2y+2=0表示圆可得m2+(−2)2−4×2>0，点A（1，2）在圆C外可得12+ 22+m−2×2+2>0，求解即可由题意，x2+y2+mx−2y+2=0表示圆故m2+(−2)2−4×2>0，即m>2或m<−2点A（1，2）在圆C：x2+y2+mx−2y+2=0外故12+22+m−2×2+2>0，即m>−3故实数m的取值范围为m>2或−3<m<−2即m∈(−3,−2)∪(2,+∞)故选：A8、设A(2,−3)，B(−3,−2)，直线l过点P(1,2)且与线段AB相交，则l的斜率k的取值范围是（）A．k≤−1或k≥5B．−5≤k≤1C．−1≤k≤5D．k≤−5或k≥1答案：D分析：如图，求出k PA,k PB可得斜率k的取值范围.由题设可得k PA=2−(−3)1−2=−5,k PB=−2−2−3−1=1，因为直线l与线段AB相交，则k≥1或k≤−5，故选：D.9、已知方程x2＋y2－2x＋2k＋3＝0表示圆，则k的取值范围是（）A．(－∞，－1)B．(3，＋∞)C．(－∞，－1)∪(3，＋∞)D．(−32,+∞)答案：A分析：把圆的方程x2＋y2－2x＋2k＋3＝0化为标准型，利用r2>0，解出k的取值范围. 方程可化为(x－1)2＋y2＝－2k－2，只有－2k－2＞0，即k＜－1时才能表示圆．故选：A.10、点(1,2)关于直线x+y−2=0的对称点是（）A．(1,0)B．(0,1)C．(0,−1)D．(2,1)答案：B分析：设出对称点，根据对称关系列出式子即可求解.解：设点A(1,2)关于直线x+y−2=0的对称点是B(a,b)，则有{b−2a−1=1a+1 2+b+22−2=0，解得a=0，b=1，故点(1,2)关于直线x+y−2=0的对称点是(0,1). 故选：B.小提示：方法点睛：关于轴对称问题：（1）点A(a,b)关于直线Ax+By+C=0的对称点A′(m,n)，则有{n−bm−a×(−AB)=−1A⋅a+m2+B⋅b+n2+C=0；（2）直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决. 11、动点P 在抛物线x 2=4y 上，则点P 到点C (0,4)的距离的最小值为（） A ．√3B ．2√3C ．12√3D ．12答案：B分析：设出点P 坐标，用两点间距离公式表达出点P 到点C (0,4)的距离，配方后求出最小值.设P (x,x 24)，则|PC |=√x 2+(x 24−4)2=√116(x 2−8)2+12，当x 2=8时，|PC |取得最小值，最小值为2√3故选：B12、如图，在平行六面体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ −CC⃗⃗⃗⃗⃗ 1=（）A ．AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗B ．A 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ C ．D 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ D ．DB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 答案：B分析：由空间向量的加法的平行四边形法则和三角形法则，可得所求向量．连接AC 、A 1C ，可得AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，又CC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ −CC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =A 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ．故选：B. 填空题13、已知A (2,0)､B (8,0)､C (4,2)，且动点P 满足|PA ||PB|=12，则2|PC |+|PB |取得最小值时，点P 的坐标是___________.答案：(√7+1,√7−1)分析：设P (x,y )，由(|PA ||PB |)2=14得P 点轨迹为x 2+y 2=16；由2|PC |+|PB |=2(|PC |+|PA |)可知当A,P,C 三点共线且P 在线段AC 上时取得最小值，联立圆的方程和直线AC 方程即可求得结果.设P (x,y )，则(|PA ||PB |)2=(x−2)2+y 2(x−8)2+y 2=14，整理可得：x 2+y 2=16；∵2|PC |+|PB |=2|PC |+2|PA |=2(|PC |+|PA |)，∴当A,P,C 三点共线且P 在线段AC 上时，2|PC |+|PB |取得最小值，又直线AC 方程为：y−20−2=x−42−4，即y =x −2，由{x 2+y 2=16y =x −2 得：{x =√7+1y =√7−1 或{x =1−√7y =−1−√7 ，又P 在线段AC 上，∴P(√7+1,√7−1). 所以答案是：(√7+1,√7−1).14、已知向量a =(3,1),b ⃗ =(1,0),c =a +kb ⃗ ．若a ⊥c ，则k =________．答案：−103.分析：利用向量的坐标运算法则求得向量c 的坐标，利用向量的数量积为零求得k 的值 ∵a =(3,1),b ⃗ =(1,0),∴c =a +kb ⃗ =(3+k,1), ∵a ⊥c ,∴a ⋅c =3(3+k )+1×1=0，解得k =−103,所以答案是：−103.小提示：本题考查平面向量的坐标运算，平面向量垂直的条件，属基础题，利用平面向量p =(x 1,y 1),q =(x 2,y 2)垂直的充分必要条件是其数量积x 1x 2+y 1y 2=0. 15、设双曲线x 2a2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的左，右焦点分别为F 1，F 2，左，右顶点分别为A ，B ，以AB 为直径的圆与双曲线的渐近线在第一象限的交点为P ，若△PAF 2为等腰三角形，则直线PF 2的倾斜角的大小为________．答案：5π6##150∘分析：由题意求得点P 的坐标，再根据△PAF 2为等腰三角形，得到x P =c−a 2，从而得到a ，b ，c 的关系，再利用斜率公式求解.解：以AB 为直径的圆的方程为x 2+y 2=a 2，双曲线过第一象限的渐近线方程为y =ba x ．由{x 2+y 2=a 2y =ba x，得P (a 2c ,ab c )．由△PAF 2为等腰三角形，得点P 在线段AF 2的中垂线上，即x P =c−a 2．由a 2c=c−a 2，得c 2−ac −2a 2=0，即e 2−e −2=0，得e =2，所以c =2a ．而b =√c 2−a 2=√3a ，则k PB =abc a 2c−c=−ab=−√33，故直线PE 2倾斜角为5π6，所以答案是：5π6．16、已知直线kx −y +2k =0与直线x +ky −2=0相交于点P ，点A (4,0)，O 为坐标原点，则tan∠OAP 的最大值为_____________. 答案：√33##13√3分析：根据给定条件，求出点P 的轨迹，结合图形利用几何意义求解作答. 直线kx −y +2k =0恒过定点M(−2,0)，直线x +ky −2=0恒过定点N(2,0)，显然直线kx −y +2k =0与直线x +ky −2=0垂直，当k ≠0时，PM ⊥PN ，点P 在以MN 为直径的圆x 2+y 2=4（除点M ，N 外）上，当k =0时，点P(2,0), 因此，点P 的轨迹是以原点O 为圆心，2为半径的圆（除点M(−2,0)外），如图，观察图形知，点A 在圆O ：x 2+y 2=4(x ≠−2)外，当直线AP 与圆O 相切时，∠OAP 为锐角且最大，tan∠OAP 最大，所以(tan∠OAP)max =√42−22=√33. 所以答案是：√33 17、双曲线x 24−y 25=1的右焦点到直线x +2y −8=0的距离为________．答案：√5分析：先求出右焦点坐标，再利用点到直线的距离公式求解. 由已知，c =√a 2+b 2=√5+4=3，所以双曲线的右焦点为(3,0)，所以右焦点(3,0)到直线x+2y−8=0的距离为√12+22=√5=√5.所以答案是：√5解答题18、过点P(1,2)作直线l分别与x，y轴正半轴交于点A，B.(1)若△AOB是等腰直角三角形，求直线l的方程；(2)对于①|OA|+|OB|最小，②△AOB面积最小，若选择___________作为条件，求直线l的方程.答案：(1)x+y−3=0(2)选①：√2x+y−2−√2=0；选②：2x+y−4=0.分析：（1）由题意，求出直线l的倾斜角为3π4，进而可得直线l的斜率，最后利用点斜式即可写出直线l的方程；（2）设A(a,0)，B(0,b)(a,b>0)，直线l的方程为xa +yb=1，把点P(1,2)代入可得1a+2b=1，若选①：|OA|+|OB|=a+b=(a+b)(1a +2b)=3+2ab+ba⩾3+2√2，由基本不等式等号成立的条件，即可求得直线l的方程；若选②：1a +2b=1⩾2√2ab，由基本不等式等号成立的条件，即可求得直线l的方程．（1）解：因为过点P(1,2)作直线l分别与x，y轴正半轴交于点A、B，且△AOB是等腰直角三角形，所以直线l的倾斜角为3π4，所以直线l的斜率为k=tan3π4=−1，所以直线l的方程为y−2=−(x−1)，即x+y−3=0；（2）解：设A(a,0)，B(0,b)(a,b>0)，直线l的方程为xa +yb=1，代入点P(1,2)可得1a+2b=1，若选①：|OA|+|OB|=a+b=(a+b)(1a +2b)=3+2ab+ba≥3+2√2ab×ba=3+2√2，当且仅当a=√2+1,b=2+√2时等号成立，此时直线l 的斜率k =−ba =−√2，所以直线l 的方程为y −2=−√2(x −1)，即√2x +y −2−√2=0；若选②：由1a+2b=1⩾2√2ab，可得ab ⩾8，当且仅当a =2,b =4时等号成立，所以S △AOB =12ab ⩾4，即△AOB 面积最小为4，此时直线l 的斜率k =−ba =−2，所以直线l 的方程为y −2=−2(x −1)，即2x +y −4=0. 19、设椭圆C:x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率e =12，过点A （1，32）.（1）求椭圆C 的方程；（2）设B 是椭圆C 的左顶点，过点R(32，0)作与x 轴不重合的直线l 交椭圆C 于E ，F 两点，直线BE ，BF 分别交直线x =83于M ，N 两点，若直线MR ，NR 的斜率分别为k 1，k 2试问：k 1k 2是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由. 答案：（1）x 24+y 23=1；（2）k 1k 2为定值−127.分析：（1）根据e =12，得a =2c ，根据椭圆过点A （1，32），得1a 2+94b 2=1，结合a 2=b 2+c 2求得a 2,b 2,c 2，即可得出答案；（2）设E (x 1,y 1),F (x 2,y 2)，直线EF 得方程为x =my +32，联立{x 24+y 23=1x =my +32，根据韦达定理求得y 1+y 2,y 1⋅y 2，根据B 、E 、M 三点共线，可求得y M ，同理可求得y N ，利用斜率公式化简整理即可得出结论. 解：（1）因为e =ca =12，所以a =2c ①，将A （1，32）代入得1a 2+94b 2=1②，又a 2=b 2+c 2③，由①②③解得a 2=4,b 2=3,c 2=1，所以椭圆C 的方程为x 24+y 23=1；（2）设E (x 1,y 1),F (x 2,y 2)，直线EF 得方程为x =my +32，联立{x 24+y 23=1x =my +32，得4(3m 2+4)y 2+36my −21=0，则y 1+y 2=−36m 4(3m 2+4),y 1⋅y 2=−214(3m 2+4)，由B 、E 、M 三点共线，可知yM 83+2=y 1x 1+2，即y M =14y 13(x 1+2)，同理可得：y N =14y 23(x 2+2)，则k 1⋅k 2=yM 83−32⋅yN83−32=36y M ⋅y N49=64y 1⋅y 24(x 1+2)(x 2+2)，4(x 1+2)(x 2+2)=4(my 1+72)(my 2+72) =4m 2y 1⋅y 2+14m (y 1+y 2)+49，所以k 1⋅k 2=64y 1⋅y 24(x 1+2)(x 2+2)=64×−214(3m 2+4)4m 2×−214(3m 2+4)+14m×−36m4(3m 2+4)+49=−127.所以k 1k 2为定值−127.20、已知圆心C 在第一象限，半径为54的圆与y 轴相切，且与x 轴正半轴交于A ，B 两点（A 在B 左侧），|OA | ⋅|OB | =1（O 为坐标原点）．（1）求圆C 的标准方程；（2）过点A 任作一条直线与圆O:x 2+y 2=1相交于P ，Q 两点． ①证明：|PA | |PB |+|QB ||QA | 为定值；②求|PB | +2|PC | 的最小值．答案：（1）(x −54)2+(y −1)2=2516；（2）①|PA ||PB |+|QB ||QA |=52，证明见解析，②52 分析：（1）首先C (54,b)(b >0)，得到|AB |=2√2516−b 2，|OA |=54−12|AB |，|OB |=54+12|AB |，再根据|OA | ⋅|OB | =1即可得到答案.（2）①首先根据（1）得到A (12,0)，B (2,0)，设P (x 0,y 0)，再分别计算|PA ||PB | +|QB ||QA | 即可；②根据|PB |=2|PA |得到|PB | +2|PC | =2(|PA |+|PC |)≥2|AC |，即可得到答案. （1）设C (54,b)(b >0)，由题知：|AB |=2√(54)2−b 2=2√2516−b 2，|OA |=54−12|AB |，|OB |=54+12|AB |，所以|OA | ⋅|OB | =(54−12|AB |)(54−12|AB |)=2516−14×4(2516−b 2)=1，解得b =1，所以圆C:(x −54)2+(y −1)2=2516.（2）由（1）知：|AB |=2√(54)2−1=32，|OA |=54−12|AB |=12，|OB |=54+12|AB |=2.所以A (12,0)，B (2,0)，设P (x 0,y 0)，|PA ||PB |=√(x 0−12)2+y 02√(x 0−2)2+y 02=√(x 0−12)2+1−x 02√(x 0−2)2+1−x 02=√54−x 0√5−4x =12，同理|QB ||QA |=2，所以|PA ||PB |+|QB ||QA |=52. ②因为|PB |=2|PA |，所以|PB | +2|PC | =2(|PA |+|PC |)≥2|AC |=2√(54−12)2+(1−0)2=52. 所以|PB | +2|PC | 的最小值为52.。

高考数学易错易混考点

高考数学易错易混考点高考数学易错易混考点：导数及其应用1.在点处可导的定义你还记得吗?它的几何意义和物理意义分别是什么?利用导数可解决哪些问题?具体步骤还记得吗?2.你会用“在其定义域内可导，且不恒为零，则在某区间上单调递增(减)对恒成立。

”解决有关函数的单调性问题吗?3.你知道“函数在点处可导”是“函数在点处连续”的什么条件吗?高考数学易错易混考点：排列、组合和概率1. 解排列组合问题的依据是：分类相加，分步相乘，有序排列，无序组合.解排列组合问题的规律是：相邻问题捆绑法;不邻问题插空法;多排问题单排法;定位问题优先法;定序问题倍缩法;多元问题分类法;有序分配问题法;选取问题先排后排法;至多至少问题间接法.2.二项式系数与展开式某一项的系数易混, 第r+1项的二项式系数为。

二项式系数最大项与展开式中系数最大项易混.二项式系数最大项为中间一项或两项;展开式中系数最大项的求法要用解不等式组来确定r.3.你掌握了三种常见的概率公式吗?(①等可能事件的概率公式;②互斥事件有一个发生的概率公式;③相互独立事件同时发生的概率公式.)4. 二项式展开式的通项公式、n次独立重复试验中事件A发生k次的概率易记混。

通项公式：它是第r+1项而不是第r项;事件A发生k次的概率： .其中k=0,1,2,3,…,n,且01，P+Q=1. p5.求分布列的解答题你能把步骤写全吗?6.如何对总体分布进行估计?(用样本估计总体，是研究统计问题的一个基本思想方法，一般地，样本容量越大，这种估计就越精确，要求能画出频率分布表和频率分布直方图;理解频率分布直方图矩形面积的几何意义.)7.你还记得一般正态总体如何化为标准正态总体吗?(对任一正态总体来说，取值小于x的概率，其中表示标准正态总体取值小于的概率)高考数学易错易混考点：立体几何1.你掌握了空间图形在平面上的直观画法吗?(斜二测画法)。

2.线面平行和面面平行的定义、判定和性质定理你掌握了吗?线线平行、线面平行、面面平行这三者之间的联系和转化在解决立几问题中的应用是怎样的?每种平行之间转换的条件是什么?3.三垂线定理及其逆定理你记住了吗?你知道三垂线定理的关键是什么吗?(一面、四线、三垂直、立柱即面的垂线是关键)一面四直线，立柱是关键，垂直三处4.线面平行的判定定理和性质定理在应用时都是三个条件，但这三个条件易混为一谈;面面平行的判定定理易把条件错误地记为”一个平面内的两条相交直线与另一个平面内的两条相交直线分别平行”而导致证明过程跨步太大.5.求两条异面直线所成的角、直线与平面所成的角和二面角时，如果所求的角为90，那么就不要忘了还有一种求角的方法即用证明它们垂直的方法.6.异面直线所成角利用“平移法”求解时，一定要注意平移后所得角等于所求角(或其补角)，特别是题目告诉异面直线所成角，应用时一定要从题意出发，是用锐角还是其补角，还是两种情况都有可能。

高中数学易混淆知识点

高中数学易混淆知识点高中数学易混淆知识点易混概念辨析切线和切线的长“切线”和“切线的长”请研究下面的问题：已知：⊙O的半径为3cm，点P和圆心O的距离为6cm，经过P 作⊙O的切线并求切线的长。

在这个问题中出现了“切线”和“切线的长”这两个名词，它们有什么区别?和圆只有一个公共点的直线叫做圆的切线。

如上面问题中过P点所作⊙O的切线PT，它和⊙O只有一个公共点T.在切线上，某一点和切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线的长。

如上面问题中，P是切线PT上的一点，T是切点，线段PT的长就叫做P点到⊙O的切线的长。

由此可见，“切线”和“切线的长”这两个概念是有联系的。

没有切线，就谈不上切线的长。

但是，它们又是有区别的。

切线是直线，不可以度量，谈不上具体的长度；切线的长则是切线上一条线段的长，即圆外一已知点到切点之间的距离，是可以度量的。

切线是一条直线，它是一个图形；切线的长是一个数量。

不能把图形和数量混为一谈。

了解了“切线”和“切线的长”的区别，我们回过头来分析上面的问题，所谓“过P点作圆O的切线”，是一个作图题，要求作出过P点和圆O相切的直线。

而“求切线的长’则是一个计算题，要求算出线段PT的长度，两者的区别是很明显的，至于它们具体的作法和解法，就留给同学们自己去完成了。

易混概念辨析共点线和共线点“共点线”和“共线点”步枪射击时，战士要把自己的眼睛通过枪管前面的“准心”，瞄准敌方的目标。

也就是说，从几何上看，就是要使眼睛、准心、目标三点共线，这样才能击中目标。

像这样位于同一条直线上的若干个点，叫做共线点。

下面我们来证明一个“三点共线的问题”。

例：自三角形外接圆上任一点，分别作三角形三边或其延长线的垂线，试证三垂足共线。

已知：图中，⊙O是△ABC的外接圆，P是⊙O上的一点，PD、PE、PF分别垂直于直线AB、BC、AC，D、E、F是垂足。

求证：D、E、F三点共线。

证明：连结BP、PC、DE、EF∵∠BDP=∠PEB=90°，∴B、D、E、P四点共圆。