高三数学一轮总复习第九章平面解析几何第一节直线的倾斜角与斜率直线的方程课时跟踪检测理word版本

课时跟踪检测（四十五）直线的倾斜角与斜率、直线的方程
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1．直线x ＋3y ＋1＝0的倾斜角是________． 解析：由直线的方程得直线的斜率为k ＝－33，设倾斜角为α，则tan α＝－33
，所以α＝5π6
. 答案：5π6
2．直线l ：x sin 30°＋y cos 150°＋1＝0的斜率是________． 解析：设直线l 的斜率为k ，则k ＝－s in 30°cos 150°＝3
3.
答案：
33
3．倾斜角为135°，在y 轴上的截距为－1的直线方程是________．
解析：直线的斜率为k ＝tan 135°＝－1，所以直线方程为y ＝－x －1，即x ＋y ＋1＝0. 答案：x ＋y ＋1＝0
4．若直线l 的斜率为k ，倾斜角为α，而α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π4∪⎣⎢⎡⎭
⎪
⎫2π3，π，则k 的取值范围是
__________．
解析：∵k ＝tan α，α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π4∪⎣⎢⎡⎭
⎪⎫2π3，π
∴－3≤k <0或
3
3
≤k ≤1. 答案：[－3，0)∪⎣⎢
⎡⎦
⎥⎤
33，1 5．如果A ·C <0，且B ·C <0，那么直线Ax ＋By ＋C ＝0不经过第________象限．
解析：由题意知A ·B ·C ≠0，直线方程变形为y ＝－A B x －C
B .∵A ·
C <0，B ·C <0，∴A ·B >0，
∴其斜率k ＝－A B <0，又y 轴上的截距b ＝－C
B
>0.∴直线过第一、二、四象限，不经过第三象限．
答案：三
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1．(2016·常州一中月考)已知直线l 的斜率为k ，倾斜角为θ，若30°<θ<90°，则实数
k 的取值范围是________．
解析：因为30°<θ<90°，所以斜率k >0，且斜率k 随着θ的增大而增大，所以k >33
. 答案：⎝
⎛⎭
⎪⎫
33，＋∞ 2．(2016·南京学情调研)直线x ＋(a 2
＋1)y ＋1＝0的倾斜角的取值范围是________． 解析：依题意，直线的斜率k ＝－1a2＋1∈[)－1，0，因此其倾斜角的取值范围是⎣⎢⎡⎭
⎪⎫3π4，π.
答案：⎣⎢
⎡⎭
⎪
⎫3π4，π
3．若k ∈R ，直线kx －y －2k －1＝0恒过一个定点，则这个定点的坐标为________． 解析：y ＋1＝k (x －2)是直线的点斜式方程，故它所经过的定点为(2，－1)． 答案：(2，－1)
4．已知直线l 过点(1,0)，且倾斜角为直线l 0：x －2y －2＝0的倾斜角的2倍，则直线l 的方程为________．
解析：由题意可设直线l 0，l 的倾斜角分别为α，2α， 因为直线l 0：x －2y －2＝0的斜率为12，则tan α＝12，
所以直线l 的斜率k ＝tan 2α＝2tan α1－tan2α＝2×1
21－⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝4
3
，
所以由点斜式可得直线l 的方程为y －0＝4
3(x －1)，
即4x －3y －4＝0. 答案：4x －3y －4＝0
5．直线l 1：(2m 2
－5m ＋2)x －(m 2
－4)y ＋5＝0的斜率与直线l 2：x －y ＋1＝0的斜率相同，则
m 等于________．
解析：由题意知m ≠±2，直线l 1的斜率为2m2－5m ＋2m2－4，直线l 2的斜率为1，则2m2－5m ＋2
m2－4＝
1，即m 2
－5m ＋6＝0，解得m ＝2或3(m ＝2不合题意，舍去)，故m ＝3.
答案：3
6．直线l ：(a －2)x ＋(a ＋1)y ＋6＝0，则直线l 恒过定点________． 解析：直线l 的方程变形为a (x ＋y )－2x ＋y ＋6＝0，
由⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＋y ＝0，
－2x ＋y ＋6＝0，解得x ＝2，y ＝－2，
所以直线l 恒过定点(2，－2)．
答案：(2，－2)
7．一条直线经过点A (2，－3)，并且它的倾斜角等于直线y ＝13
x 的倾斜角的2倍，则这
条直线的一般式方程是________．
解析：∵直线y ＝
13
x 的倾斜角为30°，
所以所求直线的倾斜角为60°， 即斜率k ＝tan 60°＝ 3. 又该直线过点A (2，－3)，
故所求直线为y －(－3)＝3(x －2)， 即3x －y －33＝0. 答案：3x －y －33＝0
8．(2016·盐城调研)若直线l ：x a ＋y
b ＝1(a >0，b >0)经过点(1,2)，则直线l 在x 轴和y 轴上
的截距之和的最小值是________．
解析：由直线l ：x a ＋y
b
＝1(a >0，b >0)可知直线在x 轴上的截距为a ，直线在y 轴上的截距为
b .求直线在x 轴和y 轴上的截距之和的最小值，即求a ＋b 的最小值．由直线经过点(1,2)得1a ＋
2
b
＝1.于是a ＋b ＝(a ＋b )×⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋2b ＝3＋b a ＋2a b ，因为b a ＋2a b ≥2b a ·2a b ＝22(当且仅当b a ＝2a b
时取等号)，所以a ＋b ≥3＋2 2.
答案：3＋2 2
9．已知A (1，－2)，B (5,6)，直线l 经过AB 的中点M ，且在两坐标轴上的截距相等，求直线l 的方程．
解：法一：设直线l 在x 轴，y 轴上的截距均为a . 由题意得M (3,2)．
若a ＝0，即l 过点(0,0)和(3,2)， ∴直线l 的方程为y ＝2
3x ，即2x －3y ＝0.
若a ≠0，设直线l 的方程为x a ＋y
a ＝1，
∵直线l 过点(3,2)， ∴3a ＋2
a
＝1，解得a ＝5，
此时直线l 的方程为x 5＋y
5＝1，
即x ＋y －5＝0.
综上所述，直线l 的方程为2x －3y ＝0或x ＋y －5＝0.
法二：由题意知M (3,2)，所求直线l 的斜率k 存在且k ≠0，则直线l 的方程为y －2＝k (x －3)，
令y ＝0，得x ＝3－2
k ；令x ＝0，得y ＝2－3k .
∴3－2k ＝2－3k ，解得k ＝－1或k ＝23
，
∴直线l 的方程为y －2＝－(x －3)或y －2＝2
3(x －3)，
即x ＋y －5＝0或2x －3y ＝0.
10．过点A (1,4)引一条直线l ，它与x 轴，y 轴的正半轴的交点分别为(a,0)和(0，b )，当a ＋b 最小时，求直线l 的方程．
解：法一：由题意，设直线l ：y －4＝k (x －1)，由于k <0， 则a ＝1－4
k
，b ＝4－k .
∴a ＋b ＝5＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫－4k －k ≥5＋4＝9. 当且仅当k ＝－2时，取“＝”． 故得l 的方程为y ＝－2x ＋6. 法二：设l ：x a ＋y
b ＝1(a >0，b >0)，
由于l 经过点A (1,4)，∴1a ＋4
b ＝1，
∴a ＋b ＝(a ＋b )·⎝ ⎛⎭
⎪⎫1a ＋4b ＝5＋4a b ＋b a ≥9， 当且仅当4a b ＝b
a 时，即
b ＝2a 时，取“＝”，即a ＝3，b ＝6.
∴所求直线 l 的方程为x 3＋y
6＝1，即y ＝－2x ＋6.
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1．已知曲线y ＝1
ex ＋1，则曲线的切线中斜率最小的直线与两坐标轴所围成的三角形的面积
为________．
解析：y ′＝
－ex ＋
＝－1ex ＋1ex
＋2
，因为e x >0，所以e x
＋1ex ≥2
ex·1ex
＝2当且仅当e
x
＝
1ex ，即x ＝0时取等号，所以e x
＋1ex ＋2≥4，故y ′＝－1ex ＋1ex
＋2
≥－14
(当且仅当x ＝0时取等号)．所以当x ＝0时，曲线的切线斜率取得最小值，此时切点的坐标为⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，12，切线的方程为y －12＝－14(x －0)，即x ＋4y －2＝0.该切线在x 轴上的截距为2，在y 轴上的截距为1
2，所以该切线与两坐标轴所围成的三角形的面积S ＝12×2×12＝12
.
答案：1
2
2．已知直线l ：kx －y ＋1＋2k ＝0(k ∈R)． (1)证明：直线l 过定点；
(2)若直线l 不经过第四象限，求k 的取值范围；
(3)若直线l 交x 轴负半轴于点A ，交y 轴正半轴于点B ，O 为坐标原点，设△AOB 的面积为S ，求S 的最小值及此时直线l 的方程．
解：(1)证明：直线l 的方程可化为y ＝k (x ＋2)＋1，故无论k 取何值，直线l 总过定点(－2,1)．
(2)直线l 的方程为y ＝kx ＋2k ＋1，则直线l 在y 轴上的截距为2k ＋1，要使直线l 不经过第四象限，
则⎩
⎪⎨
⎪⎧
k≥0，1＋2k≥0，解得k 的取值范围是[)0，＋∞.
(3)依题意，直线l 在x 轴上的截距为－1＋2k k ，在y 轴上的截距为1＋2k ，
∴A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋2k k ，0，B (0,1＋2k )． 又－1＋2k k <0且1＋2k >0，
∴k >0.
故S ＝1
2|OA ||OB |
＝12×1＋2k k
×(1＋2k )
＝12⎝
⎛
⎭⎪⎫4k ＋1k ＋4≥12(4＋4)＝4，
当且仅当4k ＝1k ，即k ＝1
2时，取等号．故S 的最小值为4，此时直线l 的方程为x －2y ＋4＝
0.。