浙江省温州市瓯海区中考数学一模试卷(含解析)-人教版初中九年级全册数学试题

2016年某某省某某市瓯海区中考数学一模试卷
一、选择题
1．给出四个数0，0.5，，3，其中为无理数的是（）
A．0 B．0.5 C．3 D．
2．如图，一个长方体上面放着一个圆柱体，则它的主视图是（）
A．B．C．D．
3．为了解初三学生的体育锻炼时间，小华调查了某班45名同学一周参加体育锻炼的情况，并把它绘制成折线统计图．由图可知，一周参加体育锻炼时间等于9小时的人数是（）
A．5 B．18 C．10 D．4
4．使代数式有意义的x的取值X围是（）
A．x＞3 B．x=3 C．x＜3 D．x≠3
5．函数的图象经过点A（﹣2，3），则k的值为（）
A．﹣6 B．6 C．D．
6．下列选项中，可以用来证明命题“若a2＞b2，则a＞b“是假命题的反例是（）
A．a=﹣2，b=1 B．a=3，b=﹣2 C．a=0，b=1 D．a=2，b=1
7．如图，有一圆心角为120°，半径长为6cm的扇形，若将OA、OB重合后围成一圆锥侧面，那么圆锥的高是（）
A．4 B．2 C．2 D．4
8．下列命题中，属于真命题的是（）
A．两条对角线相等的四边形是矩形
B．两条对角线互相垂直的四边形是菱形
C．有一条对角线平分一个内角的平行四边形是菱形
D．四条边相等的四边形是正方形
9．抛物线y=﹣x2+bx+c的部分图象如图所示，要使y＞0，则x的取值X围是（）
A．﹣4＜x＜1 B．﹣3＜x＜1 C．x＜﹣4或x＞1 D．x＜﹣3或x＞1
10．如图，点C是以AB为直径的半圆型铁片上的靠近B点的一个定点，将该铁片按图中的位置斜靠在坐标轴上，现点A沿着y轴向终点O滑动，同时点B相应地沿着x轴向x轴正方向滑动，在滑动过程中，点C与原点O距离的变化情况是（）
A．一直增大 B．保持不变 C．先增大后减小 D．先减小后增大
二、填空题
11．因式分解：a2﹣9a=．
12．下表是某地连续10天的最低气温统计表．
最低气温（℃） 2 4 6 8
天数 4 3 2 1
该地10天最低气温的平均数是℃
13．化简：=．
14．如图，小明家有一块长，宽1m的矩形地毯，为了使地毯美观，小明请来工匠在地毯的四周镶上宽度相同的花色地毯，镶完后地毯的面积是原地毯面积的2倍．则花色地毯的宽为m．
15．如图，在△ABC中，∠ABC=90°，BD为AC的中线，过点C作CE⊥BD于点E，过点A作BD的平行线，交CE的延长线于点F，若CF=4，△ADF的周长为8，则BD=．
16．如图所示，将矩形ABCD纸板剪出一个宽AE=5的矩形AEFD，再将它绕着中心O顺时针旋转，使其中两个顶点分别与点A和点F重合，得到矩形AMFN，再沿着直线AB向右平移使点M和点N分别落在边BC和边EF上，得到矩形GHIJ，当=时，矩形ABCD的周长为．
三、解答题
17．（1）计算： +|﹣1|﹣20160．
（2）化简：（a﹣b）2﹣2a（a﹣b）．
18．如图，已知AD⊥AB，BC⊥AB，AC与BD交于点O，AD=BC．求证：
（1）△ABC≌△BAD．
（2）OA=OB．
19．一个不透明的袋里装有2个红球，一个白球，一个黄球，它们除颜色外其余都相同．
（1）求从袋中摸出1个球是白球的概率；
（2）摸出1个球，记下颜色后不放回，搅拌均匀，再摸出一个球，求两次摸出的球恰好颜色不同的概率（要求画出树状图或列表）．
20．如图，在6×6的方格中，点A，O，B都在小方格的顶点上，请在方格中取点C和D，画△AOC 和△BOD，使这两个三角形全等．
（1）在图1中画出的两个三角形，可以使其中一个三角形通过轴对称得到另一个三角形．
（2）在图2中画出的两个三角形，可以使其中一个三角形通过旋转得到另一个三角形．
21．如图，AB是⊙O的直径，C是弧AB的中点，⊙O的切线BD交AC的延长线于点D，E是OA的中点，⊙O的切线AF交DE的延长线于点F．
（1）求证：AB=BD；
（2）若DF=10，求半径OA的长．
22．某玩具批发市场A、B玩具的批发价分别为每件30元和50元，X阿姨花1200元购进A、B两种玩具若干件，并分别以每件35元与60元价格出售，设购入A玩具为x（件），B玩具为y（件）．（1）若X阿姨将玩具全部出售赚了220元，那么X阿姨共购进A、B型玩具各多少件？
（2）若要求购进A玩具的数量不得少于B玩具的数量，则怎样分配购进玩具A、B的数量并全部售出才能获得最大利润，此时最大利润为多少？
（3）为了增加玩具种类，X阿姨决定在1200元的基础上再增加投入，同时购进玩具A、B、C，己知玩具C批发价为每件25元，所购三种玩具全部售出，经核算，三种玩具的总利润相同，且A、C两种玩具的销量之和是玩具B销量的4.5倍，求玩具C每件的售价m元（直接写出m的值）．23．如图，抛物线y=x2+bx经过原点O，与x轴相交于点A（1，0），
（1）求该抛物线的解析式；
（2）在抛物线上方构造一个平行四边形OABC，使点B在y轴上，点C在抛物线上，连结AC．
①求直线AC的解析式．
②在抛物线的第一象限部分取点D，连结OD，交AC于点E，若△ADE的面积是△AOE面积的2倍，这样的点D是否存在？若存在，求出点D的坐标，若不存在，请说明理由．
24．如图，矩形ABCD中，AB=6，AD=8．动点E，F同时分别从点A，B出发，分别沿着射线AD和射线BD的方向均以每秒1个单位的速度运动，连接EF，以EF为直径作⊙O交射线BD于点M，设运动的时间为t．
（1）BD=，cos∠ADB=（直接写出答案）
（2）当点E在线段AD上时，用关于t的代数式表示DE，DM．
（3）在整个运动过程中，
①连结CM，当t为何值时，△CDM为等腰三角形．
②圆心O处在矩形ABCD内（包括边界）时，求t的取值X围（直接写出答案）．
2016年某某省某某市瓯海区中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题
1．给出四个数0，0.5，，3，其中为无理数的是（）
A．0 B．0.5 C．3 D．
【考点】无理数．
【分析】根据无理数的定义，即可解答．
【解答】解：0，0.5，3是有理数，是无理数，
故选：D．
【点评】本题考查了无理数，解决本题的关键是熟记无理数的定义．
2．如图，一个长方体上面放着一个圆柱体，则它的主视图是（）
A．B．C．D．
【考点】简单组合体的三视图．
【分析】找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．
【解答】解：从物体正面看，下面是一个长比较长、宽比较短的矩形，它的中间是一个较小的矩形．故选C．
【点评】本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图，解答时学生易将三种视图混淆而错误的选其它选项．
3．为了解初三学生的体育锻炼时间，小华调查了某班45名同学一周参加体育锻炼的情况，并把它绘制成折线统计图．由图可知，一周参加体育锻炼时间等于9小时的人数是（）
A．5 B．18 C．10 D．4
【考点】折线统计图．
【分析】根据折线统计图可直接得出．
【解答】解：由折线统计图可得一周参加体育锻炼时间等于9小时的有18人，
故选：B．
【点评】本题主要考查折线统计图，观察统计图得出其横、纵轴所表示的量是关键．
4．使代数式有意义的x的取值X围是（）
A．x＞3 B．x=3 C．x＜3 D．x≠3
【考点】分式有意义的条件．
【分析】根据分式有意义的条件：分母≠0，据此即可解不等式求解．
【解答】解：根据题意得：x﹣3≠0，
解得：x≠3．
故选D．
【点评】本题考查了分式有意义的条件，分母不等于0，理解有意义的条件是关键．
5．函数的图象经过点A（﹣2，3），则k的值为（）
A．﹣6 B．6 C．D．
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征．
【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征：图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy=k可以直接写出答案．
【解答】解：∵函数的图象经过点A（﹣2，3），
∴k=﹣2×3=﹣6，
故选：A．
【点评】此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，关键是掌握反比例函数图象上点的坐标特征．
6．下列选项中，可以用来证明命题“若a2＞b2，则a＞b“是假命题的反例是（）
A．a=﹣2，b=1 B．a=3，b=﹣2 C．a=0，b=1 D．a=2，b=1
【考点】命题与定理．
【分析】据要证明一个结论不成立，可以通过举反例的方法来证明一个命题是假命题．
【解答】解：∵当a=﹣2，b=1时，（﹣2）2＞12，但是﹣2＜1，
∴a=﹣2，b=1是假命题的反例．
故选A．
【点评】此题考查的是命题与定理，要说明数学命题的错误，只需举出一个反例即可这是数学中常用的一种方法．
7．如图，有一圆心角为120°，半径长为6cm的扇形，若将OA、OB重合后围成一圆锥侧面，那么圆锥的高是（）
A．4 B．2 C．2 D．4
【考点】圆锥的计算．
【分析】本题已知扇形的圆心角及半径就是已知圆锥的底面周长，能求出底面半径，底面半径，圆锥的高，母线长即扇形半径，构成直角三角形，再利用勾股定理解决．
【解答】解：由圆心角为120°、半径长为6，
可知扇形的弧长为=4π，
即圆锥的底面圆周长为4π，
则底面圆半径为2，
已知OA=6，
由勾股定理得圆锥的高是4．
故A．
【点评】本题主要考查了圆锥的侧面与扇形的关系，圆锥弧长等于圆锥底面周长，圆锥母线长等于扇形半径长．
8．下列命题中，属于真命题的是（）
A．两条对角线相等的四边形是矩形
B．两条对角线互相垂直的四边形是菱形
C．有一条对角线平分一个内角的平行四边形是菱形
D．四条边相等的四边形是正方形
【考点】命题与定理．
【分析】利用矩形的判定、菱形的判定、及正方形的判定方法分别判断后即可确定正确的选项．【解答】解：A、两条对角线相等的平行四边形是矩形，故错误，是假命题；
B、两条对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故错误，是假命题；
C、有一条对角线平分一个内角的平行四边形是菱形，正确，是真命题；
D、四条边都相等的四边形是菱形，故错误，是假命题，
故选C．
【点评】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解矩形的判定、菱形的判定、及正方形的判定方法，属于基础题，难度不大．
9．抛物线y=﹣x2+bx+c的部分图象如图所示，要使y＞0，则x的取值X围是（）
A．﹣4＜x＜1 B．﹣3＜x＜1 C．x＜﹣4或x＞1 D．x＜﹣3或x＞1
【考点】二次函数的图象．
【分析】根据抛物线的对称性可知，图象与x轴的另一个交点是﹣3，y＞0反映到图象上是指x轴上方的部分，对应的x值即为x的取值X围．
【解答】解：∵抛物线与x轴的一个交点是（1，0），对称轴是x=﹣1，
根据抛物线的对称性可知，抛物线与x轴的另一交点是（﹣3，0），
又图象开口向下，
∴当﹣3＜x＜1时，y＞0．
故选：B．
【点评】主要考查了二次函数图象的对称性．要会利用对称轴和与x轴的一个交点坐标求与x轴的另一个交点坐标．
10．如图，点C是以AB为直径的半圆型铁片上的靠近B点的一个定点，将该铁片按图中的位置斜靠在坐标轴上，现点A沿着y轴向终点O滑动，同时点B相应地沿着x轴向x轴正方向滑动，在滑动过程中，点C与原点O距离的变化情况是（）
A．一直增大 B．保持不变 C．先增大后减小 D．先减小后增大
【考点】轨迹；坐标与图形性质．
【分析】取AB的中点D，连接OD、CD，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得OD=AB，然后根据两点之间线段最短可知O、D、C三点共线时OC最大，从而判断出点C与点O距离的变化情况．
【解答】解：如图，取AB的中点D，连接OD、CD，
∵△AOB是直角三角形，
∴OD=AB，
由两点之间线段最短得，O、D、C三点共线时OC最大，
所以，点C与点O距离的先增大，然后减小．
故选：C．
【点评】本题考查了直角三角形的性质，两点之间线段最短的性质，最短距离的问题，作辅助线确定出OC的最大距离是解题的关键．
二、填空题
11．因式分解：a2﹣9a= a（a﹣9）．
【考点】因式分解-提公因式法．
【分析】根据提公因式法，可得答案．
【解答】解：原式=a（a﹣9），
故答案为：a（a﹣9）．
【点评】本题考查了因式分解，提公因式是解题关键，注意分解要彻底．
12．下表是某地连续10天的最低气温统计表．
最低气温（℃） 2 4 6 8
天数 4 3 2 1
该地10天最低气温的平均数是4 ℃
【考点】加权平均数；统计表．
【分析】该地10天最低气温的平均数是10天的气温总和除以10．依此列式计算即可求解．
【解答】解：（2×4+4×3+6×2+8）÷10
=（8+12+12+8）÷10
=40÷10
=4（℃）．
答：该地10天最低气温的平均数是4℃．
故答案为：4．
【点评】此题考查了加权平均数，用到的知识点是加权平均数的计算公式，本题易出现的错误是求2，4，6，8这四个数的平均数，对平均数的理解不正确．．
13．化简：= 1+a ．
【考点】分式的加减法．
【专题】计算题．
【分析】同分母分式加减法法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减，据此求解即可．【解答】解：
=
=
=1+a
故答案为：1+a．
【点评】此题主要考查了分式的加减法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确同分母、异分母分式加减法法则．
14．如图，小明家有一块长，宽1m的矩形地毯，为了使地毯美观，小明请来工匠在地毯的四周镶上宽度相同的花色地毯，镶完后地毯的面积是原地毯面积的2倍．则花色地毯的宽为0.25 m．
【考点】一元二次方程的应用．
【专题】几何图形问题．
+2x）m，宽是（1++2x）（1+2x）m2×1m2，根据“镶完后地毯的面积是原地毯面积的2倍”，即可列出方程．
【解答】解：设花色地毯的宽为xm，
+2x）（1+2x），
镶完后地毯的面积是原地毯面积的2倍，
+2x）（1+2x）=2××1，
即：x2+1.25x﹣37.50=0．
解得x=0.25．
故答案是：0.25．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用．解决本题的关键是能根据镶完后地毯的面积是原地毯面积的2倍，列出相等关系，用代数式正确表示出镶完后地毯的面积．
15．如图，在△ABC中，∠ABC=90°，BD为AC的中线，过点C作CE⊥BD于点E，过点A作BD的平行线，交CE的延长线于点F，若CF=4，△ADF的周长为8，则BD= 2.5 ．
【考点】勾股定理；直角三角形斜边上的中线；三角形中位线定理．
【分析】根据直角三角形斜边上的中线的性质可知DF=△AC，可设AF=x，可得AC=8﹣x，在Rt△AFC中，根据勾股定理可求AF，进一步得到AC，再根据直角三角形斜边上的中线的性质即可求解．【解答】解：∵AF∥BD，CE⊥BD，
∴∠AFC=90°，
∵D是AC的中点，∠ABC=90°，
∴BD=DF=AD=AC，
设AF=x，则AC=8﹣x，
在Rt△AFC中，42+x2=（8﹣x）2，
解得x=3，
则AF=3，
AC=8﹣x=8﹣3=5，
则BD=2.5．
故答案为：2.5．
【点评】本题利用了勾股定理，平行线的性质，以及三角形的周长计算，解题的关键是根据勾股定理列出方程求解．
16．如图所示，将矩形ABCD纸板剪出一个宽AE=5的矩形AEFD，再将它绕着中心O顺时针旋转，使其中两个顶点分别与点A和点F重合，得到矩形AMFN，再沿着直线AB向右平移使点M和点N分别落在边BC和边EF上，得到矩形GHIJ，当=时，矩形ABCD的周长为66 ．
【考点】旋转的性质；矩形的性质；平移的性质．
【分析】由平移的性质得FI=AG，根据余角的性质得到∠1=∠5，推出△IFJ≌△BGH，根据全等三角形的性质得到BG=IF，求得BG=AG，CI=GE，设AD=5k，AB=6k，得到AG=BG=3k，根据勾股定理列方程即可得到结论．
【解答】解：由平移的性质得FI=AG，
∵∠IFJ=∠IJG=∠JGH=∠B=90°，
∴∠1+∠2=∠2+∠3=∠3+∠4=∠4+∠5=90°，
∴∠1=∠5，
在△IFJ与△BHG中，，
∴△IFJ≌△BGH，
∴BG=IF，
∴BG=AG，CI=GE，
∵=，
设AD=5k，AB=6k，
∴AG=BG=3k，
∵GH=AD=5k，
∴BH=4k，
∴CH=k，
∵CI=6k﹣5﹣5﹣CI，
∴CI=3k﹣5，
∵CI2+CH2=IH2，
∴（3k﹣5）2+k2=25，
∴k=3，
∴AD=15，AB=18，
∴矩形ABCD的周长=2（15+18）=66，
故答案为：66．
【点评】本题考查了旋转和平移的性质，全等三角形的判定和性质，矩形的性质，勾股定理，熟练掌握旋转和平移的性质是解题的关键．
三、解答题
17．（1）计算： +|﹣1|﹣20160．
（2）化简：（a﹣b）2﹣2a（a﹣b）．
【考点】单项式乘多项式；完全平方公式；零指数幂．
【分析】（1）根据开方运算，绝对值的性质，零次幂，可得答案；
（2）根据完全平方公式，整式的乘法，可得整式的加减，根据整式的加减，可得答案．
【解答】解：（1）原式=3+1﹣1=3；
（2）原式=a2﹣2ab+b2﹣2a2+2ab=﹣a2+b2．
【点评】本题考查了单项式乘多项式，熟记法则并根据法则计算是解题关键．
18．如图，已知AD⊥AB，BC⊥AB，AC与BD交于点O，AD=BC．求证：
（1）△ABC≌△BAD．
（2）OA=OB．
【考点】全等三角形的判定与性质．
【专题】证明题．
【分析】（1）根据垂直得：∠DAB=∠ABC=90°，所以根据SAS证明△ABC≌△BAD；
（2）由（1）中的全等得：∠OAB=∠OBA，根据等角对等边可得结论．
【解答】证明：（1）∵AD⊥AB，BC⊥AB，
∴∠DAB=∠ABC=90°，
∵AD=BC，AB=BA，
∴△ABC≌△BAD（SAS）；
（2）∵△ABC≌△BAD，
∴∠OAB=∠OBA，
∴OA=OB．
【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，比较简单，属于基础题；熟练掌握全等的判定方法是解题的关键：①SSS，②SAS，③AAS，④ASA；还要知道全等判定中的隐含条件：公共边、公共角和对顶角等．
19．一个不透明的袋里装有2个红球，一个白球，一个黄球，它们除颜色外其余都相同．
（1）求从袋中摸出1个球是白球的概率；
（2）摸出1个球，记下颜色后不放回，搅拌均匀，再摸出一个球，求两次摸出的球恰好颜色不同的概率（要求画出树状图或列表）．
【考点】列表法与树状图法；概率公式．
【专题】计算题．
【分析】（1）利用概率公式求解；
（2）画树状图展示所有12种等可能的结果数，找出两次摸出的球恰好颜色不同的结果数，然后根据概率公式求解．
【解答】解：（1）从袋中摸出1个球是白球的概率==；
（2）画树状图为：
共有12种等可能的结果数，其中两次摸出的球恰好颜色不同的结果数为10，
所以两次摸出的球恰好颜色不同的概率==．
【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式求事件A或B的概率．．
20．如图，在6×6的方格中，点A，O，B都在小方格的顶点上，请在方格中取点C和D，画△AOC 和△BOD，使这两个三角形全等．
（1）在图1中画出的两个三角形，可以使其中一个三角形通过轴对称得到另一个三角形．
（2）在图2中画出的两个三角形，可以使其中一个三角形通过旋转得到另一个三角形．
【考点】利用旋转设计图案；利用轴对称设计图案．
【分析】（1）直接利用轴对称图形的性质得出符合题意的答案；
（2）直接利用旋转的性质得出符合题意的答案．
【解答】解：（1）如图1所示：△ACO，△DOB即为所求；
（2）如图2所示：△ACO，△DOB即为所求．
【点评】此题主要考查了轴对称变换以及旋转变换，正确得出对应点位置是解题关键．
21．如图，AB是⊙O的直径，C是弧AB的中点，⊙O的切线BD交AC的延长线于点D，E是OA的中点，⊙O的切线AF交DE的延长线于点F．
（1）求证：AB=BD；
（2）若DF=10，求半径OA的长．
【考点】切线的性质；相似三角形的判定与性质．
【分析】（1）先利用直径和弧的中点，得出∠BAD，再用切线的性质求出∠ADB，即可得到∠BAD=∠ADB，即可；
（2）先利用直角三角形设出OA，表示出BE，BD，DE，再由平行线的性质得出比例式，表示出EF，即可．
【解答】解：（1）∵AB是⊙O的直径，点C是弧AB的中点，
∴∠BAD=45°，
∵BD是⊙O的切线，
∴∠ABD=90°，
∴∠ADB=90°﹣∠BAD=45°，
∴∠BAD=∠ADB，
∴AB=BD，
（2）设OA=r，则BE=r，BD=2r，
∵∠ABD=90°，
∴DE==r，
∵BD是⊙O的切线，AF是⊙O的切线，
∴AF⊥AB，BD⊥AB，
∴AF∥BD，
∴，
∴EF=r，
∵DE+EF=DF，
∴r+r=10，
∴r=3，
∴OA=3
【点评】此题是切线的性质，主要考查了圆的性质，弧的中点，勾股定理，平行线分线段成比例定理，解本题的关键得出．
22．某玩具批发市场A、B玩具的批发价分别为每件30元和50元，X阿姨花1200元购进A、B两种玩具若干件，并分别以每件35元与60元价格出售，设购入A玩具为x（件），B玩具为y（件）．（1）若X阿姨将玩具全部出售赚了220元，那么X阿姨共购进A、B型玩具各多少件？
（2）若要求购进A玩具的数量不得少于B玩具的数量，则怎样分配购进玩具A、B的数量并全部售出才能获得最大利润，此时最大利润为多少？
（3）为了增加玩具种类，X阿姨决定在1200元的基础上再增加投入，同时购进玩具A、B、C，己知玩具C批发价为每件25元，所购三种玩具全部售出，经核算，三种玩具的总利润相同，且A、C两种玩具的销量之和是玩具B销量的4.5倍，求玩具C每件的售价m元（直接写出m的值）．
【考点】一次函数的应用．
【分析】（1）根据总价=单价×数量列出关于x、y的二元一次方程组，解方程组即可得出结论；
（2）设利润为W元，找出利润W关于x的函数关系式，由购进A玩具的数量不得少于B玩具的数量找出关于x的一元一次不等式，解不等式得出x的取值X围，由W关于x的函数单调性即可解决最值问题；
（3）设三种玩具分别购进a、b、c件，结合已知列出关于a、b、c的一元一次方程组，设而不求，由比例关系可得出m的值．
【解答】解：（1）由题意可得，
解得，．
（2）设利润为W元，
W=（35﹣30）x+（60﹣50）y=5x+10×=﹣x+240．
∵购进A玩具的数量不得少于B玩具的数量，
∴x≥，解得：x≥15．
由W关于x的函数单调递减可知，
当x=15时，W取最大值，最大值为225，此时y=（1200﹣30×15）÷50=15．
故购进玩具A、B的数量均为15件并全部售出才能获得最大利润，此时最大利润为225元．
（3）设三种玩具分别购进a、b、c件，
由已知得，
解得：m=29．
答：玩具C每件的售价为29元．
【点评】本题考查了一次函数的性质、解二元一次方程组即解一元一次不等式，解题的关键：（1）列出关于x、y的二元一次方程组；（2）解一元一次不等式得出x的取值X围；（3）设三种玩具分别购进a、b、c件，列出方程，舍而不求．本题属于中档题，（1）（2）难度不大，（3）有点难度，此题中设了3个未知数，单在解方程组时并未求取a、b、c的值，而是根据比例关系直接求出了m，我们在日常做题中常常会用到舍而不求这种方法．
23．如图，抛物线y=x2+bx经过原点O，与x轴相交于点A（1，0），
（1）求该抛物线的解析式；
（2）在抛物线上方构造一个平行四边形OABC，使点B在y轴上，点C在抛物线上，连结AC．
①求直线AC的解析式．
②在抛物线的第一象限部分取点D，连结OD，交AC于点E，若△ADE的面积是△AOE面积的2倍，这样的点D是否存在？若存在，求出点D的坐标，若不存在，请说明理由．
【考点】二次函数综合题．
【专题】综合题．
【分析】（1）把A点坐标代入y=x2+bx中求出b的值即可得到抛物线解析式；
（2）①根据平行四边形的性质得BC=OA=1，BC∥OA，则C点的横坐标为﹣1，再计算对应的函数值即可得到C点坐标，然后利用待定系数法求直线AC的解析式；
②分别作DM⊥x轴于M，EN⊥x轴于N，如图，根据三角形面积公式可判断DE=2OE，再证明△ONE∽△OMD，则利用相似比可得==，于是设E（t，﹣t+1），则D（3t，﹣3t+3），然后把D（3t，﹣3t+3）代入y=x2﹣x得关于t的一元二次方程，再解方程即可得到满足条件的D点坐标．
【解答】解：（1）把A（1，0）代入y=x2+bx得1+b=0，解得b=﹣1，
所以抛物线解析式为y=x2﹣x；
（2）①∵四边形OABC为平行四边形，
∴BC=OA=1，BC∥OA，
∴C点的横坐标为﹣1，
当x=﹣1时，y=x2﹣x=1﹣（﹣1）=2，则C（﹣1，2），
设直线AC的解析式为y=mx+n，
把A（1，0），C（2，﹣1）代入得，解得，
所以直线AC的解析式为y=﹣x+1；
②存在．
分别作DM⊥x轴于M，EN⊥x轴于N，如图，
∵△ADE的面积是△AOE面积的2倍，
∴DE=2OE，
∵EN∥DM，
∴△ONE∽△OMD，
∴===，
设E（t，﹣t+1），则D（3t，﹣3t+3）
把D（3t，﹣3t+3）代入y=x2﹣x得9t2﹣3t=﹣3t+3，解得t1=，t2=﹣（舍去），
∴点D的坐标为（，﹣ +3）．
【点评】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和平行四边形的性质；会利用待定系数法求函数的解析式；理解坐标与图形的性质；灵活利用相似比求线段之间的关系．
24．如图，矩形ABCD中，AB=6，AD=8．动点E，F同时分别从点A，B出发，分别沿着射线AD和射线BD的方向均以每秒1个单位的速度运动，连接EF，以EF为直径作⊙O交射线BD于点M，设运动的时间为t．
（1）BD= 10 ，cos∠ADB=（直接写出答案）
（2）当点E在线段AD上时，用关于t的代数式表示DE，DM．
（3）在整个运动过程中，
①连结CM，当t为何值时，△CDM为等腰三角形．
②圆心O处在矩形ABCD内（包括边界）时，求t的取值X围（直接写出答案）．
【考点】圆的综合题．
【分析】（1）在Rt△ABD中，依据勾股定理可求得BD的长，然后依据锐角三角函数的定义可知：cos∠ADB=故此可求得问题的答案；
（2）连接ME．由ED=AD﹣AE可求得DE的长，依据直径所对的圆周角等于90°可得到∠EMF=90°，于是可求得∠EMD=90°，然后依据锐角三角函数的定义可知MD=ED•cos∠MDE，故此可得到问题的答案；
（3）①可分为点E在AD上，点E在AD的延长线上画出图形，然后再依据MC=MD，CM=CD、DM=DC三种情况求解即可；②当t=0时，圆心O在AB边上．当圆心O在CD边上时，过点E作EH∥CD交BD 的延长线与点H．先求得DH的长，然后依据平行线分线段成比例定理可得到DF=DH，然后依据DF=DH 列出关于t的方程，从而可求得t的值，故此可得到t的取值X围．
【解答】解：（1）∵ABCD为矩形，
∴∠BAD=90°．
在Rt△ABD中，BD==10．
cos∠ADB===．
故答案为：10；．
（2）如图1所示：连接ME．
∵AE=t，AD=8，
∴ED=AD﹣AE=8﹣t．
∵EF为⊙O的直径，
∴∠EMF=90°．
∴∠EMD=90°．
∴MD=ED•cos∠MDE=．
（3）①如图2所示：连接MC．
当DM=CD=6时， =6，解得t=；
如图3所示：当MC=MD时，连接MC，过点M作MN⊥CD，垂足为N．
∵MC=MD，MN⊥CD，
∴DN=NC．
∵MN⊥CD，BC⊥CD，
∴BC∥MN．
∴M为BD的中点．
∴MD=5，即=5，解得t=；
如图4所示：CM=CD时，过点C作CG⊥DM．
∵CM=CD，CG⊥MD，
∴GD=MD=．
∵=，
∴DG=CD=．
∴=．
解得：t=﹣1（舍去）．
如图5所示：当CD=DM时，连接EM．
∵AE=t，AD=8，
∴DE=t﹣8．
∵EF为⊙O的直径，
∴EM⊥DM．
∴DM=ED•cos∠EDM=．
∴=6，解得：t=．
综上所述，当t=或t=或t=时，△DCM为等腰三角形．
②当t=0时，圆心O在AB边上．
如图6所示：当圆心O在CD边上时，过点E作EH∥CD交BD的延长线与点H．
∵HE∥CD，OF=OE，
∴DF=DH．
∵DH==，DF=10﹣t，
∴=10﹣t．
解得：t=．
综上所述，在整个运动过程中圆心O处在矩形ABCD内（包括边界）时，t的取值X围为0≤t≤．【点评】本题主要考查的是圆的综合应用，解答本题主要应用了圆周角定理的推理、勾股定理、锐角三角函数的定义、等腰三角形的定义，分类讨论思想的应用以及根据题意画出符合题意的图形是解题的关键．。