香洲区第二中学校2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析

香洲区第二中学校2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析
班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1．设F1，F2为椭圆=1的两个焦点，点P在椭圆上，若线段PF1的中点在y轴上，则的值为（）
A．B．C．D．
2．与圆C1：x2+y2﹣6x+4y+12=0，C2：x2+y2﹣14x﹣2y+14=0都相切的直线有（）
A．1条B．2条C．3条D．4条
3．已知集合A={4，5，6，8}，B={3，5，7，8}，则集合A∪B=（）
A．{5，8} B．{4，5，6，7，8} C．{3，4，5，6，7，8} D．{4，5，6，7，8}
4．对于函数f（x），若∀a，b，c∈R，f（a），f（b），f（c）为某一三角形的三边长，则称f（x）为“可
构造三角形函数”，已知函数f（x）=是“可构造三角形函数”，则实数t的取值范围是（）
A． C． D．
5．我国古代名著《九章算术》用“更相减损术”求两个正整数的最大公约数是一个伟大的创举，这个伟大创举与我国古老的算法——“辗转相除法”实质一样，如图的程序框图源于“辗转相除法”．当输入a＝6 102，b＝2 016时，输出的a为（）
A．6
B．9
C ．12
D ．18
6． 如图，棱长为1的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，M 为线段A 1B 上的动点，则下列结论正确的有（ ） ①三棱锥M ﹣DCC 1的体积为定值 ②DC 1⊥D 1M ③∠AMD 1的最大值为90° ④AM+MD 1的最小值为2．
A ．①②
B ．①②③
C ．③④
D ．②③④
7． 已知双曲线的方程为﹣=1，则双曲线的离心率为（ ）
A ．
B ．
C ．
或
D ．
或
8． 函数f （x ）=3x +x 的零点所在的一个区间是（ ） A ．（﹣3，﹣2） B ．（﹣2，﹣1） C ．（﹣1，0） D ．（0，1）
9． 设平面α与平面β相交于直线m ，直线a 在平面α内，直线b 在平面β内，且b ⊥m ，则“α⊥β”是“a ⊥b ”
的（ ） A ．必要不充分条件
B ．充分不必要条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
10．复数满足2＋2z
1－i ＝i z ，则z 等于（ ）
A ．1＋i
B ．－1＋i
C ．1－i
D ．－1－i
11．设βα,是两个不同的平面，是一条直线，以下命题正确的是（ ） A ．若α⊥l ，βα⊥，则β⊂l B ．若α//l ， βα//，则β⊂l C ．若α⊥l ，βα//，则β⊥l D ．若α//l ，βα⊥，则β⊥l
12．已知a 为常数，则使得成立的一个充分而不必要条件是（ ）
A ．a ＞0
B ．a ＜0
C ．a ＞e
D ．a ＜e
二、填空题
13．在ABC ∆中，已知sin :sin :sin 3:5:7A B C =，则此三角形的最大内角的度数等 于__________.
14．已知tan()3αβ+=，tan()24
π
α+
=，那么tan β= .
15．以点（1，3）和（5，﹣1）为端点的线段的中垂线的方程是 ．
16．设有一组圆C k ：（x ﹣k+1）2+（y ﹣3k ）2=2k 4（k ∈N *）．下列四个命题： ①存在一条定直线与所有的圆均相切； ②存在一条定直线与所有的圆均相交； ③存在一条定直线与所有的圆均不相交； ④所有的圆均不经过原点．
其中真命题的代号是 （写出所有真命题的代号）．
17．将边长为1的正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记，
则S 的最小值是 ．
18．曲线
在点（3，3）处的切线与轴x 的交点的坐标为 ．
三、解答题
19．【2017-2018学年度第一学期如皋市高三年级第一次联考】已知函数()()3
23
1312
f x x k x kx =-
+++，其中.k R ∈
（1）当3k =时，求函数()f x 在[]
0,5上的值域；
（2）若函数()f x 在[]
1,2上的最小值为3，求实数k 的取值范围.
20．已知z 是复数，若z+2i 为实数（i 为虚数单位），且z ﹣4为纯虚数．
（1）求复数z ；
（2）若复数（z+mi ）2
在复平面上对应的点在第四象限，求实数m 的取值范围．
21．（本小题满分12分）为了普及法律知识，达到“法在心中”的目的，某市法制办组织了普法
知识竞赛.5名职工的成绩，成绩如下表：
（1
掌握更稳定；
（2）用简单随机抽样法从乙单位5名职工中抽取2名，他们的成绩组成一个样本，求抽取的2名职工的分数差至少是4的概率.
22．计算下列各式的值：
（1）
（2）（lg5）2+2lg2﹣（lg2）2．
23．已知f（x）=log3（1+x）﹣log3（1﹣x）．
（1）判断函数f（x）的奇偶性，并加以证明；
（2）已知函数g （x ）=log ，当x ∈[，]时，不等式 f （x ）≥g （x ）有解，求k 的取值范围．
24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数()|21|f x x =-．
（1）若不等式1()21(0)2
f x m m +≤+>的解集为(][),22,-∞-+∞，求实数m 的值；
（2）若不等式()2|23|2
y
y a
f x x ≤+
++，对任意的实数,x y R ∈恒成立，求实数a 的最小值．
香洲区第二中学校2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析（参考答案）一、选择题
1．【答案】C
【解析】解：F
，F2为椭圆=1的两个焦点，可得F1（﹣，0），F2（）．a=2，b=1．
1
点P在椭圆上，若线段PF1的中点在y轴上，PF1⊥F1F2，
|PF2|==，由勾股定理可得：|PF1|==．
==．
故选：C．
【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，考查计算能力．
2．【答案】C
【解析】
【分析】先求出两圆的圆心和半径，判断两个圆的位置关系，从而确定与它们都相切的直线条数．【解答】解：∵圆C1：x2+y2﹣6x+4y+12=0，C2：x2+y2﹣14x﹣2y+14=0的方程可化为，
；；
∴圆C1，C2的圆心分别为（3，﹣2），（7，1）；半径为r1=1，r2=6．
∴两圆的圆心距=r2﹣r1；
∴两个圆外切，
∴它们只有1条内公切线，2条外公切线．
故选C．
3．【答案】C
【解析】解：∵A={4，5，6，8}，B={3，5，7，8}，
∴A∪B={3，4，5，6，7，8}．
故选C
4．【答案】D
【解析】解：由题意可得f（a）+f（b）＞f（c）对于∀a，b，c∈R都恒成立，
由于f（x）==1+，
①当t﹣1=0，f（x）=1，此时，f（a），f（b），f（c）都为1，构成一个等边三角形的三边长，
满足条件．
②当t﹣1＞0，f（x）在R上是减函数，1＜f（a）＜1+t﹣1=t，
同理1＜f（b）＜t，1＜f（c）＜t，
由f（a）+f（b）＞f（c），可得2≥t，解得1＜t≤2．
③当t﹣1＜0，f（x）在R上是增函数，t＜f（a）＜1，
同理t＜f（b）＜1，t＜f（c）＜1，
由f（a）+f（b）＞f（c），可得2t≥1，解得1＞t≥．
综上可得，≤t≤2，
故实数t的取值范围是[，2]，
故选D．
【点评】本题主要考查了求参数的取值范围，以及构成三角形的条件和利用函数的单调性求函数的值域，同时考查了分类讨论的思想，属于难题．
5．【答案】
【解析】选D.法一：6 102＝2 016×3＋54，2 016＝54×37＋18，54＝18×3，18是54和18的最大公约数，∴输出的a＝18，选D.
法二：a＝6 102，b＝2 016，r＝54，
a＝2 016，b＝54，r＝18，
a＝54，b＝18，r＝0.
∴输出a＝18，故选D.
6．【答案】A
【解析】解：①∵A1B∥平面DCC1D1，∴线段A1B上的点M到平面DCC1D1的距离都为1，又△DCC1的面积
为定值，因此三棱锥M﹣DCC1的体积V==为定值，故①正确．
②∵A1D1⊥DC1，A1B⊥DC1，∴DC1⊥面A1BCD1，D1P⊂面A1BCD1，∴DC1⊥D1P，故②正确．
③当0＜A1P＜时，在△AD1M中，利用余弦定理可得∠APD1为钝角，∴故③不正确；
④将面AA1B与面A1BCD1沿A1B展成平面图形，线段AD1即为AP+PD1的最小值，
在△D1A1A中，∠D1A1A=135°，利用余弦定理解三角形得AD1==＜2，故④不正确．
因此只有①②正确．
故选：A．
7．【答案】C
【解析】解：双曲线的方程为﹣=1，
焦点坐标在x轴时，a2=m，b2=2m，c2=3m，
离心率e=．
焦点坐标在y轴时，a2=﹣2m，b2=﹣m，c2=﹣3m，
离心率e==．
故选：C．
【点评】本题考查双曲线的离心率的求法，注意实轴所在轴的易错点．
8．【答案】C
【解析】解：由函数f（x）=3x+x可知函数f（x）在R上单调递增，
又f（﹣1）=﹣1＜0，f（0）=30+0=1＞0，
∴f（﹣1）f（0）＜0，
可知：函数f（x）的零点所在的区间是（﹣1，0）．
故选：C．
【点评】本题考查了函数零点判定定理、函数的单调性，属于基础题．
9．【答案】B
【解析】解：∵b⊥m，∴当α⊥β，则由面面垂直的性质可得a⊥b成立，
若a⊥b，则α⊥β不一定成立，
故“α⊥β”是“a⊥b”的充分不必要条件，
故选：B．
【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用线面垂直的性质是解决本题的关键．10．【答案】
【解析】解析：选D.法一：由2＋2z
1－i ＝i z 得
2＋2z ＝i z ＋z ， 即（1－i ）z ＝－2，
∴z ＝－2
1－i ＝－2（1＋i ）
2＝－1－i.
法二：设z ＝a ＋b i （a ，b ∈R ）， ∴2＋2（a ＋b i ）＝（1－i ）i （a ＋b i ）， 即2＋2a ＋2b i ＝a －b ＋（a ＋b ）i ，
∴⎩⎪⎨⎪⎧2＋2a ＝a －b
2b ＝a ＋b
， ∴a ＝b ＝－1，故z ＝－1－i. 11．【答案】C 111] 【解析】
考
点：线线，线面，面面的位置关系 12．【答案】C
【解析】解：由积分运算法则，得
=lnx
=lne ﹣ln1=1
因此，不等式即
即a ＞1，对应的集合是（1，+∞）
将此范围与各个选项加以比较，只有C 项对应集合（e ，+∞）是（1，+∞）的子集
∴原不等式成立的一个充分而不必要条件是a ＞e
故选：C
【点评】本题给出关于定积分的一个不等式，求使之成立的一个充分而不必要条件，着重考查了定积分计算公式和充要条件的判断等知识，属于基础题．
二、填空题
13．【答案】120
【解析】
考
点：解三角形．
【方法点晴】本题主要考查了解三角形问题，其中解答中涉及到三角形的正弦定理、余弦定理的综合应用，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，属于基础题，本题的解答中根据
sin :sin :sin 3:5:7A B C =，根据正弦定理，可设3,5,7a b ===，即可利用余弦定理求解最大角的余弦，
熟记正弦、余弦定理的公式是解答的关键． 14．【答案】4
3
【解析】
试题分析：由1tan tan()24
1tan π
ααα++
=
=-得1tan 3α=， tan tan[()]βαβα=+-tan()tan 1tan()tan αβα
αβα
+-=++
1
34313133-
=
=+⨯
． 考点：两角和与差的正切公式．
15．【答案】 x ﹣y ﹣2=0 ．
【解析】解：直线AB 的斜率 k AB =﹣1，所以线段AB 的中垂线得斜率k=1，又线段AB 的中点为（3，1），
所以线段AB 的中垂线得方程为y ﹣1=x ﹣3即x ﹣y ﹣2=0， 故答案为x ﹣y ﹣2=0．
【点评】本题考查利用点斜式求直线的方程的方法，此外，本题还可以利用线段的中垂线的性质（中垂线上的点到线段的2个端点距离相等）来求中垂线的方程．
16．【答案】 ②④
【解析】解：根据题意得：圆心（k ﹣1，3k ）， 圆心在直线y=3（x+1）上，故存在直线y=3（x+1）与所有圆都相交，选项②正确；
考虑两圆的位置关系，
圆k ：圆心（k ﹣1，3k
），半径为
k 2，
圆k+1：圆心（k ﹣1+1，3（k+1）），即（k ，3k+3
），半径为
（k+1）2
，
两圆的圆心距d==，
两圆的半径之差R﹣r=（k+1）2﹣k2
=2k+，
任取k=1或2时，（R﹣r＞d），C k含于C k+1之中，选项①错误；
若k取无穷大，则可以认为所有直线都与圆相交，选项③错误；
将（0，0）带入圆的方程，则有（﹣k+1）2+9k2=2k4，即10k2﹣2k+1=2k4（k∈N*），
因为左边为奇数，右边为偶数，故不存在k使上式成立，即所有圆不过原点，选项④正确．
则真命题的代号是②④．
故答案为：②④
【点评】本题是一道综合题，要求学生会将直线的参数方程化为普通方程，会利用反证法进行证明，会利用数形结合解决实际问题．
17．【答案】．
【解析】解：设剪成的小正三角形的边长为x，则：S==，（0＜x＜1）
令3﹣x=t，t∈（2，3），
∴S===，当且仅当t=即t=2时等号成
立；
故答案为：．
18．【答案】（，0）．
【解析】解：y′=﹣，
∴斜率k=y′|x=3=﹣2，
∴切线方程是：y﹣3=﹣2（x﹣3），
整理得：y=﹣2x+9，
令y=0，解得：x=，
故答案为：．
【点评】本题考查了曲线的切线方程问题，考查导数的应用，是一道基础题．
三、解答题
19．【答案】（1）[]
1,21;（2）2k ≥.
【解析】试题分析：（1）求导，再利用导数工具即可求得正解；（2）求导得()'f x =()()31x x k --，再分1k ≤和1k >两种情况进行讨论；
试题解析：（1）解：3k = 时，()32
691f x x x x =-++
则()()()2
3129313f x x x x x =-+=--' 令()0f x '=得121,3x x ==列表
由上表知函数()f x 的值域为[]
1,21
（2）方法一：()()()()2
331331f x x k x k x x k =-++=--'
①当1k ≤时，[]()1,2,'0x f x ∀∈≥，函数()f x 在区间[]
1,2单调递增 所以()()()min 3
1113132
f x f k k ==-+++= 即5
3
k =
（舍） ②当2k ≥时，[]()1,2,'0x f x ∀∈≤，函数()f x 在区间[]1,2单调递减
所以()()()min 28613213f x f k k ==-++⋅+= 符合题意
③当12k <<时,
当[)1,x k ∈时，()'0f x <()f x 区间在[
)1,k 单调递减
当(],2x k ∈时，()'0f x >()f x 区间在(],2k 单调递增
所以()()()3
22min 3
13132
f x f k k k k k ==-
+++= 化简得：32
340k k -+=
即()()2
120k k +-=
所以1k =-或2k =（舍）
注：也可令()3
2
34g k k k =-+
则()()2
3632g k k k k k =='--
对()()1,2,0k g k ∀∈'≤ ()3234g k k k =-+在()1,2k ∈单调递减
所以()02g k <<不符合题意
综上所述：实数k 取值范围为2k ≥
方法二：()()()()2
331331f x x k x k x x k =-++=--'
①当2k ≥时，[]
()1,2,'0x f x ∀∈≤，函数()f x 在区间[]
1,2单调递减 所以()()()min 28613213f x f k k ==-++⋅+=
符合题意 …………8分
②当1k ≤时，[]
()1,2,'0x f x ∀∈≥，函数()f x 在区间[]
1,2单调递增 所以()()min 23f x f <=不符合题意
③当12k <<时,
当[)1,x k ∈时，()'0f x <()f x 区间在[
)1,k 单调递减 当(],2x k ∈时，()'0f x >()f x 区间在(],2k 单调递增 所以()()()min 23f x f k f =<=不符合题意
综上所述：实数k 取值范围为2k ≥ 20．【答案】
【解析】解：（1）设z=x+yi （x ，y ∈R ）． 由z+2i=x+（y+2）i 为实数，得y+2=0，即y=﹣2．
由z ﹣4=（x ﹣4）+yi 为纯虚数，得x=4．
∴z=4﹣2i ．
（2）∵（z+mi ）2=（﹣m 2
+4m+12）+8（m ﹣2）i ，
根据条件，可知
解得﹣2＜m ＜2，
∴实数m 的取值范围是（﹣2，2）．
【点评】本题考查了复数的运算法则、纯虚数的定义、几何意义，属于基础题．
21．【答案】（1）90=甲x ,90=乙x ,5242
=甲s ,82=乙s ，甲单位对法律知识的掌握更稳定；（2）2
1
. 【解析】
试题分析：（1）先求出甲乙两个单位职工的考试成绩的平均数,以及他们的方差,则方差小的更稳定；（2）从乙单位抽取两名职工的成绩,所有基本事件用列举法得到共10种情况,抽取的两名职工的分数差至少是的事件用列举法求得共有种,由古典概型公式得出概率.
试题解析：解：（1）90939191888751=++++=）
（甲x ，9093929189855
1=++++=）（乙 524
])9093()9091()9091()9088()9087[(51222222
=-+-+-+-+-=
甲s 8])9093()9092()9091()9089()9085[(51222222
=-+-+-+-+-=乙s
∵85
24
<，∴甲单位的成绩比乙单位稳定，即甲单位对法律知识的掌握更稳定. （6分）
考
点：1.平均数与方差公式；2.古典概型． 22．【答案】
【解析】解：（1）
=…
=
=5…
（2）（lg5）2+2lg2﹣（lg2）2
=（lg5+lg2）（lg5﹣lg2）+2lg2…
=
．…
23．【答案】
【解析】解：（1）f （x ）=log 3（1+x ）﹣log 3（1﹣x ）为奇函数． 理由：1+x ＞0且1﹣x ＞0，得定义域为（﹣1，1），（2分）
又f（﹣x）=log3（1﹣x）﹣log3（1+x）=﹣f（x），
则f（x）是奇函数.
（2）g（x）=log=2log3，（5分）
又﹣1＜x＜1，k＞0，（6分）
由f（x）≥g（x）得log3≥log3，
即≥，（8分）
即k2≥1﹣x2，（9分）
x∈[，]时，1﹣x2最小值为，（10分）
则k2≥，（11分）
又k＞0，则k≥，
即k的取值范围是（﹣∞，].
【点评】本题考查函数的奇偶性的判断和证明，考查不等式有解的条件，注意运用对数函数的单调性，考查运算化简能力，属于中档题．
24．【答案】
【解析】【命题意图】本题主要考查绝对值不等式的解法、三角不等式、基本不等式等基础知识，以及考查等价转化的能力、逻辑思维能力、运算能力．。