17-18版：2.2.1 函数的单调性(一)

2．2.1函数的单调性(一)
学习目标 1.理解函数单调区间、单调性等概念.2.会划分函数的单调区间，判断单调性.3.会用定义证明函数的单调性．
知识点一函数的单调性
思考画出函数f(x)＝x、f(x)＝x2的图象，并指出f(x)＝x、f(x)＝x2的图象的升降情况如何？
梳理一般地，单调性是相对于区间来说的，函数图象在某区间上上升，则函数在该区间上为单调增函数，该区间称为单调增区间．反之则为单调减函数，相应区间称为单调减区间．因为很多时候我们不知道函数图象是什么样的，而且用上升下降来刻画单调性很粗糙．所以有以下定义：
设函数y＝f(x)的定义域为A，区间I⊆A.
(1)如果对于区间I内的任意两个值x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说y＝f(x)在区间I上是单调增函数，I称为y＝f(x)的单调增区间．
(2)如果对于区间I内的任意两个值x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说y＝f(x)在
区间I上是单调减函数，I称为y＝f(x)的单调减区间．单调增区间和单调减区间统称为单调区间．
知识点二函数的单调区间
思考 我们已经知道f (x )＝x 2的单调减区间为(－∞，0]，f (x )＝1
x 的单调减区间为(－∞，0)，
这两个单调减区间的书写形式能不能交换？
梳理 一般地，有下列常识
(1)函数单调性关注的是整个区间上的性质，单独一点不存在单调性问题，所以单调区间的端点若属于定义域，则该点处区间可开可闭，若区间端点不属于定义域则只能开． (2)单调区间D ⊆定义域I .
(3)遵循最简原则，单调区间应尽可能大．
类型一 求单调区间并判断单调性
例1 如图是定义在区间[－5,5]上的函数y ＝f (x )，根据图象说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是单调增函数还是单调减函数？
反思与感悟函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，单调区间是定义域的子集；当函数出现两个以上单调区间时，单调区间之间可用“，”分开，不能用“∪”，可以用“和”来表示；在单调区间D上函数要么是单调增函数，要么是单调减函数，不能二者兼有．
跟踪训练1写出函数y＝|x2－2x－3|的单调区间，并指出单调性．
类型二证明单调性
命题角度1证明具体函数的单调性
例2证明f(x)＝x在其定义域上是单调增函数．
反思与感悟 运用定义判断或证明函数的单调性时，应在函数的定义域内给定的区间上任意取x 1，x 2且x 1<x 2的条件下，转化为确定f (x 1)与f (x 2)的大小，要牢记五大步骤：取值→作差→变形→定号→小结．
跟踪训练2 求证：函数f (x )＝x ＋1
x 在[1，＋∞)上是单调增函数．
命题角度2 证明抽象函数的单调性
例3 已知函数f (x )对任意的实数x 、y 都有f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )－1，且当x >0时，f (x )>1.求证：函数f (x )在R 上是单调增函数．
反思与感悟 因为抽象函数不知道解析式，所以不能代入求f (x 1)－f (x 2)，但可以借助题目提供的函数性质来确定f (x 1)－f (x 2)的大小，这时就需要根据解题需要对抽象函数进行赋值． 跟踪训练3 已知函数f (x )的定义域是R ，对于任意实数m ，n ，恒有f (m ＋n )＝f (m )·f (n )，且当x >0时，0<f (x )<1.求证：f (x )在R 上是单调减函数．
类型三 单调性的应用
命题角度1 利用单调性求参数范围
例4 若函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
(3a －1)x ＋4a ，x <1，－ax ，x ≥1是定义在R 上的单调减函数，则a 的取值范围为
________．
反思与感悟 分段函数在定义域上单调，除了要保证各段上单调外，还要保证在接口处不能反超．另外，函数在单调区间上的图象不一定是连续不断的．
跟踪训练4 已知函数f (x )＝x 2－2ax －3在区间[1,2]上单调，则实数a 的取值范围为________________．
命题角度2 用单调性解不等式
例5 已知y ＝f (x )在定义域(－1,1)上是单调减函数，且f (1－a )<f (2a －1)，求a 的取值范围．
反思与感悟 若已知函数f (x )的单调性，则由x 1，x 2的大小，可得f (x 1)，f (x 2)的大小；由f (x 1)，f (x 2)的大小，可得x 1，x 2的大小．
跟踪训练5 在例5中若函数y ＝f (x )的定义域为R ，且为单调增函数，f (1－a )<f (2a －1)，则a 的取值范围又是什么？
1．函数y ＝f (x )在区间[－2,2]上的图象如图所示，则此函数的单调增区间是________．
2．函数y ＝6
x
的单调减区间是________．
3．在下列函数f (x )中，满足对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，当x 1<x 2时，都有f (x 1)>f (x 2)的是________．(填序号)
①f (x )＝x 2；②f (x )＝1
x ；③f (x )＝|x |；
④f (x )＝2x ＋1. 4．给出下列说法：
①若定义在R 上的函数f (x )满足f (3)＞f (2)，则函数f (x )在R 上为单调增函数； ②若定义在R 上的函数f (x )满足f (3)＞f (2)，则函数f (x )在R 上不可能为单调减函数；
③函数f (x )＝－1
x 在(－∞，0)∪(0，＋∞)上为单调增函数；④函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＋1，x ≥0，－x 2＋1，x ＜0在定
义域R 上为单调增函数．
其中说法正确的是________．(填序号)
5．若函数f (x )在R 上是单调减函数，且f (|x |)>f (1)，则x 的取值范围是________．
1．若f (x )的定义域为D ，A ⊆D ，B ⊆D ，f (x )在A 和B 上都为单调减函数，未必有f (x )在A ∪B 上为单调减函数．
2．对单调增函数的判断，对任意x 1<x 2，都有f (x 1)<f (x 2)，也可以用一个不等式来替代： (x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]>0或f (x 1)－f (x 2)
x 1－x 2>0.对单调减函数的判断，对任意x 1<x 2，都有f (x 1)>f (x 2)，
相应地也可用一个不等式来替代：(x 1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]<0或f (x 1)－f (x 2)
x 1－x 2
<0.
3．熟悉常见的一些函数的单调性，包括一次函数，二次函数，反比例函数等．
4．若f (x )，g (x )都是单调增函数，h (x )是单调减函数，则：①在定义域的交集(非空)上，f (x )＋g (x )为单调增函数，f (x )－h (x )为单调增函数，②－f (x )为单调减函数，③1
f (x )
为单调减函数(f (x )≠0)．
5．对于函数值恒正(或恒负)的函数f (x )，证明单调性时，也可以作商f (x 1)
f (x 2)
与1比较．
答案精析
问题导学 知识点一
思考 两函数的图象如下：
函数f (x )＝x 的图象由左到右是上升的；函数f (x )＝x 2的图象在y 轴左侧是下降的，在y 轴右侧是上升的． 知识点二
思考 f (x )＝x 2的单调减区间可以写成(－∞，0)，而f (x )＝1
x 的单调减区间(－∞，0)不能写成(－
∞，0]，因为0不属于f (x )＝1
x 的定义域．
题型探究
例1 解 y ＝f (x )的单调区间有[－5，－2]，[－2,1]，[1,3]，[3,5]，其中y ＝f (x )在区间[－5，－2]，[1,3]上是单调减函数，在区间[－2,1]，[3,5]上是单调增函数．
跟踪训练1 解 先画出f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
x 2－2x －3，x <－1或x >3，
－(x 2
－2x －3)，－1≤x ≤3
的图象，如图．
所以y ＝|x 2－2x －3|的单调区间有(－∞，－1]，[－1,1]，[1,3]，[3，＋∞)，其中单调减区间是(－∞，－1]，[1,3]；单调增区间是[－1,1]，[3，＋∞)． 例2 证明 f (x )＝x 的定义域为[0，＋∞)．
设x 1，x 2是定义域[0，＋∞)上的任意两个实数，且x 1<x 2，
则f (x 1)－f (x 2)＝x 1－x 2 ＝
(x 1－x 2)(x 1＋x 2)
x 1＋x 2
＝
x 1－x 2x 1＋x 2
.
∵0≤x 1<x 2，
∴x 1－x 2<0，x 1＋x 2>0， ∴f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)，
∴f (x )＝x 在定义域[0，＋∞)上是单调增函数．
跟踪训练2 证明 设x 1，x 2是实数集R 上的任意实数，且1≤x 1<x 2， 则f (x 1)－f (x 2)＝x 1＋1x 1－(x 2＋1
x 2)
＝(x 1－x 2)＋(1x 1－1
x 2)
＝(x 1－x 2)＋x 2－x 1
x 1x 2
＝(x 1－x 2)(1－1
x 1x 2)
＝(x 1－x 2)(x 1x 2－1
x 1x 2
)．
∵1≤x 1<x 2，∴x 1－x 2<0,1<x 1x 2， ∴x 1x 2－1x 1x 2>0，故(x 1－x 2)(x 1x 2－1x 1x 2)<0，
即f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)．
∴f (x )＝x ＋1
x
在区间[1，＋∞)上是单调增函数．
例3 证明 方法一 设x 1，x 2是实数集上的任意两个实数，且x 1>x 2.令x ＋y ＝x 1，y ＝x 2，则x ＝x 1－x 2>0.
f (x 1)－f (x 2)＝f (x ＋y )－f (y )＝f (x )＋f (y )－1－f (y )＝f (x )－1. ∵x >0，∴f (x )>1，f (x )－1>0， ∴f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)．
∴函数f (x )在R 上是单调增函数．
方法二 设x 1>x 2，则x 1－x 2>0，
从而f (x 1－x 2)>1，
即f (x 1－x 2)－1>0.
f (x 1)＝f [x 2＋(x 1－x 2)]
＝f (x 2)＋f (x 1－x 2)－1>f (x 2)，
故f (x )在R 上是单调增函数．
跟踪训练3 证明 ∵对于任意实数m ，n ，恒有f (m ＋n )＝f (m )·f (n )，令m ＝1，n ＝0，可得f (1)＝f (1)·f (0)，
∵当x ＞0时，0＜f (x )＜1，∴f (1)≠0，∴f (0)＝1.
令m ＝x ＜0，n ＝－x ＞0，
则f (m ＋n )＝f (0)＝f (－x )·f (x )＝1，
∴f (x )f (－x )＝1，
又∵－x ＞0时，0＜f (－x )＜1，
∴f (x )＝1f (－x )
＞1. ∴对任意实数x ，f (x )恒大于0.
设任意x 1<x 2，则x 2－x 1>0，
∴0<f (x 2－x 1)<1，
∴f (x 2)－f (x 1)
＝f [(x 2－x 1)＋x 1]－f (x 1)
＝f (x 2－x 1)f (x 1)－f (x 1)
＝f (x 1)[f (x 2－x 1)－1]<0，
∴f (x )在R 上是单调减函数．
例4 [18，13
) 解析 要使f (x )在R 上是单调减函数，需满足：
⎩⎪⎨⎪⎧ 3a －1<0，－a <0，
(3a －1)·
1＋4a ≥－a ·1，
解得18≤a ＜13. 跟踪训练4 (－∞，1]∪[2，＋∞)
解析 由于二次函数开口向上，故其单调增区间为[a ，＋∞)，单调减区间为(－∞，a ]，而f (x )在区间[1,2]上单调，所以[1,2]⊆[a ，＋∞)或[1,2]⊆(－∞，a ]，即a ≤1或a ≥2.
例5 解 f (1－a )<f (2a －1)等价于
⎩⎪⎨⎪⎧ －1<1－a <1，－1<2a －1<1，
1－a >2a －1，解得0<a <23
， 即所求a 的取值范围是0<a <23
. 跟踪训练5 解 ∵y ＝f (x )的定义域为R ，且为单调增函数，
f (1－a )<f (2a －1)，
∴1－a <2a －1，即a >23
， ∴所求a 的取值范围是(23
，＋∞)． 当堂训练
1．[－2,1] 2.(－∞，0)，(0，＋∞)
3．②
4．②④
解析 由单调增函数的定义，可知①错误；由单调减函数的定义，可知②正确；因为函数f (x )
＝－1x 在(－∞，0)和(0，＋∞)上为单调增函数，所以③错误；作出函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
x ＋1，x ≥0，－x 2＋1，x ＜0
的图象，如图所示，由图象可知④正确．
5．(－1,1)。