高三高考文科数学专项训练汇编之应用题

应用题
（静安区20XX 届高三一模 文科）（文）某地区的绿化面积每年平均比上一年增长10.4%，
经过x 年，绿化面积与原绿化面积之比为y ，则y=f(x)的图像大致为 （ ）
15．（文）D ；
（闸北区20XX 届高三一模 文科）6．一人在海面某处测得某山顶C 的仰角为
α)450( <<α，
在海面上向山顶的方向行进m 米后，测得山顶C 的仰角为α-
90，则该山的高度为 米．（结果化简） 6．α2tan 2
1
m ；
（普陀区20XX 届高三一模 文科）18. 如图,四边形ABCD 是正方形，延长CD 至E ，使
得CD DE =.若动点P 从点A 出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周回到A 点，其中AP AB AE λμ=+，下列判断
正确．．
的是………………………………………………………………………………（ ） （A ）满足λμ+2=的点P 必为BC 的中点. （B ）满足1λμ+=的点P 有且只有一个. （C ）λμ+的最大值为3. （D ）λμ+的最小值不存在.
18. C
（浦东新区20XX 21．（本小题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
世博中学为了落实上海市教委推出的“阳光运动一小时”活动，计划在一块直角三角形
ABC 的空地上修建一个占地面积为S 的矩形AMPN 健身场地，如图点M 在AC 上，点N
B
P
（第18题图）
A
C
D E
在AB 上，且P 点在斜边BC 上，已知 60=∠ACB 且30||=AC 米，=AM x ，]20,10[∈x .
（1）试用x 表示S ，并求S 的取值范围； （2）设矩形AMPN 健身场地每平方米的造价为
S
k
37，再把矩形AMPN 以外（阴影部分）铺上草坪，每平方米的造价为
S
k
12（k 为正常数），求总造价T 关于S 的函数)(S f T =；试问如何选取||AM 的长使总造价T 最低（不要求求出最低造价）.
解：（1）在PMC Rt ∆中，显然x MC -=30||，
60=∠PCM ，
∴)30(3tan ||||x PCM MC PM -=∠⋅=，………………2分
矩形AMPN 的面积)30(3||||x x MC PM S -=⋅=，[10,20]x ∈…4分 于是32253200≤≤S 为所求.…………………6分
（2） 矩形AMPN 健身场地造价=1T S k 37 ………………………………………7分
又ABC ∆的面积为3450，即草坪造价=
2T )3450(12S S
k
-，……………8分 由总造价21T T T +=，∴)3
216(25S
S k T +
=，32253200≤≤S .…10分 36123
216≥+
S
S ，……………………………………………………11分 当且仅当S
S 3
216=
即3216=S 时等号成立，……………………………12分
此时3216)30(3=-x x ，解得12=x 或18=x ，
所以选取||AM 的长为12米或18米时总造价T 最低.………………………14分
（黄浦区20XX 届高三一模 文科）21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分6分．
N
N
P
M
D
C
B
A
N
P
M D C
B A
如图所示，ABCD 是一个矩形花坛，其中AB = 6米，AD = 4米．现将矩形花坛ABCD 扩建成一个更大的矩形花园AMPN ，要求：B 在AM 上，D 在AN 上，对角线MN 过C 点， 且矩形AMPN 的面积小于150平方米．
（1）设AN 长为x 米，矩形AMPN 的面积为S 平方米，试用解析式将S 表示成x 的函数，并写出该函数的定义域；
（2）当AN 的长度是多少时，矩形AMPN 的面积最小?并求最小面积．
21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分6分． 解：（1）由△NDC ∽△NAM ，可得DN DC
NA AM
=
， ∴
46x x AM -=
，即64
x AM x =-，……………………3分 故2
64
x S AN AM x =⋅=-， ………………………5分 由2
61504
x S x =
<-且4x >，可得2251000x x -+<，解得520x <<， 故所求函数的解析式为2
64
x S x =-，定义域为(5,20)． …………………………………8分
（2）令4x t -=，则由(5,20)x ∈，可得(1,16)t ∈，
故2266(4)16
6(8)
x t S t t t +=
==++- …………………………10分 8)96≥=， …………………………12分
当且仅当16
t t
=，即4t =时96S =．又4(1,16)∈，故当4t =时，S 取最小值96．
故当AN 的长为8时，矩形AMPN 的面积最小，最小面积为96（平方米）…………14分
（长宁区20XX 届高三一模）21、（本题满分14分）（理）经过统计分析，公路上的车流速度v （单位：千米/小时）是车流密度x （单位：辆/千米）的函数，当公路上的车流密度
达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明：当20200x ≤≤时，车流速度v 是车流密度x 的一次函数. (1)当0200x ≤≤时，求函数()v x 的表达式；
(2)当车流密度x 为多大时，车流量（单位时间内通过公路上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）()()f x x v x =可以达到最大，并求出最大值.（精确到1辆/小时）
（文）某工厂生产一种产品的原材料费为每件40元，若用x 表示该厂生产这种产品的总件数，则电力与机器保养等费用为每件0.05x 元，又该厂职工工资固定支出12500元。

（1）把每件产品的成本费P （x ）（元）表示成产品件数x 的函数，并求每件产品的最低成本费； （2）如果该厂生产的这种产品的数量x 不超过3000件，且产品能全部销售，根据市场调查：每件产品的销售价Q （x ）与产品件数x 有如下关系：()1700.05Q x x =-，试问生产多少件产品，总利润最高？（总利润=总销售额-总的成本）
21、（理）解（1）由题意：当020x ≤≤时，()60v x =；
当20200x ≤≤时，设().v x ax b =+ …………………………2分
再由已知得2000,2060.a b a b +=⎧⎨+=⎩解得1,3
200.3a b ⎧
=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
…………………………4分
故函数v(x)的表达式为60, 020,()1(200), 20200.3x v x x x ≤≤⎧⎪
=⎨-≤≤⎪⎩………………7分
（2）依题意并由（1）可得60, 020,()1(200), 20200.3
x x f x x x x ≤≤⎧⎪
=⎨-≤≤⎪⎩， …………9分
当020x ≤≤时，()f x 为增函数.故当x=20时，其最大值为60×20=1200； 当20200x ≤≤时，211(200)10000()(200)[].3323
x x f x x x +-=
-≤= 当且仅当200x x =-，即100x =时，等号成立.
所以，当100x =时，()f x 在区间[20，200]上取得最大值
10000
3. …12分 综上，当100x =时，()f x 在区间[0，200]上取得最大值10000
33333
≈. 即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3333辆/小时. …………………………14分
（文）解：（1）12500
()400.05P x x x =
++ ………………………………………3分
由基本不等式得()4090P x ≥=
当且仅当12500
0.05x x =，即500x =时，等号成立 ……………………6分 ∴
12500
()400.05P x x x =
++，成本的最小值为90元． ……………………7分
（2）设总利润为y 元，则
125001301.0)()(2-+-=-=x x x xP x xQ y ……………10分 29750)650(1.02+--=x
当650x =时,
max 29750y = ……………………………………………………13分
答：生产650件产品时，总利润最高，最高总利润为29750元．… ……14分
（奉贤区20XX 届高三一模）21、某海域有A 、B 两个岛屿，B 岛在A 岛正东4海里处。

经多年观察研究发现，某种鱼群洄游的路线是曲线C ，曾有渔船在距A 岛、B 岛距离和为8海里处发现过鱼群。

以A 、B 所在直线为x 轴，AB 的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系。

（1）求曲线C 的标准方程；（6分）
（2）某日，研究人员在A 、B 两岛同时用声纳探测仪发出不同频率的探测信号（传播速度相同），A 、B 两岛收到鱼群在P 处反射信号的时间比为3:5，问你能否确定P 处的位置（即点P 的坐标）？（8分）
x
B
A
y
O
•
•
21、解（1）由题意知曲线C 是以A 、B 为焦点且长轴长为8的椭圆 3分 又42=c ，则4,2==a c ，故32=b 5分
所以曲线C 的方程是
112
162
2=+y x 6分 （2）由于A 、B 两岛收到鱼群发射信号的时间比为3:5，
因此设此时距A 、B 两岛的距离分别比为3:5 7分 即鱼群分别距A 、B 两岛的距离为5海里和3海里。

8分
设),(y x P ，)0,2(B ，由3=PB ∴3)2(2
2=+-y x ， 10分
()⎪⎪
⎩
⎪⎪⎨⎧≤≤-=+
=+-44112169222
22x y x
y x ， 12分 ∴3,2±==y x 13分 ∴点P 的坐标为()3,2或()3,2- 14分
（静安区20XX 届高三一模 文科）19．（文）
某仓库为了保持库内的湿度和温度，四周墙上均装有如图所示的自动通风设施．该设施的下部ABCD 是矩形，其中AB =2米，
BC =1米；上部CDG 是等边三角形，固定点E 为AB 的中点．△EMN
是由电脑控制其形状变化的三角通风窗（阴影部分均不通风），MN 是可以沿设施边框上下滑动且始终保持和AB 平行的伸缩横杆．
（1）设MN 与AB 之间的距离为x 米，试将△EMN 的面积S
（平方米）表示成关于x 的函数；
（2）求△EMN 的面积S （平方米）的最大值． A G
N D M
C
（理19题）
19（理）解：（1）
①如图1所示，当MN 在矩形区域滑动， 即0＜x ≤1时，
△EMN 的面积S =x ⨯⨯22
1
=x ； ····························· 1分
②如图2所示，当MN 在三角形区域滑动， 即1＜x ＜31+时，
如图，连接EG ，交CD 于点F ，交MN 于点H ， ∵ E 为AB 中点，
∴ F 为CD 中点，GF ⊥CD ，且FG ＝3. 又∵ MN ∥CD ，
∴ △MNG ∽△DCG ．
∴ GF GH
DC MN =，即MN ························· 4分
故△EMN 的面积
S ＝12x
＝x x )331(332++-； ···············································
6分
综合可得：
(
)(20111133x x S x x x ⎧⎪
=⎛⎫
⎨-++ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎩
，＜≤．＜＜
····························································· 7分
（闵行区20XX 届高三一模 文科）
（文）（本题满分14分）本题共有2个小题，.第(1)小题满分7分，第(2)小
题满分7分．．
科学研究表明：一般情况下，在一节40分钟的课中，学生的注意力随教师讲课的时间变化而变化。

开始上课时，学生的注意力逐步增强，随后学生的注意力开始分散。

经过实验分析，得出学生的注意力指数y 随时间x
D
C
图2
（分钟）的变化规律为：
2
268,
08()1(32480),8408
x x y f x x x x +≤<⎧⎪
==⎨---≤≤⎪⎩ （1）如果学生的注意力指数不低于80，称为“理想听课状态”，则在一节40分钟的课中学生处于“理想听课状态”所持续的时间有多长？（精确到1分钟）
（2）现有一道数学压轴题，教师必须持续讲解24分钟，为了使效果更好，要求学生的注意
力指数在这24分钟内的最低值达到最大，那么，教师上课后从第几分钟开始讲解这道题？（精确到1分钟） 解：
[解]（文）（1）由于学生的注意力指数不低于80，即80y ≥
当08x ≤<时，由26880x +≥得68x ≤<； …………2分
当840x ≤≤时，由2
1(32480)808
x x ---≥
得816x ≤≤+2分
所以6,16x ⎡∈+⎣
，1661020+=+≈
故学生处于“理想听课状态”所持续的时间有20分钟. ……………3分 （2）设教师上课后从第t
分钟开始讲解这道题，由于1024+<
所以[)0,6t ∈ …………………………………………………………2分 要学生的注意力指数最低值达到最大，只需()(24)f t f t =+
即2
1268[(24)32(24)480]8
t t t +=-+-+- ……………………………2分
解得164t =≈ ………………………………………2分 所以，教师上课后从第4分钟开始讲解这道题，能使学生的注意力指数最低值达到最
大. ………………………………………………………………………1分 （普陀区20XX 届高三一模 文科）19. （本题满分12分）本大题共有2小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分.
如图，某种水箱用的“浮球”，是由两个半球和一个圆柱筒组成. 已知球的直径是6cm ，圆柱筒长2cm .
（1）这种“浮球”的体积是多少3
cm （结果精确到0.1）？ （2）要在这样2500个“浮球”表面涂一层胶质，
如果每平方米需要涂胶100克，共需胶多少？
19.【解】（1）cm d 6=，cm R 3=，πππ36273
4
343=⋅==
R V 球3cm …………2分 2=h ，πππ18292=⨯⨯=⋅=h R V 圆柱3
cm …………2分 =V 圆柱球V V +6.169541836≈=+=πππ3
cm …………2分
（2）πππ369442=⨯⨯==R S 球表2
cm …………2分
πππ122322=⨯⨯⨯==Rh S 圆柱侧2
cm …………2分
1个“浮球”的表面积πππ4
4110
48
101236=+=
S 2m 2500个“浮球”的表面积的和ππ1210
48250042500=⨯=S 2
m
所用胶的质量为ππ120012100=⨯（克）…………2分
答：这种浮球的体积约为6.1693
cm ；供需胶π1200克.
（松江区20XX 届高三一模 文科）21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满
分6分，第2小题满分8分
“活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点．研究表明：“活水围网”养鱼时，某种鱼在一定的条件下，每尾鱼的平均生长速度v （单位：千克/年）是养殖密度x （单位：尾/立方米）的函数．当x 不超过4（尾/立方米）时，v 的值为2（千克/年）；当420x ≤≤时，v 是x 的一次函数；当x 达到20（尾/立方米）时，因缺氧等原因，v 的值为0（千克/年）．
（1）当020x <≤时，求函数()v x 的表达式；
（第19题图）
2cm
6cm
（2）当养殖密度x 为多大时，鱼的年生长量（单位：千克/立方米）()()f x x v x =⋅可以达
到最大，并求出最大值．
2013.1
21．解：（1）由题意：当04x <≤时，()2v x =； …………………………2分 当420x <≤时，设()b ax x v +=，显然()b ax x v +=在[4,20]是减函数，
由已知得20042a b a b +=⎧⎨+=⎩，解得18
52
a b ⎧
=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ …………………………4分
故函数
()x v =**
2,
04,15
,420,8
2x x N x x x N
⎧<≤∈⎪⎨-+≤≤∈⎪
⎩ …………………………6分
（2）依题意并由（1）可得()=x f *
2*
2,04,15,
420,.8
2x x x N x x x x N ⎧<≤∈⎪
⎨-+≤≤∈⎪⎩ ……8分 当04x ≤≤时，()x f 为增函数，故()max (4)f x f ==428⨯=； ……………10分
当420x ≤≤时，()2
222
1511100(20)(10)82888
f x x x x x x =-+=--=--+，
()max (10)12.5f x f ==． ……………………………12分
所以，当020x <≤时，()x f 的最大值为12.5．
当养殖密度为10尾/立方米时，鱼的年生长量可以达到最大，最大值约为12.5千克/立方米．
……………………………14分
（闸北区20XX 届高三一模 文科）15．
（文）（本题满分14分，第1小题满分7分，第2小题满分7分）
如图，某农业研究所要在一个矩形试验田ABCD 内种植三种农作物，三种农作物分别种植在并排排列的三个形状相同、大小相等的矩形中．试验田四周和三个种植区域之间设有1米宽的非种植区．已知种植区的占地面积为800平方米．
（1）设试验田ABCD 的面积为S ，x AB =，求函数)(x f S =的解析式； （2）求试验田ABCD 占地面积的最小值． 15．解：设ABCD 的长与宽分别为x 和y ，则
800)2)(4(=--y x （3分）
4
2792-+=x x y （2分） 试验田ABCD 的面积==xy S 4
)2792(-+x x x （2分） 令t x =-4，0>t ，则96880832002≥++=t
t S ， （4分） 当且仅当t
t 32002=时，40=t ，即44=x ，此时，22=y ． （2分） 答: 试验田ABCD 的长与宽分别为44米、22米时，占地面积最小为968米2. （1分）。