人教B数学必修1：高中同步测试卷(十二) Word版含答案

高中同步测试卷(十二)
函数性质微专题
(时间：100分钟，满分：120分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．函数f (x )＝1
1－x ＋lg(1＋x )的定义域是( )
A ．(－∞，－1)
B ．(1，＋∞)
C ．(－1，1)∪(1，＋∞)
D ．(－∞，＋∞)
2．已知函数f (x )为奇函数，且当x >0时，f (x )＝x 2＋1
x ，则f (－1)＝( )
A ．2
B ．1
C ．0
D ．－2
3．关于函数y ＝－3
x 的单调性的叙述正确的是( )
A ．在(－∞，0)上是递增的，在(0，＋∞)上是递减的
B ．在(－∞，0)∪(0，
＋∞)上递增
C ．在[0，＋∞)上递增
D ．在(－∞，0)和(0，＋∞)上都是递增的
4．已知f (x )＝x 2＋bx ＋c 且f (－1)＝f (3)，则( ) A ．f (－3)<c <f ⎝⎛⎭⎫
52 B ．f ⎝⎛⎭⎫
52<c <f (－3) C ．f ⎝⎛⎭⎫52<f (－3)<c
D ．c <f ⎝⎛⎭⎫52<f (－3)
5．设函数f (x )＝x (e x ＋a e －
x )(x ∈R )是偶函数，则实数a 的值为( )
A ．－1
B ．－2
C ．－3
D ．－4
6．函数f (x )＝a |x ＋
1|(a ＞0，a ≠1)的值域为[1，＋∞)，则f (－4)与f (1)的关系是( ) A ．f (－4)＞f (1) B ．f (－4)＝f (1) C ．f (－4)＜f (1)
D ．不能确定
7．已知奇函数f (x )对任意的正实数x 1，x 2(x 1≠x 2)，恒有(x 1－x 2)(f (x 1)－f (x 2))＞0，则一定正确的是( )
A ．f (4)＞f (－6)
B ．f (－4)＜f (－6)
C ．f (－4)＞f (－6)
D ．f (4)＜f (－6)
8．已知函数f (x )＝log 2x ＋1
1－x ，若x 1∈(1，2)，x 2∈(2，＋∞)，则( )
A ．f (x 1)<0，f (x 2)<0
B ．f (x 1)<0，f (x 2)>0
C ．f (x 1)>0，f (x 2)<0
D ．f (x 1)>0，f (x 2)>0
9．定义在R 上的函数f (x )满足f (－x )＝－f (x )，f (x －2)＝f (x ＋2)，且x ∈(－1，0)时，f (x )＝2x ＋1
5
，则f (log 220)＝( )
A ．1 B.45 C ．－1
D ．－45
10．设f (x )＝x 3＋bx ＋c 是[－1，1]上的增函数，且f (－12)·f (1
2)＜0，则方程f (x )＝0在[－1，
1]内( )
A ．可能有3个实数根
B ．可能有2个实数根
C ．有唯一的实数根
D ．没有实数根
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上) 11．函数y ＝6
x
，x ∈[2，6]的值域为________．
12．如果函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪
⎧2x －3，（x >0）f （x ），（x <0）
是奇函数，则f (x )＝________．
13．已知函数f (x )＝4x 2＋kx －8在[－1，2]上具有单调性，则实数k 的取值范围是________． 14．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 1
2x ，x ≥1，2x ，x <1
的值域为________．
三、解答题(本大题共6小题，每小题10分，共60分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
15．已知函数f (x )＝－2x ＋m ，其中m 为常数． (1)求证：函数f (x )在R 上是减函数； (2)当函数f (x )是奇函数时，求实数m 的值．
16．已知函数f (x )＝⎝⎛⎭
⎫
23|x |－a
.
(1)求f (x )的单调区间；
(2)若f (x )的最大值等于9
4
，求a 的值．
17.已知函数f (x )是定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的奇函数，当x >0时，f (x )＝log 2x . (1)求当x <0时，函数f (x )的表达式；
(2)若g (x )＝2x (x ∈R )，集合A ＝{x |f (x )≥2}，B ＝{y |y ＝g (x )，x ∈A }，试求集合B . 18．已知函数f (x )是正比例函数，函数g (x )是反比例函数，且f (1)＝1，g (1)＝2. (1)求函数f (x )和g (x )；
(2)判断函数f (x )＋g (x )的奇偶性；
(3)求函数f (x )＋g (x )在(0，2]上的最小值．
附加题
19．定义在[－1，1]上的偶函数f(x)，已知当x∈[0，1]时的解析式为f(x)＝－22x＋2x a(a∈R)．
(1)求f(x)在[－1，0]上的解析式．
(2)求f(x)在[0，1]上的最大值h(a)．
20．已知幂函数f(x)＝x(m2＋m)－1(m∈N*)．
(1)若该函数经过点(2，2)，试确定m的值，并求满足条件f(2－a)>f(a－1)的实数a的取值范围；
(2)试确定该函数的定义域，并指明该函数在其定义域上的单调性．
参考答案与解析
1．[03090224] 【解析】选C.要使函数有意义，须满足：
⎩
⎪⎨⎪⎧1－x ≠0，1＋x >0，解之得x >－1且x ≠1.故其定义域为(－1，1)∪(1，＋∞)． 2．[03090225] 【解析】选D.由f (x )为奇函数知f (－1)＝－f (1)＝－2.
3．[03090226] 【解析】选D.由于函数y ＝1x 在(－∞，0)和(0，＋∞)上是递减的，且－3<0，
因此函数y ＝－3
x 在(－∞，0)和(0，＋∞)上都是递增的，这里特别注意两区间之间只能用“和”
或“，”，一定不能用“∪”．
4．[03090227] 【解析】选D.由已知可得二次函数图象关于直线x ＝1对称，
又f (－3)＝f (5)，c ＝f (0)＝f (2)，二次函数在区间(1，＋∞)上单调递增，故有f (－3)＝f (5)>f ⎝⎛⎭⎫52>f (2)＝f (0)＝c ，故选D.
5．[03090228] 【解析】选A.设g (x )＝x ，h (x )＝e x ＋a e －
x ，因为函数g (x )＝x 是奇函数，
则由题意知，函数h (x )＝e x ＋a e －
x 为奇函数，又函数f (x )的定义域为R ，所以h (0)＝0，解得a
＝－1.
6．[03090229] 【解析】选A.由题意知a ＞1，∴f (－4)＝a 3，f (1)＝a 2，由单调性知a 3＞a 2，∴f (－4)＞f (1)，故选A.
7．[03090230] 【解析】选C.由(x 1－x 2)(f (x 1)－f (x 2))＞0 知f (x )在(0，＋∞)上递增， ∴f (4)＜f (6)⇔f (－4)＞f (－6)．
8．[03090231] 【解析】选B.函数f (x )＝log 2x ＋1
1－x 在(1，＋∞)上是增函数，而f (2)＝0，
所以当x 1∈(1，2)时，有f (x 1)<f (2)＝0；当x 2∈(2，＋∞)时，有f (x 2)>f (2)＝0.故选B.
9．[03090232] 【解析】选C.由f (x －2)＝f (x ＋2)⇒f (x )＝f (x ＋4)，因为4<log 220<5，所以f (log 220)＝f (log 220－4)＝－f (4－log 220)＝－f (log 24
5
)＝－1.
10．[03090233] 【解析】选C.由f (x )在[－1，1]上是增函数，且f (－12)·f (1
2)＜0，知f (x )
在[－12，1
2
]上有唯一实数根，
所以方程f (x )＝0在[－1，1]上有唯一实数根．
11．[03090234] 【解析】∵y ＝6
x 在(0，＋∞)上为减函数，
∴当x ＝2时，y max ＝3，当x ＝6时，y min ＝1. ∴y ∈[1，3]． 【答案】[1，3]
12．[03090235] 【解析】令x <0，∴－x >0，g (－x )＝－2x －3， ∴g (x )＝2x ＋3，∴f (x )＝2x ＋3. 【答案】2x ＋3
13．[03090236] 【解析】函数f (x )＝4x 2＋kx －8的对称轴为x ＝－k 8，依题意有：－k
8≤－
1或－k
8
≥2，解得k ≥8或k ≤－16.
【答案】k ≥8或k ≤－16
14．[03090237] 【解析】当x ≥1时，log 12
x ≤0，当x <1时，0<2x <2，故值域为(0，2)∪(－
∞，0]＝(－∞，2)．
【答案】(－∞，2)
15．[03090238] 【解】(1)证明：设x 1，x 2是R 上的任意两个不相等的实数， 且x 1<x 2，
则f (x 1)－f (x 2)＝(－2x 1＋m )－(－2x 2＋m )＝2(x 2－x 1)． ∵x 1<x 2，∴x 2－x 1>0.∴f (x 1)>f (x 2)． ∴函数f (x )在R 上是减函数． (2)∵函数f (x )是奇函数，
∴对任意x ∈R ，有f (－x )＝－f (x )． ∴2x ＋m ＝－(－2x ＋m )．∴m ＝0.
16．[03090239] 【解】(1)令t ＝|x |－a ，则f (x )＝⎝⎛⎭⎫
23t
，
不论a 取任何值，t 在(－∞，0)上单调递减，在[0，＋∞)上单调递增， 又y ＝⎝⎛⎭⎫23t
是单调递减的，
因此f (x )的单调递增区间是(－∞，0)， 单调递减区间是[0，＋∞)；
(2)由于f (x )的最大值是94，且94＝⎝⎛⎭⎫23－2
，
所以g (x )＝|x |－a 应该有最小值－2， 从而a ＝2.
17．[03090240] 【解】(1)当x <0时，－x >0，则有f (－x )＝log 2(－x )， 又f (x )为奇函数，
所以f (x )＝－f (－x )＝－log 2(－x )． (2)当x >0时，由f (x )≥2，得x ≥4； 当x <0时，由f (x )≥2，得－1
4
≤x <0.
所以集合A ＝{x |x ≥4或－1
4≤x <0}，
当x ≥4时，y ＝g (x )＝2x ≥16；
当－14≤x <0时，y ＝g (x )＝2x ∈[2－1
4，1)．
所以B ＝{x |2－1
4
≤x <1或x ≥16}．
18．[03090241] 【解】(1)设f (x )＝k 1x ，g (x )＝k 2
x ，其中k 1k 2≠0.
∵f (1)＝1，g (1)＝2，∴k 1×1＝1，k 2
1＝2，
∴k 1＝1，k 2＝2.∴f (x )＝x ，g (x )＝2
x .
(2)设h (x )＝f (x )＋g (x )，则h (x )＝x ＋2
x ，
∴函数h (x )的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)． ∵h (－x )＝－x ＋2
－x
＝－⎝⎛⎭⎫x ＋2x ＝－h (x )， ∴函数h (x )是奇函数，即函数f (x )＋g (x )是奇函数． (3)由(2)，知h (x )＝x ＋2
x
.
设x 1，x 2是(0，2]上的任意两个不相等的实数，且x 1<x 2， 则h (x 1)－h (x 2)＝⎝
⎛⎭⎫x 1＋2x 1
－⎝⎛⎭⎫x 2＋2x 2
＝(x 1－x 2)＋⎝⎛⎭⎫
2x 1
－2x 2
＝(x 1－x 2)⎝⎛⎭⎫1－2x 1x 2＝（x 1－x 2）（x 1x 2－2）
x 1x 2. ∵x 1，x 2∈(0，2]，且x 1<x 2， ∴x 1－x 2<0，0<x 1x 2<2.
∴x 1x 2－2<0，∴(x 1－x 2)(x 1x 2－2)>0. ∴h (x 1)>h (x 2)．
∴函数h (x )在(0，2]上是减函数，函数h (x )在(0，2]上的最小值是h (2)＝22， 即函数f (x )＋g (x )在(0，2]上的最小值是2 2. 19．[03090242] 【解】(1)设x ∈[－1，0]， 则－x ∈[0，1]，f (－x )＝－2－2x
＋2－
x a ，
又∵函数f (x )为偶函数， ∴f (x )＝f (－x )， ∴f (x )＝－2
－2x
＋2－
x a ，x ∈[－1，0]．
(2)∵f (x )＝－22x ＋2x a ，x ∈[0，1]， 令t ＝2x ，t ∈[1，2]． ∴g (t )＝at －t 2
＝－(t －a 2)2＋a 2
4
.
当a
2≤1，即a ≤2时，h (a )＝g (1)＝a －1； 当1<a 2<2，即2<a <4时，h (a )＝g (a 2)＝a 2
4；
当a
2≥2，即a ≥4时，h (a )＝g (2)＝2a －4. 综上所述，
h (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧a －1， a ≤2，a
2
4， 2<a <4，2a －4， a ≥4.
20．[03090243] 【解】(1)∵函数f (x )经过点(2，2)， ∴2＝2(m 2＋m )－
1，
即212
＝2(m 2＋m )－
1，
∴m 2＋m ＝2，解得m ＝1或m ＝－2.又∵m ∈N *，∴m ＝1. ∴f (x )＝x 12
，∴f (x )在[0，＋∞)上单调递增． 由f (2－a )>f (a －1)，得⎩⎪⎨⎪
⎧2－a ≥0，a －1≥0，2－a >a －1，
解得1≤a <3
2
.
∴a 的取值范围为[1，3
2)．
(2)m 2＋m ＝m (m ＋1)，m ∈N *，
而m 与m ＋1中必有一个为偶数，∴m (m ＋1)为偶数．
∴函数f (x )＝x (m 2＋m )－
1(m ∈N *)的定义域为[0，＋∞)，并且在定义域上为增函数．。