新沪科版八年年级数学下练习：18.勾股定理的逆定理

18.2勾股定理的逆定理
知识要点基础练
知识点1勾股定理的逆定理
1.下列各组数中,不能作为直角三角形的三边长的是(B)
A.0.3,0.4,0.5
B.8,9,10
C.7,24,25
D.9,12,15
2.下列说法中正确的有(C)
①若∠A∶∠B∶∠C=1∶1∶2,则△ABC是直角三角形;
②若∠A-∠B=∠C,则△ABC是直角三角形;
③若三角形的三边长分别为9,40,41,则△ABC是直角三角形;
④若三角形的三边长分别为2n,3n,4n,则△ABC是直角三角形.
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
3.传说古埃及人曾用“拉绳”的方法画直角,现有一根长24 cm的绳子,请你利用它拉出一个周长为24 cm的直角三角形,那么你拉出的直角三角形的三边的长度分别为 6 cm,8 cm,10 cm.
4.如果一个△ABC的三边长a,b,c满足关系式a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形,其中∠C是直角.
5.在平面直角坐标系中,A(3,3),B(7,3),C(3,6)是△ABC的三个顶点.
(1)求AB,BC,AC的长;
(2)根据(1)小题的计算结果,判断△ABC的形状.
解:(1)∵A(3,3),B(7,3)两点的纵坐标相等,
∴线段AB∥x轴,∴AB=7-3=4.
∵A(3,3),C(3,6)两点的横坐标相等,
∴线段AC∥y轴,
∴AC=6-3=3,∴AB⊥AC,
∴BC==5,
∴AB=4,BC=5,AC=3.
(2)由(1)得AB=4,BC=5,AC=3,
∴AB2+AC2=BC2,
∴△ABC为直角三角形.
知识点2勾股数
6.下列各组数中,是勾股数的是(B)
A.12,15,18
B.11,60,61
C.15,16,17
D.12,35,36
7.下面各组数:①3,4,5;②0.3,0.4,0.5;③7,24,25;④9,40,41;⑤13,84,85;⑥15,100,101.其中是勾股数的有(C)
A.3个
B.4个
C.5个
D.6个
8.正整数5,12,13是一组勾股数.
综合能力提升练
9.已知三组数据:①2,3,4;②3,4,5;③1,,2.分别以每组数据中的三个数为三角形的三边长,能构成直角三角形的有(D)
A.②
B.①②
C.①③
D.②③
10.已知a,b,c是三角形的三边长,如果满足(a-6)2++|c-10|=0,则三角形的形状是(D)
A.底与腰不相等的等腰三角形
B.等边三角形
C.钝角三角形
D.直角三角形
【变式拓展】已知△ABC的三边为a,b,c,且a2+b2+c2+50=6a+8b+10c,则△ABC的形状为直角三角形.
11.小红要求△ABC最长边上的高,测得AB=8 cm,AC=6 cm,BC=10 cm,则可知最长边上的高是(B)
A.48 cm
B.4.8 cm
C.0.48 cm
D.5 cm
12.现有四根木棒,长度分别为2 cm,6 cm,8 cm,10 cm,从中任取三根木棒,能组成直角三角形的个数为(B)
A.1
B.2
C.3
D.4
【变式拓展】下列几组数:①9,12,15;②15,36,39;③12,35,35;④12,18,22.其中能组成直角三角形边长的是(A)
A.①和②
B.②和③
C.③和④
D.①和④
13.观察下列几组勾股数并寻找规律:①3,4,5;②5,12,13;③7,24,25;④9,40,41.请你写出有以上规律的第⑤组勾股数:11,60,61.
14.已知直角坐标平面内两点A(3,-7)和B(-2,-2),那么A,B两点间的距离等于
5.
15.一个三角形的三边分别是2 cm,5 cm, cm,则这个三角形的面积是5
cm2.
16.若m,n是正整数,m>n,则毕达哥拉斯数m2+n2,2mn,m2-n2也叫勾股数,请据此写出一组勾股数本题答案不唯一,如3,4,5等.
17.若三角形的三边分别是m2-1,2m,m2+1,则这个三角形最大的内角的度数是90°.
18.在△ABC中,若BC=2n+1,AC=2n2+2n,AB=2n2+2n+1,则△ABC是直角三角形吗?试说明理由.
解:△ABC是直角三角形.
理由:因为AB=2n2+2n+1最大,而
BC2+AC2=(2n+1)2+(2n2+2n)2=4n2+4n+1+4n4+8n3+4n2=4n4+8n3+8n2+4n+1,AB2 =(2n2+2n+1)2=4n4+8n3+8n2+4n+1,所以BC2+AC2=AB2,根据勾股定理逆定理可知△ABC是直角三角形.
19.我们规定:能够成为直角三角形三条边长度的三个正整数,称为勾股数,如3,4,5就是一组勾股数.
(1)若5,12,x是一组勾股数,试确定x的取值.
(2)已知:在△ABC中,三条边长分别为a=n2-1,b=n2+1,c=2n(n是大于1的整数).求证:a,b,c是一组勾股数.
(3)请依据(2)中的结论,写出两组不同于示例和(1)中的勾股数.
解:(1)分两种情况:①当x是斜边时,根据勾股定理,得52+122=x2,解得x=±13,因为x是正整数,所以取x=13.
②当x是直角边时,根据勾股定理,得52+x2=122,解得x=±,因为x是正整数,所以不符合.
综上所述,x=13.
(2)∵n是大于1的整数,∴n2-1,n2+1,2n均为正整数,即a,b,c是正整数.∵a2+c2=(n2-1)2+(2n)2=n4-2n2+1+4n2=n4+2n2+1=(n2+1)2=b2,
∴△ABC是直角三角形,∴a,b,c是一组勾股数.
(3)本题答案不唯一,如6,8,10和8,15,17等.
拓展探究突破练
20.张老师在一次“探究性学习”课中,设计了如下数表:
n2345…
a22-132-142-152-1…
b46810…
c22+132+142+152+1…
(1)请你分别探究a,b,c与n之间的关系,并且用含n(n>1)的式子表
示:a=,b=,c=;
(2)猜想以a,b,c为边的三角形是否为直角三角形?并证明你的猜想.解:(1)n2-1;2n;n2+1.
(2)是直角三角形.
证明:∵a2+b2=(n2-1)2+(2n)2=n4+2n2+1,c2=(n2+1)2=n4+2n2+1,
∴a2+b2=c2,
∴以a,b,c为边长的三角形是直角三角形.。