求参数取值范围的两个技巧

求参数的取值范围问题比较常见，常出现在不等式、函数、方程、直线、圆、向量等问题当中.此类问题侧重于考查同学们的运算能力和综合分析能力.要求得参数的取值范围，需重点讨论与参数相关的变量或式子，用变量来约束参数的取值.下面介绍两个求参数取值范围的技巧.
一、分离参数
分离参数是指将不等式或等式进行恒等变形，使不等式或等式的一边含有参数，另一边不含有参数，然后根据不含参数的式子的范围来确定参数的取值范围.一般地，我们可以运用构造函数法、基本不等式法、导数法等来确定不含参数的式子的范围.
例1.若函数f(x)=x3-b2x2+bx+c在[-2,1]上是增函数，求b的取值范围.
解：由题意可知，函数f(x)在[-2,1]上是增函数，则对于∀x∈[-2,1],有f'(x)=3x2-bx+b≥0恒成立.当x=1时，3x2-bx+b≥0成立；
而当x∈[-2,1),要使3x2-bx+b≥0，需使b≥3x2x-1，那么就只需要b>(3x2x-1)max,
又(3x2x-1)max=0,所以b≥0.
因此，实数b的取值范围是[0,+∞).
若遇到含参不等式问题时，我们可先将不等式进行变形，把参数分离出来，得到a≤f(x),a≥f(x),a< f(x),a>f(x)的形式，求出f（x）的最值，只要使a≤f(x)min, a≥f(x)max,a<f(x)min,a>f(x)max，即可求出参数的取值范围.
例2.已知不等式sin x∙cos x>m2+m2-1的解集为R，求m的求值范围.
解：将不等式sin x∙cos x>m2+m2-1变形可得2sin x∙cos x>2m2+m-2，
设g(m)=2m2+m-2,f(x)=2sin x∙cos x=sin2x≥-1,
而g(m)<f(x)min，
所以2m2+m-2<-1,即(2m-1)(m+1)<0,
解得-1<m<12,因此m的取值范围为(-1，12）.
本题的不等式中有多项含有m，因此将含m的项与常数项一起分离出来，再构造函数g（x）、f（x），求得f（x）的最值，使g(m)<f(x)min，即可求得m的取值范围.由此可见，通过分离参数解答含参不等式问题，大致可以分为三步：①分离参数；②求函数的最值；③利用极端原理得到最终的答案.
二、变更主元
对于一些含有多个参数、变量的问题，我们通常使用变更主元法来解题.将参数作为主元，将变量当作参数，将问题转化为关于参数的不等式、函数、方程问题，借助不等式的性质、函数的性质、方程的判别式来建立关于参数的关系式，从而求得参数的取值范围.例3.若函数f(x)=x3+3ax-1,g(x)=f(x)-ax-5,对任意a∈[-1,1]，有g(x)<0，求实数x的取值范围.解：∵g(x)=3x2-ax+3a-5,
∴令ϕ(x)=(3-x)a+3x2-5,-1≤a≤1.
对于-1≤a≤1,有g(x)<0恒成立,即ϕ(a)<0.
∴ìí
î
ϕ(1)<0,
ϕ(-1)<0,即
ì
í
î
3x2-x-2<0,
3x2+x-8<0,
解得x∈(-23,1).
∴x的取值范围为(-23,1).
我们将x看作参数，将a看作变量，将问题转化为关于a的一次函数问题.根据g(x)<0，建立关于a的不等式，解不等式就能求得参数a的取值范围.
相比较而言，分离参数的适用范围较广，但运算量较大；变更主元的技巧较为简单，但使用范围较窄，很多同学经常很难想到这个技巧.因此，在解题受阻时，同学们要注意变通，尝试从不同的角度思考解题的思路.
（作者单位：甘肃省陇南市成县第一中学）
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