量子力学导论习题答案

第一章 量子力学的诞生
1.1设质量为m 的粒子在一维无限深势阱中运动， îíì<<><¥=a
x a
x x x V 0,0,0,)(
试用de Broglie 的驻波条件，求粒子能量的可能取值。

解：据驻波条件，有 ),3,2,1(2
L =×
=n n a l
n a /2=\l （1）
又据de Broglie 关系 l /h p = （2） 而能量
()
L h h ,3,2,12422/2/2
2222222
22==×===n ma n a m n h m m p E p l （3）
1.2设粒子限制在长、宽、高分别为c b a ,,的箱内运动，试用量子化条件求粒子能量的可能取值。

解：除了与箱壁碰撞外，粒子在箱内作自由运动。

假设粒子与箱壁碰撞不引起内部激发，则碰撞为弹性碰撞。

动量大小不改变，仅方向反向。

选箱的长、宽、高三个方向为z y x ,,轴方向，把粒子沿z y x ,,轴三个方向的运动分开处理。

利用量子化条件，对于x 方向，有
()ò==×L ,3,2,1,
x x x
n h n dx p
即 h n a p x x =×2 （a 2：一来一回为一个周期）
a h n p x x 2/=\,
同理可得， b h n p y y 2/=, c h n p z z 2/=,
L ,3,2,1,,=z y x n n n
粒子能量 ÷÷ø
öççèæ++=++=222222222
222)(21c n b n a n m
p p p m E z y x z y x n n n z
y x h p
L ,3,2,1,,=z y x n n n
1.3设质量为m 的粒子在谐振子势222
1
)(x m x V w =中运动，用量子化条件求粒子能量E 的可能取值。

提示：利用 )]([2,
,2,1,
x V E m p n nh x d p -===×ò
L
解：能量为E 的粒子在谐振子势中的活动范围为 a x £ （1） 其中a 由下式决定：221
()2
x a E V x m a w ===。

由此得 2/2w m E a = ， （2）
a x ±=即为粒子运动的转折点。

有量子化条件
222222
a
p dx dx m m a m a nh w p
w wp ++--×===×
==òò
òÑ
得w
wp m n
m nh a h 22
==
（3） 代入（2），解出 L h ,3,2,1,
==n n E n w （4）
积分公式：
c a
u a u a u du u a ++-=-ò
arcsin 2222
22
2
1.4设一个平面转子的转动惯量为I ，求能量的可能取值。

提示：利用
,,2,1,20
L ==ò
n nh d p p
j j j p 是平面转子的角动量。

转子的能量I p E 2/2
j =。

解：平面转子的转角（角位移）记为j 。

它的角动量.
j j I p =（广义动量），j p 是运动惯量。

按量子化条件
L ,3,2,1,220
===ò
m mh p dx p j p
j p
mh p =\
j ，
因而平面转子的能量
I m I p E m 2/2/222
h ==j ，
L ,3,2,1=m
第二章 波函数与Schrödinger 方程
2.1设质量为m 的粒子在势场)(r V v
中运动。

（a ）证明粒子的能量平均值为 w ×=ò
r d E 3
，
y y y y w V m
**2
2+Ñ=h （能量密度）
（b ）证明能量守恒公式 0=×Ñ+¶¶s t w v ÷÷ø
öççèæѶ¶+Ѷ¶-=**22y y y y t t m s h v （能流密度） 证：（a ）粒子的能量平均值为（设y 已归一化）
V T r d V m E +=÷÷ø
öççèæ+Ñ-=ò3
22*
2y y h （1）
ò=y y V r d V *3 （势能平均值） （2）
()()()[]
ò
òÑ×Ñ-Ñ×Ñ-=÷÷øö
ççèæÑ-=y y y y y
y **3222*
3
2)(2动能平均值r d m m r d T h h 其中T 的第一项可化为面积分，而在无穷远处归一化的波函数必然为0。

因此
y y Ñ×Ñ=ò
*
322r d m T h （3）
结合式（1）、（2）和（3），可知能量密度,2**2
y y y y w V m
+Ñ×Ñ=h （4）
且能量平均值 ò
×=w r d E 3 。

（b ）由（4）式，得
..
.
2**.....
2*22**..
222
2*2222V V t m t t
t t V V
m t t t t t t s V V t m t m s E w y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y
é
ù¶¶*¶¶*¶êú=Ñ×Ñ+Ñ×Ñ++¶ê¶¶ú¶¶ë
û
éùæöæö¶*¶¶*¶¶*¶êúç÷ç÷=Ñ×Ñ+Ñ-Ñ+Ñ++êúç÷ç÷¶¶¶¶¶¶èøèøëûæöæö¶*¶=-Ñ×+-Ñ++-Ñ+ç÷ç÷¶¶èøèø
=-Ñ×+h h h h v v ..*t t y y y y æö¶*¶ç÷+ç÷¶¶èø
r t E s ¶¶+×-Ñ=v
（r ：几率密度）
s v
×-Ñ= （定态波函数，几率密度r 不随时间改变）
所以
0=×Ñ+¶¶s t
w v。

2.2考虑单粒子的Schrödinger 方程
()()()()[]()t r r iV r V t r m
t r t i ,,2,2122v v v v h v h y y y ++Ñ-=¶¶ （1）
1V 与2V 为实函数。

（a ）证明粒子的几率（粒子数）不守恒。

（b ）证明粒子在空间体积t 内的几率随时间的变化为
()
òòòòòò+×Ñ-Ñ-=t
t y y y y y y y y *3
2*
**322r d V S d im r d dt d S
h v h
证：（a ）式（1）取复共轭， 得
()*21*
22*2y y y iV V m
t i -+Ñ-=¶¶-h h （2）
´*y （1）-´y （2）,得
()()
()
y y y y y y y
y y y y y y y *2**22**22
*2*2222iV m
V i m
t i +Ñ-Ñ×Ñ-=+Ñ-Ñ-=¶¶h h h
()()()
y y y y y y y y *2***22h
h
V im t +Ñ-Ñ×Ñ-=¶¶\
（3）
即
022¹=×Ñ+¶¶r r
h
v V j t ， 此即几率不守恒的微分表达式。

（b ）式（3）对空间体积t 积分，得
()()()
()
y y y y y y y y y y y y y y t
t
t t *23***233***32
222rV d S d im rV d r d im r d t S òòòòòòòòòòòòòò+×Ñ-Ñ-=+Ñ-Ñ×Ñ-=¶¶h v h h h
上式右边第一项代表单位时间内粒子经过表面进入体积t 的几率（S d j v
v ×-=òò ） ，而第二项代表体积t 中“产
生”的几率，这一项表征几率（或粒子数）不守恒。

2.3 设1y 和2y 是Schrödinger 方程的两个解，证明
()()0,,2*13
=ò
t r t r r d dt d v v y y 。

证： 12
212y y ÷÷ø
öççèæ+Ñ-=¶¶V m t i h h Q （1） 22
222y y ÷÷ø
öççèæ+Ñ-=¶¶V m t i h h （2） 取（1）之复共轭： *12
2*12y y ÷÷ø
öççèæ+Ñ-=¶¶-V m t i h h （3） ´2y （3）´-*1y （2）,得
()()
22*1*1222
2*12y y y y y y Ñ-Ñ-=¶¶-m
t i h h
对全空间积分：
()()[]
òòÑ-Ñ-=-22*1*122322*132,,y y y y y y r d m
t r t r r d dt d i h v v h ()()()()()[]
òÑ×Ñ+Ñ×Ñ-Ñ-Ñ×Ñ-=2*1*122*1*1232
2y y y y y y y y r d m
h ()[]
òÑ-Ñ×Ñ-=2*1*1232
2y y y y r d m
h ()
022
*
1*122=×Ñ-Ñ-=ò
S d m v h y y y y ，（无穷远边界面上，0,21®y y ） 即 ()()
0,,.2*
13=ò
t t r d dt d y y 。

2.4）设一维自由粒子的初态()h
/00,x ip e
x =y ， 求()t x ,y 。

解： ()h /2200,÷÷ø
öççèæ-=t m p x p i e t x y
2.5 设一维自由粒子的初态()()x x d y =0,，求()2
,t x y 。

提示：利用积分公式
()
()
2sin cos 2
2
p x x x x ==ò
ò+¥
¥
-+¥
¥
-d d
或 []
[]4exp exp 2
p p x x i d i =ò
+¥
¥
-。

解：作Fourier 变换： ()()ò+¥
¥
-=
dp e p x ipx h h j p y 21
0,， ()()h
h
h h
h
p d p j p j 21)(210,21=
=
=òò+¥
¥
--+¥
¥
--dx e x dx e
x p ipx ipx ，
()()()ò+¥
¥
--=
\
dp e
p t x Et px i h
h
/21
,j p y （m p E 2=）
ò¥+¥
-÷÷
ø
öèæ--=
dp e px t m
p i 22
21
h h p （指数配方）
ò+¥
¥-úúûù
êêë
é÷øöçèæ--=dp t mx p m it e t imx 222exp 212h h h p 令 2
2
2÷ø
ö
çèæ-=t mx p m t h x ，则
()úûùêëé÷÷øöççèæ-=
××=×=-+¥
¥
--ò42exp 2221221,24/2222
2p p p p x
p y p x t mx i t m
e e t m d e t m e t x i t
imx i t imx h h h h h h h h ()t
m
t x h p y 2,2
=。

2.6 设一维自由粒子的初态为()0,x y ，证明在足够长时间后，
()[]÷ø
öçèæ×úûùêëé×-=
t mx t imx i t m t x h h h j p y 2exp 4exp ,2
式中 ()()ò+¥
¥
--=
dx e
x k ikx
0,21y p
j 是()0,x y 的Fourier 变换。

提示：利用 ()x e e x i i d p
a a p a =-¥
®2
4/lim。

证：根据平面波的时间变化规律
()t kx i ikx e e w -® ， m k E 22h h ==w ，
任意时刻的波函数为
()()()dk e k t x m
tk
kx i 2/2
21,h -+¥
¥
-ò
=
j p y
()úúûù
êêë
é÷øöçèæ--×=
ò
¥
+¥
-2
2/2exp 212t mx k m t i k dk e
t
imx h h h j p
（1）
当时间足够长后（所谓¥®t ） ，上式被积函数中的指数函数具有d 函数的性质，取
m t 2h =a ， ÷øöçè
æ
-=t mx k u h ， （2） 参照本题的解题提示，即得
()()ò+¥
¥
--÷øöçèæ
-×»
k d t mx k k e t m e
t x i t
imx h h h d j p p
y p 4/2221,2 ÷øö
çèæ=
-t mx e e t m t imx i h h h j p 2/4/2 （3） ()
2
2
,÷ø
öçèæ»t mx t m t x h h j y （4） 物理意义：在足够长时间后，各不同k 值的分波已经互相分离，波群在x 处的主要成分为t mx k h =，即
m kt x h =，强度()2
k j µ，因子t m h 描述整个波包的扩散，波包强度t 12
µy。

设整个波包中最强的动量成分为0k h ，即0k k =时()2
k j 最大，由（4）式可见，当t 足够大以后，2
j 的最大值出现在0k t mx =h 处，即m t k x 0h =处，这表明波包中心处波群的主要成分为0k 。

2.7 写出动量表象中的不含时Schrödinger 方程。

解：经典能量方程 ()r V m
p E v
+=22 。

在动量表象中，只要作变换p p ®，dp
d i r h v
® 所以在动量表象中，Schrödinger 为：
()()p E p dp d i V m p y y =úûùêë
é÷÷øöççèæ+h 22。

第三章一维定态问题
3.1）设粒子处在二维无限深势阱中，
î
íì¥<<<<=其余区域 ,0,0 ,0),(b y a x y x V 求粒子的能量本征值和本征波函数。

如b a = ，能级的简并度如何？
解：能量的本征值和本征函数为
m
E y
x n n 222p h =
)(2
22
2b n a n y
x +
L ,2,1, ,sin sin
2==
y x y x n n n n b
y n a x n ab
y x p p y 若b a =，则 )(22
22
22y
x n n n n ma E y
x +=p h a
y n a x n a y x n n y x p p y sin sin 2
=
这时，若y x n n =，则能级不简并;若y x n n ¹，则能级一般是二度简并的（有偶然简并情况，如5,10==y x n n 与2,11'
'
==y x n n ）
3.2）设粒子限制在矩形匣子中运动，即
î
íì¥<<<<<<=其余区域 ,0,0,0 ,0),,(c z b y a x z y x V 求粒子的能量本征值和本征波函数。

如c b a ==，讨论能级的简并度。

解：能量本征值和本征波函数为
)(22
2
2
22
2
22c n b n a n m n n n E z y
x
z
y x +
+=p h , L
,3,2,1,, ,
sin sin sin 8
==
z y x z y x n n n c z n b y n a x n abc n n n z
y x p p p y
当c b a ==时，
)(222
2222z y x n n n ma
n n n E z
y x ++=p h a
y
n a y n a x n a n n n z y x z y x p p p y sin sin sin 22
3
÷ø
ö
çèæ=
z y x n n n ==时，能级不简并；
z y x n n n ,,三者中有二者相等，而第三者不等时，能级一般为三重简并的。

z y x n n n ,,三者皆不相等时，能级一般为6度简并的。

如 îíì®++=++®++=++)
9,6,3()10,5,1(20
86161210)
11,3,1()9,7,1(10438652
22222
2
22222
3.3）设粒子处在一维无限深方势阱中，
î
íì><¥<<=a x 0, ,0 ,0),(x a x y x V 证明处于定态)(x n y 的粒子
)61(12)x -(x ,22222
p
n a a x -==
讨论¥® n 的情况，并于经典力学计算结果相比较。

证：设粒子处于第n 个本征态，其本征函数
x a
n a x n p y sin 2)(=
. 2
sin 2022
a xdx a n x a dx x x a a
n 分部òò=
=p y （1）
4
)(2
2
2
2
2
2a dx x x x x x n
a
-=-=-òy
4
2cos 1(212202a dx a x n x a a --×=òp )6
1(12222p
n a -= （2） 在经典情况下，在()a ,0区间粒子除与阱壁碰撞（设碰撞时间不计，且为弹性碰撞，即粒子碰撞后仅运动方向改变，但动能、速度不变）外，来回作匀速运动，因此粒子处于x x dx ®+范围的几率为a
dx ，故
2
a
a dx x x a
=×
=ò ， （3） 3
20
2
2
a a dx x x a
=×=ò
，
4
3)(2
22
2
2
a a x x x x -=-=- （4）
当¥®n 时，量子力学的结果与经典力学结果一致。

3.4）设粒子处在一维无限深方势阱中，
î
í
ì<¥<=2 ,2
,0),(a x a x y x V 处于基态)1(=n ，求粒子的动量分布。

解：基态波函数为 a
x
a p y cos 21=
, （参P57，（12）） h
h h h h h h h h h h h h h
h h h h h h
h
h
2cos
22cos 12cos 112121121
)(2
11
cos 221)(2
2223
22
2222
)((2
2
22pa
p a q pa p a pa p a a e e p a i e e p a i a dx e e
a
dx e e e
a
dx a
x
a e p a p a i a p a i a p a i a p a i a
a p a i p a i a x
i a x i a
a ipx
a
a ipx
-=
ïïþïïý
üïïîïïíì+
+-=ïïþïïýü
ïïîïïí
ìúúûùê
êëé-×÷øöçèæ+-+úúûùêêëé-×÷øöçèæ-=úû
ùêëé+=
+×=×
=
\÷øöçèæ+÷øöçèæ+-÷øöçèæ--÷øöçèæ--+-------ò
ò
òp p p p p p p p p p p p f p p p p p p p p
动量的几率分布()
h
h h 2cos 4)()(2
2
2222
3
2
pa p
a a p p -=
=p
p j r 3.5）设粒子处于半壁高的势场中
ïî
ï
íì><<-<¥=a
x a x V x V ,00,
x ,)(0 （1） 求粒子的能量本征值。

求至少存在一条束缚能级的体积。

解：分区域写出eq s .:
a
x ,0)()(a
x 0 ,0)()(22"212'"1>=-<<=+x k x x k x y y y y （2）
其中 ()'2
2
02222, k E k V E m m =
+=h h
（3） 方程的解为
kx
kx
x ik x ik De
Ce x Be Ae x --+=+=)()(21'
'
y y （4）
根据对波函数的有限性要求，当¥®x 时，)(2x y 有限，则
0=C
当0=x 时，0)(1=x y ，则0=+B A 于是
a
x , )(x 0 ,sin )(2'1>=<<=-kx
De
x a x k F x y y （5）
在a x =处，波函数及其一级导数连续，得
ka ka kDe a k F k De a k F ---=='''cos ,sin （6）
上两方程相比，得 k
k a k tg '
'
-= （7） 即 ()E E V E V a
tg +--=úû
ùêëé+00
2
2h m
（7’） 若令 h x ==a a k k ,'
（8） 则由（7）和（3），我们将得到两个方程：
22
202( 9)(10)
2 ctg V a h x x m x h =-ìï
í+=ïîh
（10）式是以a V r 202h m =为半径的圆。

对于束缚态来说，00<<-E V ，
结合（3）、（8）式可知，x 和h 都大于零。

（10）式表达的圆与曲线x x h ctg -=在第一象限的交点可决定束缚
态能级。

当2p ³r ，即
222
p m ³a V h ，亦即 82220h p m ³a V （11）
时，至少存在一个束缚态能级。

这是对粒子质量，位阱深度和宽度的一个限制。

3—6）求不对称势阱中粒子的能量本征值。

解：仅讨论分立能级的情况，即20V E <<，
()y y h E V m dx d -=\22
2
当±¥®x 时，0®y ，故有
()()()
()ïîï
íì-=<<=<<+-=<=-h
h
h
E V m k x a e A mE k a x kx A E V m k x e A x
k x k 222
1112,
,2,0,
sin 2,0,
21p d d y
由
dx
d y
ln 在0=x 、a x =处的连续条件，得
()d d +-==ka kctg kctg k 21k , （1）
由（1a ）可得 1
2sin mV k h =
d （2）
由于k k k ,,21皆为正值，故由（1b ），知d +ka 为二，四象限的角。

因而 ()2
2sin mV k ka h ±
=+d （3）
又由（1），余切函数()ctg 的周期为p ，故由(2)式，
1
1
12sin mV k n h -+=p d (4)
由(3)，得 2
1
2sin mV k n ka h --=+p d (5)
结合(4),(5)，得 1
1
121
22sin 2sin mV k n mV k n ka h h -----=p p
或 2
1
1
1
2sin 2sin mV k mV k n ka h h ----=p （6）
L ,3,2,1=n
一般而言，给定一个n 值，有一个解n k ，相当于有一个能级：
m
k E n
n 22
2h = （7）
当12V V ¹时，仅当
1
212
sin 22V V mV a --³
p
h
才有束缚态 ，故21,V V 给定时，仅当 ÷÷øö
ççèæ-³
-1212sin 22V V mV a p h
（8） 时才有束缚态（若V V V ==21，则无论V 和a 的值如何，至少总有一个能级） 当a V V ,,21给定时，由(7)式可求出n 个能级（若有n 个能级的话）。

相应的波函数为:
()()()()()ïïïî
ï
ïï
íì-=>-<<+-=<=---h
h h
h E V m k a x e mV k A a x x k A E V m k x e mV k A n a x k n n n n n n n x
k n n n n 22221
111
2,
, 21,0
, sin 2, 0, 22d y
其中 ()n n n k k a A 21112++=
3—7）设粒子（能量0>E ）从左入射，碰到下列势阱（图），求阱壁处的反射系数。

解：势阱为 î
í
ì><-=.0,0,
0,)(0x x V x V
在区域Ⅰ上有入射波与反射波，在区域Ⅱ上仅有透射波。

故
()h
h
mE k Ce E V m k Be Ae x
ik x ik x ik 2,2,22011211==+=+=-y y 由)0()0(21y y =，得 C B A =+。

由)0()0('
2'1y y =，得 ()C k B A k 21=-。

从上二式消去c, 得 ()()B k k A k k 2121+=-。

反射系数 ()()2
212
21222
k k k k A B r R +-===
将21,k k 代入运算，可得
()
î
í
ì<<->>=++=
000
2204
20,41,16V E V E V E E V E
E V
V R
3—8）利用Hermite 多项式的递推关系（附录A3。

式（11）），证明 谐振子波函数满足下列关系
()()()()[]
)(21)(12)(121
)()(21
)(21)(22221
1x n n x n x n n x x x n x n x x n n n n n n n +-+-+++
++-=úûùêëé++=
y y y a y y y a y
并由此证明，在n y 态下， 2 ,0n E V x == 证：谐振子波函数 )()(2
22x H e A x n x n n a y a -= （1）
其中，归一化常数 h w a p a
m ,!
2=××=
n A n
n （2） )(x H n a 的递推关系为 .0)(2)(2)(11=+--+x nH x xH x H n n n a a a a （3）
[]()()úû
ùêëé++
=
××+×
+×××+×××
-×××=
×××××+×××××=+=×=
×=\+-+-+---+----+---)(21
)(21)(2
1!
121
)(2
!
121)
(!
221)(!
21)(2)(21
)(221
)()(1112
112112
1
2
11222
2222222222222
2x n x n x H e n n x H e n n x H e n x nH e n x nH x H e A x
x xH e A x xH e A x x n n n x n n x n n x n n x n n n x n n x n n x n n y y a a p a a
a p a a
a p a a a p a a a a a a a a
a y a a a a a a a
()()()()[
]
)(21)(12)(121)(22)(2121)(2)(2121
)(21
)(21)(222
2221
12x n n x n x n n x n x n n x n x n n x x n x x n x x n n n n n n n n n n +-+-+-+++
++-=
ïþ
ï
ýüïîïíìúûùê
ëé+++++úûùêëé+-=úû
ùêëé++=
\y y y a y y y y a y y a y
0)(21
)(21)(1
1*
*=úû
ùêëé++×
==+-+¥
¥
-+¥
¥
-òòdx x n x n x dx x x n n n n n
y y a y y y ()()22121122121)(122121)()(21)(2
222*
22*
n n n n n E n n m dx x n m x dx
x x m x V =÷øöçèæ+=+××=+×××=××=òò+¥
¥
-w a w y a
w y y w y h
3—9）利用Hermite 多项式的求导公式。

证明（参A3.式（12））
()()()()[
]
222
2
2
11211212)(21
2)(+-+-+++
+--=ú
ûùêëé+-=n n n n
n n n n n n n n x dx d n n x dx d y y y a y y y a y
证：A3.式（12）：)(2dx
)
(dH
),(2)(1n 1'
x H n x nH H n n n a a a x x --==
(
)
[]
úû
ùêëé+-=×+úû
ùêëé++-=+-=×+-×=+--+-----)(21)(2)
(2)(21)(2)
(2)()(2)()(1111112122222222x n x n x n x n x n x n x x x H n e x H e x A x dx
d
n n n n n n n n x n x n n y y a y a y y a ay y a a a a a y a a
()()()()[]
2
222
222211212
2221212212)(+-+-++++--=ïþï
ýüïîïíìúûùêëé+-+×+-úûùêëé--×=n n n n n n n n n n n n n n n n n n n x dx d y y y a y y a y y a a y ()021211*
*=úû
ùêëé+-×-=÷øöçèæ-=òò+-dx n n i dx dx d i p n n n n n y y a y y y h h ()()()()[]
()()2
2121124124211212
2222*
22222
*22
22*2
n
n n n n n n n n E n n m m dx n m dx n n n n n m dx dx d m m p T =÷øöçèæ+=+××=+×=++++--×-=÷÷ø
ö
ççè
æ-×==òòò+-w w y y a y y y a y y y h h h h h h
3—10）谐振子处于n y 态下，计算
()
21
2úûùêëé-=D x x x ，()
21
2úû
ùêëé-=D p p p ，?=D ×D p x
解：由题3—6），w w
w m n m E m V x x n h ÷øöçèæ
+====212 ,02
22
由题3—7），w h m n mE T m p p n ÷ø
ö
çèæ+
====212 ,02 ()
(
)
()
(
)
h
h h ÷øöçè
æ
+=D ×D ú
û
ùêëé÷øö
çèæ+=-=ú
û
êëé-=D û
ù
êëé÷
øöçèæ+=-=ú
û
êëé-=D 2121212
1
2
1
2
2
2
1
2
2
12
1
2
22
1
2
n p x m n p
p p p p m n x
x x x x w w
对于基态，,0h =D ×D =p x n ，刚好是测不准关系所规定的下限。

3—11）荷电q 的谐振子，受到外电场e 的作用，
x q x m x V e w -=
222
1
)( （1） 求能量本征值和本征函数。

解： x q H x q x m m p H e e w -=-+=022221
2 （2）
0H 的本征函数为 )(2
2
2x H e A n x n n a y a
-=，
本征值 ()
w h ÷ø
öçèæ+
=210n E n 现将H 的本征值记为n E ，本症函数记为)(x n j 。

式（1）的势能项可以写成 ()[]
202022
1)(x x x m x V --=
w 其中 2
0w e m q x = （3） 如作坐标平移，令 0'
x x x -= （4） 由于 ''p dx
d
i dx d i p =-=-=h h
（5） H 可表成 2
022,22'2
1212x m x m m p H w w -+= （6）
（6）式中的H 与（2）式中的0H 相比较，易见H 和0H 的差别在于变量由x 换成'
x ，并添加了常数项
÷ø
ö
çèæ-20221x m w ，由此可知 ()2
0202
1x m E E n n w --= （7）
)()()(0'x x x x n n n -==y y j （8）
即
L
h h ,2,1,0 ,221212122
22
22=-÷øöçè
æ+=÷øö
çèæ×-÷øöçèæ+=n m q n m q m n E n w e w w e w w （9）
úû
ù
êëé÷øöçèæ-=÷
ø
öçèæ--22
2
22)(w e a j w e a m q x H e
A x n m q x n n (10) 其中 h w a p a
m ,!
2=××=
n A n n (11)
3—12）设粒子在下列势阱中运动，
ïîï
íì><¥=.0,2
1,0,
)(2
2x x m x x V w 求粒子能级。

解：既然粒子不能穿入0<x 的区域，则对应的S.eq 的本征函数必须在0=x 处为零。

另一方面，在0>x 的区域，这些本征函数和谐振子的本征函数相同（因在这个区域，粒子的H 和谐振子的H 完全一样，粒子的波函数和谐振子的波函数满足同样的S.eq ）。

振子的具有12+=k n 的奇宇称波函数在0=x 处为零，因而这些波函数是这一问题的解（k n 2=的偶宇称波函数不满足边条件0)0(=y ）所以
()L h ,2,1,0 ,232=+=k k E k w
3—13）设粒子在下列势阱中运动，
()î
íì>--<¥=.0,,0,
)(x a x r x x V d ()0,>a r (1)
是否存在束缚定态？求存在束缚定态的条件。

解：S.eq: ()y y d y E a x r dx d m =---2
2
22h (2)
对于束缚态（0<E ），令 h mE 2-=
b (3)
则 ()022
222=-+-y d y b y a x mr dx d h (4)
积分
ò
+-e
e
a a dx ,+®0e ,得'y 跃变的条件
)(2)()(2
''a mr
a a y y y h -=--+ (5) 在a x ¹处，方程(4)化为
0222
=-y b y dx
d (6) 边条件为 ()束缚态0)( ,0)0(=¥=y y 因此 î
í
ì><£=-.,,
0,)(a x Ae a x x sh x x
b b y (7) 再根据a x =点)(x y 连续条件及)('x y 跃变条件(5)，分别得
)(a Ae a sh a y b b ==- (8) )(22
a mr
a ch Ae a y
b b b b h -=--- (9) 由（8）（9）可得（以)(a a y -乘以（9）式，利用（8）式）
2
2coth h mra
a a a =
+b b b (10) 此即确定能级的公式。

下列分析至少存在一条束缚态能级的条件。

当势阱出现第一条能级时，-
®0E ，所以+
®0a b ,
利用 1lim
coth lim 00
==®®a
th a
a a a a
b b b b b b ,
（10）式化为
+
+=+=01coth 22
a a a mra
b b b h , 因此至少存在一条束缚态能级的条件为 122
³h mra
（11）
纯d 势阱中存在唯一的束缚能级。

当一侧存在无限高势垒时，由于排斥作用（表现为0)(ºx y ，对0£x ）。

束缚态存在与否是要受到影响的。

纯d 势阱的特征长度mr L 2
h
= 。

条件（11）可改写为 2L a ³ （12）
即要求无限高势垒离开d 势阱较远（2L a ³）。

才能保证d 势阱中的束缚态能存在下去。

显然，当¥®a （即
2L a >>），¥®a b 时，左侧无限高势垒的影响可以完全忽略，此时1coth ®a b ，式（10）给出
22h mr =b
即 2
2
2222h h mr m E =-=b （13） 与势阱)()(x r x V d -=的结论完全相同。

令h b =a ， 则式（10）化为
()22coth 1h mra
=
+h h （14） 由于()1coth 1³+h h ，所以只当122
³h mra
时，式（10）或（14）才有解。

解出根h 之后，利用
h mE a a 2-==b h ，即可求出能级
2
2
22ma E h h -= （15）
第四章 力学量用算符表达与表象变换 4.1）设A 与B 为厄米算符，则
()BA AB +21
和()BA AB i
-21也是厄米算符。

由此证明，任何一个算符F 均可分解为-++=iF F F ，+F 与-F 均为厄米算符，且
()()+++-=+=
F F i
F F F F 21 ,21
证：ⅰ）()()()()BA AB AB BA B A A B BA AB +=+=+=úû
ùêëé++
++++
21212121
()BA AB +\2
1
为厄米算符。

ⅱ）()()()()BA AB i AB BA i B A A B i BA AB i -=--=--=úû
ù
êëé-+++++
21212121
()BA AB i
-\21
也为厄米算符。

ⅲ）令AB F =，则()BA A B AB F ===+
+
+
+
，
且定义 ()()+++-=+=
F F i
F F F F 21 ,21
（1） 由ⅰ），ⅱ）得-+
-++
+==F F F F ,，即+F 和-F 皆为厄米算符。

则由（1）式，不难解得 -++=iF F F
4.2）设),(p x F 是p x ,的整函数，证明
[][]F , F,,p
i F x x i F p ¶¶
=¶¶-=h h
整函数是指),(p x F 可以展开成å¥
==
,),(n m n m mn
p x C
p x F 。

证： （1）先证[][]
11, ,,--=-=n n m m p ni p x x mi x p h h 。

[][][][][
]
[][
]
[
]()()[
]
()1
111113
3
1
3
323122211
1
1,1,3,,2,,,,,------------------=---=+--==+-=++-=++-=+=m m m m m m m m m m m m m m m m m m
x mi x i x i m x x p x i m x
x
p x
i x x p x x p x x i x x p x x p x x i x
x p x p x x p h h h h L
h h h
同理，
[][][][][]
[]
1
22122211
1
,2,,,,,--------==+=++=+=n n n n n n n n n
p ni p p x p i p p x p p x p p i p
p x p x p p x h L h h
现在，
[][]
()ååå¥
=-¥
=¥=-=
=úûùêëé=0
,1
,0,,,,n m n
m mn
n m n m mn n m n m mn p
x mi C p x p C p x C p F p h
而 ()
å¥
=--=¶¶-0
,1n m n m mn p x mi C x F
i h h 。

[]F , x
i F p ¶¶-=\h
又 [][]
()
ååå¥
=-¥
=¥==
=úûùêëé=0
,1
,0,,,,n m n m mn
n m n m mn n m n m mn p ni x C
p x x C p x C x F x h
而 ()
å¥
=-=¶¶0
,1n m n m mn p ni x C p F
i h h
[]F , p
i F x ¶¶=\h
4.3）定义反对易式[]BA AB B A +=+,，证明
[][][][][][]
+
+
+
+
-=-=C A B C B A BC A B
C A C B A C AB ,,,,,,
证：
[][][]()()[][]B
C A C B A B CA AC CB BC A CAB ACB ACB ABC B
C A C B A C AB ++-=+-+=-+-=-=,,,,, [][][]()()[][]
+
+
-=+-+=-+-=+=C A B C B A CA AC B C BA AB BCA
BAC BAC ABC C A B C B A BC A ,,,,,
4.4）设，，为矢量算符，和的标积和矢积定义为
()
åå=´=×abg
b a abg a
a a e B A B A ,
z y x ,,,,=g b a ，abg e 为Levi-civita 符号，试验证
()()
g abg
b a abg e C B A å=×´=´× （1）
()[]()()a
a
C B ×-×=´´ （2） ()[]()()C B A C B A C B A ×-×=´´a
a
a
（3）
证：
（1）式左端()
()()()
x y y x z z x x z y z y z y x C B C B A C B C B A C B C B A C B A -+-+-=´×=
g abg
b a abg e C B A å=
（1）式右端也可以化成 ()
g abg
b a abg e C B A å=×´。

（1）式得证。

（2）式左端()[]
()
()
b g g
b a
C B A C
B A C
B A ´-´=´´= （3,2,1===g b a ）
()()()a g g b b g a g b a b g a a g g a b b a b C B A B A C B A C B A C B C B A C B C B A +-+=---=（2）式右
端()()
a a C B ×-×=
()a
g g b b g a g b a b a g g a b b a a a g a g b a b a a a C B A B A C B A C B A C B A C B A C B A C B A C B A C B A +-+=---++=
故（2）式成立。

（3）式验证可仿（2）式。

4.5）设与为矢量算符，F 为标量算符，证明
[][][]F F F ,,,×+×=× （1） [][][]F F F ,,,´+´=´ （2）
证：（1）式右端()()
F F F F -×+×-=
F F F F ×-×+×-×= []
=×=×-×=B A F F B A B A F ,（1）式左端
（2）式右端 ()()
F F F F -´+´-= F F F F ´-´+´-´=
[]
=´=´-´=B A F F B A B A F ,（2）式左端
4.6）设F 是由，构成的标量算符，证明
[]r
i p F i F ¶-´¶¶=h h , （1）
证：[]
[][]
[]F L F L F L F z y x ,,,,++= （2）
[][][][][][])
2.4( ,,,,,,题÷÷øö
ççè涶-¶¶-÷÷ø
öççè涶-¶¶=¶¶-¶¶+¶¶+¶¶-=--+=-=y F z z F y i p p F p p F i p p F
i y F z i p y F i z F y
i p F z F p z p F y F p y F zpy ypz F Lx y z z y y z
z y
y z z h h h h h h
x x
r i p i ççèæ¶-÷÷øöèæ¶=h h （3） 同理可证，[]
y y y r i p i F L ççèæ¶-÷÷øöè
æ¶=h h , （4） []z z
z r i p
i F L ççèæ¶-÷
÷
øö
èæ
¶=h h , （5）
将式（3）、（4）、（5）代入式（2），于是（1）式得证。

4.7）证明 i h 2=´+´
()[]
p L p L L p i ,2=´-´h 。

证：()
[][]
z y z y y z z y y z z y x
p L L p p L p L L p L p ,,+=-+-=´+´
利用基本对易式 [][
]
g abg b a b a e p i L p p L h ==,, 即得 ()
x x
p i h 2=´+´ 。

因此 i h 2=´+´ 其次，由于x p 和x L 对易，所以
[][][][
][]
[][]
()()()[
]
(
)
x
y z z y y z z y y z z y z y y z x z z z x z x y y y x y x Z x y
x
p
L L p i p L p L L p L p i p L L p p L L p i p L L L p L p L L L p L p L p L
p L ´-´=---=++--=+++=+=h h h ,,,,,,,2
22
因此，()[]L i ,2
=´-´h
4.8）证明
()
i p r L ×+×-=h 222 （1）
()()()()2
2
2
2
p L =´×´-=´=´ （2） ()()2
2224p p L h +=´×´- （3） ()()2
p i h -=´´´ （4）
证: （1）利用公式 ，()()C B A C B A ×´=´×，有
()()()[]()()[]()()()
r p L ××-×=×-×=×´´-=´×´-=2
2
其中 (
)i r
r
i r r p h h 22
2
2
2-=Ñ-=
()
h h i p r r i p r r p 3-×=×Ñ-×=´
因此 ()i r L ×+×-×=h 2
2
2
2
（2）利用公式， ()()0=´×=×´ （Δ） 可得 ()()()[]L p p L L p p L ×´´-=´×´-
()()[]()[
]()0
2
,L 02
22==×-=××-×=P
p L p ① ()()()()[]´´×=´×´=´2
()[][
]()0
2
,L 2
22==×-×=P
p L p L p L p L ② ()()()()[]×´´=´×´=´2
()[]2
22p L p =××-= ③
由①②③，则（2）得证。

（3）(
)()()()i h 2)
1( ) 7.4-´×´´×´-
()()()2
2
2
22
22
4222)
()1( ) 7.4p
p L p p L p i i p L i h
h h h +×´--×´-´=D
（4）就此式的一个分量加以证明，由4.4）（2），
()[]()()a
a
a
C B ×-×=´´
()()[]()()()[]x
x
x
p L p L p L p L p L p L ×´-×´=´´´ ，
其中()y
y
z
z
x
x
e p e p i L L -+=h
（即[]k p i j p i k p j p i p L y
z
z
y
x
x
h h -+=++0,）。