2022-2023学年北京市大兴区高三年级上册学期期末检测数学试题

大兴区2022～2023学年度第一学期期末检测试卷
2022.12
高三数学
学校__________姓名__________
班级__________
考号__________
考生须知
1.本试卷共4页，共两部分，21道小题。

满分150分。

考试时间120分钟。

2.在试卷和答题卡上准确填写学校名称、班级、姓名和准考证号。

3.试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。

4.在答题卡上，选择题用2B 铅笔作答，其他题用黑色字迹签字笔作答。

第一部分（选择题 共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1.已知集合，则（ ）
{}
12A x x =≤≤A =R A. B.{}1,2x x x <>或{}1,2
x x x ≤≥或C. D.{}
1,2
x x x ≤>或{
}
1,2
x x x <≥或2.下列函数中，既是奇函数又在定义域上是增函数的是（ ）
A. B. C. D.ln y x
=tan y x
=3
y x
=1y x
=-
3.在展开式中，的系数为()5
1x -2x A.10
B.5
C. D.10
-5-4.设为等差数列的前项和.已知，，则（ ）n S {}n a n 33S =-52a =A.为递减数列
B. C.有最大值
D.{}n a 30a =n S 60
S =
5.已知抛物线上一点与其焦点的距离为5，则点到轴的距离等于（ ）
2
4y x =M M x A.3
B.4
C.5
D.6.“”是“直线与圆相切”的（ ）
0a =210x ay a -+-=()a ∈R 2
2
1x y +
=A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
7.某圆锥曲线是椭圆或双曲线，若其中心为坐标原点，对称轴为坐标轴，且过和两C ()2,1A -3,2B ⎛ ⎝点，则曲线的离心率等于（
）
C
A.
12
8.已知数列中，，，，则下列结论错误的是（ ）
{}n a 11a =12n n n a a +⋅=*n ∈N A. B.22
a =432a a -=C.是等比数列
D.{}2n a 1
2122n n n a a +-+=9.“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝，它是由四个全等的直角三角形和一个正方形构成.现仿照赵爽弦图，用四个三角形和一个小平行四边形构成如下图形，其中，，，，分别是，，，
E F G H DF
AG BH 的中点，若，则等于（ ）
CE AG x AB y AD =+
2x y +A.
B.
C.1
D.2
25
4
510.已知函数，给出下列结论：①是周期函数；②的最小值是；③
()2cos 23x f x x x π=-+()f x ()f x 1
2-的最大值是；④曲线是轴对称图形，则正确结论的序号是（ ）
()f x 1
2
()y f x =A.①③1
B.②④
C.①②③
D.②③④
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。

11.已知复数满足，则______.
z i 1i z ⋅=+z =12.一个袋子中装有5个大小相同的球，其中2个红球，
3个白球，从中依次摸出2个球，则在第一次摸到红球的条件下，第二次摸到白球的概率是______.13.在中，，.若，则______；若满足条件的三角形有两个，则的一
ABC △2a =b =4
A π
∠=c =A ∠个值可以是______.
14.已知函数若，则函数的值域为______；若函数恰有
()24,1ln 1, 1.
x x a x f x x x ⎧++<=⎨+≥⎩，
0a =()f x ()2y f x =-三个零点，则实数的取值范围是______.
a 15.在正方体中，为正方形的中心.动点沿着线段从点向点移动，ABCD A B C D '-'''O A B C D ''''P CO C O 有下列四个结论：
①存在点，使得；P PA PB '=②三棱雉的体积保持不变；
A BDP '-
③的面积越来越小；
PA B '△④线段上存在点，使得，且.A B 'Q PQ A B ⊥'PQ OC ⊥其中所有正确结论的序号是__________.
三、解答题共6小题，共85分。

解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

16.（本小题14分）
函数（，，）部分图象如图所示，已知.再从条件
()()sin f x A x ωϕ=+0A >0ω>02
π
ϕ<
<
41x x π-=①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知.
（Ⅰ）求函数的解析式；()f x （Ⅱ）求的单调减区间.()f x 条件①：；112
x π
=条件②：；26
x π
=条件③：.
32
x π
=
注：如果选择多个条件组合分别解答，则按第一个解答计分.17.（本小题14分）
如图，在四棱雉中，底面是直角梯形，，，为等边三角P ABCD -ABCD AB DC ∥90BAD ∠=︒PAB △
形，且平面底面，，，，分别为，的中点.
PAB ⊥ABCD 22AB CD ==AD =
M Q PD AB
（Ⅰ）求证：平面；
PB ∥MQC （Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值.
PC MQC
18.（本小题14分）
猜歌名游戏是根据歌曲的主旋律制成的铃声来猜歌名，该游戏中有，，三类歌曲.嘉宾甲参加猜歌名A B C 游戏，需从三类歌曲中各随机选一首，自主选择猜歌顺序，只有猜对当前歌曲的歌名才有资格猜下一首，并且获得本歌曲对应的奖励基金.假设甲猜对每类歌曲的歌名相互独立，猜对三类歌曲的概率及猜对时获得相应的奖励基金如下表：歌曲类别A
B
C 猜对的概率
0.80.5p
获得的奖励基金额/元
1000
2000
3000
（Ⅰ）求甲按“，，”的顺序猜歌名，至少猜对两首歌名的概率；
A B C （Ⅱ）若，设甲按“，，”的顺序猜歌名获得的奖励基金总额为，求的分布列与数学0.25p =A B C X X 期望；
()E X （Ⅲ）写出的一个值，使得甲按“，，”的顺序猜歌名比按“，，”的顺序猜歌名所得奖p A B C C B A 励基金的期望高.（结论不要求证明）19.（本小题14分）
已知椭圆：经过直线：与坐标轴的两个交点.
E 22
221x y a b
+=()0a b >>l 220x y +-=（Ⅰ）求椭圆的方程；
E （Ⅱ）为椭圆的右顶点，过点的直线交椭圆于点，，过点作轴的垂线分别与直线，
E ()2,1E
M N M x l 交于点，，求证：为线段的中点.
AN P Q P MQ 20.（本小题15分）已知函数.
()()()ln 1f x x a a =
+≥（Ⅰ）若曲线在点处的切线斜率为0，求的值；()y f x =()()
1,1f a （Ⅱ）判断函数单调性并说明理由；
()y f x =（Ⅲ）证明：对，都有
.
[)12,0,x x ∀∈+∞()(2f x f -21.（本小题14分）
已知数列，为从1到2022互不相同的整数的一个排列，设集合
{}n a ()1,2,,2022n =⋅⋅⋅122022,,,a a a ⋅⋅⋅，中元素的最大值记为，最小值记为.1,0,1,2,,2022j
n i i A x x a n j +=⎧⎫⎪
⎪
===⋅⋅⋅-
⎨⎬⎪⎪⎩
⎭
∑A M N （Ⅰ）若为：1，3，5，…，2019，2021，2022，2020，2018，…，4，2，且，写出，的值；
{}n a 3j =M N
（Ⅱ）若，求的最大值及最小值；3j =M N （Ⅲ）若，求的最小值.
6j =M
大兴区2022～2023学年度第一学期期末检测高三数学参考答案与评分标准
一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）
12345678910A
C
C
B
B
A
D
D
D
B
二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）
12.
13.2；之间的任意一个角都可以34
0,
4π⎛⎫
⎪⎝
⎭
14.；15.①②③（只写对一个2分，只写对二个3分）
[)4,-+∞()
3,6-三、解答题（共6小题，共85分）
16.（本小题14分）解：由图可知，41x x π-=所以.T π=又知.22T
π
ω=
=所以.()()sin 2f x A x ϕ=+（Ⅰ）若选择条件①②，即，.
112
x π
=26
x π
=
因为.()1sin 0126f x f A ππϕ⎛⎫⎛⎫
==+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
由图可知，，即26
k π
ϕπ+=k ∈Z 26
k π
ϕπ
=-
+因为，
02
π
ϕ<
<
所以当时，.
0k =6
π
ϕ=-
所以.()sin 26f x A x π⎛⎫
=-
⎪⎝
⎭
又因为.()2sin 166f x f A ππ⎛⎫=== ⎪
⎝⎭
所以.
2A =所以.()2sin 26f x x π⎛
⎫
=-
⎪⎝
⎭
若选择条件①③，即，.
112
x π
=32
x π
=
因为.()1sin 0126f x f A ππϕ⎛⎫⎛⎫
==+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
由图可知，，即.
26
k π
ϕπ+=k ∈Z 26
k π
ϕπ=-
+因为，
02
π
ϕ<
<
所以当时，.
0k =6
π
ϕ=-
所以.()sin 26f x A x π⎛⎫
=-
⎪⎝
⎭
又因为，()3sin 126f x f A ππ⎛⎫=== ⎪⎝⎭
所以.
2A =所以.()2sin 26f x x π⎛⎫=-
⎪⎝
⎭若选择条件②③，即，.
26
x π
=32
x π
=
因为，()()23f x f x =由图可知，当时取得最大值，1223
x x x π
+==()f x 即，3f A π⎛⎫=
⎪⎝⎭sin 23A A πϕ⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭由2sin 13πϕ⎛⎫
+= ⎪⎝⎭
得
，，2232
k ππ
ϕπ+=+k ∈Z 因为，
02
π
ϕ<<
所以.
6
π
ϕ=-
又，()216f x f π⎛⎫
== ⎪⎝⎭
所以.
2A =
所以.()2sin 26f x x π⎛⎫
=-
⎪⎝
⎭
（Ⅱ）因为函数的单调递减区间为，，
sin y x =32,222k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦
k ∈Z 由
，，32222
6
2
k x k π
π
π
ππ+≤-
≤
+k ∈Z 2分得
，.53
6
k x k π
π
ππ+≤≤
+k ∈Z 所以单调递减区间为，.
()f x 5,36k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦
k ∈Z 17.（本小题14分）
解：（Ⅰ）连结，，与交于点，QD BD BD QC O 因为底面是直角梯形，，为的中点.ABCD AB DC ∥Q AB 所以且，即为平行四边形，BQ DC ∥BQ DC =BQDC 所以点是中点，连结，所以.
O BD OM PB MO ∥又因为平面，平面，所以平面.PB ⊄MQC MO ⊂MQC PB ∥MQC （Ⅱ）因为为等边三角形，为的中点，所以.PAB △Q AB PQ AB ⊥又面面，面面，所以面，PAB ⊥ABCD PAB ⋂ABCD AB =PQ ⊥ABCD 又因为，，所以.AB DC ∥90BAD ∠=︒BQ CQ ⊥如图建立空间直角坐标，
Q xyz -
可知，，，，
()0,0,0Q (P ()
C 12M ⎛-
⎝
易知，设面的法向量为，
(PC = MQC (),,n x y z =
且，
，
()
QC =
12QM ⎛=- ⎝ 即所以，
0,0,n QC n QM ⎧⋅=⎪
⎨⋅=⎪⎩
0,10.2x y z =⎨-=⎪
⎩
)n = 设与平面所成角为，
PC MQC θ则
，sin cos ,|
PC n θ===
所以与平面
.PC MQC 18.（本小题14分）
解：（Ⅰ）设“甲按“，，”的顺序猜歌名至少猜对两首歌名”为事件，A B C E 则.
()()0.80.510.80.50.4P E p p =⨯⨯-+⨯⨯=所以，甲按“，，”的顺序猜歌名至少猜对两首歌名的概率为0.4.A B C （Ⅱ）的所有可能取值为0，1000，3000，6000，
X ，
()010.80.2P X ==-=，()()10000.810.50.4P X ==⨯-=，()()30000.80.510.250.3P X ==⨯⨯-=.
()60000.80.50.250.1P X ==⨯⨯=所以随机变量的分布列为
X X 0100030006000P
0.2
0.4
0.3
0.1
所以.()00.210000.430000.360000.11900E X =⨯+⨯+⨯+⨯=（Ⅲ）均可.00.5p <<19.（本小题14分）
解：（Ⅰ）直线：与坐标轴的两个交点为，，l 220x y +-=()2,0()0,1由于，所以，，
a b >2a =1b =所以椭圆的方程为.
E 2
214
x y +=
（Ⅱ）设过点的直线为，由题意直线斜率存在，()2,11l l 设方程为，即.
1l ()12y k x -=-()12y kx k =+-由，消元得，()
22
1214
y kx k x y ⎧=+-⎪⎨+=⎪⎩()22
4124x kx k ⎡⎤++-=⎣⎦整理得()
()2221481216160k x k k x k k ++-+-=由，可得.
()(
)()
2
2
2
8124141616640k k k k
k k ⎡⎤∆=--+-=>⎣⎦0k >设，，则
()11,M x y ()22,N x y ，.()122
81214k k x x k -+=-
+2122
161614k k
x x k
-⋅=+由题意，将，代入：得，1x x =l 220x y +-=112,
2x P x -⎛⎫
⎪⎝
⎭
直线的方程为，AN ()2
222
y y x x =
--令得，
1x x =()21122,
2y x Q x x ⎛⎫
- ⎪-⎝
⎭
所以
()211122222
2
y x x y x --+-⨯
-()()()()
211212222222
y x y x x x x -+-+--=
-()()()()()()
2112122122122222
kx k x kx k x x x x +--++--+--=
-()()()12122214182
k x x k x x k
x +-+++=
-()()()()()()()
222221161641812814142k k k k k k k k k x +-++⋅-++=
+-()()()
()()
3
23232
2
321616641688320
142k k k k k k k k k x
--+-++++=
=+-
所以，点是线段的中点.
P MQ 20.（本小题15分）
解：（Ⅰ），()()ln f x x a =
-+
所以，()1f x x a
-'=+
由，()10f '=101a
-=+所以.1a =（Ⅱ）函数在单调递增.
()y f x =()0,+∞因为，所以函数定义域为.
1a =()f x [)0,+∞
()1f x x a =='+
因为，所以.)2
11x a a -=-+-1a =因为，所以.
1a =()0f x '>因此函数在区间上单调递增.()y f x =()0,+∞
（Ⅲ）证明：当时，显然有12x x =()(2f x f -当时，不妨设，
12x x ≠12x x <由于函数在区间上单调递增，
()f x ()0,+∞所以，()()()()2121f x f x f x f x -=-
则()(2f x f -()()
21f x f x =--()()
21ln ln x a x a =-+-++()()
12ln ln x a x a =+-+
.12ln x a x a
+=+因为，所以，
12x x <210x a x a +>+>所以，1201x a x a
+<<+所以.12ln 0x a x a
+<+综上，对任意的，
.
[)12,0,x x ∈+∞()(2f x f --21.（本小题14分）
解：（Ⅰ），.
6063M =9N =（Ⅱ）最小值为6，的最大值6063.N M 证明：对于1，2，…，2021，2022的一个排列，
{}n a 若，则中的每一个元素为，，
3j =A 31231n i n n n i x a
a a a ++++===++∑0,1,2,,2019n =⋅⋅⋅由题意，，
31max n i i M a +=⎛⎫= ⎪⎝⎭
∑0,1,2,,2019n =⋅⋅⋅那么，对于任意的，总有.
{}n a 2020202120226063M =++=同理，由题意，
31min ,0,1,2,,2019n i i N a n +=⎛⎫==⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭
∑那么，对于任意的，总有，
{}n a 1236N =++=当时，满足：，.
n a n =()1,2,,2022n =⋅⋅⋅6N =6063M =（Ⅱ）的最小值为6069.
M 由于，对于1，2，…，2021，2022的一个排列，
6j ={}n a 中的每一个元素为，，
A 6
1n i i x a +==∑0,1,2,,2016n =⋅⋅⋅由题意，，
61max n i i M a +=⎛⎫= ⎪⎝⎭
∑0,1,2,,2016n =⋅⋅⋅对于任意的，都有
{}n a
，20221220226
M =++⋅⋅⋅+即，.20222023202262
M ⨯=6069M =构造数列：，，，{}n a 2n a n =1,2,,1011,n =⋅⋅⋅212023n a n -=-1,2,,1011n =⋅⋅⋅对于数列，设任意相邻6项的和为，则
{}n a T ，或21221222324n n n n n n T a a a a a a -++++=+++++22122232425n n n n n n T a a a a a a +++++=+++++若，则
21221222324n n n n n n T a a a a a a -++++=+++++()()()()()()()1220232023120232T n n n n n n =+++++-+--+--，202336069=⨯=1,2,,1009
n =⋅⋅⋅若，则
22122232425n n n n n n T a a a a a a +++++=+++++()()()()()()()12202312023220233T n n n n n n =+++++--+--+--，202236066=⨯=()
1,2,,1008n =⋅⋅⋅所以，即对这样的数列，，
6069T ={}n a 6069M =又，所以的最小值为6069.6069M =M。